Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

В (37.3)/о есть функция распределения в равновесном состоянии,

f(r, к, неравновесном состоянии, 1/τ (к) —коэффициент пропор-

циональности, зависящий, вообще говоря, от к и г, однако, по-

скольку в дальнейшем рассмотрении будет важна зависимость τ от к,

опустим зависимость τ от г. Считая τ величиной положительной,

мы ввели в (37.3) знак минус, который обеспечивает возвращение

системы к равновесному состоянию. Уравнение (37.3) решается эле-

ментарно:

(г,

к, t) =

/о (г, к)

[/ (г,

к, 0) - U

(г, к)]

е"

(37.4)

Величина τ (к) показывает, насколько быстро восстанавливается

нарушенное полями равновесное состояние, поэтому она носит на-

звание времени релаксации. Время релаксации позволяет выразить

интеграл соударений в более простом виде, действительно, из (37.3)

и (36.19) следует

Ш = K')U(r, к', f)^f(r, (37.5)

\dt.U

(к)

Из (37.5) вытекает «явное» выражение для времени релаксации

через вероятность рассеяния и функцию распределения:

J___L U (г,

к,

0—/(ι·,

г (к)

—

4π

J ^ ' If (τ, k, t)-fo(r,

(

к)

(37.6)

Дальнейшее," необходимое для решения уравнения Больцмана,

предположение состоит в следующем: время релаксации τ (к) является

однозначной характеристикой процессов соударений как во время

релаксации, так и при действии внешних полей, другими словами,

предположим, что время релаксации не зависит от внешних полей.

Позже обсудим это предположение, а теперь используем его для

решения уравнения Больцмана, описывающего стационарное состоя-

ние. Из (36.8) и (37.5) следует

(ν, V

f(r,

K))

+ i(F

/(r, к)) = —

/(г, к)-/о(г, к)

τ (к)

(37.7)

Уравнение (37.7) является основным уравнением, описывающим

кинетические явления в стационарном состоянии в том случае, когда

можно ввести время релаксации для учета действия процессов соуда-

рений. Решение уравнения (37.7) будем искать в виде ряда

. /(г, к)=Ыг, к)+р(г, к)+/(*>(г,

к)

+ ...

(37.8)

де /

(1)

(г, к); /

(2)

(г, к) есть поправка в первом, втором и т.^д, при-

ближениях к равновесной функции распределения. Производные от

(1)

(г, к) по г и к должны быть того же порядка, что и /

(2)

(г, к),

поэтому, чтобы найти решение (37.7) в первом приближении, можем

221

отбросить все величины более высокого порядка. Итак, ищем реше-

ние уравнения (37.7) в первом приближении:

/(г, к) =/

(г, к)+ /<«(г, к). (37.9)

Подставим (37.9) в (37.7), получим уравнение для /

(1)

(г, к):

(у, V

(r,

+ V

/U)(r, к)) +

+ i(F, V

(г,

+ V

/U)(r, = (37.10)

Вычислим V

(r, к) и V

(г; к), учитывая, что от г могут за-

висеть F и Т, а от к зависит Е:

F.-F

Чо(г, К)= ^

; >

(37.11)

• Le *

+ij

V.(r. κ) = -

Λ;

(37Л2)

—

+lj

Мы видим, что в выражения для градиентов V

и V

входит

величина

Ε ~ F

· 1

(

Le ^ <lj

Учитывая (37.11) и (37.12), уравнение (37.10) для /

(1)

приведем

к виду -

F + (£-f)V

lnD|

+ (v, V

/U)(r, к)) -\-(eE-\-e [vB], ν) + -jf (^E +

[vB], VJW), (37.14)

где вместо F мы поставили выражение для силы Лоренца. Пола-

гая , что производные. от/

(1)

имеют порядок малости, сравнимый

с /

(2)

, и пренебрегая вторым и четвертым членами в (37.14), по-

лучим

=l({^-V^-(£-F)V

lnT}, ν). (37.15)

Из (37.15) мы видим, что в первом приближении /

(1)

(г, к) не за-

висит от магнитного поля. Чтобы получить зависимость от В, необ-

ходимо оставить в (37.14) член с V

> (г, к).

