Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Перепишем выражение

(38.17)

для

объединяя члены:

j = |e

/CiiE - еК\iTV £ -

еК'21

γ) +

+[£ - £ KnTV £ Ц, В] +

+ Д-isE - j^· KUTV -J - ^ К χ γ, В) В. (38.19)

Первый член в (38.19) определяет омический ток, второй и третий

члены представляют токи, обусловленные градиентом химического

потенциала и температуры, т. е. связаны с диффузионным и термо-

электрическим токами, четвертый член обусловливает поперечные

гальвано- и термомагнитные токи, пятый член определяет изменение

продольных токов, вызываемое магнитным полем.

Резюме § 38.

1. Плотность тока j и плотность потока энергии W зависят от

градиентов электростатического потенциала φ, химического потен-

циала F, температуры Т, магнитного поля В и характеристик

вещества, определяемых эффективной массой и тензором кинетичес-

кого коэффициента Krs'

j = {ёЧСпЕ - eKUTV L _

еК

+ (^s ΚιзЕ -ΚιsTV L -АГЬ Ц, В) В (38.1 р)

W = je/GiE - K21TV у - АГз1 Щ +

+ - £ V * _ £ *

5а

£, в] +

+ /С23Е -^

ЛГ^з

гV ^ - ^з ^, в) В. (38.2р)

2. Тензор кинетического коэффициента /Cs определяется своими

элементами /С^/ в виде

$ .Л*****·

(38

3р)

(М

+|БйГ|(

Физический смысл Krs в зависимости от значков, различный.

231

§ 39. КИНЕТИЧЕСКИЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ

Скалярная эффективная масса. Поскольку j и W выражаются

через тензоры кинетических коэффициентов К™, необходимо уметь

вычислять их для различных случаев. Предположим,, что эффектив-

ная масса является скалярной величиной. Для этого случая время

релаксации из соображений симметрии можно считать изотропной

величиной: τ(κ) = τ(|κ|), другими словами, время релаксации должно

зависеть только от энергии τ = τ(Ε). Энергию представим в виде

квадратичной функции квазиимпульса во всех точках зоны Брил-

люэна, учитывая, что в выражение для Krs входит Ц, которая быст-

ро уменьшается с ростом энергии. Скорость можно выразить через

к или Ρ обычным соотношением

J С С I

Й2к2

I? I

/ОО 0\

Е = Ео + 2^*=ЕО-\—2~. (39.2)

Запишем выражение для K'fj:

, 8

Интегрирование по объему зоны Бриллюэна сведем к интегри-

рованию по энергии. Для этого выразим άτ

через энергию

dE( к):

dE = (V

£, άκ) =

dKn = ПI ν

d/c„, (39.4)

где άκ

есть проекция вектора άκ на направление нормали к изо-

энергетической поверхности. Введем элемент поверхности энергии

dSj?, через который элемент объема можно выразить в виде

= = (39.5)

Подстави м (39.5) в (39.3):

<£> (SE)

В (39.6) для упрощения записи введено обозначение

μ = ^|> = μ(£), (39.7)

где μ(£) есть подвижность носителей заряда с энергией Е. Но

232

интеграл по поверхности можно представить в виде интеграла по

пространственному углу; так как

= κ

άΩ, (39.8)

то

(

Se) (Si (

i Ε)

В (39.9) интегрирование по полной поверхности энергии сведено

к интегрированию по одной S

из Μ поверхностей энергии. Считая,

что в зоне Бриллюэна введена сферическая система координат

с полярной осью, направленной вдоль к

2у

запишем

. ^

sin θ cos φ; —= sin θ sin φ; — = cos6. (39.10)

к ю к

Вычислим (39.9) для двух случаев:

π 2 π

, [ J sin

6cos

9sin6dQd9 = y, (39.11)

(S\E)

0 0

η 2Л

*jL dQ = j j sin

COS

φ sin φ sin θ dd

dq>

= 0. (39.12)

(S,

) .0"

Проводя аналогичные вычисления, получим в общем виде

j (39.13)

(S\E)

т. е. в случае сферических поверхностей энергии тензор K'rs имеет

диагональный вид. Выразим интеграл по поверхности энергии через

величину энергии на этой поверхности:

f ViVj ,

Μ «4π * 4π Μ

\2т*

(Ε

— Ε

)~\

я /QQ

) = :—w—"J

'/· <

(S)

Но

2πΛί Ю

(Ε - Ε

ο)

τ = Ν (Ε) (39.15)

h? J

есть плотность состояний по энергии, поэтому (39.14) представим

в виде

^ldS

=^(E- Е

) 8nW (Ε) δ,

. (39.16)

Подставив (39.16) в (39.15), получим (при Е

= 0)

Ч — ШМт^^Е. ,39., 7)

233

Выражение (39,17) показывает, что все диагональные элементы

К'/J одинаковы, это означает, что в случае сферических изоэнергети-

ческих поверхностей кинетические коэффициенты являются скалярными

вели чинами: К'У = К '

