Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Так как оно справедливо при то логарифм в (32.19)

меньше нуля, поэтому с ростом температуры уровень Ферми опу-

скается. Найдем концентрацию электронов для этого случая:

-F N д

—

e . (32.20)

т. е. концентрация электронов не зависит от температуры и равна

концентрации примеси. Эта область температур носит название

области истощения примеси. Напомним, что носители заряда назы-

вают основными, если их концентрация больше концентрации соб-

ственных носителей заряда щ при данной температуре, если же их

концентрация меньше n

то их называют неосновными носителями

заряда. Мы видим, что в полупроводнике с донорной примесью основ-

ными носителями заряда являются электроны. Таким образом, можем

сказать, что в области истощения примеси концентрация основных

носителей заряда остается постоянной, концентрация же неосновных

носителей заряда должна

резко возрастать с температурой; дейст-

вительно, из (32.4) можем записать:

Р-%-1-4т"·

*· . <

Это выражение будет справедливо до тех пор, пока концентра-

ция дырок остается много меньше концентрации электронов:

η =

Ν+ = Ν

. (32.22)

2. Высокие температуры. С ростом температуры концен-

трация дырок возрастает и может стать сравнимой с концентрацией

электронов. В этом случае уравнение (32.5) должно быть заменено

общим уравнением (32.2), которое можем теперь существенно упрос-

тить. Действительно, запишем (32.2) с учетом (32.20): '

η = ρ + Ν

. (32.23)

Оно справедливо для случая, когда вся примесь ионизована

и недбходимо учитывать ионизацию основного вещества.

Запишем уравнение (32.23) для невырожденного полупроводника:

+ (32.24)

- ηΝ

- ril = 0. (32.25)

ешая это уравнение, получим

191

Поскольку подкоренное выражение больше единицы, а

минус перед корнем необходимо отбросить. Запишем теперь выр

жение для концентрации электронов и дырок:

N / Г 4п

η = γ\1+γ l+T^j, (32.27)

Учитывая связь между η и ί

, из (32.27) получим

-ε.+кТ ,32.29)

(

Рассмотрим два предельных случая. Если

$<1. (32.30)

то из (32.27) и (32.29) следует

η = Ν

; р = F = E

+ kT ln ^, (32.31)

что находится в полном соответствии с полученными выше резуль-

татами для области истощения. Если же

4„2

•ш> 1, (32.32)

ТО

„ = р = п

; г = + (32.33)

как и должно быть в случае собственного полупроводника.

Таким образом, положение уровня Ферми в невырожденном полу-

проводнике описывается двумя выражениями во всем возможном интер-

вале температур. Выражение

^ = + (32.34)

справедливо в области от Т = 0 до температуры истощения 7V

Область от Т

и выше описывается уравнением

192

Соотношения (32.34) и (32.35) позволяют описать температурную

зависимость уровня Ферми в данном полупроводнике. При Г = 0

уровень Ферми лежит в середине между дном зоны проводимости

и донорным уровнем. При повышении температуры уровень Ферми

поднимается к Е

, затем в связи с ростом N

он проходит через

максимум и начинает .опускаться. "

Концентрация электронов при этом возрастает' за счет ионизации

примеси. При некоторой температуре Е = Е

—

на уровне примеси

находитс я уЛ^д электронов, a n = NJ3. При дальнейшем опускании

уровня,

'Ферми полупроводник переходит в область истощенияг

примесь вся ионизована, концентрация электронов остается посто-

янной, концентрация дырок возрастает, уровень Ферми прибли-

жается к середине запрещенной зоны. По мере приближения

уровня

Ферми к середине запрещенной зоны кон-

центрация дырЪк возрастает при практи-

чески неизменной концентрации электро- £

нов. При дальнейшем росте концентрации

дырок будет происходить и рост концен- Ei

тр'ации электронов, достигается равенство Еа

п=^р, и полупроводник из примесного пре- &

вращается в собственный полупроводник.

Температура перехода от истощения '

ео

" JJprp кч

рМПрПЯТУТНЯЯ qotju

примеси к собственной проводимости за-

сим

сть уровн

рми в по

висит от концентрации примеси для дан- лупроводнике с донорной

ΗΟΓΟ полупроводника И ОТ ширины запре- примесью: 1 — N

д1

; 2 — Νλ2;

.щенной зоны при фиксированной концен- ^

з(Л^

д1

<Л^

д2

<М

дз

)

трации примеси. Если определить переход

от примесной к собственной концентрации некоторой условной гра-

ницей ρ = Ν

или n=2N

, то легко видеть, что температура пере-

хода определится'уравнением

ДЕо

рп =

п\

= 2N\ = N

«ст,

или - .

