Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

£j

—

энергия ионизации атома водорода, соответствующая энер-

гии основного состояния

(/г

= 1). При этом за нуль отсчета энергии

принимается энергия покоящегося электрона, удаленного на беско-

нечность. Если за начало отсчета принять другую величину, напри-

мер, считать за начало отсчета энергию нормального состояния,

т. е. = то

= = (27.6)

ri2

Энергия Е

свободной пары электрон—дырка может быть записана

в аналогичном (27.5) виде

т* е*

_ _ __L. F? _

пр

(ζ>77

Чтобы указать положение уровней экситона относительно начала

отсчета энергии для кристалла в целом, необходимо учесть, что при

= оо и ρ = оо Elo = E

-\-E

а не нулю, поэтому

= + (27.8)

Если отсчитывать энергию от потолка валентной зоны:

Е\

= 0; Е

= АЕ

, то Е

= АЕ—Основное состояние находится

в запрещенной зоне и имеет величину энергии

= AE

—

Е\, кото-

рую можно оценить следующим образом:

т„е* 13,5 / т*

ьэВ = = (27.9)

Если т* = т£ = т, то

т%

= , и видим, что уровни экситона

лежат близко к дну зоны проводимости. Радиус боровских орбит

Для экситона

а1

=-щ;

528

(27Л0)

Чем меньше эффективная масса носителей заряда и больше диэлек-

трическая проницаемость, тем больше радиус экситона и меньше

энергия ионизации, поэтому в веществах с большим ε и малыми т*,

Р наблюдать экситоны трудно. Экситоны большого радиуса назы-

вают экситонами Мотта.

Мы получили для связанной пары электрон

—

дырка систему диск-

Ратных водородоподобных уровней энергии. Однако не было учтено

6 Киреев 161

движение экситона в целом, т. е. движение его центра инерции

Это движение характеризуется кинетической энергией

(27.11)

которую необходимо прибавить к ΕТем самым каждый уровень

энергии Е

должен превращаться в достаточно широкую полосу ^

экситонную зону. Однако экспериментально наблюдаются сравни-

тельно узкие линии поглощения света, приписываемые экситонам.

Причина этого связана с правилами отбора для волнового вектора]

В заключение укажем на существование еще одного вида воз-

бужденного состояния, которое имеет место в веществах с большой

долей ионной связи

—

поляронов. Полярон можно представить сле-

дующим образом. Электрон проводимости своим полем поляризует

окружающее его. пространство. В результате появления индуциро-

ванного положительного заряда возникает взаимодействие электрона

с индуцированным зарядом, что приводит к возникновению допол-

нительной потенциальной энергии в виде потенциальной ямы, кото-

рая локализует электрон. При движении электрона область поляри-

зации перемещается вместе с ним. Система, состоящая из элект-

рона и поляризованной им области, носит название полярона.

Резюме § 26—27

1. Расчет зонной структуры конкретных полупроводников пред-

ставляет собой сложную задачу. Найти зависимость Ε (к) удается

только для некоторых областей зоны Бриллюэна. Имеются расчеты

для германия и кремния. На их основе ведется расчет зонной струк-

туры соединений Α

ΙΠ

и Α

νι

. Основные сведения о зонной

структуре получают из анализа экспериментальных данных.

2. Экстремумы энергии электронов и дырок для германия и

кремния находятся в различных точках зоны Бриллюэна. В соеди-

нениях Α

ΙΠ

они могут быть как в различных точках, так и

в одной и той же точке.

3. Валентная зона германия и кремния характеризуется тремя

ветвями Е(к), которым соответствуют три типа дырок. Поверхности

энергии имеют вид деформированных сфер (гофрированные поверх-

ности).

4. Зона проводимости германия имеет восемь эквивалентных

минимумов, лежащих на границе

зоны Бриллюэна вдоль направле-

ний типа [111]. Изоэнергетические поверхности являются эллипсои-

дами вращения, ось вращения совпадает с направлением типа [ПП·

На первую зону Бриллюэна приходится четыре полных эллипсоид

энергии.

Зона проводимости кремния имеет шесть эквивалентных мини-

мумов, лежащих в направлении типа [100] недалеко от границы

1 к

2 (т* + /и·)·

162

зоны Бриллюэна. Изоэнергетические поверхности— эллипсоиды вра-

щения,· оси вращения направлены вдоль оси [100].

5. Все выводы зонной теории, касающиеся зависимости ширины

запрещенной зоны . от состава вещества, связи эффективной массы

электрона с зоной и другие выводы, качественно находятся в хоро-

шем согласии с экспериментом.

6. Зонная структура спектра энергии вытекает как из дальнего,

ак и из ближнего порядка.

