Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

\EofP)

Рис. 26. Зависимость величины по-

тенциальной энергии и функции Га-

мильтона от координат

Вернемся к уравнению (19.19). Зафиксируем значение Р = Р' и

рассмотрим возможные значения функции Гамильтона Н

при изме-

нени и координаты. Поскольку £

(Р) от координаты не зависит, то

зависимость Н

от г определяется внешним полем У (г) (рис. 26, а).

Рис. 26, б можно рассматривать

как график зависимости уровня

энергии Ёо(Р')

от

координаты.

Если теперь задать все воз-

можные. значения энергии £

(Ρ')

то получим график зависимости

положения зон энергии от коор-

динаты (рис. 27).

Таким образом, график Н

(г)

можно интерпретировать как ис-

кривление зон энергии под дей-

ствием внешнего поля. Такая ин-

терпретация зависимости Н

(г)

очень удобна, поскольку она поз-

воляет рассматривать как «свобод-

ное» движение электрона, так и

движение с рассеянием.

Рассмотрим «свободное» движе-

ние, которое описывается уравне-

нием (19.19). При движении электрона под действием

внешнего

поля У (г) полная энергия электрона сохраняется: Я

= const. На

рис. 27 это изображается прямой, параллельной оси абсцисс. Из

рисунка видно, что электрон переходит с одного уровня зоны на

другие уровни, совершая периодическое дви-

жение в кристалле. Электрон с одной и

той же полной энергией Я

= const может

совершать колебательное периодическое дви-

жение между точками А —В, С —D и G-K

двух зон. В соответствии с (19.23) размеры

области δ г будут тем меньше, чем больше

наклон зон (сравните С —D и А —В) и чем

уже зона энергии (сравните А—В и G —К).

Однако электрон может перейти из точек

отрезка G

—

К в точки отрезка А —В и

тем самым он может перейти из второй

зоны в третью, т. е. в более «высокую»

зону энергии. Этот переход возможен бла-

годаря туннельному эффекту

—

переход из

точки К в точку А связан с, переходом

сквозь .треугольный потенциальный барьер KLA. Как известно из

квантовой механики, вероятность туннельного перехода связана

Экспоненциально с шириной и высотой потенциального барьера,

высота потенциального барьера KL представляет собой ширину

апрещенной зоны АЕ

. Ширина барьера КА зависит в свою оче-

Рис. 27. Зависимость

энергии электрона

зонах от координат

111

редь от KL и наклона зон, который определяется силой F

т. е. напряженностью поля Ε:

KA = KL/F

= &Eo/\eE\. (19.24)

Но так как высота барьера входит в показатель экспоненты

в степени 1/2, то приходим к выводу, что прозрачность треуголь-

( АЕ Β/η

ного барьера пропорциональна ехр

Е°( J»

ве

оятность

тун-

нельного перехода из зоны в зону растет экспоненциально с ростом

напряженности внешнего электрического поля Е, приводящего к наклону

зон энергии. Вероятность перехода из точки К в точку А равна

вероятности перехода из точки А в, точку /С, поэтому преимущест-

венный переход будет иметь место из зоны, в которой концентрация

электронов больше. Резкое возрастание числа электронов в верхней

свободной зоне за счет нижней заполненной зоны под действием элек-

трического поля носит название эффекта Зинера.

Туннельный переход имеет место и на участке ВС. Теперь рас-

смотрим «несвободное» движение электрона, когда приобретаемая

в поле V (г) энергия передается, например, решетке. В этом случае

электрон остается на одном и том же уровне зоны и может пере-

мещаться вдоль кристалла на любые расстояния.

Резюме § 19

1. Для описания движения электрона в кристалле, на который

наложено внешнее потенциальное поле V (г), используется уравнение

= (19ЛР)

в которое переходит уравнение (19.1) при замене оператора перио-

дического поля Н

= — ^Δ + ί/Ο") оператором свободной частицы

~ ffl

= — Δ

массой, равной эффективной массе электрона в твер-

дом теле. Этот метод решения уравнения Шредингера получил назва-

ние метода эффективной массы.

2. Метод эффективной массы справедлив для невозмущенных

состояний с энергией, близкой к экстремальному значению, при

наложении на кристалл медленно меняющихся полей. Он позволяет

исключить из уравнения (19.1) неизвестную величину U (г) введе-

нием экспериментально измеримой величины эффективной массы т*.

