Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

4. Из циклических граничных условий вытекает, что волновой

ректор (и квазиимпульс) является дискретной величиной. Разность

меЖДУ соседними значениями

Δ/Q

я+1

—

равна

А/с*

= ±2 л/Ц. (16.Зр)

5. Дискретность волнового вектора приводит к дискретности по-

верхностей энергии в зоне Бриллюэна. Они образуют большое число

подуровней (или уровней) энергии. Однако, так как

Δ/с* —

величина

малая (κι

—

квазинепрерывная величина) то и £ (к) является вели-

чиной квазинепрерывной.

§ 17. ТЕОРИЯ КВАЗИСВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОНА

Рассматривая движение электрона в периодическом поле, мы

нашли интегралы движения, ввели понятие эффективной массы, уста-

новили связь между (средней) скоростью, квазиимпульсом, уско-

рением и внешней силой. Все эти величины прямо или косвенно

связаны с зависимостью энергии от квазиимпульса Е(Р) или £(к).

Как уже упоминалось, нахождение зависимости Ε (к) в общем виде

представляет важную, но пока еще не решенную проблему твердого

тела. Однако для понимания многих процессов в твердом теле,

и в первую очередь в полупроводниках, большую ценность представ-

ляют приближенные методы установления общего характера зависи-

мостей Ε (к) с использованием в ряде случаев экспериментальных

величин, необходимых для практического применения теоретических

расчетов.

Воспользуемся методом теории возмущений для нахождения за-

висимости Ε (к) в общем виде. Существуют два приближения при

решении задачи о движении электрона в периодическом поле, отли-

чающиеся выбором нулевого приближения: Беря в качестве нулевого

приближения свободную частицу и рассматривая периодическое поле

как возмущение, придем к так называемой теории квазисвободного

электрона. Если за нулевое приближение взять электрон в ^изолиро-

ванных атомах, из которых построена решетка кристалла, то при-

дем к теории квазисвязанного электрона. Рассмотрим первую теорию.

Представим гамильтониан периодического поля

H = f + U(r) ^ ' (17.1)

А. А

в виде гамильтониана «невозмущенной» системы Н

= Т и «возмуще-

ния» W (г) = U (г):

H = H

+ W(r) = f + lJ(r); ύ (г) ss U (г). (17.2)

Задачей теории возмущений является нахождение поправок

к энергии Е° и волновой функции ψ° невозмущенной системы при

наложении возмущения. Найдем спектр энергии свободной частицы

се волновые функции.

. Уравнение

Шредингера для свободной частицы, т. е. с гамиль-

тонианом Н

= Т:

имеет решение в виде плоских волн де-Бройля

(г) = Ле'

(кг)

непрерывным спектром энергии

Е° (к) = Н

/(2т) = р

/(2т).

Таким образом, в нулевом приближении энергия электрона

в кристалле непрерывна, она имеет квадратичную зависимость от

волнового вектора и квазиимпульса, при этом квазиимпульс тожде-

ствен с обычным импульсом; эффективная масса есть тензор нуле-

вого ранга (скаляр), тождественная с обычной массой свободного

электрона:

1 =

7P^

= m

1; т

· О

)

Амплитуда А волны Ψ°

(Γ) равна 1/]/(2π)

при нормировке на

δ-функцию при интегрировании по всему пространству, или

lYG

при нормировке на единицу при интегрировании по области G, так

что нормированная собственная функция имеет вид

ψκ (Г) =

е< <«>;

[^ (г)

ψ®

(Г) dx = δ (к - к'); (17.7)

(

) = ^т/2

(кг)

; Hnr)r

(r)dx =

(17.8)

Для нахождения энергии и собственных функций в первом при-

ближении в соответствии с теорией возмущений понадобятся мат-

ричные элементы возмущения:

U к'к

$ ψο*

(Г) U (г)

ψο

(Г) dx. (17.9)

Легко показать, что матричные элементы отличны от нуля только

для определенных значений к' и к. Действительно, так как U(г)

функция периодическая с периодами а

, а

, то можно разложить

ее в тройной ряд Фурье:

19л

(

</(••)= Σ

шг*

(17.Ю)

hUh = — CO b

b = /ib

+ /,b

+ /,b,. (17.11)

(17.3)

(17.4)

(17.5)

Подставив (17.10) в выражение (17.9), получим

ί/κ'κ = jj

е~

(к

г)

CbQi2k (br) (кг)

л ά ь

^ i ΣS

ei (к+2ЯЬ

1Γ) άτ=

1сь δκ

'·•+**=·

О, к'^к + 2яЬ

Ь|

к' =

+ 2яЬ.

