Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Для невырожденных полупроводников

= A //Л оч

дЕ kT (

·°)

ϊΐ

f = fo + P

=*fo + {fre(Ev)%, (40.9)

т. е.

= Εν) τ (40.10)

— различные энергетические состояния возмущаются по-раз-

ному — чем меньше энергия, тем больше /

и тем больше должна

быть /

(1)

. Однако ν = 0 при Е = Е

, поэтому состояния, лежащие у E

возмущаются меньше, чем состояния, лежащие несколько выше Е

(порядка kT). Рассмотрим относительное изменение функции рас-

пределения

= (40.11)

Мы видим, что относительное изменение функции распределения

с ростом энергии и тем самым ν, возрастает. Кроме того, отно-

сительное изменение будет тем больше, чем ниже температура.

/о

Это имеет наглядный смысл. Электрическое поле Ε изменяет / в

результате работы dA сил электрическое поле еЕ при движении

в нем электронов. За время dt электрон проходит путь .ds = vdt.

Разность потенциалов άφ между точками, лежащими на рассто-

янии rfs, равна *

άφ = — (Eds) = — (Εν) dt, (40.12)

и разность потенциальных энергий

dV =

edq>

= — e{F.\)dt. (40.13)

Если учесть, что полная энергия системы электрон

—

поле оста-

етс я неизменной, то

dE + dV = 0, (40.14)

d$ = — dV = e(Ev) dt = dA dA= — dV. (40.15)

т. е., если электрон движется по полю (Ev)>0, то его энергия

уменьшается (е<0), и электрон переходит на более низкие уровни

энергии. Если электрон движется против поля, то (Ev) <0 и dE>

> 0

—

энергия такого электрона увеличивается, и электрон перехо-

дит на верхние уровни. Таким образом, электрическое поле увели-

чивает энергию тех электронов, которые имеют компонент скорости

против поля, и уменьшает энергию электронов, имеющих компонент

скорости вдоль поля. Это приводит согласно (40.11) к увеличению

числа частиц, имеющих скорость против поля, и к уменьшению

числа частиц, имеющих скорость (или компонент скорости) вдоль поля.

241

При этом изменение числа частиц будет тем больше, чем меньше

т. е. чем свободнее уровни. Если уровни энергии заняты, то пе-

реход электронов с уровня на уровень невозможен, поэтому =

для E<F в вырожденных полупроводниках. Но это значит, что

в вырожденных полупроводниках (и металлах) в создании тока участ-

вуют электроны в узком энергетическом интервале порядка F±kT.

Поскольку число электронов у поверхности Ферми будет тем

больше, чем больше площадь поверхности, a S

в свою очередь

будет тем больше, чем больше концентрация электронов п, число

эффективных носителей заряда оказывается пропорционально полно-

му числу электронов /г, что и объясняет противоречие между приве-

денными выше рассуждениями и формулой (40.16)

а = βημ (F) = е

х (F) шп* ~

, (40.16)

где фигурирует полное число электронов.

Рассмотрим теперь проводимость полупроводника, имеющего Μ

долин, или, точнее, Μ эллипсоидов энергии.

Если обозначить номер долины буквой ν и плотность тока, созда-

ваемого носителями заряда этой долины, буквой j

(v)

, то полная

плотность тока

j = Σ i

<v)

- · <

)

ν =

Чтобы найти j<

\ необходимо выразить вектор Ε в главных осях

тензора т*

-1

для ν-долины; пусть Ε имеет вид

Е = (Е(v); Ер>; Ef)). (40.18)

В этом случае

j(v)

= (j

);

j(v

);

j(v)) = (σ<ν)Ε(ν); σ(ν)

(ν); σ<ν>Ε<ν>), (40.19)

где

(ν)

£ΐ^

<τ>

(40.20)

имеет одинаковый вид для всех долин. Через η

(ν)

мы обозначили

количество носителей заряда в ν-долине (в ν-эллипсоиде). Поскольку

все эллипсоиды эквивалентны,- то из условия

ΣηΜ=η (40.21)