3. Внешние поля V (г) искривляют зоны энергии идеального

кристалла. Уровни энергии поднимаются в тех областях кристалла,

где V (г) > 0, и опускаются там, где V (г) < 0. Смещение всех зон

одинаков о и равно F(r) в каждой точке.

4. Наклон зон энергии в сильных электрических полях приво-

дит к переходу электронов из «нижних» зон в «верхние» благодаря

туннельному эффекту. Этот эффект носит название эффекта Зинера.

112

§ 20. ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ СОСТОЯНИЯ

Предположим теперь, что на поле кристалла наложено доста-

точно сильное возмущение W, локализованное в небольшой области

кристалла с «центром» в точке с координатой R. Обозначим его

через Н7(г—R). Уравнение Шредингера имеет вид

[- £

+ " W + IP (

)]

Μ = (20.1)

или * ,

[Η

+ W]

(γ) = (Γ). (20.2)

Разложив искомое решение ψ (г) по функциям Блоха ψ

(г):

Ψ(γ) = Σ^κΨκ(Γ) (20.3)

и подставив (20.3) в уравнение (20.2), получим

+ (20.4)

к к

Умножая на

г|)*>

(г) и интегрируя по всему кристаллу, упростим

уравнение, записав его в обычной матричной форме:

>Е о(к

) + 2^к'кС

= ЯСк', (20.5)

ИЛИ.

[Ε - Ε

(к')] (V - Σ

«'«

* = °· (20.6)

Вместо выписывания секулярного уравнения, из которого нахо-

дится возможное значение энергии Ε, запишем уравнение (20.6),

учитывая условие, наложенное на W(v— R): возмущение мало (или

равно нулю) всюду, кроме малой области вокруг точки

поэтому при вычислении матричного элемента.

' WVK= ] №(r)W (r-R)\|)

(r)dr (20.7)

(

интегрирование производится по малому объему вокруг точки R.

На основании теоремы о среднем вынесем волновые функции, взяв

и х в некоторой точке R' объема V

^к'к =

Г*>

(Ю

Ψκ

(R') J W (г - R) dx = (R') ψ

(R') (20.8)

где

= \ W(r-R)dx (20.9)

V*)

есть среднее значение энергии возмущения по объему V

113

Подставляя выражение для W

в уравнение (20.6), получим

[£-£

(κ')]ίν-ψ£< (R') W

2 Ск^к (R') = 0. (20.10)

Но

Σι

кфк (R') =

(R') (20.11)

есть некоторая величина, не зависящая от к и к', поэтому можем

записать из (20.10) и (20.11) выражение для с

Ск

Е-Е

(к') *

Подставляя теперь выражение для су и с

в уравнение (20.10)

и сокращая на ψ

', 't(R') и W

, запишем его в виде

или

Ψ* Ю

Ψκ

СО 1

Е-Е

( к)

(2°·

)

Мы видим, что собственные значения энергии возмущенной системы

связаны с величиной возмущения посредством W

V# и его локализа-

цией посредством значения функции в точке R'. Исследуем это урав-

нение. Оно является алгебраическим уравнением N-й степени относи-

тельно Е, следовательно, оно имеет N корней. Пусть W

Vr->- 0,

в этом случае правая часть стремится к оо. Так как |i|)

(R')|

есть

постоянная величина, не зависящая от W

, то, для того чтобы

уравнение (20.14) удовлетворялось, необходимо, чтобы хотя бы одно

из слагаемых (20.14) стремилось к бесконечности, или знаменатель

одного из слагаемых стремился к нулю, например, при к = к":

Е-Е

(к")-+0, (20.15)

где к" может принимать одно из N возможных значений к, благо-

даря чему Ε принимает одно из разрешенных значений энергии

(к") невозмущенной системы. Другими словами, если возмуще-

ние W стремится к нулю, то решение «возмущенной» задачи, естест-

венно, переходит в решение «невозмущенной» задачи.

