Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Б случае положительных значений s из (33.24) следует

*-*7Ίη{£(ΐ+}/"

+££)}.· ' (33.28)

Учитывая, что ^ = 4с -ν 0 при Г->0, получим:

для больших s при· 4rA/s

D -<1

= kT In f

2 = kT In {fc^. ^ = £

+ kT In ; (33.29)

ArA

для малых s при 1

F = ^ (33.30)

Если s< 0, то согласно (33.25)

F = 03.315

для больших

при <<1

~ kT In = Е

+ kT In , (33.32)

что

находится в полном соответствии с (33.29) для s>0;

для малых

при

4rA/s

^>1

F = kT 1η{ί^ ]/"§} =άΤ In V~AD = (33.33)

в цолном соответствии с (33.30). -

Если рассматривать ход уровня Ферми как функцию 5 при

неизменной температуре, то выражения-(33.28) и (33.31) полностью

описывают его. " . ~ .

Для концентрации электронов и дырок из (33.29) и (33.32)

следует: '

n = (33.34)

•p-'^ST, . (33.35)

Тангенс угла наклона графика In л /ш/с функции обратной темпе-

ратуры определяется величиной AEJk и ΔEJk, что в два раза больше

Тангенса угла наклона в случае, когда в полупроводнике содержится

Примесь только одного вида.

201

Резюме § 33

1. Меняя концентрацию донорной Ν

и акцепторной N

примеси,

можно в широких пределах менять концентрацию свободных элек-

тронов η и дырок р. Произведение же концентрации η и ρ не зависит

от вида и количества примесей, пока полупроводник остается невы-

рожденным, при этом

η ρ = п}. - (33.1р)

2. Полупроводник, в котором = называется скомпенсиро-

ванным. Уровень Ферми в нем лежит вблизи середины запрещенной

зоны.

3. Если концентрации примеси несколько различны, то уровень

Ферми совпадает при Т = Ос уровнем той примеси, которая содер-

жится в большом количестве. При повышении температуры проис-

ходит переход к собственному полупроводнику при тем меньшей

температуре, чем ближе друг к другу концентрации примеси.

4. Если концентрации Ν

и N

различаются значительно, то

полупроводник ведет себя как полупроводник с. одним типом при-

меси.

§ 34. ВЫРОЖДЕННЫЙ ПОЛУПРОВОДНИК

Мы определила в § 29 вырожденный полупроводник, в котором

уровень Ферми лежит внутри зоны энергии на расстоянии не менее

5kT от ее границы. Концентрация свободных носителей заряда при

этом не зависит от температуры. Покажем теперь, что вырожде-

ние наступает в результате сильного легирования полупроводника.

Как было показано выше, с ростом температуры уровень Ферми

в примесном полупроводнике приближается к зоне энергии. Найдем

положение максимума F при изменении температуры. Из (32.14)

получим

iZLJk.

i^L-n run

άΤ , 2

111

2 Ν с 2 . 2 Ν

~Ν\

или

Но так как

dT 2

(34.3)

тр условие экстремума (34.1) или (34.2) примет вид

1п-Ад_

А.

ЛА_

е'з/2

/34.4)

111

2 2

' · ' '

т. е. температура Т

Ху

при которой F достигает максимального

значения F =

ax>

определяется из условия

ах) = ^г· (34.5)

202

Учитывая (29.22) для получим следующее выражение для T

m2LX

= (34.6)

Выражение (34.6) показывает, что температура Гшах возрастает

ростом концентрации примеси как Найдем ВеЛИЧИНу г max·*

+Е

л f

max

• ]У

+Е

, 3. ^ . ,

Fmах= 2

(Г

тах

) ~ 2 Τ Τ

тах

ИЛ И

. ,34.8,

В (34.8) и ниже k выражена в электронвольтах. Концентрация

iVf, npw которой F совпадает с дном зоны проводимостиназыва-

ется критической. Она может быть найдена из условия

(34.9)

(34.10)

Оценим критическую концентрацию Щ при

т%

= т и Д£

= 0,03 эВ. Подставляя значения

т%

и Д£

в (34.10), получим: Nд

= 1,6-10

см

-3

. Если принять для т%!т величину 0,3, то Ν%

ρ)

ста-

нет равной 2,5

см^

Таким образом, критическая концентрация очень чувствительна

к энергии ионизации примеси и величине эффективной массы. В соеди-

нениях A

критическая концентрация может иметь значения

много меньше 10

см

-3

. Действительно, если положить m$/m = Ю

-3

и А£

= 0,0001 эВ, то для получим значение = 10

см-

что наблюдается для антимонида индия. Критическая концентрация

кр)

позволяет оценить концентрацию, необходимую для начала

вырождения полупроводника, поскольку при F = E

полупроводник

перестает быть невырожденным, однако это еще не есть "вырождение

в том смысле, что -концентрация носителей заряда не зависит

от температуры в каком-то интервале. Для этого необходима боль-

шая концентрация примеси. В принципе можно оценить положение

Уровня Ферми и концентрацию носителей заряда, исходя из уравне-

ния нейтральности, в котором при N

= 0 можно отбросить ρ и р

;

получим η + η

= Ν

при η = ρ

Ν%.

