Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

ственно учесть, если вместо энергии ионизации атома водорода

в (21.10) подставить энергию ионизации свободного атома, вводимого

в качестве примеси. Примесь, которая поставляет свободный'элек-

трон, называется донорной. Таким образом можем сказать, что

донорный уровень возникает под дном зоны энергии.

Таблица 3

Диэлектрическая проницаемость

* Вещество

• I

Вещество |

• 1

Вещество ^

Алмаз .'

Кварц .

Сера

Кремний ...

Германий

5,7

4,3

3,7

11.7

15.8

ZnS

CdTe

InSb

InP

7,9

11,0

15,9

10,8

InAs \

GaP 1

GaAs

; GaSb

11,7

Ι 10,1

\ 12,5

1 12,5

Рассмотрим энергию ионизации доноров в соединениях A

111

Их диэлектрическая проницаемость имеет величину того же порядка,

что и диэлектрическая проницаемость германия и кремния (табл. 3),

поэтому , казалось бы, энергия ионизации примеси должна быть для

них того же порядка. Однако опыт показывает, что в ряде случаев

она значительно меньше. Причину этого легко понять, если учесть,

что для германия и кремния отношение m*/m близко к единице,

в то время как в соединениях A

111

m*/m (табл. 7), как пра-

вило, много меньше единицы, благодаря чему Ε

может составлять

сотые и даже тысячные доли электронвольта. В табл. 4 приведены

Ε ι примеси в соединениях A

111

и указаны радиусы первой

боровской орбиты а

в ангстремах. Малый энергетический зазор

между зоной и донорным уровнем является характерной особен-

ностью некоторых соединений A

111

. В обычных условиях этот

зазор в них экспериментально- не обнаруживается. Так, например,

измерения на InSb при Τ = 2° К и концентрации электронов

η = 10

см

-3

не обнаружили энергетического зазора между зоной

примеси и зоной энергии.

Таблица 4

«Средняя» энергия ионизации Ej примеси и радиус первой боровской орбиты α

в соединениях A

lll

Вещество

Акцепторы

Доноры

Ε γ, эВ

1, эВ I

cty A

InSb

InAs

InP

GaSb

GaAs

0,03

0,05

0,03

0,05

0,0007

0,002

0,008

0,003

0,008

640

310

150

До сих пор говорилось о донорной примеси, отдающей избыточ-

ный электрон. Рассмотрим акцепторную примесь, например, атомы

индия в германии. Нейтральный атом индия образует три из четы-

рех парноэлектронные связи. Четвертая связь оказывается незавер-

шенной. Перевод одного электрона от основного вещества завер-

шает свободную связь и превращает атом индия в отрицательно

заряженный ион индия.

Незавершенная связь между атомами основного вещества может

перемещаться по кристаллу без подведения энергии извне. В то

же время уход электрона от иона индия означает превращение

его в нейтральный атом индия. Что представляет собой введение

атома примеси с точки зрения нарушения периодичности поля

решетки? Рассмотрим это на линейной модели. На рис. 22 дана

потенциальная кривая цепочки атомов основного вещества. Пред-

положим, что мы удалили один атом. Потенциальная яма, сущест-

вовавшая на месте атома, должна исчезнуть. Но это равносильно

наложению положительного возмущения на периодическое поле

решетки, создаваемое удалением атома. Отсюда становится ясно, что

вакантный узел должен нести себя как положительное локальное

возмущение достаточно большой величины и распространенное

на область, занимаемую несколькими соседними атомами, поро-

ждающее локальное состояние у потолка зоны. Другими словами,

вакантные узлы должны быть поставщиками дырок. Однако вер-

немс я к примесному атому индия. Замещение вакансии нейтраль-

ным атомом индия изменит слабо меняющееся поле вакансии только

внутри самого атома индия, а вне атома поле решетки останется

искаженным, характер искажения соответствует положительному

возмущению. Расстояние между потолком зоны и локальным уров-

нем, которое можно интерпретировать как энергию образования из

нейтрального атома отрицательного иона, можно записать в виде

где т*

—

эффективная масса электрона у потолка зоны, взятая по

модулю. В табл. 4 приведены энергии ионизации акцепторной примеси.