ν —1

следует, что

> = 3j. (40.22)

Ток j можно выразить, преобразовав все тензоры проводимости

σ<

ν)

к одним и тем же осям координат, тогда

j = 2

σ(ν)Ε

σΕ

> <

23)

ν=ι

242

Ρ»

где тензор проводимости σ есть сумма тензоров σ<

>. Как известно

//-компонент суммы тензоров равен сумме //-компонентов слагаемых

которые должны быть записаны в одной и той же системе коорди

нат. Для того чтобы преобразовать тензор от одной системы коорди

нат к другой, необходимо знать взаимосвязь соответствующих коор

динат. Напомним, что если известен тензор Τ в некоторой системе

координат {*;}, то тот же тензор V в другой системе координат {х[}

может быть получен следующим

образом:

дх]

~~ L· dxi дх

1т

Если

4 = Σι

ι>

(40.24)

(40.25)

то

^ = аа = cos

(x'i,

) (40.26)

(40.27)

Рис. 60. Связь между осями координат

изоэнергетических поверхностей зоны

проводимости кремния

Τij = Σ

jtn^lm·

Чтобы найти тензор Τ' в осях

координат {Л;'}, необходимо за-

дать положение двух систем

координат. Рассмотрим в каче-.

стве примера кремний как более

простой

случай.

За оси координат (х\ у\ ζ') для кристалла в целом возьмем три

направления типа [100] (рис. 60). Для 1 и 4 эллипсоидов в каче-

стве главных осей (х

у, ζ) возьмем соответственно:

. = г*

* = Ζ<

у' = *(!> = л;(4), (40.28)

г' = г/0) = ί/(4).

Матриц у преобразований осей можно записать в виде

/О о 1\

Ad) = АН) = {αΘ} = 1 0 0 (40.29)

\0 1 0/

и 5 эллипсоидов можно записать следующие преобразова-

Для 2

ния осей:

л:' = 1/(2) = у(5); у' =

(2)

= 2

(Б)

; г

^(2)

^(5).

/0 1 0Ν ^

А(2)

А<5) =001= Ad)..

\l 0 о/

(40.30)

243

. Для 3 и 6 эллипсоидов штрихованные и нештрихованные оси

совпадают

= Х<3> = ЛГ(6); у'

у{ 3)

0(6);

= 2

(3)

= 2

(6).

100

д(з)

д(б)

о 10. (40.31)

\0 О 1/

Выбор матрицы преобразований координат определяется следую-

щими очевидными соображениями: третья главная ось соответствует

оси вращения эллипсоида, поэтому

(1)

= х

(2)

= г

(5)

у'.

{3)

= 2

(в)

(40.32)

Первая и вторая оси лежат произвольно в плоскости, перпенди-

кулярной оси вращения; для упрощения преобразований их удобно

совместить с осями штрихованными, сохраняя лишь правовинтовую

систему координат. Запишем тензоры σ

(ν)

в осях (х\ у\ г'), исполь-

зуя закон преобразования (40.27):

= 2 Mrndt = I] a

<j\

= 23 WivF. (40.33)

Im Im I

Опуская выкладки, запишем тензоры σ'

1ν)

(учитывая (40.33) и

(40.29-31):

Μ» 0 0 \ /σ<» 0 0 \

</U)

= CF

'u)

θ) 0 ; = = σ<

> 0 Ь

\0 0 σ<'>/ \0 0 σ<

/σ<

> 0 0 ^

Ί3)

=σ

' (β)

(ο σ<

0 J . (40.34)

\0 0 σ<3)/

Вид тензоров σ'

(ν)

легко получить, если учесть, что произведения

элементов двух разных (i Φ j) строк и одного и того же столб^(0

для всех трех матриц А равны нулю, поэтому σ' остаются /диаго-

нальными. Вид, например, σ

αι)

легко понять из простых физи^ских

соображений: если приложить электрическое поле вдоль оси то

для первого и четвертого эллипсоидов оно будет направлено вдоль

оси вращения, поэтому ток должен определиться компонентом а

для двух других пар эллипсоидов поле лежит в плоскости, перпен-

дикулярной оси вращения, поэтому их вклад в проводимость опре-

делится компонентами σ

и σ

. Найдем тензор полной проводимости,

который будет также диагональным:

οη = о Ду,

где

αχ = 2 (σ1

+ аз

= 2(ai

+ ^

+ a'3

), (40.35)

= 2 (ai

+ а'з

').