Тист =

hXn

(32

36)

Лра фиксированном значении Ν

температура перехода к соб-

ственной концентрации, тем выше, чем больше АЕ

. Для данного

олукроводника температура перехода к собственной концентрации

больше при большей концентрации примеси.

Йа рис. 53 показано положение уровня Ферми в зависимости;

от

/температуры при трех различных значениях концентрации при-

Mecii.

Запишем выражение для F и ρ в случае акцепторной примеси:

р = л + р

= л +ДО;. (32.37)'

7 Киреев

193

Решая уравнение (32.7) таким же образом, как и в случа

донорной примеси, получим при

F = (32.38)

В случае Na = N

и аналогично получим

F = E

-kT\n{^{\+]/

На рис. 54 приведена температурная зависимость уровня Ферми

в акцепторном полупроводнике. . ' '

В" заключение этого параграфа оценим температуру, при которой

наступает истощение примеси. Так как для области истощения

должны выполняться уравнения (32.17)

(нижняя граница) и (32.30) (верхняя гра-

ница), то, объединяя их вместе, получим

^н)

>Л

>2 Поверх)· (32.40)

Ее

ЖЕ

Найдем нижнюю границу области исто-

~~ щения условием

(Т

) =

(32.41)

Рис. 54. Температурная за- . учитывая (28.9р), получим

виспмосгь уровня Ферми

v rn J

в полупроводнике с акцеп- (Г

/300)

= (m/m^)

.4 . Ю"

^, (32.42)

торной примесью: / —iV

;

4 н 7 v а/ д> 4

2-N^ 3-N

; (iV

< Г

m ί N

<^а

<^аз) 300

т| ' ) · (

43)

Пусть mS = 0,25 m, в таком случае

(Г

/300) = 10 (N д/10

)

. (32.44)

При А^д=10

см-

= 3000°К, а при Ν

= 10

см~

= 30° К,

т.- е. в первом случае истощение наступает только при 3000° К,

а во втором случае уже при 30° К.

Верхнюю границу можно оценить на основании соотношения

(32.36), необходимо только учесть, что Т

верх

входит в N

и N*

Для того чтобы оценить роль того или иного члена в выражении

для η, ρ или F,. необходимо сравнить величину kT с АЕ

или АЕ

Напомним, что постоянная Больцмана &=1,38-10"

Дж-град~

1=г:

= 1,38-10

эрг-град

= 8,6167· 10~

эВ-град~

. Обратная величина

l/k=\l 605,4 град-эВ

-1

, другими словами, 1 эВ соответствует

11 605,4 К. В табл. 8 приведены значения kT в электронвольта*

при некоторых значениях температуры.

194

Таблица 8

г, к

4,2

20 100 200

27 3

290 300

500

kT,

эВ

8,6

10-5

3,6 . 10-4

1,7

Ю-з

8,6

Ю-з

0,017

0,0235

0,0250

0,0258

0,043

Напомним, что энергия ионизации примеси измеряется сотыми

долями.· электронвольта.

Резюме § 30—32

1. Энергия Ферми представляет собой термодинамический потен-

циал Гиббса, отнесенный к одной частице, ее называют также хими

ческим потенциалом. Она определяет приращение энергии системы^

частиц при увеличении числа частиц на единицу. Поэтому энергия

Ферм и определяется общим числом частиц. В полупроводниках

энергия Ферми определяется условием распределения электронов

по уровням энергии валентной зоны, зоны проводимости и дискрет-

ным уровням локализованных состояний. Уравнение, определяющее

распределение электронов по состояниям, называют обычно уравне-

нием электронейтральности:

п + "д-р-Ра = М

-ЛЛ, (32.1 р)

Если выразить η, л

, р, р

через F, то получим уравнение (30.13),

из которого можно найти положение уровня Ферми в общем случае.

2. Функция распределения электронов по дискретным уровням

отличается от функции распределения электронов по состояниям

в зоне, так как на уровне локализованного состояния может быть

не более одного электрона на один примесный атом:

/(£.·, Т)=

.... (32.2р)

1 -Л

е кТ

, .

Величина g = 2 для донорного уровня и g= 1/2 для акцептор-

ного уровня. Для дырок f

, Т) находится из условия f

, Τ) =

= 1-/(£

Л.

