Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

ческое поле Е' = Е + Е

будет повернуто на некоторый угол φ

относительно оси χ или j (рис. 62, в, г).

Таким образом, в неограниченном полупроводнике поворачивается

вектор тока, в ограниченном

—

вектор электрического поля и в любом

случае между j и Е' (или Е) возникает угол φ, называемый углом

Холла. Эквипотенциальные поверхности в ограниченном образце повер-

нуты на угол φ относительно их первоначального положения, по-

этому в точках, лежащих в одной плоскости, перпендикулярной

j, появляется разность потенциалов V

= cE

, где Е

—

напряжен-

ность поля Холла, с—размер образца в направлении, перпендику-

лярном Ε и В; V

носит название холловой разности потенциалов.

Холл экспериментально нашел, что Е

определяется плотностью

тока j и индукцией магнитного поля В, а также свойствами образца.

Свойства образца определяются некоторой величиной R, называемой

коэффициентом Холла. Четыре величины: Е

, j, В и R связаны

эмпирическим соотношением

= R [Вj} = — R [jB]. (41.12)

Легко найти величину если учесть, что холлово поле должно ком-

пенсировать силу Лоренца:

еЕ

+ F = 0. (41.13)

Из (41.13) следует

' Е

= j F = ^—е [У^В]=— [v

B]=—μ

[ЕВ], (41.14)

с другой стороны, согласно (41.12)

= — [jB] =

—

7?σ [ЕВ]. (41.15)

Сравнивая (41.14) и (41.15), видим, что

Re = V

(41.16)

R = ^-=—. (41.17)

σ en

В данном случае через η обозначена концентрация носителей

заряда (электронов или дырок). Мы видим, что коэффициент Холла

обратно пропорционален концентрации носителей заряда и его знак

совпадает со знаком носителей заряда. ·

Определив знак R, можно найти тем самым знак носителей

заряда или тип проводимости. Знак же R определяется по знаку

, или V

, если соответствующим образом определить знак V

Угол Холла φ можно определить из соотношения

gφ

= ^ = -**!L·==-RoB = -μ

B. (41.18)

При заданных значениях Ε и В поле Холла определяется только

подвижностью носителей заряда.

251

В образце со смешанной проводимостью коэффициент Холла

должен зависеть от характеристик носителей заряда. Легко видеть,

что если в собственном образце подвижности носителей заряда оди-

наковы, то холлово поле будет равно нулю.

Коэффициен т Холла должен зависеть от температуры. Темпера-

турная зависимость коэффициента Холла позволяет получить тем

самым экспериментально температурную зависимость концентрации

носителей заряда:

Inn = — In [e

)\ 1η ρ = — In (e

). (41.19)

Оценим порядок величины R. Пусть п=10

см~

, тогда

R-

смз

1,6

10-19.1016 Кл Кл

Кл ·

В табл. 9 приведены значения R (в см

/Кл) для некоторых значе-

ний концентрации носителей заряда (в см~

Таблица 9

П.

см~

10"

6,25-Ю

см

Кл~

6,25-Ю

6,25.10

625

100

62,5 10

см"

6,25-Ю

10"

6,25-Ю

см

Кл~

6.25 1 0,625

0,1

0,063

0,01

0.006 0,001

0,0006

Мы определили R через поле Е

, однако экспериментально опре-

деляют холлову разность потенциалов V

= Ε

с> а вместо плотности

тока измеряют ток I = jac, поэтому R можно выразить в виде

иН

R =

]В

CLB

(41.^

Если для измерений входящих в формулу (41.20) величин исполь-

зовать вольт, метр, ампер, тесла, то получим R в м

/Кл. Если

использовать несистемные единицы

—

вольт, сантиметр, ампер, гаусс,

a R выражать в см

/Кл, то, учитывая связь между единицами: 1м =

= 10

см; 1Τ = 10

Гс, получим

(41.21)

WgL

U 108 У* (В) а (см)

\Клу /(А)Я(Гс) 1(A) В (Гс)