7. Все результаты зонной теории относятся по существу к ква-

зичастйцам, которые являются носителями определенных свойств,

отражающих свойства твердого тела.

Глава III

СТАТИСТИКА ЭЛЕКТРОНОВ И ДЫРОК

В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

§ 28. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ

Проводимость вещества определяется концентрацией и подвиж-

ностью носителей заряда, поэтому, чтобы понять влияние внешних

условий на проводимость, нужно выяснить зависимость концентра-

ции и подвижности от внешних условий, и в первую очередь от

температуры. Нас будут интересовать свободные носители заряда,

т. е. электроны в зоне проводимости и дырки в валентной зоне.

Чтобы подсчитать их число, необходимо знать число состояний и

вероятность нахождения носителей заряда в этих состояниях.

Пусть вероятность нахождения электронов в единичном объеме

фазового пространства, построенного вокруг точки этого простран-

ства с координатой г, к в момент времени равна / (г, к, t); гик

(или г и Р) рассматриваем в качестве канонически сопряженных

величин, удовлетворяющих обычным перестановочным соотношениям

Гейзенберга:

riP

-P

ri = ihd

; (/, т = х, у, ζ). (28.1)

В элементе объема dT фазового пространства имеется dT/h

фазовых ячеек, в которых содержится 2dT/h

состояний (множитель 2

означает, что в каждой ячейке может быть 2 электрона с противо-

положно направленными спинами). Число электронов dn, находящихся

в объеме dT, равно произведению числа состояний на вероятность

нахождения электронов в этих состояниях:

dn = dn(г, к, t)=f(r, к, t)2§. (28.2)

Если выразить dT через объем обычного пространства dx

и про-

странства квазиимпульсов dx

= ft

, то

dT = dx

dx ρ = dx dy dz άκ

. (28.3)

Интегрируя по объему кристалла V и первой зоны Бриллюэна

, получим полное число электронов N, находящихся в некоторой

энергетической зоне кристалла:

. Ц((/(г, к, 0dr. (28.4)

СМ

164

Средняя концентрация электронов

S S

/(г

ί)άΓ==

τΑν S [f(

> Orftrdt,. (28.5)

(V М (V Vk)

Число электронов dn

в элементе объема dr

равно

= η (г, t) dx

= ί!τ

~ С

(г, к, /) dx

. (28.6)

(Μ

Другими словами, концентрация электронов

5 t) dr

. (28.7)

(Μ

Через V

мы обозначили объем первой зоны Бриллюэна незави-

симо от того, в каком пространстве —к или Р —она построена.^

Если кристалл однороден, то вероятность f от координаты не зави-

сит, и интегрирование по άτ

дает объем кристалла, в результате

чего η (28.5) равно истинной концентрации η (28.7):

SS = i J /("> ОЛ^яй. (28.8)

(

K) . (M

Как было указано в первой главе, функция распределения есть

функция от энергии и температуры, для стационарных состояний

она не зависит и от времени. Так как энергия есть собственное

значение оператора Гамильтона квантовой системы, то она не зави-

сит от координаты, поэтому не будет зависеть от координаты и

функция распределения

/о

(£> Т), где /

(£, Т)

—

функция Ферми —

Дирака (или Максвелла —Больцмана).

В интервале энергии dE может быть различное число состояний

dS (без учета спина), отнесенное к единичному объему кристалла,

в зависимости от величины энергии. Пусть между dS и ^ сущест-

вует равенство

dS = dS(E) = N(E)dE. (28.9)

Ν (Ε) равно числу состояний в единичном интервале энергии для

единичного объема кристалла, Ν (Е) называют плотностью состояний:

Ν (Е) = dS/dE. (28.10)

Если вероятность заполнения состояний с энергией Ε равна

/о(£, 7

), то число электронов dn в этих состояниях равно

dn = dn (Εу Г) = 2/о(£, T)dS = 2f

(E, Τ) Ν (Ε) dE. (28.11)

Концентрация электронов будет определяться величиной

П==П

(Т) = 2 $/

(£, T)N(E)dE. (28.12)

(Ε)

165

Интегрирование необходимо провести от дна зоны проводимости

до ее потолка. Учитывая резкую зависимость f

(E> Τ) от энер.

гни, верхний предел можно положить равным бесконечности, так

что

п = 2 5 Τ) Ν (Ε) dE.