Рассмотрим другой предельный случай: W

-+± оо. В этом

случае правая часть (20.14) стремится к нулю. Для удобства ис-

следования этого случая введем следующие обозначения: κ =

Κχ;

; кдг; Е

(к

)**а

; Е = х;

|·ψκ„

(R')

= ^ = Б (20.16)

114

рассмотрим функцию двух переменных * и

г N -г N

(20.17)

/г=1

Возможные значения энергии Ε определяются условием

(х, В) =

0. Но f(x, В) = 0 удовлетворяется условиями:

Ν -η N -

(

*~*

,)==

(20Л8)

ί=1

[п =

х — а»

Первое условие определяет корни уравнения возмущенной задачи,

второе

—

невозмущенной, поэтому оно нас интересовать не будет, и

будем считать в дальнейшем (х —а

) =^=0. Представим f(x, В)

в другой форме:

/(*; в)—вгх Π

i = l η ίφη

-ΒχΝ + ΓΣΑη + ΒΣοηΙ

η Π J

Ν Ν -,

2|1Ь+

ПЧ*

(

1)Л4

"'·

(20

19)

i=\ 1 = 1 J

Функция f(x, β) является линейной по В и полиномом Ν-й

степени по х, поэтому она при любом В Φ 0 имеет N корней.

При Х-+00 основную роль будет играть член с высшей степенью,

т. е. —Вх

. Чтобы f (х, В) оставалась конечной величиной, необ-

ходимо, чтобы 0. Отсюда можно сделать другой вывод: если

β->0 , то х->оо, примерно как β-

. Таким образом, Е-+- dbfeo

при W

-*-h.oo. Возникает вопрос, все ли корни уравнения (20.19)

уходят в бесконечность или не все?

Пусть 5 = 0, тогда

I Ν V N

t(x, о)= 2

(20

20)

\п = 1 / ί = 1 л

· е. при β = 0

(*, 0) является полиномом N

—

1 степени по χ и

имеет N

—

1 корней, совпадающих с корнями невозмущенного урав-

Поэтому сделаем следующий вывод: при наложении на кристалл

®кального возмущения достаточной величины один из подуровней

Сергии невозмущенной системы отщепляется от совокупности уровней

впускается вниз или поднимается вверх. Совокупность из N

—

^ильных уровней практически не меняет своего положения. При

вверх поднимается уровень максимального значения

115

энергии, и при W

<0 опускается вниз уровень минимальной

энергии (рис. 28). Благодаря этому в запрещенной зоне появляется

разрешенное состояние.

Рассмотрим волновую функцию состояния, находящегося в запр

„

щенной зоне. Пусть энергия этого состояния Е

>Е{к). Волновая

функция г|)

(г) может быть записана следующим образом:

) WpV

n (RQ

^л^о (к)

Ψκ (r) =

(20.21)

Ψ* (R')

В образовании

\|)

(г) участвуют все функции ψ

(г) с весом

л—^о(к)'

Найдем предельный вид функ-

ции я|)

(г) при W

-+oo.

В этом случае

1, Я

>£

(к) (20.22)

ФлОО^л (R')E^K (R')

ΨΚ

(Γ) =

^Л (R')

2 е-'WqjJ

(R') ψ

(г).

(20.23)

Если в последнем выражении

заменить cpi(R') на некоторую

максимальную величину φ* (R'), не зависящую от к, то получим

оценку суммы (20.23):

Рис. 28. Отщепление уровня энергии

от зоны при наложении на кристалл

локального возмущения

(г).<Ф, (R')<P* ^')2>~

ί(ΚΚ,)

ψκ

(Γ).

Введем обозначение

2] <

Κ'>ψ

(г) = ΥΝ Φ (г - R').

(20.24)

(20.25)

Функция Φ

(г — R').

есть функция Ванье. Она отлична от нуля

в небольшой окрестности точки R'. Действительно, Φ

(г — R')

можно

представить в виде

(20.26)

116

Но сумма очень большого числа периодических функций (плоских

волн) дает величину, близкую к нулйэ всюду, кроме точки г' = 0 и

ее небольшой окрестности. Поэтому функция Ванье отлична от нуля

в небольшой окрестности точки R'.

Мы видим, что волновая функция г|)

(г) пропорциональна функ-

ции Ванье Φ (г

—

R'), т. е. я|)

(г) отлична от нуля в малой области

около R'. Фактически же волновой пакет "ф

(г) будет простираться

на несколько большую область, чем функция Ванье в сил у зависи-

мости φϊ (R') от к, однако характер волновой функции остается тем

же. Этот результат имеет очень важное значение

—

электрон с энер-

гие й Ε

, лежащей в запрещенной зоне, локализован в некотором

объеме того же порядка, что и Vr. Другими словами, электрон

локализован в области возмущения.