2. Магнетосопротивление, эффект Гаусса. Магнит-

ное поле приводит не только к появлению холлова угла между j

и Ε, но и влияет на величину электропроводности. Без магнитного

252

поля частица движется прямолинейно и между двумя столкновениями

проходит путь, равный длине свободного пробега L

Если включить магнитное поле, то траектория будет представлять

собой в неограниченном образце участок циклоиды длиной /, и за

время свободного пробега вдоль поля Ε частица пройдет путь, мень-

ший чем I, а именно,

(41.22)

Поскольку за время τ частица проходит меньший путь вдоль

поля Е, то это равносильно уменьшению дрейфовой скорости, или

подвижности, а тем самым и проводимости, т. е. сопротивление

должно возрастать. Очевидно, что

Ор

— σ

—/

_ μ

- 2 '

или

Ρ— Ρο_μ

Ро 2 '

Если учесть статистический разброс времен (и длин) свободного

пробега, то получим

-£=μ

Β\ (41.25)

Таким образом, сопротивление в магнитном поле возрастает.

Если рассмотреть ограниченный полупроводник, то холлово поле

компенсирует действие магнитного поля, в результате чего носители

заряда движутся прямолинейно, поэтому магнетосопротивление с этой

точки зрения, должно отсутствовать. На самом деле оно имеет место

и в этом случае, поскольку холлово поле компенсирует действие маг-

нитного поля лишь в среднем, как если бы все носители заряда дви-

гались с одной и той же (дрейфовой) скоростью. Однако скорости

электронов (и дырок) различны, поэтому на частицы, движущиеся

со скоростями, большими средней скорости, сильнее действует маг-

нитное поле, чем холлово. Наоборот, более медленные частицы откло-

няются под действием превалирующего холлова поля. В результате

разброса частиц по скоростям уменьшается вклад в проводимость

быстрых и медленных носителей'заряда, что приводит к увеличению

сопротивления, но в значительно меньшей степени, чем в неограни-

ченном полупроводнике. Эффект магнетосопротивления оказывается

чувствительным к форме образца. Неограниченный образец можно

моделировать в виде диска (диск Корбино). Так как ток имеет ради-

альный характер, то отклонение носителей заряда под действием

магнитного поля происходит в перпендикулярном к радиусу направ-

лении, поэтому не происходит разделения и накопления зарядов, и

холлово поле не возникает.

Если магнитное поле направлено вдоль j, то в этом случае изме-

нения сопротивления не должно было бы быть. Однако в ряде

(41.23)

(41.24)

253

веществ наблюдается магнетосопротивление, что объясняется сложной

формой изоэнергетических поверхностей. В некоторых веществах при

определенных условиях увеличивается проводимость при наложении

магнитного поля; это явление называют отрицательным магнетосо-

противлением.

3. Эффект Эттингсгаузена. Если в среднем действие силы

Лоренца и поля Холла компенсируют друг друга, то вследствие раз-

броса скоростей носителей заряда отклонение «более горячих» и

«ιболее

холодных» происходит по-разному

—

они отклоняются к противопо-

ложным граням полупроводника. Электроны, сталкиваясь с решеткой,

приходят с ней в термодинамическое равновесие. Если они при этом

отдают энергию, то полупроводник нагревается; если они отбирают

энергию у решетки, то полупроводник охлаждается, в результате

чего возникает градиент температуры в направлении, перпендикуляр-

ном полю В и току j

(эффект*

Эттингсгйузена). Для характеристики

эффекта Эттингсгаузена служит коэффициент Эттингсгаузена А

= — А

[Bj] = А

[jB], (41.26)

или

^- = А*В

и, - (41.27)

При изменении направления магнитного поля (так же, как и тока)

знак У

меняется подобно тому, как меняется знак поля Холла.

Эффекты Холла и Эттингсгаузена, зависящие от направления В,

называют нечетными.