(28.13)

Величина Ν (Ε) тесным образом связана с формой изоэнергети*

ческих поверхностей. Действительно, построим в зоне Бриллюэна

две изоэнергетические поверхности Ε и E + dE. Они выделяют

некоторый слой пространства квазиимпульса (рис. 45). Пусть объем

этого сл.оя 4τ

, ему соответствует объем фазо-

вого пространства

άΓ=νάτ

; (28.14)

. число фазовых ячеек в нем dT/h

, число состоя-

ний для единичного объема dS = dT/Vh

. С дру-

гой стороны, dS = N(E)dE, поэтому

1 dT άτ

άτ

Рис. 45. Объем слоя

в зоне Бриллюэна, за-

ключенного между дву-

мя изоэнергетически-

ми поверхностями Ε и

E + dE

dS = N (E)dE = ^ = (28.15)

Входящую в выражение (28.15) величину

άτ

(Ε, E + dE) можно найти, если известно

уравнение изоэнергетических поверхностей. За-

метим, что величины

1/Λ

, 1/1/Л

и 1/V ·8π

(28.16)

можно рассматривать как плотности состояний соответственно в фазо-

вом пространстве, в пространстве квазиимпульса и волнового

вектора.

Рассмотрим некоторые, частные случаи.

1. Сферические изоэнергетические поверхности^ с Е

в центре

зоны Бриллюэна. Пусть

Ε — Ρ 4- —

—

с~г 2т*'

(28.17)

Две изоэнергетические поверхности Ε и E + dE выделяют сфе-

рический слой толщиной άκ и объемом άτ

(Ε, E + dE) (см. рис. 45):

άτ

= 4ηκ

άκ. (28.18)

Выразим к через Ε

* = Щ1

{

Е-Е

)·,

= (28.19)

Дифференцируя по к первое выражение в (28.19), получим

2κάκ = % dE. (28.20)

166

Учитывая соотношение (28.18), (28.19) и (28.20), можем записать

άτ

(£, Ε + dE) = 4я/с

άκ = 2πκ2κ άκ =

-2я(

1/2

- WЩ-dE-Tn (Щ

У2

(Ε -Е

с)

·/«rffi. (28.21)

Для dS из (28.15) и (28.21) получим

(28.22,

или

N(E) = 2n(^-J

(E-E

)U2. (28.23)

2. Сферические изоэнергетические поверхности с минимумом

энергии в точках к

. Пусть минимумы энергии лежат не в центре

зоны Бриллюэна, а в некоторых точ-

ках к

, и число их равно Μ. По-

строив изоэнергетические поверхности

Я, £ + получим Μ сфер (рис. 46).

Уравнение одной из них имеет вид

Ε-=Е

П2 (

2~*

· (28.24)

Радиусы сфер |к —к

|, толщина сфе-

рического слоя

= d\ к

—

но число

сфер равно теперь Μ, поэтому, интер-

валу энергии dE соответствует объем Μ

слоев:

{Е

}

Ε + dE) =

/И ·

4π (к — к

)

к — к

1. (28.25)

Выражая

—

1 , и d

—

1 через энергию, получим

Ν(Ε) = Μ< 2π (^-)

3/2

(Ε - £

)

1/2

. (28.26)

3. Эллипсоидальные изоэнергетические поверхности. Рассмотрим

более общий случай, когда изоэнергетические поверхности имеют

вид эллипсоида:

+ (28.27,

ИЛИ, в канонической форме,

и-2 и-2 к>2

У +

+ F-(28-28)

Ае полуоси эллипсоида

а,=[

2ОТ

(

£с)

Г· (28.29)

167

E+dE

х&Х/

E+dE

fr\

E+dE/

(ffHi.

\s3lJJ

\ E+dE

vfev

Рис. 46. Объем слоя в зоне

Бриллюэна, соответствующий

интервалу энергии dE при Μ

экстремумах

Объем одного эллипсоида с полуосями а, &, с равен

τϊ' = f abc = (Вт^^з)

(Я - £

)

, (28.30)

а объем одного слоя между двумя эллипсоидальными изоэнергети*

ческими поверхностями

dti" = ^ (8m

)

(Ε - £

)

(28.31)

Подставляя άτϊ* в выражение для dS и учитывая, что миниму.

мов энергии может быть М, получим

Mdx

(1)

2π

dS = -^ = -]j

-(8m

yv (E-E

y/*dE, (28.32)

или

ЛГ (Ε) = (SM^M^

(Я - £С)

1/2

. (28.33)

Напомним, что, например, для германия М = 4, а для кремния

М = 6.

Таким образом, плотность состояний пропорциональна (Е

—

)

и (т^тз)

, где mi, т

, т

—

компоненты тензора эффективной

массы (в главных осях). При малых Ν (Е) будет малой величи-

ной. Очевидно, Ν (Е) должно быть малой для интерметаллов.

Если положить

) = mf, (28.34)

где

т% —

носит название эффективной массы для плотности состоя-

ния, то в общем случае

N (Е) = 2п(2тЖ)

3/2

(Е -Е

у/\ (28.35)

что совершенно аналогично (28.23) для случая изотропной массы

с одним минимумом.

