Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Если обозначить

- £rlp =

μοΒ«3

(μοΒ«3

0!),

(25.14)

то

Jcbh3= -<гЛГ

Квяз

Е. (25.15)

Введем теперь понятие дырок на основе следующего условия:

дырки— это квазичастицы, динамические свойства которых тожде-

ственны динамическим свойствам совокупности электроновили

Psp =

Ps,

(25.16)

где Ρς есть суммарный квазиимпульс Ν' занятых состояний, а Рз

—

суммарный квазиимпульс совокупности дырок. Число дырок естест-

венно определить как число свободных состояний. Тогда легко видеть,

что квазиимпульс дырки определяется как

=-Ро, (25.17)

где

— квазиимпульс свободного состояния. Действительно, если

в зоне имеется одно свободное состояние, то

Ρς=Σ

ΡΙ

= Σ

+ Ρο-Ρο = Σ Р*-Р

=-Р

. (25.18)

1 i

i = ι

Благодаря этому определению квазиимпульса дырки передача

квазиимпульса дыркой решетке означает передачу решетке квазиим-

пульса совокупности электронов. Теперь легко найти закон измене-

ния квазиимпульса дырки: так как

= , (25.19)

то

)

т. е. приращение квазиимпульса дырки происходит таким образом,

как если бы заряд дырки был положительным. Итак, дырка есть

квазичастица с е

>0.

Выражение (25.13) для тока можно переписать в виде

= = = "(26.21)

где

= -m*=--ig. (25.22)

Другими словами, если определить массу дырки как массу элек-

трона со знаком (—), то дырка имеет положительную массу, когда

°на находится у потолка валентной зоны, и отрицательную массу,

когда она находится у дна зоны. Из (25.22) следует, что для дырок

(к) = — £(к), m. е. зависимость энергии от квазиимпульса имеет

141

тот же закон, что и для электронов, только направление отсчета

энергии дырок противоположно направлению отсчета энергии для элек-

трона. Именно в связи с этим изменился знак второй производной

энергии по квазиимпульсу

—

там, где для электрона имеется макси-

мум (т* <0), для дырки —минимум энергии (т*>0). Скорость

дырки можно определить двояким способом: с одной стороны,

dE η

—

dE jrs-

_ _

)

с другой стороны,

= ^ = ΞiS- = v, (25.24)

т. е. скорость дырки есть скорость свободного состояния.

Таким образом, мы определили дырку как квазичастицу, характе-

ризующуюся следующими величинами:

заряд дырки . -

= е

== — е~>0\

эффективная масса дырки

т*~

квазиимпульс дырки

скорость дырки

ι = _ щ*-1 = _ ± - ± *ёр. (25 25)

ρ N'

Рр

= — Ро; Ρς

= 2 Ρίρ

—

Р^

ΡΣ>'

Ρ ρ dE

= =

d? ^

волновой вектор дырки

энергия дырки

подвижность дырки

кρ —

к;

= — Б (— к);

__ е

— β

—

— —

Таким образом, все характеристики дырок определяются через

характеристики электрона в валентной зоне.

Дрейфовая скорость дырок направлена по полю:

Λρ

= μ

Ε, (25.26)

в то время как дрейфовая скорость совокупности связанных элек-

тронов направлена против поля:

•ι

—

— tl JL

—

_ £. _ _ „ JL № 27)

Рсвяз—

* щ — m* N' rp^f

142

Определим функцию распределения дырки f

/Р

==1

-/=

—T^F—= F-В > (

)

+\ e

которую можно записать подобно функции распределения электро-

нов, если определить уровень Ферми для дырок условием

= — F. (25.29)

Тогда

= B

-F

· . (25.30)\

. +

В этом случае движение совокупности связанных электронов в элек-

трическом поле полностью описывается движением совокупности дырок.

Аналогично можно показать, что движение совокупности электронов

валентной зоны в магнитном поле полностью описывается движением

совокупности дырок.

