Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Преобразуем аналогично выражение для потока энергии. Первый

ieH Wi запишем таким образом:

Wi =

/С21

(еЕ

—

VF)

FK\

(р _ ν Ki

\ е)

31 FK 21

il VT

—

К' — —

, Vi ~

А31

γ —

= σ

E-V-

-)Π.

к'и-т

— VT.

(49.14)

Но

•K'n

- FK'n =

К'

Ъ1

- + jg - /7^ =

KhK'n

1С г 2

-Л

-к

KW-FKU

= к'

Т + К'^еТа' —

К и К'п

к'еТ

+ Π eW

Ta' = к'

Т + о

П а'Т,

поэтому

Щ = о

(Ε - v L _ ccvr) Π - к'

ЧТ..

Рассмотрим первый сомножитель в W

' π *« {

еЕ

τν

τ)" π ? = 5τ ^ (ε - ν L) +

' = a

Π μ* (Ε - V L) + ±;

»~

» V7

Через μ

мы обозначили величину . -

„д-

*««_ е

^ т.* К'

, т*

ΛΙ+μ^/"

Преобразуем второе слагаемое в выражении (49.17):

/Сзз — FK'w

/С32 —

jir +

—

KiiF =

(49.15)

(49.16)

ΜΙ

ήντ =

(49.17)

(49.18)

Kjj

ки

К12 Κ'ί2

К22

(^22 FK[%)

К'

(49.19)

второй член (49.19) можно записать так:

^22 W22 FKis)

TSr „ТОГ

K~t ρ =

Λΐ2

т*

(49.20)

311

Первое слагаемое в последнем члене (49.19) с учетом

3arili

шем в форме

е /(32^12 ^22 g/Сза К21 KUK'i 2 ^22 ι.ΕΙ' - /м.

т*Т KU ~ tn*K'

К'

TKW '

1 У

)

Учитывая (49.17, 18, 20, 21), запишем

= ν^-Ρ'ν^Π-μ^λ'νΓ, В]. (49.22)

Обозначив

_ E-vl = E*, (49.23)

перепишем выражения для тока и потока энергии:

]· = σ

(Ε*-α'νΓ) + σ

μ^[Ε*-β'νΓ,Β] (49.24)

=*=

ар (Е* - a'VT) Π -

+ μ

[σ

(Ε* - β'νΓ) Π - W7\ В]. (49.25)

Уравнения (49.24) и (49.25) описывают все явления, связанные

с движением носителей заряда, а именно:

электропроводность а теплопроводность,

термоэлектрические явления,

гальваномагнитные явления,

термомагнитные явления.

Все эти эффекты имеют место одновременно, накладываясь один

на другой. Для выделения каждого эффекта в отдельности

—

в «чистом виде» — необходимо создать определенные эксперименталь-

ные условия, в противном случае одновременно могут проявиться

несколько эффектов. Ниже мы укажем условия, при которых можно

наблюдать то или иное явление. Уравнения (49.24) и (49.25) содер-

жат описание как изотермических, так и адиабатических эффектов.

Укажем смысл отдельных членов в уравнениях (49.24) и (49.25).

Член σ

(Ε*

—

a'VT) описывает ток проводимости в полном элек-

трическом поле, обусловленном градиентами электростатического

потенциала и энергии Ферми и термо-э. д. с.;. ο

[Е*В] выражает

ток Холла, а член

-<W"P'[V7\ В] ' (49.26)

дает выражения для тока, который естественно назвать током Hep

ста —Эттингсгаузена, так как именно этот ток приводит к появл^

нию поперечного электрического поля Нернста

—

Эттингсгаузена·

Поскольку величины проводимости и термо-э. д. с. зависят от В»

в уравнениях (49.24) и (49.25) заложено описание магнетосопротй

ления и продольного эффекта Нернста

—

Эттингсгаузена.

Выражение для потока энергии состоит из членов двух типо^

один тип членов содержит в качестве множителя коэффицй

еН

312

Пельтье; очевидно, эти члены описывают явления, связанные с пере-

юсом энергии при прохождении тока, и приводят к гальваномаг-

\цтным эффектам; члены, содержащие VT и В, обусловливают тер-

иомагнитны е явления.

Покажем, как использовать уравнения (49.24) и (49.25)' для

описания отдельных эффектов.