4. Эффект Нернста, или продольный гальванотер-

мом агнитный эффект. Этот эффект состоит в том, что вдол^

тока j возникает градиент температур, который не зависит

•

от

направления магнитного поля, но меняет знак при изменении направ-

ления тока. Эффект Нернста возникает в результате того, что в на-

правлении тока уменьшается поток «горячих» и «холодных» электро-

нов. Эффекты Гаусса и Нернста являются четными.

В заключение этого параграфа укажем, что гальваномагнитные

явления делят на адиабатические и изотермические. Явления, назы-

вают адиабатическими, если образец не обменивается энергией с окру-

жающей средой, и изотермическими, если в результате обмена энер-

гией с окружающей средой в направлении, перпендикулярном полю В

и току j, не возникает градиента температур. -

Резюме § 41

1. Явления, возникающие в полупроводнике с током при поме-

щении его в магнитное поле, называют гальваномагнитными. Их

называют адиабатическими, если полупроводник не обменивается

тепловой энергией через боковую поверхность с окружающей cpej-

дой. Если в результате обмена энергией с окружающей средой

254

в полупроводнике поддерживается одинаковая температура в плоско-

сти, перпендикулярной току, то эффекты называют изотермическими.

2. Эффект Холла состоит в появлении поперечного электриче-

ского поля Е

= R [Bj] = — R [jB]. (41. lp)

Величину

x=-m

(41

2ρ)

называют коэффициентом Холла.

3. Магнетосопротивлением, или магнитнорезистивным эффектом,

называют изменение сопротивления полупроводника под действием

магнитного поля. Для характеристики магнетосопротивления служит

коэффициент магнетосопротивления Я, определяемый соотношением

ir· (

ρ>

4. Эффект Эттингсгаузена, или поперечный гальванотермомагнит-

ный эффект, состоит в возникновении поперечного градиента тем-

ператур

= А

[jB]. (41.4р)

Величину А

называют коэффициентом Эттингсгаузена. Он может

быть определен соотношением

(4..5Р)

5. Эффект Нернста, или продольный гальванотермомагнитный

эффект, состоит в появлении продольного относительно тока гради-

ента температур

= _ (41.6р)

6. При изменении направления тока все гальваномагнитные

эффекты меняют знак, т. е. меняется направление полей и градиен-

тов температуры.

7. При изменении знака магнитного поля знаки эффектов Холла

и Эттингсгаузена меняются на противоположные (нечетные, или попе-

речные, эффекты), а знаки магнитнорезистивного эффекта и эффекта

Нернста сохраняются (четные, или продольные, эффекты).

8. Движение (дрейф) электронов и дырок при заданном направ-

лении тока противоположно, а их отклонение в магнитном поле,

обусловленное дрейфовой скоростью, одинаково. Благодаря этому

поле Холла в электронном и дырочном полупроводниках имеет про-

тивоположный знак, а эффекты Эттингсгаузена, Нернста и магнето-

сопротивление от знака носителей заряда не зависят.

9. Эффект Эттингсгаузена может быть только адиабатическим,

остальные могут быть- как адиабатическими, так и изотермическими.

255

10. Знак эффектов Эттннгсгаузена и Нернста зависит от меха-

низма рассеяния, так как

Ф = со

т = со

(41.7р)

и (при малых ф)

поэтому

Αι φ

0):τ! „„

При ρ = 0 относительное изменение длины свободного пробега

носителей заряда не зависит от энергии, следовательно, разброс

в скоростях не должен сказываться на составе тока при наложении

магнитного поля, поэтому эффекты Эттингсгаузена и Нернста должны

отсутствовать. Если р>у, то относительно уменьшается роль «го-

рячих» электронов, и полупроводник должен охлаждаться вдоль

направления движения носителей заряда: Ч

Т совпадает с током j

в электронном полупроводнике и противоположен току в дырочном

полупроводнике/При р< 0 увеличивается доля «горячих» электро-

нов в составе тока, и знак градиента температуры изменится по

сравнению с предыдущим случаем.