(17.12)

Таким образом, матричные элементы U

равны или нулю, «ли

коэффициентам ряда Фурье для U (г).

Поправка к энергии Е° (к) в первом приближении Ε (к) равна диа-

гональному матричному элементу оператора возмущения:

Е'(к) = и

кк

=± J U (г) dx = (U),

(17.13)

т. е. Ε (к) равна усредненному по области G значению потенциаль-

ной энергии U\ эта поправка

не зависит от к.

Мы видим, что в первом

приближении теории возму-

•

щений спектр энергии не из-

меняется при наложении пе-

риодического поля, если не

считать, что все уровни энер-

гии Е° (к) смещаются на одну

и ту же величину (U):

Ε^ (к) = £° (к) + Е (к) =

(17.14)

V У *

а)

2 т

Величина

Рис. 12. Спектр энергии электрона в нуле-

вом (а) и первом (б) приближении по возму-

щению в теории квазисвободного электрона

<U> соответ-

ствует глубине потенциальной

ямы, которая моделирует реальный кристалл в элементарной теории

металлов Зоммерфельда. (U)— это истинная работа выхода электро-

нов из твердого тела. На рис. 12 представлен спектр электронов

в нулевом и первом приближениях. Таким образом, за исключением

смещения начала отсчета энергии, спектр энергии не меняется.

Выберем начало отсчета энергии так, чтобы (U) = 0.

Рассмотрим поправку к энергии во втором приближении. Зна-

чение энергии во втором приближении может быть записано в виде

£42)

(к) =

£0 (

к) +

£' (к)

(к)

£0 (

К)

+ (U) +

2 Е° (I) - £о (к')

= Е

° W + 2

|<ъ1

(17.15)

Мы видим, что поправка к энергии во втором приближении тео.

рии возмущений пропорциональна

сь !

, поэтому при

(Ю5£°(к + 2ЯЬ) (17.16)

поправка к энергии несущественна, и спектр энергии не меняется.

Волновая функция имеет при этом вид

tt" (г) = (Г) + 2

£0

(К)+2ЯЬ) С·), (17.17)

• b

и при тех же условиях можно считать, что возмущение мало меняет

волновую функцию свободного движения.

Однако необходимо рассмотреть состояния, когда разность энер-

гий Е° (к)

—

Е° (к + 2яЬ) -сравнима с |сь)

. В этом случае волновая

функция претерпевает резкое изменение, свободное движение элек-

трона сильно возмущено. Это возмущение будет максимальным

в том случае, когда знаменатель обращается, в нуль для какого-либо

состояния. Пусть один из членов суммы, например при b = g, имеет

знаменатель, близкий или равный нулю. Выражения (17.15) и (17.17)

для энергии и волновой функции в этом случае теряют смысл, по-

скольку нарушается условие применимости теории возмущений.

При Е° (к) ->- Е° (к + 2πβ) коэффициент при (г) стремится

к сю; это означает, что доля ψκ-f 2ng (

)

состоянии

ψκ

(г) не меньше

доли Ψκ(Γ). При точном равенстве энергии Е° (к) = Е° (к + 2rcg) состо-

яние Е° (к) является вырожденным, так как одной и той же энергии

соответствуют две разные функции (г) и ψ

+2πζ (г). Но это значит,

что уже в нулевом приближении для волновой функции (г) необ-

ходимо учитывать обе волновые функции, поэтому нужно решать

задачу, учитывая вырождение. В соответствии с теорией возмуще-

ний для вырожденных состояний волновая функция в нулевом при-

ближении (г) должна иметь вид

(Γ) = αψ°

(Γ) + βψ°κ

2π

(Γ), (17.18)

где а и β

—

неизвестные коэффициенты. Для невырожденных состо-

яний имеем β<!α, для вырожденных состояний а и β —величины

одного порядка. Это будет справедливо не только при точном равен-

стве энергий, оно будет справедливо до тех пор, пока

]

Е° (к)-Е° (к + 2ng)

. (17.19)

Итак, беря в качестве нулевого приближения функцию (17.18)

и подставляя ее в уравнение

(Н° + ϋ)

(г) = (г), (17.20)

получим, учитывая, что ψκ (г) и (г) являются собственными

функциями Н°:

α£о

(к) (г)

+ β£°

(к

2пф

ж+2яв

(г)

U (г) (

)

= (г). (17.21)

Обозначим для простоты

ψ; (г) = ь\ ψ°κ+2π

(г) = £° (к) = Ει, Е° (к + 2л§) = Ё

(17.22)

и перепишем (17.21) в новых обозначениях:

α+ + V (αψ

+ βψ

) - Ε (αψ

+ βψ

). (17.23)

Умножим это уравнение слева на ψ* и соответственно и, ин-

тегрируя по г, получим

+ aU

+ ^U

= Ea,

+ + β ί/

= £·β. (17.24)

ИЛЙ

(£ι + ί/η-£)α + ί/

β = 0,

Два уравнения (17.25) содержат три неизвестные величины Е,

α, β., Для того чтобы уравнения имели нетривиальное решение, не-

обходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю, что дает

необходимое третье уравнение, из которого можно определить энер-

гию Е:

(Ег + и

-Е) U

+ U

-E)

= 0. (17.26)

Решая это уравнение и учитывая, что U

= t/

= {U> = 0, получим

Ϊι+L·

у (1

(17.27)

Переходя к старым обозначениям, можем записать:

(

" (к) -

£0

(

£0

(

2я

е)

[£

o(K)-£o.(K+2ng)P

+ |t/g|2>

(17.28)

Мы видим, что при наложении возмущения W (г) = U (г) энергия

£°(к) терпит разрыв в точке, где Е° (к) = Е°

+ 2ng). Для этих

точек Ε (к) = Е° (к) ±

Величина разрыва равна 21 U

Исследуем те состояния, в которых энергия терпит ^разрыв.

Условие разрыва можно переписать иначе:

fj2

Ε° (к) - (к + 2л£) = ^ [к

- (к + 2jtg)

] =

= £[4π

+ 4π(κ

)] = 0, (17.29)

или

+ ng, g) = 0. (17.30)

Это условие имеет наглядный геометрический и физический смысл.

Ужно найти все те значения к, которые удовлетворяют условию

Zflg

Рис. 13. Построение

плоскости, в которой

энергия терпит разрыв

(17.30). Оно гласит, что векторы g и κ-fftg ортогональны. Построим

вектор 2ftg. Поместим начало отсчета волнового вектора к"в точку,

совпадающую с концом вектора 2ng. Проведем через середину век'

тора 2rcg перпендикулярную ему плоскость (плоскость ВВ

на

рис. 13). Любой вектор, лежащий в этой пло-

скости, будет перпендикулярен вектору 2π§

или g. Но вектор, лежащий в плоскости ВВ\

можно получить как сумму векторов ng и к]

если к оканчивается на плоскости ВВ\ т. е!

все векторы к, которые оканчиваются на пло-

скост и ВВудовлетворяют условию (17.30); оно

является уравнением плоскости, перпендику-

лярной вектору g. Чтобы найти все возможные

значения к, удовлетворяющие условию (17.19),

необходимо задать все векторы g. Для этого

надо построить обратную решетку с базисом

2nb

2ЛЬ

, 2ЛЬ

, наложенную на пространство к,

и изо всех узлов решетки провести векторы 2ng в начало коорди-

нат к = 0. Совокупность плоскостей, проходящих через середины

векторов 2ng и перпендикулярных к ним, определит все те векторы к,

которые удовлетворяют условиям

£°(K + 2ng) = £°(K)

или

+ jxg, g) = 0. (17.31)

Таким образом, уравнение (17.30) позволяет построить зоны Брил-

люэна для любого кристалла по его обратной решетке. На рис. 14

представлено построение плоскостей, точки

которых удовлетворяют уравнению (17.30)

для различных векторов g. Различные

зоны Бриллюэна заштрихованы по-раз-

ному. Построение зон Бриллюэна на

основе уравнения (17.30) является наи-

более естественным.

Чтобы построить основную зону, необ-

ходимо выделить минимальный по объему

многогранник, содержащий точку

= 0.

Найдя следующий по объему многогран-

ник и исключив из него первую зону,

найдем вторую зону Бриллюэна и т. д.