Подставляя выражения для

и р

, запишем

= . (34.11)

2е

ИЛИ

(см-

) = 10

(-^)

3/2

[А£

(эВ)]з/2.

203

Если полупроводник полностью вырожден, то можем пренебречь

единицей по сравнению с экспонентой в выражении для р

, и под.,

ставляя вместо Φι

(ξ) его выражение, запишем:

F—E

\з/2

Из (34.12) можно записать следующее равенство:

Определив из (34.13) ξ как функцию Ν

, можно найти п.

Однако необходимо заметить, что соотношения (34.12) и (34.13)

имеют мало смысла, поскольку при столь больших концентрациях,

которые необходимы для вырождения, примесной уровень превраща-

ется в зону, накладывающуюся на зону проводимости. При этом при-

месная зона оказывается не заполненной. Это приводит к тому, что

вырождение не снимается и при очень низких температурах,

поскольку остается механизм проводимости посредством примесной

зоны. Благодаря слиянию зон вырождение наблюдается в широком

' интервале температур, например, у некоторых интерметаллов от ком-

натных до температур жидкого водорода. Кроме того, необходимо

отметить, что в силу образования примесной зоны энергия ионизации

примеси с ростом ее концентрации уменьшается и согласно (34.10)

необходимая для вырождения концентрация в свою .очередь уменьша-

ется.

Для полностью вырожденного полупроводника бывает важно

вычислить положение уровня Ферми по известной концентрации

носителей заряда:

F - Е

= (h

/2m*

) (3/8π)

/3 /г

, (34.14)

-F=(hy2m*

)(3/8n)W pW. (34.15)

Концентрация же электронов или дырок может быть определена

экспериментально.

Вырожденные полупроводники используют для изготовления

таких приборов, как туннельные диоды и полупроводниковые кван-

товые генераторы. Кроме того, они имеют важное теоретическое

значение. Сильнолегированные полупроводники трудно анализиро-

вать теоретически. Действительно, большая концентрация электро-

нов приводит к сильному взаимодействию электронов с ионом

донора, к его экранированию. Экранировка поля донора приводит

к уменьшению энергии ионизации вплоть до нуля, поэтому говорить

о размытии уровней примеси в этом случае не имеет смысла. Для

исследования сильнолегированных полупроводников необходимо

использовать такие, методы, как метод функции Грина.

Отметим в заключение, что в сильнолегированном полупроводнике

плотность состояния в зоне сильно искажается примесью. Это иска-

204

усение сохраняется и при уменьшении концентрации примеси. Оно

приводит к тому, что исчезает резкая граница зоны энергии, про-

является «хвост» у плотности состояния, экспоненциально затухаю·

шй и распространяющийся вплоть до другой зоны.

Резюме §34

1. Увеличение концентрации примеси приводит к повышению

концентрации носителей заряда, что вызывает уменьшение расстоя-

ния между зоной энергии и уровнем Ферми. При некоторой кон-

центрации примеси ЛЛ

р> уровень Ферми совпадает с экстремумов

энергии в зоне. Концентрацию называют критической. Если

концентрация примеси превосходит Ν<

Р>, ТО полупроводник стано-

вится частично или полностью вырожденным.

F Ε

Ε Εν

а)

б)

Рис. 56. Плотность состояний и положение уровня Ферми в вы-

рожденном (а) и дырочном (б) полупроводниках

2. Нижней температурой вырождения Т\ называют температуру,

при которой уровень Ферми с ростом температуры от Т = 0 входит

в зону энергии. При Τ <Т\ происходит «вымораживание» носителей

заряда из зоны энергии на уровень примеси.

3. Верхней температурой вырождения Tl электронного газа

называют 'температуру, при которой электронный газ становится

классическим, она определяется обычным условием:

kTl = F-E

; kTl = E

—

F. '

(34.1

ρ)

Однако концентрация носителей заряда в этом рлучае может

оставаться постоянной, если температура еще недостаточна для

перехода к собственной концентрации.

4. Нижняя температура вырождения может отсутствовать в связи

с тем, что с ростом концентрации "примеси уровень примеси расши-

205

ряется и превращается в зону примеси. При этом зона примеси

может оказаться заполненной лишь частично, вследствие чего носи-

тели заряда могут быть свободными при любой температуре, вклю-

чая Т =

О,

если даже между зоной энергии и зоной примеси имеется

энергетический зазор (энергетическая щель). При достаточно боль-

шой концентрации примеси зона примеси может перекрываться

с основной зоной. В любом случае резкая граница зоны энергии

размывается при введении примеси в полупроводник (рис. 56).

