Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

В слабом магнитном поле сумму можно заменить на интеграл:

Йсо

Σ l

Па>

° (

+ V

)]

172

л =

ftco

(В) —

(η

+ l/2)]'/2

dn /га/а

(β), (35.29)

• -

П^ШГРЪЧВ)

3 \ h?

Из (35.30) запишем выражение для F (β):

т-^&Г-*·

(35.30)

(35.31)

В сильном магнитном поле величина ν будет малой. Рассмотрим

такое поле, когда остается один невозбужденный уровень п = 0

(квантовый предел), тогда от суммы в (35.28) остается один член:

= . (35.32).

откуда

йсо

Йсо

16π

,+JVJL

^18I ^ωο

\ 2

. (35.33)

где F

определяется выражением (35.31).

Рассмотрим невырожденный полупроводнику для него концентрация

электронов дается выражением

= Hw

[2n(^J

]e ^ \ [Б-й©

(п+ 1/2)]~ч*е

dE.

О Дсоо (/I

1/2)

(35.34)

Особенность подынтегральной функции в точке Ε =

Йсо

(п + 1/2)

носит δ-образный характер и не приводит к расходимости интеграла,

что легко проверяется непосредственным вычислением. Действи-

тельно, рассмотрим интеграл

__ Х_

Х_ ОО

00 _

] (х

— а)—

'/2е

dAT

—2(лг —а)1/

е * | J (*-«)

l/2

dx =

а со 1/0 *

— Д

а '

= 2iV2

Ь J rfy

/2е Л Г (3/2) = ]/π& е

. (35.35)

211

Из (35.35) видим, что в результате интегрирования мы получили

χ ,

значение функции е

в точке х = а, т. е. Ν

(

}

(Ε) действительно

ведет себя подобно δ-функции. Запишем выражение для п

ПУ

учитьь

вая, что b =

kT\

α =

Ηω

(η+ 1/2):

F (В) ^

П(й

(п

1/2)

кТ

. (35.36)

Но

со Ηω

~тг

п — 0

1-е

tltoo'

" kT

(35.37)

Tl(Hq \п

так как ^е

). образует геометрическую прогрессию. Если учтем,

что

fi(Oo

~2kT

1-е

fi(D

' kT

ftp) о

2ЛГ

—e"

fiop

[

Ό)Γ· ' <

)

то окончательно для η можем записать

F(B)

sh.

(35.39)

При изнестной концентрации п

можно найти выражение для

уровня Ферми F(B):

β слабом магнитном поле

\2kT) \2kTj'

—

kT In?*

Νμ

(35.40)

(35.41)

(35.42)

Если учесть, что F в (35.42) отсчитывается от Е

(или Е

= 0)'

то (35.42) примет вид ' "

-F

= N

e~~*r~, (35.43)

что в точности совпадает с выражением (29.lip).

212

(35.44)

(35.45)

(35.46)

(35.47)

представляет собой наинизший (п = 0) уровень энергии при нало-

жении магнитного поля, поэтому можно сказать, что магнитное

поле способствует снятию вырожденияОно приводит к увеличению

ширины запрещенной зоны.

Резюме §35

1. В магнитном поле плотность состояний существенно видоиз-

меняется. Она обращается в бесконечность'в «вершинах» парабол

Ландау и уменьшается с ростом энергии для-каждой параболы Лан-

дау как Именно это свойство плотности состояний в магнит-

}ГЕ

ном поле позволяет говорить о дискретных уровнях. Ландау.

2. Выражение для концентрации носителей заряда и для уровня

Ферми в слабом магнитном поле не отличается от соответствующих

выражений в полупроводнике без магнитного поля. В сильном маг-

нитном поле соответствующие выражения существенно видоизме-

няются.

3. Рассмотренная в этой главе концентрация

(

носителей, заряда

обусловлена тепловой генерацией, т. е. носители заряда возникают:

за счет энергии тепловых колебаний решетки, с которой электрон-

ный (или дырочный) газ находится в термодинамическом равновесии,

поэтому эти носители заряда называют равновесными, а соответ-

ствующую им концентрацию называют равновесной концентрацией

носителей заряда.

В сильном магнитном поле

(I ,

\2kTj

или

Величина

(v q

\2kTj

+ ψ = ΕΛΒ)

Глава IV

КИНЕТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

§ 36. КИНЕТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ БОЛЬЦМАНА

Физические явления, обусловленные движением носителей заряда

под действием внешних и внутренних полей или разности темпера-

тур, называют кинетическими явлениями, или явлениями переноса.