1. Невырожденный полупроводник. В невырожден-

ном полупроводнике функция Ферми — Дирака переходит в функцию

Больцмана, для которой

= Ш J T^BJO(E,-T)N(E)§: (39.19)

Положим r = s = 0 и В = 0; интеграл для /Соо вычисляется элемен-

тарно:

Koo = ^lfo(E,T)N(E)§ = ^n, (39.20)

где η

—

концентрация носителей заряда (электронов или дырок):

= 2$ /о(£, T)N(E)dE, (39.21)

т. е. /Соо выражается через концентрацию носителей заряда. Но из

(39.19) видно, что K'

должно быть пропорционально концентрации

носителей'заряда, поскольку 2f

(E, T)N(E)dE есть число частиц

в интервале энергии dE, так что ^

оо

^ = <

Умножим и разделим (39.19) на концентрацию частиц, получим

со

5 · (39.23)

Обозначим множитель при -4^(39.23) в виде

•

dn (Ε)

т-

τ*

2 }

+ μ2Β2

/ Ε'τ* \ (39.24)

3 kT со "χΐ+μ

^/;

234

£r

он представляет собой усредненное с весом

по

носителям за-

ряда время релаксации в степени s.

Выражение (39.24) можно записать в более удобной для вычис-

ления форме, если перейти к безразмерной переменной x = JL·:

- ι

Γ+ΊΓ

гЦ )T+F»

X dx

/ Ε'τ* \ __ 2 (kT)

\1 +

μ2β2

У _3 00

3{kT)

) (Г*х

оо 1

f τ

5 г

+2\

= ° 1 , . (39.25)

Ε'

Время релаксации в степени s, усредняемое с весом

, обо-

значают также в виде среднего значения τ

с числом скобок, рав-

ным г:

/ "fit' \

/ /_£_\ \ (39 26)

Таким образом, кинетические коэффициенты можно выразить

в виде

• <

Если в полупроводнике имеются носители заряда различных видов,

то для каждого из них можно вычислить кинетические коэффициенты

в соответствии с (39.27).

Рассмотрим один частный, но практически очень важный случай,

когда время релаксации является степенной функцией энергии:

τ (Ε) = r

= -щу х

= (39.28)

где т

τό

—некоторые константы. Подставим (39.28) в (39.25):

sp+r+\/2

С *!!

J 1

•e~

/ Erts \ _

(kT)r

+ μ2

^ (39.29)

\1 +

μ2β2

у — з Φ* )

ο оо

$ Λ;

235

Если положить В =

О,

то интегралы (39.29) сводятся к гамма-функ-

ци и Эйлера

(Е'х*) = (кТу-Х* \

> . (39.30)

Появление Г (5/2) вместо Г (3/2) в знаменателе связано с тем,

что мы вместо 2/3 в числителе записали 3/2 в знаменателе и учли,

что 3/2-Г(3/2) = Г(5/2). Выражение (39.30) будет использовано в

дальнейшем.

2. Вырожденный полупроводник. Для вырожденного

полупроводника

—

-Ц- — поэтому интеграл (39.17) вычисля-

ется элементарно:

1 JL

К' —

4 pr%S

(F\

—

8jx

(

* ^

2 ρκ

1τ8

—

Ars

3m*

+ μ

(F) В

m*'\ № )

1+μ

(/4£

~m*~ 1

+ μ

(F) В

' (39.31)

Если записать K'

для вырожденных полупроводников в виде (39.27),

то среднее значение времени релаксации можно определить соотно-

шением

_ Fr-iTS (F)

+ μ

~~ 1

(F) В

2 9

Κον.ΟΔ)

т. е. усредненное значение времени релаксации определяется только

временем релаксации носителей заряда, лежащих на поверхности

Ферми.

Эффективная

масса —тензор

второго ранга. Перейдем к вычис-

лению кинетических коэффициентов для случая, когда эффективная

масса является тензорной величиной, имеющей (для простоты) диа-

гональный вид

—ё^т—ν±

άΧκ

. (39.33)

Предположим по-прежнему, что τ является функцией только энер-

гии, т. е. теперь τ будем считать анизотропной величиной: τ = τ(£').

Выразим элемедт объема dx

через элемент энергии dE и элемент

площади поверхности энергии:

dSJE dS

„dE

άτ

= dS

= —= Д—^

(39.34)

У Σ

1=1

236

Для вычисления. интеграла по поверхности введем различный

масштаб по различным направлениям в зоне Бриллюэна, т. е. вве-

дем новые переменные

Wf-

V2mi

ИЛИ

;

Ъхх

= Уъщ w

(39.35)

= ¥*»L

(39.36)

Найдем связь между энергией и w

^ о з

. (39.37)

/==1 1=1

Мы видим из (39.37), что в переменных Wi изоэнергетическая

поверхность является сферической.