Моделирование возмущений, создаваемых примесными атомами

водородоподобной модели, не достаточно, оно дает лишь порядок

энергии ионизации примеси, приводящих к появлению дискретных

уровней.

Из приведенного рассмотрения очевидно, что точечные дефекты

и дислокации могут быть поставщиками носителей заряда, чаще

всего дырок.

Однако помимо «мелких» уровней, определяемых соотношением

(21.10) или (21.11), в полупроводнике имеются локальные уровни,

лежащие на значительно больших расстояниях от зон энергии. Эти

.«глубокие» уровни энергии не могут быть объяснены -водородопо-

добной моделью. Чтобы объяснить существование глубоких уровней

энергии, нужно считать, что электроны в таких атомах примеси

(21.11)

122

слабо взаимодействуют с атомами основного вещества, орбита элек-

трона атома примеси имеет малый радиус. Чтобы описать такое

состояние электрона, выберем для V (г) экранирующий потенциал

типа

yip-ar

= (21.12)

На малых расстояниях потенциал Λοςτπ^τ больших значений,

но уже на расстояниях порядка (2—3) а

-1

возмущение обращается

в нуль. Чем больше α, тем уже потенциальная яма, моделирующая

примесь. Как известно из квантовой механики, чем уже потенци-

альная яма, тем больше расстояние между уровнями энергии и тем

глубже лежат уровни энергии электрона в такой потенциальной яме.

Оценим поведение уровня энергии электрона для возмущения (21.12).

Для этого оценим среднюю энергию возму-

щения:

Г'тг/

ч С А4пе~

аг

, . 4 π Л

(21.13)

Если за радиус потенциальной ямы принять

величину с/а

где с

—

величина порядка 2—3, то

= 4яс

/(3а

), (21.14)

и для среднего возмущения W

получим

(21.15)

~П=1

ΔΕη

= -*4a.

Рис. 30. Водородопо-

добная система уров-

ней энергии примеси

в запрещенной зоне

Таким образом, с ростом а диаметр потенциальной ямы умень-

шается, а величина среднего возмущения и смещение локального уровня

энергии увеличиваются. Кстати заметим, что для кулоновского по-

тенциала а = 0.

Глубокие уровни играют важную роль в протекании неравно-

весных процессов. -

Вернемся теперь к выражению (21.8), которое перепишем с уче-

том (21.10) в виде

= (п= 1, 2, 3, ...)

(21116)

(энергия отсчитывается от экстремума соответствующей зоны). Это

означает, что введение атома примеси приводит к возникновению

в запрещенной зоне целой серии водородоподобных уровней энергии,

которые сходятся к соответствующей зоне энергии, как это указано

На

рис. 30 для донорной примеси. Совокупность уровней энергии

появляется в оптических свойствах полупроводников (примесное

поглощение света).

123

Резюме § 21

1. Примесь, вносящая отрицательное возмущение в поле решетки,

приводит к появлению дискретного уровня энергии под дном зоны]

Она является поставщиком электронов и называется донорной. При-

месь, вносящая положительное возмущение, приводит к появлению

дискретного уровня над потолком зоны; она является поставщиком

дырок и называется акцептором. Схема уровней примеси указана

на рис. 31.

Дно зоны

• » · · _JL '

• /

Ч. '

? + +

Потолок

зоны

α) δ).

Рис. 31. Схема уровней донорной (а) и

акцепторной (б) примесей

2. Мелкие уровни энергии примеси качественно хорошо описы-

ваются водородоподобной моделью. Энергия ионизации примеси в этом

случае обратно пропорциональна ε

и пропорциональна т*. Глубо-

кие уровни можно описать с помощью экранирующего потенциала.

3. С ростом концентрации примеси дискретный уровень вслед-

ствие обменного взаимодействия расщепляется в примесную зону.

Энергия ионизации примеси уменьшается (рис. 32).

§ 22. ПОВЕРХНОСТНЫЕ СОСТОЯНИЯ

Реальные кристаллы имеют одно неизбежное нарушение перио-

дичности решетки, связанное с конечными размерами тел и нали-

чием границ. До сих пор мы исключали наличие границ условием

периодического продолжения кристалла. Рассмотрим теперь, к каким

изменениям спектра энергии приводит существование границ на

одномерной модели потенциального поля. Поместим начало отсчета

координаты на левой границе одномерного полубесконечного кри-

сталла. В первой области (*<0) U(x) =

во второй области

(*>0) U(x + a) = U(x).