К ним относятся электропроводность и теплопроводность, гальвано—

магнитные, термомагнитные и термоэлектрические явления. Кине-

тические явления лежат в основе фотоэлектрических и фотомагнит-

ных эффектов. Для качественного описания кинетических явлений

достаточно использовать представление о движении частиц под дей-

ствием внешних сил. Однако для их количественного описания

модельных представлений о движении частиц недостаточно. Чтобы

получить правильные выражения для величин, характеризующих

кинетические явления, необходимо использовать более общие методы

их описания, учитывающие различную роль носителей заряда, нахо-

дящихся в различных состояниях. Таким, достаточно мощным,

методом теоретического исследования кинетических эффектов является

метод кинетического уравнения Больцмана, которое описывает изме-

нение состояния частиц в результате действия различных факторов.

В идеальном кристалле состояние Ψκ(γ) остается неизменным

в течение сколь угодно большого времени.

Тем самым функция распределения электронов по состояниям

/ (г, к) также остается неизменной. Если наложить на систему элек-

тронов в идеальном кристалле внешнее силовое поле V (г), то состо-

яние каждого электрона в зоне Бриллюэна изменяется в соответ-

ствии с уравнением

Изменение квазиимпульса за время t не зависит от Р

, а опре-

деляется только импульсом силы

(36.1)

или

ρ (0 =$F

(ξ)

+ Po (0).

(36.2)

ΔΡ = Ρ

(/) —

(0) =

(ξ)

dl·,.·

(36.3)

214

Соотношение (36.3) показывает, что если в некоторый момент

f-ss0 электроны занимали- состояния, определяемые функцией

к)=/(г, то в момент времени t распределение электронов

о состояниям должно определяться другой функцией, имеющей вид

(g)rf(|)j«j

г, K(/)-l\F

(g)d(g)|=/(r, к). (36.4)

или

Другими словами, внешние (по отношению к периодическому

полю) сильГ приводят к изменению функции распределения электро-

нов по состояниям.

Запишем уравнение, определяющее изменение функции распреде-

ления во времени, т. е. запишем ее полную производную по времени:

df(r, к, t) __ df , df dr .df дк __ df , ,

. -

«δ M + dfdt+dK · m^N + ^rrv+T^^J· (

)

Мы учли (36.1) и то, что dr/dt = ν

—

скорость электрона.

В соответствии с теоремой Лиувилля о неизменности фазового объема

при движении системы вдоль фазовых траекторий или учитывая

сохранение числа состояний, можем записать

df/dt =

О,

, (36.6)

~| = (V/.v) + (v

/^). - -(36.7)

Уравнение (36.7) показывает, что изменение функции распределе-

ния со временем в каждой точке фазового пространства (г, к) обуслов-

лено движением частиц в обычном пространстве и в пространстве'

волнового вектора.

Сила F

определяется как внешними микроскопическими полями,

так и любыми нарушениями идеальности поля решетки

—

вакансиями,

атомами и ионами примеси, тепловыми колебаниями решетки.

Для большинства практически важных случаев необходимо знать

поведение твердого тела в результате воздействия внешних макро-

скопических полей. В таком случае все силы, обусловленные любыми

локальными нарушениями периодического поля, являются внутрен-

ними для данного кристалла, они должны быть выделены в особый

класс сил. Разделим силы F

на два класса

—

силы, порождаемые внеш-

ними макроскопическими полями, которые обозначим через F, и силы,

°бусловленные локальными

нарушениями периодичности поля

решетки, для которых используем обозначение ¥

. Действия внеш-

них F и внутренних сил противоположны. Внешние силы F

приводят к возникновению направленного движения частиц в про-

странстве квазиимпульса и в пространстве координат. Действительно,

Для каждой частицы

AP = jF(g)dg = F/

(36.8)

215

если F не зависит от времени. Можем записать точно такое же

выражение и для

ΑΡ = \¥,(1)άΙ. ' (36.9)

Но в каждой точке есть результирующая огромного числа

локальных полей, имеющая очень резкую и сложную зависимость

от координаты электрона или дырки. Это легко понять из рассмот-

рения действия полей двух ионов на три электрона, имеющих

одинаковый первоначальный квазиимпульс. Из рис; 59 видно, что

изменения квазиимпульсов трех электронов совершенно различны,

поскольку силы, действующие на электроны, зависят от их поло-

жения. Поэтому учесть действие внутренних сил F

на функцию

распределения на основании динамических закономерностей невозможно,

. • их необходимо заменить статистическими

W закономерностями.

^ Если внешние поля F приводят к «мед-

* ленным», изменениям состояния частицы,

^ч/ то внутренние поля могут привести

* к резким изменениям состояния за корот-

Рис. 59. Влияние полей кое время, в течение которого электрон

ионов на изменение квази- проходит малую область локального воз-

импульса электронов мущения. Действительно, если область дей-

стви я локального возмущения имеет раз-

меры в несколько периодов решеткй, т. е. порядка 10~

см, а ско-

рость частицы

—

около 10

см/с (тепловая скорость), то время

взаимодействия с локальным центром составит всего лишь 10~

с.