1. Изотермические эффекты: VT = 0.

К Магнитного . поля нет: В = 0. Уравнения (49.24) и (49.25)

имеют вид

j = a

E*; W = a

E*n = nj, (49.27)

они описывают ток проводимости и поток Пельтье под действием

электрического поля Е* = — V + В однородном веществе

Vf = 0 ток вызывается градиентом электростатического потенциала,

в неоднородном

—

градиентом электрохимического потенциала. Если

j = 0, то в веществе существует градиент электростатического потен-

циала

-ν

= ν^; Ε = ±VF. (49.28)

Уравнение (49.28) приводит нас к новому явлению: в неоднород-

ном полупроводнике существует объемное электрическое поле.

2. Полупроводник в магнитном поле. Уравнения для

j и W запишутся в виде

j = σ

Ε* + σ

[Е*В], (49.29)

W = σ

Ε*Π + σ

[Ε*Β] Π. (49.30)

Первый член в j описывает омический ток, второй

—

холлов ток,

с ними связаны потоки тепла Пельтье. Накладывая определенные

граничные условия, можно прийти к изотермическому эффекту

Холла. Для этбго достаточно положить.

(/•*.

0. В = (0, S, 0); Е* = (£*, 0, £|). (49.31)

Выражение для потока W не может быть-выбрано произвольно,

например, нельзя положить W = (W

> 0, 0), потому что уравнения

Для j и W будут несовместимыми.

Положим W = (W

, 0, W

) и запишем

= σ

Ε* Π + σ

Ε*ΒΤΙ, (49.32)

то время как

= σ

Ε* + σ

Β. (49.33)

Действительно, из j

= 0 не вытекает W

= 0. Физически это

легко объяснить. Обращение в нуль j

вызвано тем, что на боковых

Л^иях накапливается заряд, который приводит к появлению поля

*°лла, оно в свою очередь компенсирует действие магнитного поля,

наче обстоит с потоком тепла. Поток тепла W

не компенсируется

икакими источниками тепла, поэтому между образцом и окружаю-

313

щей средой существует идеальный тепловой контакт, обеспечивают^

непрерывность потока W

что в свою очередь приводит к выполн**

ник/условия vr = 0.

Если W

= 0, то поток тепла в направлении оси ζ, вызванньг

магнитным полем, может быть скомпенсирован теплопроводностью

следовательно, должен возникнуть градиент температуры в напр

ав

лении оси ζ. Мы видим, что эффект Эттингсгаузена возможен, есд

не происходит обмена энергией с окружающей средой, т. е. эфф

ект

Эттингсгаузена является адиабатическим. Прежде чем перейти к нему

рассмотрим другие изотермические эффекты. Уравнения (49.29) ц

(49.30) содержат в себе описание изотермического магнетосопротив*

ления как для ограниченного образца (с учетом 49.31), так и д

Ля

неограниченного (Е

= 0; \

ф 0).

\\.'Неизотермические эффекты: VT Φ 0.

1. Магнитного поля нет: В = 0. Уравнения (49.24)

(49.25) имеют вид . •'

j = σ

(Ε*

—

aVT), (49.34)

W = σ

(Ε* - aVT) Π - n

VT = Π] - n

VT. (49.35)

Если j = 0, то это обусловливает поток тепла в результате тепло-

проводности:

—

VT. (49.36)

В веществе возникает термоэлектрическое поле

E* = aVr = E

. (49.37)

Если j Φ 0, то осуществляются условия для всех термоэлектричес-

ких ^явлений (Зеебека, Пельтье и Томсона), которые мы разобрали

ранее.

2. Полупроводник в магнитном поле:В^0.

Ток j и поток энергии W определяются общими выражениями

(49.24) и (49.25).

Если до наложения магнитного поля ток шел в направлении оси

χ и при этом VT^O, то магнитное поле может изменить условие

ντ· = 0 двояким образом: \

VT = (0; 0; VJ

), (49.38)

VT = (V

T\ 0; 0). (49.39)

Первый случай (49.38) есть эффект Эттингсгаузена, второй^

(49.39)—эффект Нернста. Проиллюстрируем метод применения ур

аВ

нений (49.34) и (49.35) на примере эффекта Эттингсгаузена.