Уравнение Шредингера для 1-й и 2-й областей имеет вид:

- Ш + W =

Ψι Μ <

Ья

класть). (22.1)

- £ + и (Χ) ψ

w = {χ) (2-я область). (22.2)

0,0ί5

0,010-

чГ

0,005 -

10'* 10* ю

см

Рис. 32. Зависимость энергии иони-

зации примеси мышьяка от концентра-

ции примеси в некотором интервале

температур

124

Каково состояние электрона при Ε < i/

? Запишем решение

уравнения Шредингера для 1-й области:

ψ! (χ) = Ае»* + Ве-»*; κ = (22.3)

При — со второй член неограниченно возрастает, поэтому

необходимо положить 5 = 0. Влияние границы на движение элек-

трона при больших положительных значениях χ будет мало, поэтому

решение (22.2) должно иметь вид функции Блоха:

(*) = е±'**ф

±я

(дг). (22.4)

Волновой вектор, входящий в функцию Блоха для неограничен-

ного кристалла

—

вещественный, в противном случае функция Блоха

будет неограниченной на бесконечности. Но поскольку значения

х<0 в данном случае не реализуются, условие вещественности

к может быть нарушено. Более того, при вещественном к не могут

быть выполнены условия непрерывности волновой функции и ее

первой-производной в точке х = 0. Поэтому допустим, что комплекс-

ность волнового вектора обеспечивает необходимое требование,

предъявляемое к волновой функции ψ

(*). В таком случае положим

κ = κ

ίκ

(22.5)

и запишем общее решение для второй области:

<ψ

(χ)

= Сё

ι*

(х)

+ De-'

<*ι

+ * φ_

(х). (22.6)

Необходимо выбрать D = 0, иначе 'ψ

->· со при х-*оо. Для на-

хождения Л и С запишем условие непрерывности ψ и г|/:

(0) = ^=ψ

(0)=ΟφΗΟ)„ (22.7)

φ; (0) = кА = φ; (0) = С

[1кщ

(о) +

Ф*

(0)].' (22.8)

Разделив (22.8) на (22.7), исключим неизвестные коэффициенты

А и С, в результате чего получим

κφ

(0) = ^φ

(0) + φί(0), (22.9)

или

κ = Ικ+^ =

ίκ

+ [In

ф/с

(0)]'. (22.10)

/В общем случае функция φ

(*) является функцией комплексной,

поэтому и логарифм ее тоже является комплексной величиной, в то

время как κ является величиной вещественной. Выделим вещест-

венную и мнимую части производной логарифма

[In

ψ/с

(0)]' = λ -j-

/μ

(22.11)

и подставим в (22.10)

κ =

ίκ

+ λ + ί'μ = ικχ

—

+ λ + ίμ, (22.12)

κ = λ

— /с

;

Κι = — μ. (22.13)

125

Запишем выражение для энергии:

/дЛ

Г/ г/ (*2-λ)2

(/С)

С/о

2ЙГ

2m ·

(22 Л

При к

энергия Е(к) = Е(к

) имеет определенную зонную

структуру. Выражение для энергии ограничивает возможные значе-

ния κ условием κ = λ, где λ = Re [1η φ* (0)]', поскольку Ф/сМ^

является некоторой функцией от к. Если к

ф0, то при фиксиро-

ванном λ энергия оказывается квадратичной функцией /с

, причем

это справедливо при любом значении λ. Но это означает, что при

φ 0 появляются такие значения энергии, которые не содержались

в спектре энергии электрона для неограниченного кристалла, поскольку

значения энергии в неограниченном кристалле описываются условием:

= 0. Возникающие в результате ограничения кристалла уровни

должны находиться в запрещенной зоне.

Рассмотрим состояния, соответствующие этим уровням:

(х) = Сё

(х) е-*** (*> 0); (22.15)

(χ) = Ае™ (х<0).