Выражение (28.35) является наиболее общим, поскольку из него

вытекают. (28.23), (28.26) как частные случаи. Необходимо только

помнить, что зависимость Ν (Е) от энергии вида Ν (Ε) ~ (Е

— Е

)

Х1

справедлива до тех пор, пока энергия является квадратичной функ-

цией квазиимпульса., другими словами, выражение (28.35) справедливо

только для состояний вблизи минимума энергии, т. е. у дна зоны-

Найдем выражение для плотности состояний у потолка зоны

энергии, где энергия также является квадратичной функцией энер-

гии. Если максимумы энергии находятся в точках к

зоны Бриллю-

эна, а их число равно М, то Ε (к) (для каждого максимума) моЖН°

представить в общем виде:

*»-£<

+ +

(28.30

168

Учитывая, что тензор эффективной массы электронов в максимуме

энергии отрицателен, и вводя вместо него тензор эффективной массы

дырок условием m

=— m

, можем записать

Ε (к) = £(к

)-УГ

(

"*-*°*

+ +

(28.37)

w v

2 I m

^ щ

ИЛ И

-«о

)* {Ку-Чу)* fe-^)

]

где Εν^β (

о)

—

энергия в данном случае потолка валентной зоны.

Опуская ' совершенно очевидные выкладки, найдем, что выражение

для плотности состояний у потолка зоны имеет вид

/2т*

\з/2

N(E) = 2n[-

f) {E

-EyP, (28.39)

где через m

d обозначена эффективная масса дырок для плотности

состояний:

mpd = (М

р1

рг

у/\ (28.40)

Плотность состояний у дна и потолка зон имеет совершенно

аналогичный вид, поскольку найденные выражения для Ν (Е) яв-

ляются следствием квадратичной зависимости энергии от квазиим-

пульса в окрестности экстремумов, различный знак подкоренного

выражения — Е — Е

и Ε

— Ε

—

является следствием различия в зна-

ках эффективной массы в минимуме и максимуме энергии. Одно из

выражений для Ν (Е) справедливо до тех пор, пока применима

квадратичная зависимость энергии от квазиимпульса. Вдали от гра-

ниц зон выражение для Ν (Е) не может быть записано, пока неиз-

вестна зависимость Ε (к). Полное число состояний в зоне с учетом

спина равно 2Ν или 2Ng (здесь g —кратность вырождения состоя-

ния), поэтому

. ^шах

2 \ N(E)dE = 2Ng. (28.41)

^min

На

рис. 47 представлен ход функции Ν (Е) в общем виде. Для

запрещенных зон N (Е) = 0, если не считать локализованных состо-

яний электрона.

Плотность состояния для локализованных состояний находится

Из

следующих простых соображений. У каждого примесного атома

может быть по одному электрону, поэтому полное число состояний

будет равно N

и соответственно. Если предположить, что при-

сная зона не возникает и примесные уровни остаются дискрет-

ным^ то для каждого уровня плотность должна быть равной беско-

нечности, с тем, однако, чтобы интеграл от плотности по всем воз-

169

можным состояниям (для одного уровня) был равен единице. Д

Ля

этого необходимо выразить плотность состояний в виде δ-функциц·

Л^д(£) = Л/

б(£-Я

), ' (28.42)

(E) = N£(E-E

), (28.43)

где через Ν

(Ε), Ν

(Ε) обозначена плотность состояний на донор,

ном и акцепторном уровнях, характеризуемых энергией £

д и

соответственно. На рис. 47 плотность состояний

(Е) и W

(£\

изображена вертикальной линией. Если при возрастании концент'

рации примеси образуется примесная зона, то в этом случае выр

жения (28.42) и (28.43) должны быть заменены выражением (28.35)

ил и (28.39).

E/min

max

ftmin

'ftшах ftmin

ft max ftz

Efmax

Рис. 47. Плотность состояний в различных зонах и на ло-

кальных уровнях энергии

Рассмотрим общий способ нахождения плотности состояний Ν (Е).

Он состоит в том, что интегрирование по объему зоны Бриллюэна

проводят в два приема: вначале по площади изоэнергетической

поверхности, затем по энергии. Удобство этого метода проявляется

в том случае, когда под интегралом стоят величины, зависящие от

энергии, которые принимают постоянное значение на изоэнергети-

ческой поверхности. Элемент объема dx

можно выразить через эле-

мент площади dSs и нормальный компонент волнового вектора άκ

= άΞβ άκ

Но άκ

выражается через

dE = (^ άκ) = \ν

Ε\άκ

άκ

IV?

аТн

V„£

•

после чего для η получим

АНФ

(28.44)

(28.45)

(28.46)

(28.47)

170