Для конечной величины W

V# область локализации электрона

расширяется: чем меньше энергия возмущения, тем больше размеры

области локализации. Это непосредственно видно из самого выра-

жения для

г|)

(г): чем ближе Е

к Е

(к), тем больший вес будут

иметь, соответствующие волновые функции i|)

(r). При

функция, локализованного состояния

г|э

(г) переходит в одну из

функций Ψκ(Γ)> описывающую полностью делокализованное состояние

электрона.

Полученный результат имеет важнейшее значение для физики

полупроводников.

Резюме §20

1. Локальные нарушения поля решетки в виде примесных атомов,

вакансий, точечных дефектов, дислокаций обусловливают появление

в запрещенной зоне разрешенных состояний, связанных с областью

возмущения.

2. Волновая функция электрона отлична от нуля примерно в той

же области кристалла, в которой существует возмущение, другими

словами, электрон локализован в области возмущения.

3. Уровень энергии, соответствующий локализованному состоянию

электрона, возникает в результате отщепления экстремального уровня

зоны энергии и перехода его в запрещенную зону. Если возмущение

отрицательно, то в запрещенной зоне возникает уровень энергии

за счет отщепления уровня минимальной энергии. Если возмущение

положительно, то в запрещенную зону переходит уровень макси-

мальной энергии. Примером положительного возмущения является

возмущение, существующее в области вакансии. Чем сильнее воз-

мущение, тем дальше отстоит локальный уровень от соответствующей

зоны (см. рис. 28).

4. Если концентрация локальных возмущений Ν

возрастает,

° среднее расстояние между ними уменьшается, поскольку оно

Равно АГ7

1/3

. С ростом концентрации Ν

волновые функции локали-

зованных состояний могут перекрываться, что приводит к обмен -

117

ному взаимодействию между локализованными состояниями, благо-

даря чему дискретный уровень энергии £

,-расщепляясь, образует

зону энергии.

Если локальные возмущения обусловлены атомами примеси, то

соответствующие уровни и зона называются примесными. Для пре-

вращения примесного уровня в примесную зону необходима доста-

точно большая концентрация атомов примеси.

§ 21. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯ ПРИМЕСНЫХ СОСТОЯНИЙ

Наиболее важный случай локализованных состояний возникает

при введении в полупроводник атомов примеси..Оценим положение

примесного уровня в запрещенной зоне. Переход электрона с при-

месного уровня в зону энергии равносилен ионизации атома при-

меси, поэтому за начало отсчета энергии удобно взять дно зоны

энергии. Расстояние между дном зоны и примесным уровнем должно

быть равным энергии ионизации атома примеси. Энергия ионизации

свободных атомов составляет величину от 4—5 эВ для щелочных

металлов до 24 эВ для Не, грубо можно считать ее равной десятку

электронвольт. При введении атома в качестве примеси в полупро-

водниковое вещество он вступает во взаимодействие с атомами основ-

ного вещества, поэтому энергия связи электронов примесного атома

с собственным ядром уменьшается по сравнению с энергией связи

электрона в свободном атоме. Рассмотрим в качестве примера атом

элемента пятой группы As, введенный в германий. Как уже говори-

лось, четыре валентных электрона мышьяка будут участвовать

в образовании четырех парноэлектронных связей с ближайшими

соседними атомами германия. Пятый электрон, не принимая участия

в образовании ковалентных связей, вступит в сравнительно слабое

взаимодействие с большим числом атомов германия. Его связь

с атомом As уменьшится, он начнет двигаться по орбите большого

радиуса (если говорить на языке наглядных представлений теории

Бора), охватывающей десятки и сотни атомов основного вещества.