3. Полупроводник называют собственным, если в нем нет при-

меси: = = Для собственного полупроводника уравнение

нейтральности имеет вид

п = р, (32. Зр)

что приводит к следующему выражению для Fi

с ,

с+

. , зkT m*

= —2— + Y

= 2 +

4Ρ)

7*/ 195

При Т = 0 уровень Ферми лежит в середине запрещенной зоны

и с ростом температуры он смещается к той зоне, в которой эффек-

тивная масса плотности состояний меньше.

4. В собственном полупроводнике концентрация носителей заряда

определяется шириной запрещенной зоны:

П1

= п = р = УТЖе

2кТ

. (32.5р)

5. В полупроводнике, содержащем примесь одного вида (например,

донорную), уравнение нейтральности имеет вид

n**p4-Nt (32.6р)

При низких температурах, когда р^п

полупроводник имеет

примесную проводимость, положение. уровня Ферми определяется

уравнением " _

. / = (32.7р)

Ε -\-Е

При Τ = 0 F=

с д

, с ростом температуры F приближается

к зоне проводимости, проходит через максимум и начинает опу-

скаться (см. рис. 53). Опускание происходит с наибольшей ско-

ростью, когда вся примесь ионизована:

F = E

+.kT ln^, (32.8р)

. •

= N

(P<n). (32.9р)

Эту область температур называют областью истощения примеси

(иногда ее называют областью насыщения).

6. При температурах, когда вся примесь ионизована и проис-

ходит ионизация основного вещества, уравнение (32.6р) записывается

в виде

η=Ν

+ ρ, (32 .Юр)

что приводит к следующему выражению для FT*

F =

+ . (32.1 lp)

справедливому от области истощения до собственной концентрации

включительно.

7. Чем шире запрещенная зона и чем больше концентраций!

примеси, тем при большей температуре происходит переход к соб-

ственной проводимости.

196

§ 33. ПОЛУПРОВОДНИК, СОДЕРЖАЩИЙ АКЦЕПТОРНУЮ

И ДОНОРНУЮ ПРИМЕСЬ

Рассмотрим общий случай, когда в полупроводнике имеется как

донорная, так и акцепторная примесь. Предположим, что Т = 0.

В этом случае система электронов должна занимать все наиболее

низкие энергетические состояния. Зона проводимости будет пол-

ностью свободна, а валентная зона целиком занята (т. е. п==р== 0).

Так как имеется N

свободных состояний и Ν

электронов, то

электроны от доноров перейдут к акцепторам. Если Ν

= Ν

, то

в полупроводнике образуются в равном числе ионы Ν^ и Ν&. Пусть

теперь температура растет. Так как на донорном уровне нет элек-

тронов, то в зону проводимости возможны переходы только из

валентной зоны и с уровня £

, но расстояние Е

—

почти равно

ширине запрещенной зоны. Поэтому концентрация η будет возрастать

с.ростом температуры почти так же, как в собственном полупровод-

нике. Уровень Ферми будет лежать почти в середине запрещенной

зоны, как и в собственном

полупроводнике:

Р = (7 = 0). (33.1)

Такой полупроводник носит название скомпенсированного, поскольку

происходит полная взаимная

компенсация примесей, которые не

являются поставщиками свободных электронов и дырок. Из уравнения

нейтральности можем записать п = р, так как Ν

= Ν

и я

= р

Будуч и собственным полупроводником по величине концентрации

носителей заряда, скомпенсированный полупроводник в других

отношениях ведет себя иначе, и прежде всего это проявляется в раз-

личии подвижностей носителей заряда. Это и понятно, поскольку

в скомпенсированном полупроводнике'нарушений периодичности поля

решетки значительно больше, чем в собственном.

Если концентрации примеси не равны, то компенсация будет не

полной. Пусть Ν

>Ν

. В таком случае величина = —

будет играть роль примеси одного вида, поскольку часть Ν

—

Ν^

пойдет на компенсацию акцепторной примеси.

Однако имеется некоторое отличие в поведениях частично ском-

пенсированного и не скомпенсированного полупроводников. Для иссле-

дования этого различия вернемся к уравнению электронейтральности:

η + п

- ρ - Ра = Ν

- N

= Ν'

.· (33.2)

При Т->0 η и ρ обращаются в нуль, и уравнение электроней-

тральности будет иметь вид

= . (33.3)

или

+ι

-Ν

Ν'

(33.4)

Из физических соображений можно предположить, что\F;>£

это приводит к р

= 0 при Т =

О,

отсюда

= = (33.5)

Теперь легко найти положение уровня Ферми для этого предель-

ного случая:

= (33.6)

или

ι EezL

i-e +1

откуда

N.-N'i N

. -

=2 / =2 —, (33.7)