244

Мы видим, что диагональные компоненты полной проводимости

получаются суммированием диагональных элементов разных эллипсо-

идов проводимости. Если эллипсоиды эквивалентны, то все σ

(ν)

оди-

наковы, и \

= 2(σ(ν) + σ(ν)+σ(ν)) = σ,

= 2 (σ(ν) +

σ(ν)

<ν))

, (40.36)

= 2(σ(ν) + σ(ν)+σ(ν)) = σ

-—удельная электрическая проводимость описывается диагональным

тензором с равными компонентами, т. е. σ является скалярной вели-

чиной. Таким образом, симметричное распределение анизотропных

проводимостей долин приводит к изотропной полной проводимости.

Выразим проводимость σ через концентрацию и подвижность носите-

лей заряда:

σ = 2 (σ(ν> +

σ<ν>

+ <ф) = 2Λι<ν>

<τ>

+ +

J_J

= 2^(τ>(| + 1). (40.37)

Мы учли, что т

= т

= m

и т

= т

. Введем «изотропную»

эффективную массу проводимости т* соотношением

± = l(±

±\

l(l

L\ (40.38)

m* 3 \т

/ 3 \т/ т//

Используя т*, можем записать выражение для σ в виде

6e*n

(V)

(τ) еяе

<τ\

//Α οη

;

σ = —

(40.39)

/я* /72

где

m* 3 \m/ tnij

Мы видим, что подвижность определяется «изотропной:» эффектив-

ной массой т*, связанной с формой изоэнергетических поверхностей.

т*-

равна среднему арифметическому значению mf

, в то время

как т^

связана со среднегеометрическим значением компонентов тТ

т\ = М

8т

= M

(40.41)

Аналогичным образом можно рассмотреть проводимость электрон-

ного германия.

Рассмотрим вопрос о проводимости вещества, в котором имеются

носители заряда различных типов: электроны и дырки с различ-

ными эффективными массами. Если обозначить плотность тока, соз-

245

даваемого носителями заряда α-типа, через j

, то полная плотность

тока j может быть записана в виде

j = = σΕ = (2>α) Ε, (40.42)

α /

β2

Σ ^ = (

или

Обратимся теперь к уравнению (38.2р) для плотности потока энер-

гии. При тех же предположениях, которые были сделаны при выводе

выражения (40.1), получаем

W = e/T

E. (40.44)

Выразим плотность потока энергии W через плотность тока j:

W = еК

Ε = еК

^ = П]. (40.45)

Поток энергии, обусловленный направленным движением носителей

зарядов, называют потоком Пельтье, а величину Π называют коэф-

фициентом Пельтье. Из (40.45) следует, что коэффициент Пельтье

выражается через кинетические коэффициенты:

= =

(

4о.46)

еКц е {Ετ)

ν 1

Резюме § 40

1. Плотность тока в. однородном полупроводнике, все точки

которого имеют одну и ту же температуру, без магнитного поля

определяется выражением

j =е

/СцЕ, (40Л.Р)

т. е. кинетический коэффициент Кц равен тензору удельной прово-

димости σ, деленной на квадрат заряда. \

2. Усредненное время релаксации <т) выражается в невырожден-

ном полупроводнике в случае, когда τ = τ

= τ'οΧ

, через гамма-фун-

кцию:

3. В вырожденном полупроводнике усредненное время релакса-

ции совпадает со временем релаксации носителей заряда, находя-

щихся на поверхности Ферми:

(x)^x(F). (40. Зр)

246

4. Из кинетического уравнения следует, что дрейфовая подвиж-

ность носителей заряда определяется усредненным по энергии вре-

менем релаксации:

= (40.4р)