§ 42. ЭФФЕКТ ХОЛЛА В ОБЛАСТИ ПРИМЕСНОЙ ПРОВОДИМОСТИ

Перейдем к описанию эффекта Холла на основе кинетического

уравнения. Пусть на вещество наложено электрическое Ε и магнит-

но е В поля. Будем считать, что полупроводник однороден и изотер-

мичен: VF = VT = 0.

Согласно (38.21) выражение для тока можно представить в виде

j = е*К'

Е + £ Кп [ЕВ] + KUВ (ЕВ). (42.1)

m m*

Ограничимся случаем поперечных полей: (ЕВ) = 0, поэтому (42.1)

упростится

j = £

/(ίιΕ + jjpr К'п [ЕВ]. (42.2)

Для решения уравнения (42.2) необходимо задать дополнитель-

ные условия, аналогичные граничным условиям при решении^дифф

ренциальных уравнений.

Рассмотрим вначале неограниченный полупроводник. Заложим

на него поля Ε = (Е

, 0, 0) и В = (0, В

, 0) = (0, В, 0). В этом

случае в полупроводнике возникает ток j, имеющий отличные от

нуля компоненты j

и j

= e*K'

; j

= 0;· j

= ^K

(42.3)

256

Наличие компонента j

обусловлено силой Лоренца, действующей

на носители заряда вследствие их дрейфовой скорости. Механизм

рассеяния проявляется посредством кинетического коэффициента /С

дрейфовая скорость проявляется посредством зависимости j

от Е

Угол φ между полным током j и полем Ε назовем углом Холла. Он

вызывается поворотом вектора тока j относительно поля Е. Его

можно определить условием

Величина μ

определяет угол Холла и имеет размерность подвиж-

ности; она называется холловой подвижностью:

Ее знак определяется знаком носителей заряда. При Е

>0 и В

>О

компонент /;>0 для дырок и /*<

для электронов. Условие

означает

соответственно поворот вектора j против или по часовой

стрелке.

Если полупроводник ограничен, то явление протекает иначе.

Предположим, что образец имеет вид параллелепипеда, ребра кото-

рого направлены вдоль осей координат. Очевидно, что ток будет

идти только вдоль оси χ в соответствии со схемой подсоединения

полупроводника в электрическую цепь. Компоненты тока j

и j

равны нулю. Но это возможно только в том случае, если поле Ε

будет иметь отличными ст нуля не только Е

Х9

но и другие компо-

ненты. Действительна, если положим Ε = (£*, 0, 0) и одновременно

В = (0, β, 0) и j = (/

-, 0, 0), то из (42.3) следует, что при = 0

должно быть £^ = 0 и ]

= 0. Это означает, что три наложенных

выше условия для ограниченного полупроводника являются несов-

местными. Поэтому будем считать, что

tgq>=4

tn* К'

(42.4)

(42.5)

Ε = {Ε

χ>

, E

); Β = (0, B

0); j = (/„ 0, 0),

[ЕВ] = (-ад о, Е

В).

Запишем выражение (42.2) для тока:

•1

= е*К'

-^К'пВЕ

фЪ·,

jy = е

К'

= 0; £, = 0;

(42.6)

(42.7)

(42.8)

Найдем Е

из (42.8):

χ·

(42.9)

9 Киреев

257

Возникновение поля Ε

представляет собой эффект Холла, т. е.

есть холлово поле. Полное поле Ε поворачивается на угол

определяемый условием

tg<P = §;=-[(42.10)

Условие (42.10) совпадает с условием (42.4), но имеет противо-

положный знак. Это естественно, ибо если j поворачивается по часо-

во й стрелке по отношению к Е, то вектор Ε должен повернуться

против часдвой стрелки по отношению к j. Угол φ, определяемый уело-

вием (42.10), будем также называть углом Холла. Выразим теперь j

через Е

, для этого подставим в (42.6) вместо Е

его выражение.