Резюме§25

1. Дырочная проводимость есть проводимость электронов валент-

ной зоны или любой другой зоны, занятой более чем наполовину.

2. Дырка —это квазичастица, свойства которой определяются

через свойства электрона в валентной зоне соотношениями (25.25—30).

Концентрация дырок есть концентрация свободных состояний в ва-

лентной зоне.

§ 26. ЗОННАЯ СТРУКТУРА НЕКОТОРЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Методы расчета

Д9 сих пор мы рассматривали самые общие методы расчета энер-

гетической структуры и в общем виде показали наличие зон энергии

и их некоторые характеристики. Расчет зонной структуры конкрет-

ных полупроводниковых веществ крайне затруднен в силу целого.

Ряда причин, и прежде всего потому, что отсутствует аналитическое

выражение для U (г). Поэтому при любых расчетах в формулах

содержатся некоторые параметры, значение которых определяется

на основе сравнения расчетов с экспериментальными данными. Напри-

мер, ширина запрещенной зоны определяется только эксперимен-

тально.

В настоящее время существует много методов расчета энергети-

ческой структуры. Рассмотрим кратко некоторые из них.

143

а) Метод плоских волн (метод ПВ).

Представив периодическое поле решетки в виде комбинации

фурье-компонентов, имеем разложение вида (17.10):

tf (г) = 2>ье<

2л

Ьг

\ (26.1)

где Съ определяется соотношениями (17.12) и (17.9). Поскольку

фк (г)— функция периодическая, ее можно разложить в ряд Фурье:

φ(Γ) = Σ%

θί2π(δ

Γ)

· (26.2)

В таком случае волну Блоха можно представить в виде

Ыг) = Σ

е'

2л

(26.3)

Подставив выражения для U и ψ

в уравнение Шредингера, по-

лучим

2(К

2Я8)2

= Ea

. (26.4)

Система уравнений (26.4) относительно a

позволяет найти Ε (к)

из секулярного уравнения в предположении, что сь известны, т. е.

известно выражение для поля решетки. При вычислении Ε (к) необ-

ходимо брать большое число плоских волн, что существенно затруд-

няет практическое применение этого метода.

б) Метод ортогонализованных плоских волн (ОПВ),

или метод Херринга.

Плохая. сходимость рядов при вычислении Ε (к) в методе ПВ свя-

зан а с тем, что вблизи ядра волновая функция существенно отли-

чается от плоской волны, поэтому для ее разложения требуется

использование большого числа плоских волн с малыми длинами

волн, или большими к. Вблизи ядер состояние лучше описывается

атомной волновой функцией

—

η), поэтому можно составить из

них сумму вида

Фк/ (г) = ^

е*

(

кп

Щ (г

—

η), (26.5)

где

/ —

некоторое атомное состояние (s, ρ, d и т. п.);

Л^

—число

атомов в кристалле, положение которых в решетке определяется

вектором п. Рассмотрим,выражение вида:

Хк (Г) —JJ/2

(кг

- 2

μκ/ψ"/

(

). (26.6)

Вблизи некоторого ядра χ

(г) ведет себя в основном как соот-

ветствующая атомная волновая функция, вдали от ядер она подобна

144

плоской волне. Для упрощения вычислений можно потребовать,

чтобы функции χ

(г) были ортогональны всем «основным» состоя-

ниям

(г):

Фк/

(г) χ

(г) dx = 0. (26.7)

Это позволяет однозначно выбирать коэффициенты μ

/. Метод

ОПВ существенно упрощает вычисления, улучшая сходимость рядов

при вычислении Ε (к).

в) Метод присоединенных плоских воли (ППВ), или

метод Слэтера.

В методе ППВ волновая функция для кристалла строится в виде

комбинации плоских волн вне атома и атомных волновых функ-

ций ψ^

(г)

внутри атома•

Фк (г) =

(г

—

п) а

кг

+ 2 "infi (гι - г) Щ

(г). (26.8)

1т

Ато м "при этом моделируется в виде шара радиуса r

θ (ξ) — единич-

ная ступенчатая функция, включающая в действие либо плоскую

волну при r>r

либо атомную функцию при

ί 1 при ξ>0

\ 0 при КО.