5. Если полупроводник имеет Μ эквивалентных долин, то пол-

ная проводимость σ равна сумме проводимостей каждой долины:

(40.5р)

ν= I

при этом тензоры σ

(ν)

необходимо записать в одной и той же сис-

теме координат. Если проводимость, создаваемая каждой долиной,

анйзотропна, то при симметричном расположении долин в зоне

Бриллюэна полная проводимость а становится изотропной. Ее можно

характеризовать изотропной эффективной массой проводимости т*,

которая в случае

кремния (зона проводимости) связана с компонен-

тами тензора эффективной массы в виде

\{-

+±+

τ{-

+λ

)· (4о.бр)

т* 3 \tn

/ 3 \/я/ mij

v r/

§ 41. ГАЛЬВАНОМАГНИТНЫЕ ЭФФЕКТЫ

Физические явления, возникающие в веществе, находящемся в маг-

нитном поле, при прохождении через вещество электрического тока

под действием электрического поля, называют гальваномагнитными

эффектами. Другими словами, гальваномагнитные явления наблю-

даются β веществе при совместном действии электрического и маг-

нитного полей. К гальваномагнитным явлениям относятся: 1) эффект

Холла; 2) магнитнорезистивный эффект, или магнетосопротивление;

3) эффект Эттингсгаузена, или поперечный гальванотермомагнитный

эффект; 4) эффект Нернста, или продольный гальванотермомагнит-

ный эффект. Эффект Холла

в узком смысле слова называют также

гальваномагнитным эффектом. Указанные выше названия «попереч-

ный» и «продольный» гальваиотермомагнитные эффекты отражают

направления градиентов температуры относительно тока; по отноше-

нию к магнитному полю они могут быть поперечными или продоль-

ными.

Гальваномагнитные эффекты можно представить на основе рас-

смотрения движения заряженной частицы в электрическом и маг-

нитном полях под действием силы Лоренца:

F = eE + £[vB] = m*r. (41.1)

Напомним, что в параллельных электрическом и магнитном полях

частица движется по винтовой линии с непрерывно возрастающим

247

шагом. Это легко понять, если учесть, что в одном магнитном поле

частица, имеющая скорость ν\\ вдоль поля и v

—перпендикулярно

полю, — вращается по окружности радиуса

г = —гг = — (41.2)

еВ w

еВ

с угловой скоростью w

= ^ и перемещается вдоль поля со ско-

ростью V\\.

Поскольку электрическое поле не влияет на v

но меняет v\\

становится очевидным, что движение происходит по винтовой линии

с переменным шагом.

. В поперечных (или скрещенных) полях Ε и В частица, не имею-

щая начальной скорости, движется по циклоиде: частица вращается

по окружности радиуса

т*Е

/л

оч

г = (41.3)

центр которой движется равномерно в направлении, перпендику-

лярном электрическому и магнитному полям со скоростью дрейфа u

»<,=

ψ. (41.4)

Если частица имеет начальную скорость νο, лежащую в плос-

кости, перпендикулярной магнитному полю, то траекторией частицы

является трахоида (удлиненная или укороченная циклоида).

Чтобы представить движение частицы в том случае, когда началь-

ная скорость имеет составляющую вдоль магнитного поля, необхо-

димо иметь в виду, что на эту составляющую скорости не оказы-

вает воздействие ни электрическое, ни магнитное поля.

При движении частиц в твердом теле необходимо учесть соуда-

рения, которые нарушают направленное движение частиц под дей-

ствием полей. После каждого соударения частица будет двигаться

по винтовой линии или трахоиде, которые характеризуются новыми

параметрами. . /-

Для характеристики величины поля необходимо сравнить время

релаксаци и с периодом вращения частицы под действием магнит-

ного поля. Если время релаксации значительно превосходит

2π ^

период —, то за время τ частица совершает несколько оборотов, дви-

гаясь по циклоиде или винтовой линии. Это возможно при больших маг-

нитных полях. Если частица не совершает даже одного

оборота за время, τ, то магнитные поля считаются малыми. Таким

образом, в сильных полях

WcT

= £!;>l, (41.5)

2л т* 2π

в слабых полях

τ βτ В

2π m* 2π

<1. (41.6)

248

Как видим из (41.5) и (41.6), понятие «<сильные» или «слабые»

поля зависит не только от величины индукции магнитного поля β,

но и от подвижности носителей заряда. Условия (41.5) и (41.6)

можн о связать с радиусом окружности г, по которой движется час-

тица, и длиной свободного пробега I:

l =

v%\

г = ~; - = ογτ.