Такое кратковременное взаимодействие приводит к значительному

изменению скорости и квазиимпульса электрона,' что равносильно

удару в' механике, поэтому его называют соударением или столкно-

вением. В связи с тем что соударения приводят к изменению числа

частиц, имеющих направленное движение, процессы соударения назы-

вают также процессами рассеяния.

Чтобы описать различный характер" действия внешних и внут-

ренних сил, перепишем уравнение (36.7) с учетом двух классов

сил F и F'д.:

-f = (v, V

/) + l(F, V

/) + 4(F

, V

/). (36.10)

Уравнение (36.10) показывает, что функция распределения

изменяется вследствие движения чйстиц со скоростью ν и в резуль-

тате действия внешних F и внутренних сил.

Обозначим изменение функции распределения вследствие движе-

ния частиц и действия внешних сил через (df/dt)

n0Jl

, очевидно, что

(<Э//<?0пол

= (v,

+ -L (F, V

/). (36.11)

216

Здесь (df/dt)

n0Jl

носит название полевого члена уравнения

Болыдоана.

Обозначим через

(<df/dt)

ст

изменение функции распределения в ре-

зультате соударений:

-®

-т<

«· •*·/>· (

36Л2

Величину (df/dt)

ст

называют интегралом столкновений (или соу-

дарений), последнее название связано с интегральным представле-

нием (df/dt)

~. Таким образам, изменение функции распределения

во времени представлено в виде двух членов

—

полевого члена

(df/dt)„од и интеграла соударения (df/dt)

(df/dt) = (df/dt)

n0Jl

+(df/dt)

. ' (36.13)

Для нахождения (df/dt)

используем статистические методы

описания физических явлений.

Предположим, что в результате столкновений частицы переходят

из состояний (г, к) .в состояния (г', к'). Пусть вероятность этого

перехода в единицу · времени равна w(к, к'). Очевидно, что

в. результате соударений координата не испытывает резкого изме-

нения, поэтому вероятность перехода .не будет зависеть от г и г'.

Возьмем два элементарных объема dx

и dx

> вокруг точек к и к\

Число состояний в них с учетом спина равно соответственно dxJ4π

и dt

'/4π

для единичного объема кристалла. Число занятых состоя-

ний равно /(г, κ)^τ

/4π

и /(г, κ')άχ

>/4π

; а свободных состояний

[1-—/(г, κ)]^τ

/4π

и [1

—

/ (г,к')] ίίτ

'/4π

. В результате столкнове-

ний электроны переходят из dx

в dx

> и из dx

> в dx

: Число

переходов будет определяться, помимо вероятности w (к, к'), числом

занятых исходных состояний и свободных конечных состояний

(необходимо учитывать принцип Паули). Поэтому в результате пря-

мых переходов электронов из dx

в άτ

' и обратных из dx** в dx

число занятых состояний за время dt изменится на величину

{

dx dx'}

w{К, к') ^/(г, к)[1—/(г, к')] 4^} +

{

dx, dx Τ

ш(к\ •K)

J-/(r

к')

-/(г, -к)]·^}.. (36.14)

Первое слагаемое определяет уменьшение числа частиц в эле-·

менте объема dx

в результате прямых nepexodoe из dx

вто-

рое слагаемое onpedeляem увеличение числа частиц в dx

в результате

обратных nepexodoe из dx

> в dx

с вероятностью w(к', к). Полное

число изменений занятых состояний за время dt в элементе объема

найдем интегрированием выражения (36.14) по всей области

изменений к', т. е. по объему зоны Бриллюэна V

dt^ \ {w(к', к)/(г, к')[1 —/(г, к)]-

(М

~W(K, κ')/(Γ,

к)[ 1 —

/(г, (36.15)

217

С другой стороны, число занятых состояний в каждый момент

времени равно

(г, к) άτ

/4π

и изменение его за время dt в резуль-

тате соударений можно выразить в виде

Приравнивая выражения (36.15) и (36.16), получим после сокра-

щения на dt ίίτ

/4π

(Ά

-τΡ»

')[i-/C·. к)]-.

(Μ -

-w{к,

к') / (г, к) [1

—/(г, к')]} = S {1>

(

)

') -

(''к)

—

до.