Эффект Эттингсгаузена. Для его наблюдения необходимо положить

j = (/*; 0; 0); W = (H?V, 0; 0). (49.40)

Как уже упоминали, для одновременного выполнения условий

1г = W

=,0 необходимо, чтобы ν,Γ Φ 0, поэтому будем считать

• ' ' V7 = (0; 0; Ч

Т). (49.4D

314

Запишем выражения (49.24) и (49.25) для j и W с учетом (49.40),'

/49.41); В = (0; 0):

U = а

Е% - ο

{Е*

- β'ν,Γ)

В\

(49.42)

]

= a

(El - a'V.T) + σ

Ε%Β = 0; (49.43)

= σ

Ε*

Π - μ

{β

Ε*

Π - σ

β'ν,ΤΠ - λ'ν

Τ) β; (49.44)

= σ

{Ε* - a'V

T) Π + μ

Ε%ΤΙΒ - x'

T = 0. (49.45)

Найдем E'i и V

T ил условий j

= W

0. Из (49.43) запишем

(Et - a'V.T) = - σ

Ε*Β. (49.46)

Подставим (49.46) в (49.45), получим

= -ο

Ε*τΐΒ + μ

Ε*ηΒ-κ'

Τ = 0. (49.47)

Из (49.47) найдем

Τ =

{μΕ

μΗ)

Ε*Βη. (49.48)

Подставив (49.48) в (49.46), найдем

' „ /α'σΛ1(μ

— μ

)

Ε* = a'V

T - μ

Ε%Β =

}

- μ

\Ε*Β. (49.49)

Выражение (49.49) показывает, что в адиабатическом случае

(1^ = 0) к изотермическому полю Холла (

—

Ε%Β) добавляется

термоэлектрическое поле α'ν^Γ, поэтому адиабатический коэффициент

Холла R

будет отличен от изотермического Rj. Чтобы ввести коэф-

фициенты Эттингсгаузена А

и Холла R

, надо выразить V

T и Е%

через j

и В. Для этого подставим найденные значения ££ и V.T

в (49.42):

- σ„μ»Ι°

Βα

{μΕ

μΗ)η

= - { * χ ^ /

π _

, ' } =

σ^Π^-μ") (g'-β') ^

κ' ^

Е*

^о

Вх

Е%. (49.50)

Мп

Найдем коэффициент А

и R

из (49.48) и (49.49), учитывая

Г σ

Π(μ*-μ")

α'σ

Π(μ

-μ

)]

ΙχΒ B

i* l

Κ°

Βχ

= -f--a'A

=Rj-a'A

. (49.52)

315

Величина о

Вх

, определенная из (49.51), описывает адиабатическое

магнетосопротивление. Найдем А

и R

в области слабых полей

(при В->- 0), в этом случае σ

^σ

; ο

Βχ

^σ

Π (μ*-μ")

(49.53)

(49.54)

= Rj-aA

Различие в R

и Rj имеет наглядный физический смысл. Поле

Ε* β адиабатических условиях меньше

Е%

в изотермических условиях на

величину термоэлектрического поля aV

T. Величина же V

Τ, соответ-

ствующая Циничному току и единичной индукции, как раз равна А

Вычислим величину А

. Прежде всего заметим, что поток W

будет определяться не только электронной теплопроводностью, но

и фононной, поэтому вместо к

необходимо подставить полную

теплопроводность κ = к

η(μ

·-μ

) ._il /(.

£_ ^22

m* /С

J-fk

т* Ки,

g 1 «τ» /«τ

m* κ^ (τ) \((τ»

(τ

(τ)

κ е/Сц

μΠ<τ»/.«τ*)>

(49 5

«« <τ) \((τ»(τ> <т>»Г

Выражение (49.55) показывает, что эффект Эттингсгаузена не

зависит от знака носителей заряда, но зависит от механизма рас-

сеяния. Действительно, пусть τ = τ

, в этом случае

<τ>

τό

«τ» = |-(^)τό·

(Ι)

(Μ.

(τ

) = τό

«τ

» = 1 (ЙЛ

τό

Ы.

i+ϋ)

(Т)·

Подставим значения усредненных времен релаксации

в (49.55), получим

(49.56)

μ<*2

(?)[ ^(т^тт)

г(1)г(А

+Р

(1+»)И4)1

'Ш^у

kTVd

(t^m.