(41.7)

Следовательно, в слабых магнитных полях г /

—

траектория час-

тицы искривляется незначительно, в сильных магнитных полях тра-

ектория изменяется очень сильно.

Для понимания одних явлений достаточно учесть только скорость

дрейфового движения v

= μ^Ε, в то время как для понимания

других эффектов важно иметь в виду разброс скоростей электронов.

Все это учитывается кинетическим уравнением, поэтому оно позволяет

получить значительно более

точное описание кинетических

эффектов.

1. Эффект Холла. Рас-

смотрим качественно действие

магнитного поля на полупро-,

водник, по которому течет ток.

Пусть полупроводник имеет вид

параллелепипеда сечением а -с никах

(рис. 61). Электрическое поле

направлено вдоль оси χ: Ε = (Ε, 0, 0), магнитное поле вдоль

оси у:

= (0, В, 0). При включении электрического поля возникает

электрический ток

j = σΕ. (41.8)

Носители заряда получают скорость направленного движе-

ния v

—

дрейфовую скорость— по полю для дырок и против ПОЛЯ

для электронов. При включении магнитного поля на электроны и

дырки действует сила

F = e[w

(41.9)

Ρ η

Рис. 6Ϊ. Возникновение поля Холла в

электронном и дырочном иолупровод-

перпендикулярная v

и В. Но

поэтому

ν,/ = μ-rfE = Ε,

F = ^[EB],

(41.10)

(41.11)

т. е. сила Лоренца не зависит от знака носителей заряда, а опре-

деляется только направлением полей Ε и В, или ) и В. Для случая,

представленного на рис. 61, F направлена вверх. Носители заряда —

электроны и дырки

—

отклоняются в одну и ту же сторону, если их

скорость определяется электрическим полем.

249

Таким образом, в результате действия полей Е, В и столкнове-

ний электроны и дырки будут двигаться по траектории в виде пря-

мой линии, усредняющей отрезки циклоид, под углом φ к полю Е.

Другими словами, вектор j будет повернут на угол φ относительно

вектора Е, причем направление поворота зависит от знака носите-

лей заряда (рис. 62, а, б), именно в силу того, что и электроны,

и дырки отклоняются в одну и ту же сторону.

Таким образом явление должно протекать в неограниченном

веществе. Если же полупроводник имеет конечные в направлении

оси ζ размеры, то в результате того, что компонент \

Φ 0, прои-

ченном (в, г) полупроводниках (α,

—л-тип; б, г-р-тип)

зойдет накопление носителей заряда на верхней (в нашем случае)

стороне образца и возникнет их дефицит на нижней. Противопо-

ложные стороны образца заряжаются, и возникает поперечное пу

отношению к F электрическое поле. Это поле носит название пяля

Холла, а явление возникновения поперечного поля под действием маг-

нитного поля называют эффектом Холла. Направление поля Холла Е

зависит от знака носителей заряда, в нашем случае Е

направлено

вверх в я-образце и вниз в р-образце. До наложения на образец

магнитного поля эквипотенциальные поверхности представляли собой

плоскости, перпендикулярные оси л:, т. е. вектору j. Величина

будет расти до тех пор, пока поперечное поле не скомпенсирует силу

Лоренца (41.9). После этого носители заряда будут двигаться как

бы только под действием одного поля Е, и траектория носителей

заряда будет представлять собой снова прямую линию вдоль оси

χ (напомним, что речь идет только о направленном движении), тем

самым вектор j будет направлен по полю Е. Но суммарное электри-

250