г) Метод псевдопотенциала.

На основе метода ОПВ был развит метод, получивший в даль-

нейшем название метода псевдопотенциала (Филлипс и Клейнман),

широко используемый в настоящее время для расчета зонной

структуры.

Пусть ipw (г)

—

искомая волновая функция, являющаяся реше-

нием уравнения Шредингера для кристалла, а

κ/

· (г) — сумма

Блоха,

составленная из атомных волновых функций таким образом, чтобы

она была ортогональна функции ψ(

> (г):

$ ψκ

α)

(г) фк/

(г) dx = 0. (26.10)

Построим функцию Φ (г) следующим образом:

Φ (

) = Ψκ

α)

(

) Σ

κ/Φκ/

(

)· (26.11)

Поскольку вблизи ядер (г) ведет себя как одна из атомных

Функций, входящих в сумму Блоха, Φ (г) будет плавной функцией

Вс

*оду, в том числе и вблизи ядер. Коэффициенты a

находятся из

Условия ортогональности Ψ£*>(γ) и ф

к/

(г):

Ощ,

- - 5 φί/ (г) Φ (г) dx - - (Фк/Ф). (26.12)

145

Найдем уравнение для Φ (г). Исходя из условий

#ψ<

α)

(г) = Ε (к) ψ<

α)

(г); #ср

к/

= Ε

ίΨφ

(26.13)

получим

{~Sr

A+u

w+Σ

ακΐΕ]

ψκί

(26

)

/ /

Перепишем (26.14) следующим образом:

{(-£ А+ α и) + Г"

- т (г). ,26.,5)

"Член ^

φ (г)

Ψκ/

~ ^ (

) называется потенциалом отталкива-

ния, a = называется псевдопотенциалом.

Теперь можно записать

{-^Δ+ν

}φ(Γ) = £(κ).Φ(Γ). ' (26.16)

Поскольку Φ (г) достаточно гладкая функция, ее можно образо-

ват ь из небольшого числа плоских волн, которые обеспечивают

быструю сходимость ряда для получения дисперсионной зависимо-

сти Ε (к). Более того, псевдопотенциал можно рассматривать в каче-

стве возмущения.

В разновидности метода, получившего название эмпирического

метода псевдопотенциала, для нахождения V

используются резуль-

таты экспериментальных исследований, прежде всего спектра отра-

жения или вычисляемого из него спектра мнимой части диэлектри-

ческой проницаемости. Используя данные по положению пиков

отражения, удается вычислять значение £ (к) в произвольных точках

зоны Бриллюэна, что является существенным достоинством метода

по сравнению с другими. Его слабой стороной является необходи-

мость подгонки параметров форм-фактора для получения численных

значений межзонных расстояний.

д) В ариационный принцип, или метод ККР (метод

Кона

—

Кориннга

—

Ростокера). \

Величина I, определяемая соотношением

; Ι = $ψ* (Η-£)ψίίτ, (26.17)

может вычисляться с произвольной функцией ψ (г), поэтому I является

функционалом, зависящим от вида ψ (г): I = I {ψ (г)}. Если подставить

под интеграл собственную функцию гамильтониана, то получим

= 0.

Незначительное отклонение ψ (г) от собственной должно мало ска-

заться на значении I. Другими словами, вариация собственной фун^'

ции гамильтониана должна обеспечивать нулевое изменение фу

нК-

ционала, т. е. 61 = 0, при δψ Φ 0.

146

Выбор пробных функций и модели потенциала позволяет полу-

чать расчет зонной структуры без дополнительной «подгонки» пара-

метров.