Выразим Krs через w. Для этого запишем

άτ

= dK

(8mi m

(39.38)

Согласно (39.5)

dry, = dS (w) dw

, (39.39)

с другой стороны,

dE = dw) = (wdw) = = VE dw

, (39.40)

поэтому

(39.41)

или

, (8/%/κ

/κ

)

dEdS (w)

/QQ 0

- . (0У.42)

Учитывая, что

запишем·

4я

*<=ΐτ==|Λ|ν <

f а/о £>-ΐτ« С (8

|m*|)

/ 4 ,

*Ущ«Ч J

}

+ m*B) VE

(

l *

237

WiXk

J w

Но согласно (39.13)

uwf 4π

= (39-45)

(5ι)

и, следовательно, K'

является диагональным тензором. Вводя выра-

жение для плотности состояний

Ν (8т

)

(Я

=0), (39.46)

можем представить кинетический коэффициент в виде

4б

г/

со df

Ν (Ε) E

K'ii,

* \

S №· 1+^5.(8, m*B)

· <

0 |m*|

Для изотропной (скалярной) эффективной массы выражение (39.47)

переходит в (39.17).

Выражение (39.47) для К'/> можно записать в форме

i = -£-/ Λϊ (

)

поскольку при i = f mi = mj. Мы видим, что все кинетические коэф-

фициенты анизотропны, при этом тензор Krs пропорционален тен-

зору πι*

-1

Яш =

/ —^ \ т*~\ (39.49)

Йг

(В

В)

ЭТО означает, что на протекание кинетических явлений сущест-

венное влияние оказывает форма изоэнергетических поверхностей.

Резюме§39

1. Вычисление кинетических коэффициентов удобно свести к интег-

рированию по поверхности энергии с последующим интегрированием

по энергии. Вычисления имеют более простой вид для сферических

поверхностей энергии, поэтому для упрощения расчетов эллипсо-

идальные поверхности энергии преобразуются в сферические соответ-

ствующйм выбором масштаба вдоль осей эллипсоида.

2. Тензор кинетического коэффициента пропорционален тензору

обратной эффективной массы.

3. Тензор кинетического коэффициента

Krs^nm*-' /

Erx$

(39.1 ρ)

\1+~(В. ·η*Β) /

238

Если магнитное поле отсутствует, то, опуская штрих, запишем

= nm*"' (39.2р)

4. Усредненное время релаксации определяется для невырожден-

ных полупроводников выражением

оо

О i+'SrO». <η*Β) (39.3ρ)

L Τ

/—ёр· чиму-

оо 3

и для вырожденных полупроводников

У Е'%* F^s (F)

' / ДО \ = ДО · У

Р)

(В, rn*B) / 1 (В, т*В)

§ 40. ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Для описания электропроводности полупроводников необходимо

найти связь между плотностью тока j и электрическим полем Е,

вызывающим этот ток. Для этого необходимо положить В = 0

и Vf = VT = 0. В таком случае из (38.21) можем записать

j =

/CuE

= (7E. (40.1)

Из (40.1) следует, что тензор проводимости а связан с тензо-

ром Кп соотношением

*Кц = о, (40.2)

или

o = = = (40.3)

Таким образом, кинетическое уравнение Больцмана не только при-

водит к закону Ома, но и раскрывает более глубоко смысл проводи-

мости. Удельная проводимость и подвижность определяются усред-

ненным с весом Ε временем релаксации

оо _з

S X

(*) dx

{%)

= (Ετ) = °

. (40.4)

$ χ

239

При степенной зависимости времени релаксации от энергии

—

, или τ = τ'οΧ

, (40.4) позволяет записать для невырожденного

полупроводника

<τ> = τό

Пт+р

(40.5)

Г(|

+Р

)

В табл. 8 приведено отношение —'

ля

некоторых значе-

НИИ р.

Таблица 8

v«

-1

-*/

-2

r(f

3 У л

У л

105

У η

Ул

Κπ

r(f

8- 16

Κπ

r(f+„)

32/5 8/Ул 35/4

2/3

4/3

'г©

ЗУл

32/5 8/Ул 35/4

Ул

3Κπ

2/3

З/я

4/3

Для вырожденного полупроводника

(т) = т (F), (40.6)

поэтому дрейфовая подвижность определяется только временем рела-

ксации электронов или дырок, находящихся в состояниях вблизи

поверхности Ферми, в то время как в проводимость входит концент-

рация электронов. Это противоречие легко понять, если рассмотреть

выражение для функции распределения

Ϊ = /о + /

(1)

= /о -1 (*ν) =

/о

- § * (Εν) τ. (40.7)

Для вырожденных полупроводников Ц^О при ΕφΈ и поэто-

му поправка к невозмущенной функции /

равна нулю. Другими сло-

вами, внешнее поле Ε возмущает только состояния в окрестности

±kT у поверхности Ферми. Поскольку релаксация должна иметь

место только для этих состояний, усредненное время релаксации

<т) определяется величиной x(F).

240