Для простой кубической решетки обрат-

ная решетка является также простой ку-

бической. Если начало отсчета к = 0 по-

местить в один из узлов решетки, то

ближайших к точке к = 0 узлов будет

шесть; они дадут шесть взаимно ортого-

нальных плоскостей, которые выделят в пространстве волнового

вектора куб со стороной 2π/α и объемом 8π

/α

. При этом начало

отсчета

= 0 совпадает с одним из узлов решетки; обратная решет-

ка строится на основе базиса 2лЬ

2лЬ

, 2лЬ

Рис. 14. Зоны Бриллюэна

для плоской квадратной ре-

шетки

Рассмотрим гранецентрированную кубическую решетку; ее обрат-

ная решетка является объемноцентрироваиной. Если пбместить начало

координат к = 0 в одну из вершин куба, то на расстоянии 2π/α

вдоль осей располагается шесть узлов, лежащих в вершинах ячеек.

Шесть векторов, идущих из вершин, определяют положение шести

взаимно ортогональных плоскостей, т. е. выделяют куб. Вершины

этого куба находятся в узлах решетки с координатами (лЬ, яЬ, nb),

лnb) и т. д.

Если провести восемь векторов из вершин в начало координат,

то они определяют восемь плоскостей, перпендикулярных простран-

ственным диагоналям куба. Эти плоскости отсекают области, при-

легающие к вершинам куба. Се-

кущие плоскости проходят через

точки диагоналей с координатами

(π/α, π/α, π/α, (—π/α), π/α, π/α)

и т. д. В результате учета этих

плоскостей приходим к зоне Брил-

люэна, изображенной на рис. 15.

Она является четырнадцатигран-

ником, шесть граней ее имеют

форму квадратов и восемь гра-

ней

—

шестиугольной формы (ку-

боктаэдр). Аналогично можно пост-

роить зону Бриллюэна и для

других решеток. Зона Бриллюэна

для кристаллов с решеткой типа

алмаза совпадает с зоной, изоб-

раженной на рис. 15. Для объем-

ноцентрироваиной решетки первая

зона Бриллюэна представляет со-

бой додекаэдр.

Рассмотрев геометрический смысл уравнения (17.30), рассмотрим

его физический смысл. Учитывая, что

|κ|

= 2π/λ, где λ —длина

волны де-Бройля, \b\=l/d, где

Ζ—

целое число, a d

—

расстояние

между ближайшими плоскостями семейства атомных плоскостей пря-

мой решетки, соответствующих вектору Ь; обозначая угол между

вектором к и нормалью к плоскости (угол падения) через Θ, усло-

вие вырождения (17.30) можем записать в виде

(κΙ)) + πΙ)

= 0, (17.32)

или

~iri

cosd

i =

· <

)

Сокращая на Z, d и π, получим

2d cos θ = /λ (17.34)

•—известное условие Вульфа

—

Брэгга для интерференции рентге-

новых лучей, если учтем, что угол

Θ —

это угол падения,

Рис. 15. Зоны Бриллюэна для гране-

центрированной кубической решетки.

Координаты точек указаны в я/а

а не угол скольжения, который обычно вводится в данное выра-

жение.

Таким образом, вырождение будет наблюдаться для состояний

лежащих на границах зон Бриллюэна, и это те самые состояния'

для которых должно наблюдаться вульф-брэгговское отражение.

Двум различным значениям энергии будут соответствовать две

различные комбинации волновых функций Ψ£(Γ) И i|^

jtg(R) в виде

их суммы и разности.

Сумма двух волн представляет собой одну волну, идущую

в направлении вектора ng-f-K, т. е. вдоль границы зоны Бриллюэна

которая параллельна соответствующим атомным плоскостям кри

сталла. Приходим тем самым к простому и наглядному истолкова

нию причины, разрыва энергии. Вследствие вульф-брэгговского отра

жения падающая и отраженная волны интерферируют; в направле-

ниях, перпендикулярных атомным плоскостям, возникают стоячие

волны; бегущие волны могут быть только вдоль атомных плоскостей.

Поскольку некоторые состояния оказываются запрещенными, то

будут запрещены и некоторые значения энергии. Разрывы энергии

возникают на всех границах зон Бриллюэна.

Возмущение существенно также и для состояний вблизи границ

зон Бриллюэна. Рассмотрим зависимость энергии от квазиимпульса

в окрестностях точек разрыва, где энергию можно записать в виде

Е (к) = £

(

к) + £0(к+2я

)

o(K)-£o(K+2n

)j2.