Поэтому формально взаимодействие избыточного электрона с ато-

мами основного вещества можно представить с помощью диэлектри-

ческой проницаемости ε вещества, т. е. предположим,' что потен-

циальная энергия электрона примесного атома может быть записана

в виде

V (г) —— Ze

/(er) (в системе Гаусса), (21.1)

что, вообще говоря, справедливо только для макроскопических

точечных зарядов. Заряд иона полагаем равным + Ze, заряд элек-

трона (—е). Полная энергия Я электрона равна

(21.2)

Поскольку квантовомеханическое решение задачи о движении

электрона в кулоновском поле точечного заряда дает то же значе-

118

ние энергии, что и элементарная квантовая теория атома водорода

Бора, ограничимся последней теорией для нахождения уровней

энергии водородоподобного атома примеси.

Условие устойчивости движения по круговой орбите

m*v

/r = Ze

/{er

) (21.3)

позволяет найти связь между кинетической и потенциальной энергией:

T = m*v

/2=Ze

/(2Br) = —>V/2

(21.4)

откуда

™

ΎΊτ ~~ ~ 2т*

Я = = = (21.5)

Из условия квантования момента количества движения Μ по

Бору

Μ = rp = rm*O = nh (21.6)

совместно с условием устойчивости (21.3) получим

/(т*г) = M

/(m*r) = n

l(m*r) = Ze

/e\ (21.7)

\/r = m*Ze

/(efi

) = l/r

. ·

Мы видим, что радиусы воровских орбит водородоподобной атом-

ной системы возрастают в ε раз по сравнению со свободным атомом

'«водорода». Возможные значения энергии равны

" = -4 w (21-8)

Энергия ионизации Е

равна по модулю энергии основного

состояния (п= 1):

^H^Hjw

· (21.9)

Если выразить энергию ионизации Ει в электронвольтах, под-

ставив численное значение е, h и т, то получим

„ 13,52-Z2 (т*\ ,

/οι im

ι=—гг— (-^г; (

21Л

°)

де 13.52 соответствует величине (в эВ) энергии ионизации атома

водорода. Проанализируем выражение (21.10) для Е\. Прежде всего

обратим внимание на зависимость Е\ от Z

. Она означает, что уров-

ни однократно- и двукратнозаряженного иона примеси лежат на раз-

личных расстояниях от зоны энергии. Это естественно, поскольку

возмущение, вносимое ионом с зарядом 2е, больше, чем возмущение,

вносимое ионом с зарядом е, что находится в полном соответствии

выводами общей теории, рассмотренной в предыдущем параграфе.

Далее, энергия ионизации примеси уменьшается в ε

раз по срав-

Кению с энергией ионизации атома водорода. Для германия ε =16,

119

для кремния е =12, поэтому энергия ионизации примеси в них

в 256 и 144 раза соответственно меньше энергии ионизации атома

водорода и составляет в электронвольтах порядка 0,05 и 0,1 от

у//////////////////л

,/ Зона

проводимости >

/Ζ//////////////////

0,2

0,3

0Л

0,5

0Л

0,3

0,2

0,1

- о

Li0,033 As*0,0k9 SЪ*0,039

- Μη 0,53

. ζη

0,55 Fe 0,55?

Au 0,5Ь~\

Gu 0fi9

"в'gov

~°>

057

Zn0,31

In"0,16

Ga70,065

0,35

трнтнпя .тип

/////

/Валентная зона

V//////Z//////////

-.о

0,1

0,2

0,3

0,2

J- 0

δ)

Li ^f

0,0093]

Те 0,10

Sh*'0,0096 Se^gfy

ν/////////////////////,

χ/

3θΗα проВодимости'

V///////}///////////

1**0,0120

As0,0127

Те ?

+ +

Se?g

2 Fe

0,27?

Au0,04

AgO,09

CvT0,26

Au 0,20

Mn 0,37

0,30

Ni 0,30

A§0,29

F e0,J5?

Си 0,33

Cd*%№

MiTO,16 -In

0,0112

Ca"0,0108

A\fX0102\. 2n a

— у^/улу;

CoTO, 25 -

0,22

Au 0,16

Ag'0,13

Cu~0,0k Au%05

Рис. 29. Схема уровней энергии примеси в кремнии (а) и гер-

мании (б)

m*/m. Поскольку m*/m несколько меньше единицы, можем сказать,

что энергия ионизации примеси в германии составляет величину

менее 0,05 эВ, в кремнии

—

менее 0,10 эВ. На рис. 29 показаны

уровни основных состояний различных примесей в кремнии {а) й

германии (б). Различие в энергиях ионизации примеси можно каче-

120