222

Вычислим "его, используя (37.15). Однако прежде чем искать

(1)

(

)» запишем /

(1)

(г, к), исходя из выражения (37.15),

р(г, к) = -|(х(г, к), ν), (37.16)

где к (г, к)

—

неизвестная векторная функция, к нахождению которой

сводится задача нахождения/

(1)

(г, к). Из сравнения (37.16) и (37.15)

следует, что для κ (г, к) без учета магнитного поля можем записать

κ (г, к) = τ (к) {еЕ — V

F·— (Ε

—

F) V

In Γ}. (37.17)

Учитывая, что Е = — V

cp(r), получим

κ (г, к) = - т (к) {V

'(«P + F) + (Ε - F) V

In T}. (37.18)

Теперь вычислим V

> (г, к), учитывая (37.16):

В выражении (37.19) ^ =

~ обобщенный тензор обратной

эффективной массы. Если подставить (37.19) в (37.14), в котором

необходимо сохранить только член с В, получим из последнего сла-

гаемого в (37.14)

т № V")—\

([ν,

в], (*

±)) |·

-£- ([ν,

В],

·Ι *))-«([£.»]. »)Й- <

а второе слагаемое обращается в нуль в силу [vv] = 0. Следова-

тельно, (37.14) имеет вид

-^-йг-Й^-Йе· *-v-<B-f>v

• ·ί·<|„" .

| · (37-21)

Для κ (г, к) мы получили уравнение

κ(

, K)^-T(K){v

(F + e^) + (E^F)V

\nT^e[^

B\}. (37.22)

Чтобы решить уравнение (37.22), введем обозначения для сокра-

щения записи:

(F + εφ) + (Ε - F) V

In Τ = — L, (37.23)

τ (к) L = Α. (37.24)

В новых обозначениях уравнение (37.22) имеет вид-

= Α + В]. (37.25)

Решение уравнения (37.25) проводится несколько различно для

случаев, когда ш* является скалярной и тензорной величиной.

223

1. Скалярная эффективная масса. Так как ш*-

СКа>

лярная величина, то мы можем ввести вектор φ (к):

ф(к) = ^В. (37.26)

Тогда (37.25) можно записать в виде

κ = Α + [κφ]. (37.27)

Умножим (37.27) скадярно на φ:

(κφ) = (Αφ) + ([κψ] φ) = (Αφ), (37.28)

та к как ,

([κφ]φ) = ([φφ]κ) = 0. (37.29)

Умножим (37.27) векторно' на φ: .

[κφ] =

[Αφ]

+ [[κφ] φ] = [Αφ] + φ (κφ) - κ (φφ) =

~ = [Αφ] + φ (Αφ)

—

κφ

= κ

—

Α. (37.30)

При упрощении выражений в цепи равенств (37.30) мы учли пра-

вило разложения двойного векторного произведения по сомножителям

одинарного векторного произведения и заменили (κφ) и [κφ] на (Αφ)

и κ —φ согласно (37.28) и (37.27). Из (37.30) для κ следует выра-

жение

κ (1 + φ

) = А + [Αφ] + φ (Αφ), (37.31)

или

_ Α'+

[Αφ]

+φ (Αφ)

(37.32)

Подставляя вместо А и φ их выражения, получим

(

4> + F) + (E — F) V

In T) —

κ (г, к): „

. /72*"

- Jr Pr

(e<p+F)

+ {E-F) V

1η

Τ, В]

ι+ί> ""

-^B(V

(e,p + F) + (E-F) V

In Γ, В) -

m*" '

(37.33)

Эффекты, зависящие от /

и)

(г, к) и, следовательно, от κ (г, к), }

носят название поперечных, если В L, и продольных, если ВII

Для поперечных эффектов (L, В) = 0 и

κ =

(з7>34)

1+ψ

224

Для продольных эффектов [LB] = 0 и

(37.35)

т. е. в продольном магнитном поле явления протекают так же, как

и при В = 0, если т* —скалярная величина. Если же продольные

эффекты наблюдаются, то это свидетельствует о тензорном харак-

тере эффективной массы.