+ (

^ ^ ^^

ИЛИ

+ * + ««>· +W· (17.36)

Обозначим волновой вектор точек на границе зоны Бриллюэна

через к

. Так как (g,

+ Jig) = 0, то

(17.37)

В таком случае для произвольного состояния к можем записать:

\ г

й2к2 й2к

о ι I ^ч ,

£(к)-£(к„)=^

-^ + —(g, к + +

(й, κ + π

)»+ |i/

rp|i/

|=f(K)· (17.38)

Разложим это выражение в ряд Тейлора относительно точек к

Очевидно, что /(к

) = 0. Скорость электронов

dE\к) Пк . ntig .

Мк т

1 /лй?\2 (g,

+ Jtg)g

7 39)

U 1

Vffib'+W.f

для свободного движения (для состояний, не лежащих вблизи

рании зон Бриллюэна) скорость равна

ν =

то время как в окрестности Гранин, скорость не совпадает

п0

направлению с квазиимпульсом. На самой границе зоны

поэтому

\ υ \ ь;

{МАХ)

Но вектор к

+ng лежит

плоскости границы зоны. Iточ^

разрыва

энергии скорость направлена вдоль грашщьг, очевидно,

скорость

будет иметь преимущественное направление вдоль тратач-

ной плоскости

для состояний

небольшой окрестности трашшн

зоны Бриллюэна.

Так как

лежит

плоскости транщи,

то

изоэнергетические

поверхности должны

быть ортогональны к, грани-

цам зон Бриллюэна, на которых они

терпят разрыв.

состоя-

ни й

—ng скорость обращается

нуль, что означает иевошж-

ность движения

направлении, перпендикулярном атошът плосш:-

гт,

dE А

тям. Так как для этих точек -^-=0, то в тг должен

экстремум энергии. Найдем вторую производную*.

ά*Ε (к) 1 , №

ГШ

1 tfft*

= _±

т т

и.

Для точек, лежащих на границах зон Бриллюэна,

Μ (к)

1 (ι!Η \

Ш К my-m^)·

Если точка

является экстремальной,

то

1\1 КЪ)

или

(ΡΕ I

пг

rftff

1 +

IY1

m\U

h4,

^ак плюс соответствует энергии это зши

ЭНСПгип

лг\г\гт\г\ГУЪгчггтτСУГ

Если ! U

положить равным одному электронвольту, то т* =

= т/(1±6), т. е. для минимума энергии т* < 0, для максимума

энергии ш* > 0, причем

меньше т, т. е. эффективная масса

меньше массы свободного электрона.

Запишем теперь выражение для энергии в виде ряда Тейлора

относительно произвольной точки к

на границе зоны Бриллюэна:

£(к) = £(к

) + —

(К

+ Я£, к-к

) +

1 ±-

где

π4ψ \

ЩГ

(17.47)

Е(к

2т

—

Разложение начинается с линейного члена. Если вектор

— Ко

будет направлен перпендикулярно границе зоны, то энер-

гия является квадратичной функцией (к —к

Теперь рассмотрим основной вопрос

—

обра-

зование зон энергии. Для этого необходимо

учесть, что для точек вблизи границы зон

Бриллюэна получены две ветви энергии:

Е+( К):

2т

и,

+ Έ (

о +

•к

) +

Рис.

ветви

и Е_—

в окрестности границы

зоны Бриллюэна

энергии Е

Е- (К)

2/72

2т

^ 2т

^ЖТ

(К-Ко)

Ug\

+ — (щ + пё, к-к

) +

, π

Η·ψ

(17.48)

Каждое выражение Е

и Е~ является^ непрерывным на границе

зон Бриллюэна. На рис. 16 дана зависимость и Е~ от

(к-—

)

для направлений вдоль нормали к границе зоны. Для того чтобы

энергия испытывала скачок на границе, будем считать, что каждое

выражение Е+ и Е~ применимо только с одной ее стороны. Учиты-

вая непрерывность энергии внутри зоны и учитывая, что Е

и Е'

должны переходить в выражение Е° (к) = й

/(2т) вдали от границы,

выберем Е~ для внутренней стороны границы, а Е

для внешней сто-

роны (внутренней стороной границы считается та, с которой находится

начало отсчета к = 0); на рис. 16 они изображены сплошными линиями.

Наличие разрыва энергии в точках к

еще не означает разрыва

в спектре энергии Ε (к). Действительно, возьмем две очень близкие

к границе точки κ

и к

, соответственно с внутренней и наружной

сторон, такие, что при |κι|>|κ

к|

2т

\и*\>

2т

I С/|

I»

(17.49)