(42.9J:

+ (42.11)

tn Ли

где

= Λ^ίι + Щг- =

*Кп [1 + μ

Η2

] (42.12)

т* К'

есть удельная электрическая проводимость в направлении поля Е

при наложении магнитного поля.

Введем теперь коэффициент Холла. Согласно (42.12) R вводится

условием

= -—. (42.13)

^ [jB] ·

Но

= (0, 0, E

y; [jB] = (0, 0, j

B), (42.14)

поэтому из (42.13) и (42.14) следует

E, = -Rj

= - (42.15)

с другой стороны, из (42.9) и (42.11)

= - μ

ΒΕ

—

\ι

Β . - (

1б)

°в

Сравнивая (42.15) и (42.16), можем записать

(42-17)

"в

или

= Ra

(42.18)

• Подставляя μ

из (42.5) и а

из (42.12), получим:

_е_ки Г m

η μ" μ" m« Κ'η \ (42.1

~а

- еЩ'

еЩ[1 + 4

f^J

258

Выражение (42.19) для R справедливо при любых магнитных полях

(если не учитывать изменения спектра энергии) при наличии носи-

телей заряда одного знака, т. е. в области примесной проводимости.

Так как

да)'

(42

*Ϊ-Έ<Ι<

ТО

τ2

g \ΐ+μ

т* У τ \

* = — >

1+μ2№

; (42.22)

/ τ \

т* \1+μ2β2/

/_Е!_\

+ μ

т*

/—I_V

\l + μ

ЭТО выражение показывает, что коэффициент Холла R зависит

сложным образом от магнитного поля> он обратно пропорционален

концентрации носителей заряда и его знак совпадает со знаком носи-

телей заряда.

Рассмотрим два предельных случая —случай слабых и сильных

полей.

Учитывая, что μ = μ (Ε) перепишем (42.44) в таком виде:

D — _L \ΐ + μ

f42 2

* ~ ** / μ у, / μ

чу '

(42

23)

Слабое магнитное

поле определяется условием

<1. (42.24)

Сильное магнитное поле определяется противоположным условием

>1. (42.25)

По сравнению с условиями (41.5) и (41.6) условия (42.24) и (42.25)

более слабые, они удовлетворяются значительно легче.

1. Слабое магнитное поле. В слабом магнитном поле

+ μ

= (42.26)

Кроме того,

-£l_ (ЕЛ* (W В

- В

тЛк'п)

·« UiJ * * "

= ^<μ

><!> (42.27)

* - 259

так как порядка единицы. Учитывая (42.27), выражение для %

можем записать в виде

(42 28)

ι К

а=

ι (τ

) _ А

em* Kfi en (τ>* en'

Выражение (42.28) для R в слабом магнитном поле не зависит

от В и совпадает с точностью до константы А (холл-фактор)

(42.29)

с выражением (41.17), полученным на основе наглядных упрощен-

ных представлений об эффекте Холла. Величина А зависит от меха-

низма рассеяния. Если τ

—

τΙχ

, то для невырожденных полу-

проводников

А =

(42.30)

В табл. 10 дано значение холл-фактора А для разных р.

Таблица 10

1/2

3/2 -1/2 — 1

ίϋϋ_ι 13

Ж"

315π

512

1,93

¥-1.18

27π

= 5,30

= 2,83

Как будет показано в следующей главе, при рассеянии на ионах

315л

примеси р =

/г

А = = 1,93; ηρα рассеянии на тепловых коле-

3π

баниях решетки ρ = — V2

A = -g- = 1,18. Поскольку тот или дрУ"

гой механизм рассеяния определяется температурным интервалом,

можно сказать, что в области низких температур, когда основную

роль играет рассеяние на ионах примеси, необходимо полагать А ^

= 1,93. В области температур, когда основную роль в рассеянии>

играют тепловые колебания решетки, А =1,18.

Холлова подвижность в слабом поле

___

е Κι2 _ е (τ2)

г ~~ т* К

~ т* (τ) '

(42.30

260