Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Таблица 13

-1/2

1/2

+ι

3/2

5/2

ί (огр)

0,38

0,11

0,56

2,98

7,7

9,2

ί (неогр)

μ*

16 '

= 1,33

^ = 5,90

15,7

945π

Λ β

<τ

)

<t>

9π

=1,39

9π

64 ' 16 ""

= 1,22

=ι

3,72

37,2

Сравнивая выражение (45.26) с (45.8), видим, что Н

отличается

множителем при μ;*, который равен С в случае неограниченного

вещества, и С — А

в случае ограниченного. Другими словами,

в ограниченном образце магнетосопротивле-

ние выражено слабее, поскольку оно компенси- —

руется полем Холла. Из (45.26) следует, что

В сильном магнитном поле

и _ <μ>

iioo о

<μ~ι> m* (τ) <тг*>

(45.27)

«(τ"

(45.28)

Ρο

в то время как в ограниченном полупровод-

нике Η оо определяется соотношением (45.10).

Мы видим, что в неограниченном веществе Η

не зависит от В как в слабых, так и в силь-

ных полях. Это значит, что ρ

= ρ

(1+#β

)

при В-+- 0 и оо. Последний результат

понятен —с ростом поля В носители заряда

начинают вращаться по окружностям все

меньшего и меньшего радиуса г = р!еВ (р —

импульс), и дрейфовать в направлении оси г со скоростью и=*В/Е,

вследствие чего сопротивление возрастает до бесконечности. В табл. 13

приведены значения Я/μέ в неограниченном и ограниченном веществе.

Из табл. 13 видно, что коэффициент магнетосопротивления в неог-

раниченном полупроводнике в слабом поле превосходит Η в огра-

ниченном образце. в зависимости от ρ в несколько раз, например,

10 Β,κΓο

Рис. 68. Зависимость маг-

нитиорезистивного эффек-

та от величины отношения

длины образца к шири-

не:

оо ; 2) 5;

4) 1\

5) 0,4\ 6) 0 (диск Корбино)

281

при p = V

в И раз. Это различие увеличивается по мере возраста

ния поля. На рис. 68 приведена зависимость магнетосопротивлени"

в InSb от формы образца. Рисунок показывает, что компенсирующее

холлово поле играет тем большую роль, чем меньше отношенц

ширины к длине образца. Переход к образцу в виде диска (диск 1{оп.

бино) равносилен переходу к «неограниченному образцу».

Рассмотрим в заключение этого параграфа магнетосопротивление

в. неограниченном веществе при наличии носителей заряда

несколь-

ких типов. Ток определяется выражением

j + (45.29)

или

!х = (a) j Εχ

—

Βχ

iy = 0; (45.30)

Ь^%К'пВЕ

= а

Вг

. (45.31)

Коэффициент магнетосопротивления

·= i

'·

/ ^ \

: (45

32)

в слабых полях

2J е

г'

<μ«> 2j

α^οα

Я = Я

=^ = -2— ; (45.33)

в сильных полях

2«α4α<μα>

(μ^

) Χ

« ^сса

^ σ

#οοα

. · (45.34)

Рассмотрим полупроводник в области смешанной проводимости

(слабое поле):

ρμ»-Сд/ιμ}» ^ρμ» _ ,535)

ρμ

\+xb

Р 1+хЬ>

где

282

Аналогичное соотношение можно получить и для сильного поля.

Разобранная теория магнетосопротивления относится к простей-

шему полупроводнику со скалярной эффективной массой.

Рис. 69. Отрицательное магнето- Рис. 70. Температурная зависимость магнето-

сопротивление в теллуриде ртути сопротивления в твердом растворе теллури-

и Cdo.25Hgo.75Te дов кадмия и ртути Cd^Hg^Te (*«=s0,25)

В полупроводниках, имеющих тензорную эффективную массу,

возможна анизотропия магнетосопротивления. К числу аномалий

относится отрицательное магнето-

сопротивление, которое объясняется *

в настоящее время как результат

проявления примесных состояний.

На рис. 69 приведена зависи-

мость магнетосопротивления от

поля в образцах твердого раство-

ра теллуридов кадмия и ртути

Cd^Hg^Te^ при л:^ 0,25. На ри-

сунке хорошо видна область отри-

цательного магнетосопротивления.