2. Тензорная эффективная масса. Предположим, что

т*-

имеет диагональный вид, в таком случае тензор т* также

имеет диагональный вид. Рассмотрим теперь векторное произведение

[m*

»*, B] = D. Обозначим Γη*~

κ = η. Легко видеть, что

κ = ηι*η. - (37.36)

Найдем компоненты вектора D:

.. D

= ц

— ц

Ву\

= r\

-r\

B„ (37.37)

> D

= i\

—

но

η. = {щ^-Че}, = =

Έ[

(37

38)

поэтому, например, D

имеет вид

Рассмотрим m*

D, определяемый своими компонентами,

П1Ц

LSj

{m*-*Dh

J «ЯГ

(

или, С учетом (37.37)

У-yBz

lnjn

m; - ътуВу) =

1 -

* 2

myiBi

' (37.41)

т. е.

D = m*-

[m*-

x, В] = |m*

1 [κ, т*В]. (37.42)

Через |т*| обозначен определить матрицы тензора т*:

/тх 0 0\

|m*|

= Det( О т

О ] = т

. (37.43)

\0 0 mj

Киреев 225

Вернемся к уравнению (37.25) для κ. Умножим его скалярн

на т*"

и, учитывая (37.42), получим

т*= т*

А + етт*-

[т*

Ы, В] = т*~

А +[κ, т*В]. (37.44)

Умножая (37.44) векторно на В, будем иметь

[шВ] = В] +[[κ, m*B] В]. (37.45)

Разложим двойное векторное произведение

[[κ, m*B] В] = (κΒ)ίη*Β

—

(В, πι*Β)κ (37.46)

и подставим его в (37.45); получим

[т*-Ч В] = [т^А, В] + ^т^В (κΒ) -^ (В, ш*В) κ. (37.47)

Но из (37.25) следует, что

(κΒ) = (ΑΒ), (37.48)

ex [т*~Ч В] = κ - А, (37.49)

поэтому, сравнивая (37.49), (37.47), запишем

κ —А = ет[т*-

А, В] + ^(АВ)т*В - ^(В, ιη*Β)κ. (37.50)

Собирая одинаковые члены, получим

+ ex[m*-iA, В] + (АВ) т*В

g2T2

1 1

- (37.51)

Если эффективная масса

—

скалярная величина, т. е. все диаго-

нальные элементы равны т*, то

|m*|

= m*

и уравнение (37.51)

переходит в уравнение (37.32),

Резюме § 37

1. Процессы соударения приводят к восстановлению нарушаемого л

полями равновесного распределения электронов и дырок. Их действие j

можно описать величиной времени релаксации τ (к), которая опре- (

деляется выражением (37.6) через интеграл соударений. Время ре- *

лаксации τ есть величина, равная среднему времени существования ,

неравновесного состояния после выключения полей, вызвавших это *

отклонение. I

226

2. Предполагая, что время релаксации не зависит от внешних

полей, приводим уравнение Больцмана для стационарных состояний

к виду

(ν, V

/(r, K)) + |(F, V

/(r, к)) = -

/(г

κ)

(Γ> к)

. (37.1 ρ)

3. Решая уравнение (37.1

ρ)

методом разложения в ряд по вели-

чине полей, получаем уравнение для поправки первого приближения:

= eE + V

(E-F)-(E-^F)4rlnT) +

+ |([vB]V

/u)). (37.2р)

4. Записав /

(г, к) в виде

• /Ψ (г, к) = -||(х(г, к), ν), . (37.3р)

для κ (г, к)' получаем уравнение

κ(Γ,

)

= Α + βτ[^-, в], (37.4р)

где

А = tL = — τ (к) {V

(ец>

+ F) + (Ε - F) V

In T}. (37.5p)

5. Решение для κ (г, к) в случае, когда эффективная масса яв-

ляется тензором, имеет вид

* (Г, к) = - —^ L»!_l . (37.6р)

ГГ

(В, гп*В)

|ш*|

В случае скалярной эффективной массы

А+-^[АВ]+^(АВ)В

/ * ч т* т*

2 4

' ~

Κ (Г, К)= ^ · (37.7р)

Подставляя (37.7р) или (37.6р) с учетом (37.5р) в (37.3р),

получим решение кинетического уравнения Больцмана для стацио-

нарного состояния.

6. Все уравнения, полученные в этом параграфе, одинаково

справедливы как для электронов, так и для дырок, если учесть, что

во всех выражениях необходимо иметь в виду величины, характери-

зующие данные частицы. Это относится не только к заряду е, эффек-

тивной массе т*, времени релаксации τ, но и функции распреде-

ления /

(г, к) в соответствии с условиями, изложенными в §25.