§ 35. ПЛОТНОСТЬ СОСТОЯНИЙ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ

Как было показано в § 23, в сильном магнитном поле спектр

энергии электронов резко меняется

—

появляются уровни Ландау:

Шг

г 2т*

вВ

где п== 0, 1, 2, ...

—

квантовое число, ω

—

циклотронная час-

тота. В этом случае теряет смысл говорить об изоэнергетических

поверхностях в зоне Бриллюэна, поскольку Ε не зависит от к

. Однако необходимо иметь в виду, что при 0 выражение

(35.1) должно перейти в выражение

^ ПЧ1 ш* %ч\

р-—J У_—ι (35 2)

2т* ~ 2т* ' 2т*

Другими словами, символически

Ш (к

Л-к

• ' Пт Нщ (η -f 1/2) = \

J «К (35.3)

β~>ο

; *

В случае, когда полупроводник находится в магнитном поле,

за динамические величины, определяющие состояние /электрона, ~можно

взять κ

, /г, ω

, s

. .

Найдем выражение для ПЛОТНОСТИ состояний по энергии N

(E).

В интервале энергии Ε, E + dE содержится

2dS = 2N

(E)dE (35.4)

состояний. Очевидно, что полное число состояний должно быть

равно 2N

, где N

—

число атомов в кристалле, g

—

фактор вырож-

дения зоны, 2

—

множитель, связанный со спиновым вырождением:

•^шах

2 \ N

(E)dE = 2Ng. (35.5)

•^min

Число состояний (по κ

) в единичном объеме кристалла и в интер-

вале άκ

при фиксированных η и ω

равно

(35.6)

206 '

Из (35.1) найдем связь между άκ

и dE:

άκ

·=τ

{ЕПщ {п + 1/2)]

1/2 dE

Согласно (35.6) можно записать

" =

i {W -

1/2

(35.7)

(35.8)

(35.9)

Чтобы записать теперь выражение для плотности состояний

по энергии, необходимо учесть следующее соображение. При фикси-

рованном интервале энергии Е, E + dE

существует несколько различных интерва-

лов άκ

, что очевидно из выражения (35.8) ν -

и рис. 57. \\ V

Действительно, энергии Ε соответствует

ν парабол, величину ν можно найти из

соотношений

ЙСО

<v+l. (35.10)

KzKz+dKz

Рис. 57. Связь между интер-

валом энергии dE и интер-

. Величина η может меняться от нуля валом

значений

άκ

до ν, следовательно, интервалу энергии

Ε, Ε+ dE соответствуют ν интервалов άκ

, поэтому для нахожде-

ния dS

необходимо просуммировать состояния ν интервалов άκ

^АЫ^У

^[Е-Пщ{п+\12)]--АйЕ. (35.11)

I п = о J

Г •

Кроме того, поскольку в выражение для энергии входит йсо

= •^-5, плотность состояний должна зависеть и от В. Пусть она

определяется некоторой функцией g(B), вид которой найдем из пре-

дельного перехода В ->0. . <

Сравнивая (35.11) и (35.4) и учитывая функцию g(B), можем

записать выражение для плотности .состояний:

n=Q n=0

(35.12)

Рассмотрим одно из слагаемых в (35.12):

№(В) =Ш1[Щ

\Е-Пщ(п+ 1/2)]

-1/2

. (35.13)

207

Так как η фиксировано, то при +1/2) плотность

ΝΒ^Ε) мала и ведет себя как {/YE.

Поскольку величина Ν

{

β (Е) должна быть вещественной, Νβ

]

(Е)

определено только для энергии E>fm

(п+ 1/2), при Ε

->• Ηω

(п -f 1/2)

{

b (Е)-*оо. На рис. 58 сплошной и пунктирной линиями представ-

лена графическая зависимость одной

из величин ΝΒ*(Ε), соответствующая

п = 0.

Полная плотность 'Ν^ (Ε) предста-

вляет собой сумму ν одинаковых гипер-

бол, смещенных по оси энергии на

целое число Ηω

. В точках Ε =

= Нщ (п + 1/2) плотность состояний

(Ε) обращается в бесконечность,

что имеет вполне наглядный смысл.