(22.16)

Мы видим, что волновые функции состояний, обусловленных гра-

ницей, экспоненциально спадают. в обе стороны от границы, т. е.

эти состояния локализованы в пограничном слое толщиной, порядка

κς

, в связи с чем их называют поверхностными состояниями, а до-

полнительные уровни

—

поверхностными уровнями

или уровнями

Тамма, который впервые (1932 г.) предсказал' их существование.

Конкретное выражение для положения уровней Тамма зависит от вида

потенциала U (х) и от положения границы по отношению к полю

(к месту сечения) посредством [1пср,с(0)]'.

Для трехмерного кристалла чисЛо поверхностных состояний до-

стигает величины ^ ΙΟ

—

см

-2

Помимо уровней Тамма, в поверхностном слое имеется большое

число локализованных состояний, связанных с многочисленными

нарушениями поля решетки (дефектами и адсорбированными ато-

мами).

Если число состояний, связанных с уровнями Тамма для дан-

ного кристалла, постоянно, то число состояний, вызываемых дефеК'

тами решетки и адсорбированными атомами, может меняться в за-

висимости от обработки поверхности. Между состояниями электрона

на поверхности кристалла и в объеме возможен целый ряд различны*

взаимодействий, которые ггриводят к тому, что состояния на поверх

ности оказывают сильное влияние на протекание физических явлении

в объеме полупроводника. Особенно сильно поверхностные состояния

проявляются при работе полупроводниковых приборов. Некоторые

явления, связанные с поверхностными состояниями, рассмотри*

в § 67.

126

Резюме § 22

1. Ограниченность реального кристалла нарушает условие перио-

дичности. Это приводит к тому, что в запрещенной зоне появляются

разрешенные уровни энергии, которые называются поверхностными

уровнями, или уровнями Тамма.

2. Волновые функции уровней Тамма затухают экспоненциально

в обе стороны от границы, другими словами, граница приводит

к возникновению локализованных состояний. Размеры области лока-

лизации электрона вне кристалла характеризуются величиной κ

-1

и внутри кристалла

—

величиной κ и /с

связаны с энергией Е.

3. В приповерхностном слое кристалла имеется большое число

локальных возмущений поля решетки, создаваемых дефектами и адсор-

бированными атомами, которые приводят согласно общей теории

к возникновению локализованных состояний. Их также называют

поверхностными состояниями.

4. Поверхностные состояния. играют важную роль в работе полу-

проводниковых приборов. Число

и вид поверхностных состояний

зависят от обработки поверхности (шлифовка, полировка, травление,

лакировка и т. д.) и окружающих условий (температура, влажность,

газовая атмосфера и т. д.).

§ 23. КВАНТОВАНИЕ ЭНЕРГИИ ЭЛЕКТРОНА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ.

УРОВНИ ЛАНДАУ

Из предыдущего рассмотрения выпадает основа целого класса

явлений, которые наблюдаются в сильном магнитном поле. Для их

описания необходимо рассмотреть функцию Гамильтона частицы

в магнитном поле, которое определяется векторным потенциалом

А (г). Индукция магнитного поля В связана с А (г) соотношением

—

rot А. (23.1)

Если

р = тг (23.2)

есть импульс частицы, то величина

р = р + еА (23.3)

носит название обобщенного импульса для частищл с зарядом е.

Функцию Гамильтона Η можно выразить через' обобщенный им-

пульс, для этого необходимо учесть, что кинетическая энергия

Р2

_ А),

2т 2т

H = T + U =

{

-£^l + U( г). (23.5)

127

Чтобы получить оператор Гамильтона, необходимо вместо обоб-

щенного импульса Ρ подставить оператор

—

ihV

p = — ifiV. (23.6)

Это связано с тем, что при движении частицы в магнитном

(электромагнитном) поле канонически сопряженными величинами

являются координата (обобщенная в общем случае) и обобщенный

импульс. Соотношение (23.6) позволяет записать оператор Гамиль-

тона в следующем виде:

ii=

(

eA)2

+ U<r). (23.7)

Найдем оператор (/V-J-A)

;

(tV + А)

(/V

+ A) (tV + А) = - Δ +

A +

(АV) + А

. (23.8)

Но

VA =

.(VA)

+ (AV) = div А + (AV), (23.9)

поэтому „ , .