ке

I'M

kT kTR,o

(49.5?)

316

При р> 0 коэффициент Эттингсгаузена Л

>0, т. е. V

ри В > 0 и }

О —

верхняя грань нагревается, нижняя охла-

ждается. Это означает, что сильнее отклоняются вверх «горячие»

носители заряда. При р = 0, когда время релаксации не зависит от

энергии, носители заряда отклоняются в одинаковбй мере, селекции

отклонении не происходит и градиент температуры не возникает.

При Ρ < 0 величины А

< 0 горячие носители заряда отклоняются

вниз (при выбранных нами направлениях полей и тока). Если при

изменении температуры или состава и структуры образца происходит

изменение знака эффекта Эттингсгаузена, то это означает изменение

роли различных механизмов рассеяния, переход, от одного вида

К другому.

Оценим величину А

. Пусть κ =

Вт

см/(см

град) =

= 10

Вт(м·град)-

; kT = 0,03 эВ; μ" =10ООО см

(В-с)"

, тогда А

равно (-) 150 см

град/Дж = (—) 1,5-10-* м

· град/Дж и

4,5· Ю

-4

· град/Дж при р = ( —) 1/2 и 3/2 соответственно. При

плотности тока j

А/см

= 10

А/м

и В =

Τ = 10

Гс V

T = A

имеет величину ( —) 1,5 град/м и 4,5 град/м = 0,05 град/см. Как

. видим, градиент температур сравнительно мал. Оценим аА

\ при

а =

мВ/град = Ю

-8

В/град; ρ = 3/2 величина аА

= 5

10~

град χ

χ В/(Дж

град) = 5

10~

/Кл = 0,5 см

/Кл. Для слабо легирован-

ных веществ этой поправкой можно пренебречь, но для сильно, леги-

рованных веществ необходимо учитывать различие между R

и R

Если предположить, что V

T Φ 0, то можно получить выражение

для эффекта Нернста. При этом возможно два эффекта

—

изотерми-

ческий, если V

T Φ 0, и адиабатический, если W

Φ 0. Нахождение

проводится аналогично вычислению А

III. Термомагнитные явления.

Для описания термомагнитных явлений необходимо положить

j = 0; УТфО, ' (49.58)·

следовательно/

h =

<*в

(Εί - а'Ч

Т) - σ

μ" (Я* - β'V,7) B = 0, (49.59)

U =

<*в

{Et - α'4

Τ) +σ

μ"

(£*

β'ν

Τ)

В = 0, (49.60)

= σ

{Ε* - a'V

T) Π - n'

T - μ

(Et - β'ν,Γ) BU +

+ μ

λ'4

Τ·Β, (49.61)

= σ

{Ε* - a'V

T) Π - K

T + μ*σ

(£· - β'ν

Τ) ВП -

-μ

λ'ν

ΤΒ. (49.62)

Если найти из уравнений (49.59—62) величины E'i, Et, V

Τ и

Сразить их через В и V^T, то получим выражения для коэффици-

ентов продольного и поперечного эффектов Нернста —Эттингсгаузена

и Риги

—

Ледюка- Очевидно, что выражения для Е% и Е% можно

Ис

кать при двух различных предположениях: иЛи V

T = 0

—

изотер-

ческие эффекты, или W

= 0

—

адиабатические эффекты. Эффект

—Ледюка может быть только адиабатическим. Найдя Е%, Е%

гТ и подставив их в выражение для W

сведем его к виду

317

— κ'

T, откуда получим выражение эффекта Маджи

—

Ри

Ги

Ледюка (при этом x'

T необходимо заменить на

(κ^

+ κζ) У

Т). ^

Учитывая зависимость кинетических коэффициентов от магнитног

поля, можно найти коэффициенты гальвано- и термомагнитных явл

ний как в области слабых,- так и сильных полей, как в облает

примесной, так и смешанной проводимости.

Резюме § 49

1. Выражения (49.24) и (49.25) для j и W содержат описания

всех кинетических явлений в полупроводниках со скалярной эфф

ек

тивной массой. В табл. 14 указаны условия наблюдения отдельных

явлений.