Температура влияет на величину

магнетосопротивления, поскольку

она меняет концентрацию носите-

лей заряда.

На рис. 70 дана в качестве

примера температурная зависи-

мость магнетосопротивления образ-

ца твердого раствора теллуридов

кадмия и ртути. Видно, что имеет-

10'

-L

10 20 •30 МПР/ТК

Рис. 71. Температурная зависи-

мость коэффициента Холла образца

_^)Te (χ «з 0,25):

— 2,68; 2-

10,78; 5-19,2 кГс

ся максимум у зависимости — (7

Ро

На рис. 71 изображена температурная зависимость коэффици-

ента Холла того же образца. Сравнение рисунков показывает, что

максимум магнетосопротивления находится в области инверсии знака

283

коэффициента Холла, когда происходи! смена типа носителей зар

Ял

доминирующих в гальваномагнитных явлениях. В сильном rW

(19, 2 кГс) наблюдается двойная инверсия коэффициента Хол^

Уменьшение магнетосопротивления при комнатной температуре

зано с тем,' что при этой температуре образец становится почти соб

ственным при вырожденном состоянии электронного газа.

Резюме§45

1. Изменение сопротивления полупроводника в магнитном поле

обусловлено закручивающим действием магнитного поля на

движу,

щиеся носители заряда. Магнитнорезистивный эффект характера

зуется коэффициентом Я:

Рд-Ро

1 σ

ο-

/Λτ

, ,

' (45.1ρ)

который позволяет записать сопротивление р

в виде

Рв = Ро(1+Я5

)'. (45.2р)

2. В ограниченном полупроводнике в области слабых

полей

величина Я постоянна, в области сильных полей Я ~ В~

, что при-

водит к насыщению сопротивления.

3. В неограниченном полупроводнике Я постоянно как в области

слабых, так и в области сильных полей, но Я имеет при этом раз-

ное значение.

§ 46. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Если β веществе создан градиент температуры VT, то в нем

возникает поток энергии W в направлении, противоположном VT:

W = — XVT, (46.1)

κ=| W\/\VT\ носит название коэффициента теплопроводности, он

равен численно количеству энергии, проходящей в единицу времени

через поперечное единичное сечение в образце, на концах которого

создана разность температур в один градус. В СИ κ измеряется

Дж/(с

град/м) = Вт/(м

град). При определении W предпола-

гается, что какие-либо другие процессы в веществе не имеют места.

Благодаря теплопроводности происходит передача энергии от «нагр

вателя» к «холодильнику». В системе, в которой отсутствует источ-

ник тепла и поглотитель, но был создан градиент температур, тепло'

проводность приводит к выравниванию температур, т. е. привод

к установлению теплового равновесия.

Передача тепла осуществляется двумя различными механизмам

-·

Теплопроводность, обусловленную движением носителей заря»»'

называют электронной или дырочной. Онй характеризуется вели

ной коэффициента теплопроводности κ^. Второй механизм свя

за

284

с тепловыми колебаниями решетки. Атомы (ионы) решетки, совершая

колебания относительно положения равновесия, обмениваются энер-

гией. Если в веществе создан градиент температуры, то обмен энер-

гией происходит таким образом, что энергия в большей степени

передается от атома, совершающего большие колебания, к атому,

совершающему меньшие колебания, т. е. в сторону меньших темпе-

ратур. Теплопроводность, обусловленную колебаниями решетки, назы-

вают решеточной, или фононной, теплопроводностью; она характе-

ризуется величиной Полная теплопроводность тем самым может

характеризоваться величиной κ:

κ = κ

+ κ

. (46.2)

Величина κι должна быть связана с упругими свойствами твер-

дого тела, κ

—

с концентрацией носителей заряда. В диэлектриках

В металлах возможно κ^^κχ., в полупроводниках величи-

на к

должна в сильнейшей степени зависеть от их состава и темпе-

ратуры. Ниже рассмотрим только теплопроводность, обусловленную

носителями заряда. Для ее описания запишем выражения для плот-

ности тока (38.20) и плотности потока энергии (38.21) в предполо-

жении, что магнитного поля нет (В = 0):

j = (еЕ

—

TV^pj еКп

—

еКъгу- (46.3).