Минимальную неопределенность в расчет вносит метод, основан-

ный на релятивистском гамильтониане, однако результаты, получа-

емые на его основе, достаточно далеки от результатов, получаемых

другими методами. Как видим, практически используемые' методы

расчета по существу представляют некоторую комбинацию методов

квазисвободного и квазисвязанного электрона.

е) к-р-метод. Для описания многих явлений широко исполь-

зуется дисперсионное соотношение, полученное Кейном на основе

модифицированного метода^ теории возмущения, суть которого можно

понять, используя соотношение (11.19), записанное в виде:

{-£Δ + ί/(

) + Α (кр)} φ

„ (г) = [Е

(К) - Щ

Фкя

(г). (26.18)

уравнении (26.18) у волновой функции и энергии добавлен

второй индекс η, показывающий принадлежность состояний энерге-

тической зоне η. Если считать, что для некоторого состояния к

решение уравнения Шредингера известно, то можно искать решение

в окрестности этого состояния:

флк (г) = 2

п'п (к - к

) фл'к

(Г), (26.19)

п'

Ηκοφ/ΖΚο — En- (

о)

φ/ΙΚ

· (26.21)

Используя (26.20—21),.можно записать (26.18) в виде

[Й

К0

+ \ (к - к

р)

+ £ (к· -

)]

фяж

= Е

(к) ф

Лк

. (26.22)

Подставим (26.19) в (26.22) и, умножив слева на (p

rtKo

и проин-

тегрировав по объему кристалла, получим уравнение (26.22) в мат-

ричной форме:

2 [{

(Ко)

+ £ (к

- *о)}

6/1*'

+4 (К-

Ко, Рпп)]сп>п

= Е

(к)с

>п, (26.23)

где

рп'п

<Р*'ко (г)

рфмко

(г) άτ. (26.24)

Член, содержащий матричный элемент импульса ρ

, можно при-

нять в качестве возмущения, считая, что к находится в окрестно-

147

сти к„. В этом случае во втором порядке обычной теории возмущу

ния можно записать

(к) = Е

(к

) + ± (к

•-

, р

яя

) + £ (к· -

к?)

ι V l(

°' Ml

/об ок\

+ Ш ΔЕ

(к„)-£„,

(к

) ·

п'

Если состояние к

соответствует экстремуму и при этом р

пп

-f

+ йк

= 0, то выражение (26.25) описывает сфероидальные поверх-

ности энергии, для которых компоненты эффективной массы по глав-

ным осям i имеют вид

1 1 • 2 γ ('Ρnn'Y (ЪЬШ

Щ m ' m

Zj^iKoJ-^iKi)

(к) = Е

( <

Таким образом, к. р-метод в этом случае приводит к известным

резулы^ам. Новые результаты получаются при учете спин-орби-

тального взаимодействия, физическая природа которого рассматри-

вается в § 84, стр. 568. Оператор Гамильтона для спинорбиталь-

ного' взаимодействия в общем случае имеет вид

= w([VU, ρ]σ), (26.28)

где σ —оператор спина (матрицы Паули). В к

р-представлении

(26.28) должен быть заменен двумя членами:

ο = Ηι + Η

, (26.29)

где Н

совпадает с общим выражением (26.28), а второй член

= ^([νυ, к]σ) (26.30)

соответствует линейному члену в (26.18) и отражает особенность

к-р-представления. Включение других членов, определяющих спин-

орбитальное взаимодействие, не приводит к существенным поправ-

кам. Дальнейший расчет проводится с учетом симметрии Н

и Η so

в предположении, что взаимодействие имеет место только межДУ

зоной проводимости и валентной зоной, волновые функции который

соответствуют s- и трем р-волновым атомным функциям.