(ίΔ + А)

= — Δ + А

+ 2i (А V) +1 diν А (23.10)

• J

Рассмотрим свободный электрон U (г) = 0 в однородном магнит-

ном поле В = (0, 0, В). Найдем вид вектора-потенциала А:

(23.12)

Уравнения (23.12) удовлетворяются, если положить, например,

—

= 0; А

= -уВ

= -уВ. (23.13)

В этом случае

а уравнение Шредингера будет иметь вид

' (23.15,

В уравнении (23.15) переменные разделяются. Действительно»

при 5 = 0 (23.15) представляет собой уравнение для волн де-БройлЯ

(23.16)

128

дА

~~ ду

дА

~ дг

' дх

д_Ау

дх

дА

решение которого имеет вид

Поскольку в (23.15) зависимость от χ и ζ подобна зависимости

в (23.16), можем предположить, что

у, ζ)=^ + ^)

φ(ί/)

. (23.18)

Подставим (23.18) в (%3.15), сокращая на экспоненту, получим

(23.19)

Положим

У = У'+Уо, ' ν (23.20)

тогда

и два члена левой части (23.19) дадут

• Пек

В , ,

Пек*В_

', , ЛВ« . _

ffi·

.. , ffl· . ,

2т У 2т

о- 2т

+2т

Уй +

±ф

Кх +

еВу

)у' + ^у

. (23.21)

/z/C

Если выбрать

Уо

= — -^г, то член с у' обращается в нуль, и урав-

нение Шредингера будет иметь вид

- s - "i ^ "S+»»•)+lsr Г.+ (^ - »(W - Й» to').

(23.22)

или

Полагая

ο = ~·> запишем

+ (23.24,

Уравнение (23.24) представляет собой уравнение гармонического

осциллятора с массой т и частотой ω

. Энергия осциллятора

Е' = = + -л«0, 1, 2, ... (23.25)

и, следовательно,

б Киреев 129

Выражение (23.26) показывает, что на движение вдоль поля (по

оси ζ) магнитное поле не оказывает никакого воздействия, энергия,

связанная с этим движением, не квантована. Движение в плоско-

сти хОу, перпендикулярной полю

носит совершенно другой харак-

тер

—

частица совершает круговое движение с частотой ω

—

так

называемой циклотронной частотой; энергия, связанная с этим дви-

жением, квантована, дискретна, расстояния между возможными

значениями энергии равны /ζω

. Дискретность энергии вращатель-

ного движения отличает квантовую частицу от классической, для

которой энергия вращательного движения непрерывна. На языке на-

глядных представлений можно сказать, что для классической

частицы возможны любые радиусы окружности, в m время как для

квантовой частицы радиусы орбит

квантованы и равны

(π,)

п-у /[

п-гу/

П.*)у

Л=0

E-Bi

-п*3

-n=Z

-п=1

-/7=1/

-Υ.

2Н

еВ

п +

(23.27)

а)

Κζ'Ο

Рис. 33. Спектр энергии электрона

в магнитном поле

Для перехода частицы с одной

орбиты на другую необходимо за-

тратить энергию /гсо

-бя, где δη —

целое число. Таким образом, про-

цессы поглощения энергии, связан-

ные с изменением вращательного

движения, должны характеризоваться

спектром (это явление носит название

дискретным линеичатым

циклотронного резонанса).

Спектр энергии Е

(к

) частицы может быть изображен совокуп-

ностью квадратичных парабол, сдвинутых по оси энергии друг отно-

сительно друга на величину Й(о

(рис. 33, а). Спектр энергии

Еп(к* = 0) изображается совокупностью дискретных уровней

(рис. 33, б). Уровни энергии электрона в магнитном поле носят на-

звание уровней Ландау. ^Квантование энергии свободных электронов

является физической основой диамагнетизма свободного электрон-

ного газа.

Рассмотрим теперь движение частицы в кристалле, на который

наложено магнитное поле В. Гамильтониан кристалла в магнитном

поле

2т

и (Г)

(23.28)

в приближении эффективной массы можно записать в виде

-Μ)*

" 2т*

(23.29)

130