(к,

к') /(г,

к)]-[а» (к',

к)

а» (к,

к')]/(г, к)/(г, к')}

(36.17)

В том случае, когда вероятности прямых и обратных переходов

равны:

а» (к,

к') =

(к', к), (36.18)

интеграл столкновений (36.17) упрощается:

(Μ

• Учитывая (36.13), (36.11) и (36.17), получим

!=-(v, V

/)-L(F, V

/)+^(K, к')[/(г, к')-/(г, к)]^:

(

κ)

(36.20)

Уравнение (36.20) носит название кинетического уравнения Больц-

мана,.

Поскольку под интегралом в (36.20) стоит искомая функция, это

уравнение является интегро-дифференциальным. Его решение в общем

виде не получено.

Для стационарного'состояния df/dt = 0, и кинетическое уравнение

имеет вид

(да)

ол=-да)с

, (

21)

или • .

(V, v

/(r, K)) + |(F, V

/(r, K))=U(K, к')[/(г, к')-/(Γ, к)]^.

ίΜ

(36.22)

218

Выражения (36.21) или (36.22) показывают, что в стационарном

состоянии изменения функции распределения, создаваемые внешними

полями и движением частиц, компенсируются столкновениями носи-

телей заряда с локальными нарушениями периодичности поля решетки.

Если (df/dt)

CTt

то df/dt=^=0 и функция распределения ме-

няется во времени в ту или другую сторону в зависимости от того,

какой процесс превалирует —изменение / под действием полей илй

в результате рассеяния носителей заряда.

Условия применимости кинетического уравнения можно сформу-

лировать следующим .образом.

1. Внешнее воздействие не должно менять спектр энергии элек-

трона в кристалле. Это накладывает ограничения на величины

полей.

2. Поскольку кинетическое уравнение является квазиклассиче-

ским, оно не применимо для описания процессов малой длител ьности,

происходящих в малых объемах, так как это приводит к большой

неопределенности в энергии и квазиимпульсе.

Резюме§36

1. Физические явления, обусловленные движением носителей заря-

да в полупроводнике, в котором создан градиент^ температуры или

действуют внутренние и. внешние поля, называют кинетическими

явлениями. Для их описания используют кинетическое уравнение

Больцмана.

2. Из того факта, что полное число состояний в кристалле есть

постоянная величина, следует, что полная производная по времени'

от функции распределения

(г, к, t) равна нулю:

df/dt = 0. (36.1 ρ)

Дифференцируя /(г, к, t) по времени как сложную функцию,

т. е. считая, что гик являются функциями времени, и учитывая

(36.1р), получим .

дПг

?' ° =(v> Ч(г, К, F, VJ (г, к, t)). ' (36.2р)

Изменение функции распределения со временем представляется

в виде суммы двух

членов

—

полевого и столкновений:

df/dt = (df/dt)

n0Jl

+ (df/dt)

, ' (36. Зр)

где

(1)„ол=-

(У

' (36.4Р)

(1)

сх

=-¥(

- (36.5р)

219

3. Соударения приводят к переходу частиц из одного состояния

в другие с вероятностью w (к, к'). Это позволяет выразить действие

соударений (df/dt)

в виде

(%)= $Мк', к)/(г, к')[1 —/(г, к)]-

-W(K, к')/(Г, к)[1-/(г, к')]}^· (Зб.бр)

. А: Кинетическое уравнение Больцмана имеет вид

дПТ

п' °"(

» W· VO)—jf(F, ν

/(Γ, к, t)) + [|)

ст

. (36.7р)

Для стационарного состояния с учетом &y(k, K') = W(K', к) урав-

нение Больцмана имеет вид

((ν, V

/(r, к)) + 1-(Р,-У./(г

'к)))= -

= i К') [/(г, к')-/(г, к)]dx

, (36.8р)

К)

В стационарном состоянии изменения, вносимые полем, компен-

сируются Соударениями.

§ 37. ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ

Решение кинетического уравнения в общем виде представляет

собой очень сложную задачу, которая значительно упрощается для

того случая, когда можно ввести так называемое время релаксации.

-Предположим, что в некоторый момент времени

= 0 полевой

член обращается в нуль (выключаются поля):

(df/dt)

пол

= 0. (37.1)

Из (36.13) следует,-что функция распределения изменяется в

результате действия соударений:

df/dt = (df/dt)

. (37.2)

В момент выключения поля система частиц находилась в стацио-

нарном неравновесном состоянии, после выключения полей процессы,

соударений должны привести систему частиц в равновесное состояние,

другими словами, соударения восстанавливают нарушенное полями

равновесное состояние. Простейшее предположение относительно про-

текания процесса релаксации состоит в том, что скорость восстанов-

ления равновесия пропорциональна величине отклонения [/(г, к,

—

/о (

к)] от равновесия:

df _ т /(с, к, 0—/о (г, к) -

п7 3)

dt - [dtjcτ - τ~(κ) ·

220 '