Ограничимся приведением результатов расчета дисперсионных

соотношений. Для зоны проводимости можно получить

148

Для трех валентных зон получено:

й» к*

(

iEg + \)h{Eb

)\\/2

2>Eg-\-2H E

(26.32)

(К) :

гъ

{0)=0; (26.33)

Й2К2 _ Δί. W £

h(E

)\m

2т 2 \ 2т

2>E

-{-2k li ) >

Д0) =

—

Л. (26.34)

В выражениях (26.31—34) за начало отсчета энергии принята

максимальная энергия в валентной зоне, которую имеют две зоны—

зона тяжелых £ΐτ> и зона легких

—

L·^ дырок. Третья валент-

ная зона

—

опущена вниз на величину Л, представляющую

собой энергию спин-орбитального взаимодействия. Максимум энергии

валентной зоны и минимум энергии зоны проводимости находятся

в точке

= 0, в так называемой точке Г (гамма). Параметр Кеина

y определяющий положение дна зоны проводимости, представляет

собой запрещенную зону, при этом допускается и отрицательное

значение E

. Через f

, f

обозначены медленно меняющиеся функ-

ции параметров закона Кейна, принимающие значение, равное еди-

нице в точке Г. Параметр т

определяется соотношением

Р*

g + -3

(26.35)

где параметр

связан

матричным элементом импульса для взаи-

модействующих зон:

Ρ = — i - Ρ

Обычно параметр

измеряют

электронвольтах на сантиметр,

и для многих полупроводников можно считать

его

равным при-

мер н<э 6-10-

эВ-см.

Для «узкозонных» материалов

при и

выраже-

ния (26.31 — 34) приобретают вид:

ПЧ* (Е\ 2 ^ Д1/2

ЕЛк)

с· / \ №

Ем (к)

Ezv W ** - Δ

-S-Sf+W

·.

Р2

(26.37)

(26 Щ

(26.39)

Таким образом, соотношение Кейна указывает на заметную роль

линейного члена гамильтониана (26.18) для узкозонных материалов.

При Е

—

0 зона проводимости и зона легких дырок имеют линей-

ный дисперсионный закон, при этом в точке Г имеет место трех-

кратное вырождение по энергии. При Е

Ф 0 отклонение от квадра-

тичной зависимости, или, как говорят, от параболичности, будет

наблюдаться при достаточно больших к.

При использовании любого метода приходится встречаться с боль-

шими математическими трудностями. Так, например, при вычисле-

ниях методом ортогонализированных плоских волн для германия и

кремния уравнение для определения Ε (к) в произвольной точке к

является уравнением 146-й

степени. В этом случае необ-

ходимо использовать методы

теории групп, учитывающие

симметрию кристалла. Для

некоторых симметричных то-

чек уравнения существенно

упрощаются, но тем не менее

остаются уравнениями 16-й

степени.

Имеющиеся к настоящему

времени данные о зонной

структуре полупроводников

получены на основе как тео-

ретических расчетов, так и

экспериментальных работ.

Рассмотрим структуру зон

некоторых полупроводников.

Кремний. Прежде всего

напомним, что атом крем-

ния имеет 14 электронов, распределение их по состояниям таково:

(Is

) (2s

) (2ρ

) (3s

) 3p

i2, т. е. две оболочки заполнены, третья обо-

лочка не заполнена. Спины двух р-электронов параллельны, поэтому

основное состояние является триплетным. Если исходить из теории

квазисвязанного электрона, то для построения нулевого приближения

функции Блоха нужно использовать волновые функции р-состояний,

которые трижды вырождены (без учета спина). При учете взаимо-

действия частиц в кристалле вырождение снимается и образуются

три полосы зависимости Е(к), которые частично' перекрываются^

поэтому как валентная, так и зона проводимости представляют собой

наложение трех различных зон. На рис. 38 это изображено тремя

ветвями Ε (к). Одна из ветвей £ (к) зоны проводимости лежит зна-

чительно ниже других. Положение абсолютного минимума и опреде-

ляет дно зоны проводимости. Он лежит в направлении [100], поэтому

всего имеется 6 эквивалентных минимумов энергии. Минимум энер-

гии для электронов и дырок называют иногда долинами, поэтому

говорят, что зона проводимости кремния имеет шесть долин. Как

Рис. 38. Зонная структура германия и крем-

ния

150