F = EK + kT 1п-щ-

. (33.8)

£сл«

О,

mo F = Er, т. е. уровень Ферми совпадает с донор-

ным уровнем. Для концентрации электронов можем записать

Ν -N

Л£

η =

Л/

q~TT

или (33.9)

(М

-Ы

)Ы

JIf

=—щ—

Энергия активации δ£

равна энергии ионизации А£

донорной

npUMecUy в то время как в чисто донорном полупроводнике энергия

активации равна Формулы (33.8) и (33.9) применимы при

самых низких температурах вплоть до Т = 0. Однако можно поль-

зоваться ими и при Τ Φ 0. В выражениях (33.8—9) N

должно

быть отлично от нуля и не равно Ν

: 0<Л^

<Л^

. Если N

>0, то можем записать совершенно аналогичное (33.9) выра-

жение:

= E&-kT\n

-^- ' / (33.10)

АЕ

= щ e

;

6Ea = Δ(33.11)

Выражение (33.8) для F показывает, что с ростом температурь

уровень Ферми смещается: от F = EA при

= 0 вверх или вниз

в зависимости от соотношения между N

и Ν

. Если Ν

= 3Ν

, то

F = Er И F не'зависит от температуры (конечно, пока справедливы

исходные уравнения). При Ν

>3Ν

уровень Ферми поднимается

198

ве

рх и тем быстрее, чем меньше N

.~ При М

<ЗМ

уровень

ферми с ростом температуры опускается, как это представлено

на рис. 55.

Зная предельное выражение для F. в частично скомпенсирован-

ном полупроводнике, можно получить более общее выражение, спра-

ведливо е в большем интервале температур, если исходить из сле-

дующего уравнения электронейтральности:

η + п

ЛГд

= η = = (33.12)

Учитывая решение этого уравнения для малых температур,

можем записать

F =

+ Е

kT N

К+Е

+ Т

1п

kT М„-М

2 N

—

)

а/ с о/, τ

2 kT

(33.13)

(33.14)

£с

Εν

В отличие от уравнений (33.8), (33.9),

справедливых и при Т = О, уравнения (33.13),

(33.14) при

Τ·

= 0 не применимы, так как η

сравнимо с р

а;

F&0 при Нижний

предел применимости этой формулы можно

установить соотношением

" = (Р<Р*) при F^Ez. (33.15)

Отсюда легко . получить выражение для

заменяется на (33.13):

J\f

Рис. 55. Температурная

зависимость уровня Фер-

ми в полупроводнике,

имеющем донорную и ак-

цепторную примесь: 1—.

=3Νύ 2-Νχ>3Ν

;

3-Ν

<3Ν

Τ, при котором (33.8)

kT =

Δ£

—А£

— In

Δ£

In N

(33.16)

Мы видим, что чем больше Ν

, тем больше температурный интер-

вал

—Г, в котором ограничено действие формул (33.15) и в кото-

ром применимо выражение (33.8).

Таким образом, наличие компенсирующей примеси.приводит к более

быстрому изменению положения уровня Ферми.

Рассмотрим в общем виде ход уровня Ферми в области низких

^мператур в зависимости от соотношений концентрации Ν

и N

Особый интерес будет представлять случай, когда

Уравнение электронейтральности

(33.17)

Ля

низких температур можно упростить, опустив в нем η и />.

То

будет тем более допустимо, чем меньше Τ и меньше разность

199

Νά — Ν&.

Случай Nh^>Na уже был разобран. Уравнение (33.17)

можно в таком случае записать в виде

-η

= Νϊ = ρ

= Ν

-ρ

= Νΐ = η

, (33.18)

или

F-Eд = — F · (33.19)

. 2е

+1 2е +1

Введем обозначения

ρ Εд '

' e

=x; = ге^Л; 'j$J =

/·;

r-l=s, (33.20)

после чего запишем уравнение (33.19) в новых обозначениях:

(33.21)

(33.22)

x-f(l (33.23,

Так как F —действительная величина, то л:>0, поэтому необ-

ходимо брать оба решения в зависимости от знака s.

(33.24)

(33.25)

г=1, 'или

ΝΛ

Να,

' ( 1«ι ^Υ

= -уе*

^ =

^ (33.26)

В последнем случае выражение для У

имеет вид

f =

+£

, (33.27)

•

что было записано ранее, на основе наглядных представлений. »

200

>(4> 0--(*+')·

или

-sDx-rAD = 0,

откуда

при s>u, т. е.

при s<0, т. е.

r = jf> 1, или N^>N

г.

^<1, или

ΝΛ<Ν„