W=(eE -TV (46.4)

Найдем выражение для коэффициента теплопроводности κ

, кото-

рый определяется условием

W = — κ^Τ. (46.5)

в предположении, что

j = 0. (46.6)

Из условия (46.6) и выражения (46.3) определим величину

^Е— TV значение которой подставим в (46.4):

еЕ = (46.7)

= жЬ

Τ = -

ΚηΚ

ΚηΤ

ΚΙί νΓ

(46

Из

(46.8) и (46.5) следует

_ K

iKu

—

Kli

(46.9)

285

или

_ η (EH) (Ετ)-(£2τ)2

(Ετ) Τ ' (

.Ю)

Для невырожденного полупроводника в предположении, что врем

релаксации является степенной функцией энергии, согласно (39.3Q)

получим

__ η 5Шх'ъ

Tip " Ζ л

. Н1Ш Г -И

(46.11)

В выражение для к

входит неизвестная постоянная величина

Ее можно исключить, если рассмотреть отношение к

и σ. Точнее,

рассмотрим отношение ^ = оно не зависит от τό и его называют

числом Лоренца:

τ __

Ке

КпКа-КЬ

· /ДС

ιm

Для числа Лоренца согласно (46.11) имеем выражение (невырож-

денный полупроводник):

/6-, \ - /46,13)

Мы видим, что число Лоренца зависит только от р. Если запи-

сать к

через σ и L, то получим

^ = = f (4+р), (46.14)

= + (46.15.

Отношение (46.14) выражает закон Видемана —Франца.

Для вырожденного полупроводника число Лоренца

/46

что получается только с учетом последующих членов разложен

(3.42), т. е. во втором приближении.

286

Если в веществе имеется несколько типов носителей заряда, то

сражение для к

можно получить, исходя из уравнений

j = 2 (^α/<ΐΐ(α)Ε - TV е

Кща)) — ^αΚϊΚ*) γ =

α α

VFaW

=w J

- ^Σ (

+ g ea(Kn ta)Fa -

K21

)j γ =

(46Л7)

w « {^elK

21 (a)

j Ε - p ^i(a) +

Τ '

(46.18)

В выражениях (46.Ί7) и (46.18) уровень Ферми имеет значок а,

его необходимо указывать, поскольку при вычислении кинетических

коэффициентов за начало отсчета энергии мы принимали Е

(.Е

или Ε

), другими словами, начало· отсчета энергии для носителей

заряда разного типа различно, и поэтому значение энергии Ферми

для каждого типа необходимо брать в той же системе отсчета.

Поэтому выражение F для электронов и дырок различно. Их сумма

равна

+ F

= (F-E

) + (E

-F) = -AE

, (46.19)

где F

—

«истинное» положение уровня Ферми в некоторой общей

для электронов и дырок системе отсчета энергии.

Если F

различны, то VF

могут быть одинаковы с точностью

до знака, поскольку VF

определяет силу, действующую на α-тип

носителей заряда, обусловленную неравномерностью распределения

примеси. Положим

= — e

Е\ (46.20)

Выразим величину Е + Е' из (46.17):

<α) —Ρα^ιι <a))

XE+E

'- · <ΣΑΚη„) Τ («.2D

подставим в (46.18), после чего получим

[-Σ

^а (^21 са,

— ^/Сц

iaJ

U(a

1 VT

(a) - Ksi (a))l γ-. (46.22)

w = -

VT = (2 eaK

(a)

287

Рассмотрим полупроводник, имеющий смешанную проводи^

Согласно (46.22) для к

можно записать

Ть

(#21Р —

#21

η)

[#21

ρ — FpK11Ρ

— #21Λ + Ftl^lltl 1 .

llp

+I<

lln

FΡ #21Ρ —

#31Ρ

/*Л#21Я

~ #31/1

f ;

l··

Проводимость можно представить в виде

.or = el

(/Сир

/С

11Л

)

= ЛС

ир

(1 + . (46.24)

Найдем значение числа Лоренца или, точнее, Le

" Ч'+ЭД"

aip У Λ

ιρ/ Α

3ΐ

Аир/

Рассмотрим отношение кинетических коэффициентов:

= (46.26)

<(τ

» /С

31р =

<«Tp»>

^xip <τ

) /Cup <t

) ·

(46.29)

Для случая, когда рассеяние обусловлено одним механизмом,

отношения кинетических коэффициентов можно выразить через гамм

288

= kT-4l [ = (f+ ρ) kT·, (46.30) .