Если в полупроводнике имеются носители заряда нескольких типов,

то каждый тип носителей заряда может быть описан своей функ-

цией распределения.

8* 227

§ 38. ПЛОТНОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА

И ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА ЭНЕРГИИ

Как указывалось неоднократно, для создания направленного

потока носителей заряда необходимо нарушить симметрию функции

распределения, нарушить равновесное состояние системы зарядов.

Направленный поток заряженных частиц создает ток, его

можно

характеризовать вектором плотности тока, выражение для которого

легко найти.

В элементе объема dx

и единичном объеме кристалла содержится

состояний, в которых находится

dn=j£f(r,K) (38.1)

* 1 dE

носителей заряда*, имеющих скорость у = и создающих эле-

ментарную плотность тока

d}=ev^f(r, к). (38.2)

Полная плотность тока

j = 4^3 5 v/(r, K)dx

= ^ J V (к) P (r

κ)άχ

. (38.3)

(Μ (ν

)

В (38.3) мы учли, что

$ vMг, K)dT

= 0, (38.4)

(Μ

потому что /о(г, к)—четная функция к, a ν/

(г, к) — соответственно

нечетная функция, которая при интегрировании в симметричных

пределах дает нуль. Физически это означает, что в веществе, нахо-

дящемся в состоянии термодинамического равновесия, тока нет.

Таким образом, j можно выразить в виде

ί= "έ ξ J

% <

(

k) (V

)

Направленный поток частиц создает не только электрический

ток, но и приводит к переносу энергии, так как каждая частица

несет энергию Ε, вследствие чего плотность потока энергии W

т. е. количество энергии, проходящей в единицу времени через нор-

мальное единичное сечение, определяется выражением

= i I Evf

(г, к) dx

= — [ £v§-(xv)dT

. (38.6)

(Μ (Vk)

* Через dn обозначено число электронов или дырок.

228

Если вместо κ в (38.5) и (38.6) подставить (37.52), то получим

выражение для j и W:

({XL-H^-'L. B

|^-(LB

n*B}v)v

l-~W ) Ш ,

Л» ~ '

(6bJ

(Μ Jin*]

Ι Г df (L

XL +ET2 [M

+T$7

(LB) M

)

ΝΛ

W=-i IE* „V"'

-(38.8)

Прежде, чем вычислять выражения (38.7) и '(38.8), рассмотрим

соотношение вида

• (Μ

где вектор G не зависит от к. Для ί-компонента М

;

можно записать

(38.10)

(Μ

[7ЙЧ

(В

m В) V/

Если обозначить

' "ά S ,, (

38Л1

(^к)

m В)

то (38.10) можно записать в виде

M^^K'iJ Gj (38.12)

M = /c;

G, (38.13)

где Krs является тензором второго ранга, a K'fJ

—

его //-элемент,

определяемый выражением (38.11).

Из (38.7) и (38.8) видно, что j и W можно выразить через тен-

зор типа Krs, который назовем тензором (обобщенного) кинетического

коэффициента. Запишем j и W в случае скалярной эффективной

массы.

Учитывая, что L можно представить в виде

L = - V

(еф

+ F) - (Ε - F) V

In Τ =

= eEJ = (38.14)

229

опустив значок г у оператора набла, запишем

то* | еЕ

— TV

яШ

i =

С 8Ы_ У*-

' г~

тг

Ι2π

Λ ΡΪ2 «

κ —

(Μ

С dfo'

яг

12π

(Μ

В}*.

С Vo™7^

{

τ—τ ,

шг ^ ^ гтлч;

(38

)

12π* J Λ» -

12π

νν*

12π

J , , еЧ* · (38.16)

(Μ

Соотношения (38.15) и (38.16) могут быть выражены через кине-

тические коэффициенты:

ЩеКи-еЦ, njjris-

- ί [У. В] .)«,-£.(?,.)«»

(38.17)

Выражение для W имеет аналогичный вид, только первый индекс

у кинетического коэффициента на единицу больше, а показатель

у заряда на единицу меньше:

W = (еЕ - TV К'п - ψ АЪ + £ [еЕ - ГV £

в]

АЪ -

(38.18)

230