При образовании дискретных уровней

из непрерывного спектра плотность

состояний должна иметь δ-образный

характер с конечным числом состоя-

ний. Но особенность вида (35.13) для

любого конечного интервала энергии

{Йео

(/г+ 1/2), Е

} действительно содержит конечное число состояний:

βο _ Eq

О five 3fia)c 5ft0)

Ifuoc

Ζ Ζ Ζ Ζ

Ε-Εη

Рис

58. Плотность состояний

в магнитном поле

§ N

{

B {Ε) dE

Πωο(η-\-1/2)

g(B) /2m*

4π \ №

1/2

ξ [E-Ha

(n+l/2)-V

dE=

g(B)

2 π

ΐΐω

(η +1/2)

)

1/2

[Ε

-Ηω

(η+ 1/2 )]!/*. (35.14)

Таким образом, в любом конечном интервале энергии \Нщ(п +

+1/2);

Йсо

(η +

1/2)

+ Δ£} содержится, конечное число состояний

2л

(35.15)

Бесконечно большая плотность состояний соответствует значению

= 0; без магнитного поля в точке κ

= 0 и к

= к

= 0 ,Ν (Е) = 0.

(Будем считать для определенности, что в точке

= 0 лежит экстре-

мум энергии.)

Если нарисовать графически Ν

(Ε\, то ход Ν

(Ε) в окрестности

η-ых особых точек определяется только членом Ν^ (£), вдали

от них необходимо учитывать сумму ν гипербол. Очевидно, что чем

больше Ε у тем больше ν и тем больше будет Ν

(Ε) для значений Ε

.внутри интервала между особыми точками. Это наглядно представ-

лено на рис. 58, который показывает, что с ростом Ε величина Ν

(Ε)

слеца от каждой особой точки находится тем выше, чем больше v.

Если 0, то число ν для любого конечного значения стремится

к бесконечности. Однако стремление ν к бесконечности происходит

208

та

ким образом, что lim νΗω

= lim νΛω

= Ε для произвольного зна-

V—ЮЭ β-νΟ

цеНИ

я энергии. При β-^0

(Ε) Ν

(Ε) = 2π )

3/2

£ΐ/» =

Λ/"

(£). (35.16)

В таком случае можем найти предельное значение Ν

(Ε), заме-

нив сумму по η интегралом:

ν . ,

η=0· О

г? Λω

При малом поле У [Ε

— Ηω

(η+ 1/2)]-переходит в χ

х(

-^)

1/2

·' При"β-о- ω„->0 и однако

•J—-»-оо. Учтем теперь функцию g(B). Если положим

g(B) = Gha о, (35.18)

то расходимость суммы (35.17) будет устранена. Найдем G:

{Ε)=^[ψΙ

I [Ε-η

ωο{η+

1/2)]-·/*

• . - п—0

ОЬщ / 2т* \1/2 2 (р. ηω

\ι/2

- (2т* \з/2

(35.19)

Сравнивая предельные выражения Ν

(Ε) и Ν (Ε), можем записать:

а (2m*

\ 1/2

/2т*\з/2 ,, „

Л1

) =

2я

Ьг-) · (

)

Из (35.20) и (35.18) следует

0-^·. ' (35.21)

2т* 2 еВ

= = (35.22)

N в (Ε) = ψ [2я ( )

3/2

] J [£ - М> (я + 1/2)]- (35.23)

209

Выражение (35.23) представляет собой плотность состояний при

наложении на кристалл магнитного поля. Выводя его, мы не учиты-

вали собственный магнитный момент электронов = благо-

даря которому электрон обладает дополнительной энергией

- (μ*Β) = - (Β- S) = - (SG>

) = ± = ± ^, (35.24)

гд е

= = (35.25)

есть магнетон Бора электрона с эффективной кассой т*, а μ

= |^ —

магнетон Бора; S —вектор спина, проекция которого на В равна

Пренебрегая расщеплением уровней энергий, мы удваиваем

каждое энергетическое состояние.

Обозначая энергию Ферми Τ

(β), запишем функцию Ферми —

Дирака:

/=· E-F(B) · (35.26)

Для концентрации электронов п

получим выражение

\ со

= 2\N

{E)f{E, Τ) dE= - . • •

•

. ·

оо ν г Ε —F (В) Ί—

= ^Ω

[2Π(^)

3/2

]5 2 [E-nco

(n+V2)]-V>x[e *

0 η —О

(35.27)

Вычислим это выражение для двух предельных случаев

—

вырож*

денного и невырожденного полупроводника.

В случае вырожденного полупроводника функцию распределения

заменяем прямоугольной ступенькой, и выражение для п

примет

вид

3/2 F (В) ν

п„ = Йω„[2π(^) ] у 2 [Ε-ηω

(η + 1/2)]-^

άΕ

= йа>

[2я(^)

3/2

] 2 Υ [£-ЙШ

(П+1/2)]->/2

E =

0 Λω<> (η +1/2)

= 2Пщ [2Π Щ'

] 2 [F (В) - Пщ (η + 1/2)Р. (35.28)

= 0

210