[

+Ρ

\ ={y+p) (f+ Ρ) ikTf. (46.31) .

Кир

(Т

+Р

)

Из полученных выше выражений (46.26—29) видно также, что

9 . \ _

*ам _

и L^ L.

i? Ц7_ /4б 32^

где рп и

—

определяют зависимость времени релаксации от энер-

гии для электронов и дырок. *

Отношение кинетических коэффициентов K

i(od равно отношению'

концентраций и подвижностей, т. е. проводимостей, так что

• * Г (А +

+ р

) Г (~г+г + р

)

<"\

= хЬ —Ц f = f. (46.33)

Α/·ι {ρ)

Учитывая выражения для отношений кинетических коэффициен-

тов, найдем величину L (при р

рр)'·

(\—(i-^UF -F ^

{pp + Fn— )

- (1+ ρ) (kT) + (|+ p) (4 + p) (46.34)

Рассмотрим случай σ

/σ

=1. Из (46.34) запишем

^ = + + + (46.35)

Если сравнить (46.36) с (46.13), то увидим, что в случае носите-

заряда двух типов коэффициент Лоренца, а следовательно, α

еплопроводность возрастают в + раз по сравнению со

Щчаем, когда имеются носители заряда одного типа.

10 Кирее» 289

Этот результат имеет очень наглядное физическое объясн

При создании градиента температур возникает диффузионный п*^

носителей заряда. Но его возникновение приводит к раздел*

зарядов и; следовательно, ц появлению электрического поля/к^

DOE поепятствует движению носителей заняла: ППИВОЛЯШРМЛ;

рое препятствует движению носителей заряда, приводящему Υ*

ν|ς

(46.6) полный ток i

J ^ f|

быть равны, но так как носители заряда, идущие вдоль V7

(к

DPMV tfnTTTTvV ЫМРТЛТ MPITT-xTTTVin ОНРПГНТП ΙΙΡΛ/Τ UnfUTPTTLT оопгттт^ Ρ

делению зарядов. По исходному условию (46.6) полный

ток

Следовательно, потоки носителей заряда вдоль и против VT додТ^

чему концу), имеют меньшую энергию, чем носители заряда,

щие против VT (к холодному концу), то происходит перенос энерг'

от горячего конца к холодному без переноса заряда. Теплопровод

ность при этом оказывается, сравнительно небольшой, и она не

висит от положения уровня Ферми, поскольку весь эффект

основа*

на разности

энергий потоков носителей заряда, идущих от

горячего

и холодного концов образца. Если же в полупроводнике

имеются

носители заряда двух типов разного знака, то диффузионные

потоки

носителей заряда приводят к возникновению электрических полей

направленных в противоположные стороны. Поэтому

суммарное

электрическое поле будет небольшим

—

оно должно удовлетворять

условию j = 0, но одинаково направленные потоки носителей заряда

разного знака дают токи, противоположно направленные. Поскольку

электрическое поле мало, оно не препятствует движению носителей

заряда, поэтому поток частиц будет большим. При этом он обуслов-

лен градиентом концентрации, однако выравнивания концентраций

не произойдет, поскольку в области горячего конца происходит

непрерывное. преимущественное рождение пар носителей заряда,

а в области холодного конца рекомбинация носителей заряда

пре-

валирует над их генерацией. Но при каждой рекомбинации пары

носителей заряда выделяется энергия Δ£

» затраченная на их гене-

рацию на горячем конце. Другими словами, каждая пара

носителей

заряда переносит дополнительную энергию АЕ

, что и приводит

к столь резкому возрастанию числа Лоренца и, следовательно,

коэф-

фициента теплопроводности.

Для собственного полупроводника — ==Ь и

^5(I-+

р){(f+ ή+пШг--Ст+')Ш· <

31,

Из (46.37) видно, что при 6=

выражение для L совпадает с (46.3

l·

поскольку при этом о

= σ

. Если же Ь Φ 1, то L уменьшается

сравнению.со случаем b=

(или σ

= σ

), уменьшение буд

ет т

больше, чем больше отличаются подвижности.

. При выражение (46.37) можно представить в виде

При Ь-+оо выражение (46.38) переходит в выражение (46.42),

скольку это равносильно переходу к проводимости одного типа.

290