Таблица U

Условия наблюдения поперечных гальваномагнитных

и термомагнитных эффектов

Гальваномагнитные

эффекты

Определение

коэффициента

Термомагнитные

эффекты

Определение

коэффициента

Эффект Холла —по-

перечное поле E

(7* = ν*Γ = 0)

Эффект Риги —

Ледюка — попереч-

ный градиент тем-

ператур V

= 0)

\RL _ V

ByV

Магнетосопротивле-

ние — изменение со-

противления, продоль-

ная разность потен-

циалов AV

U,=i*T=0)

1 р(Я)-р(0)

р(0)

Эффект Маджи —

Риги —Ледюка —

изменение тепло-

проводности, про-

дольная разность

температур A(V

<J=0)

1 κ(£)-κ(0)

β2

(0)

Эффект Эттингсгау-

зена

—

поперечный

градиент температур

= V

T = 0)

Поперечный эф-

фект Нернста —

Эттингсгаузена —

поперечное элект-

рическое поле Ε

(3=0)

λΝΕ

± -ByV

Эффект Нернста —

продольная разность

температур, продоль-

ный градиент темпера-

туры \\Т

= 0)

A N_

ixB

Продольный эф-

фект Нернста

—

Эт-

тингсгаузена —.по-

явление продоль-

ного поля и раз-

ности потенциалов,

изменение тер-

мо-э. д. с.

Ь{Е

)\ (J=0)

- Sa α (0)

Изотермические эффекты; V

T = 0; адиабатические эффекты; 1^ = 0. Магн»

поле В = (0

0).

318

§ 50. О КИНЕТИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЯХ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

С ТЕНЗОРНОЙ ЭФФЕКТИВНОЙ! МАССОЙ

В § 40 мы разобрали явление электропроводности в полупро-

водниках, имеющих тензорную эффективную массу. При наложении

магнитного поля выражение для тока усложняется существенно.

Прежде всего рассмотрим величину (В, ш*В). Пусть компоненты В

главных осях тензора т* (или т*"

, или σ

(ν)

) равны (B

) =

^В, в таком случае вектор т*В имеет компоненты

ш*В = (шА; m

; т

) (50.1)

й>

следовательно, скалярное произведение (В, т*В) зависит от

направления В относительно главных осей эллипсоида т*:

(В, т*В) + т

В\ + т

В\ = m

(.В\.+

ВI) + тМ. (50.2)

Оно может меняться от πιβ

при ориентации поля В вдоль оси

вращения эллипсоида энергии до m

, когда В лежит в плоскости,

перпендикулярной оси вращения. Но это значит, что кинетический

коэффициент Кг« зависит от направления магнитного поля В. Если

определить направление В относительно оси вращения углом Θ, то

(В, т*В) = В

sin

+ m

cos

θ) (50.3)

является периодической функцией угла Θ.

Запишем выражение (38.7) для j

(v)

= ^

Κ'Λ

ν)

Ε +

(

[m*

E, В] +y^T|Ki

(

(EB)m*B. (50.4)

Мы видим, что выражение (50.4) для тока имеет значительно

более сложный вид по сравнению со случаем В = 0. Не будем ана-

лизироват ь это выражение и рассматривать кинетические явления

на основе уравнения (50.4). Принципиальных трудностей это не

представляет. Запишем только уравнение (50.4) в тензорном виде.

Первый член бпределяет, как мы уже видели, тензор второго ранга

οψ. Второй член можно представить через тензор третьего ранга

и третий член позволяет ввести тензор четвертого ранга ком-

поненты которых зависят от магнитного поля. Для слабого поля В,

когда j-^-j (В, m*B) 1, введенные тензоры.- не будут зависеть от

магнитного поля и j

lv)

можно представить в виде

3 3 3

ν)

= Σ°"

)Ε

'+ Σ Σ Αε^Β*. (50.5)

l—\ ι, k=l I, m,

k=\

Тензор второго ранга был найден ранее в § 40:

' (50.6)

Тензор третьего ранга имеет вид

319

где Ец

—

так называемый единичный антисимметричный тензор

определяемый условием

(it

при хф1фк,

0 при ί = /; l =

k = i.

Плюс берется, если ilk можно получить из (1, 2, 3) четным чи<\

лом перестановок, и минус —если нечетным, именно

123

23ΐ =

3ΐ2 = 1;

132

321

213

= Ь (50.9)

остальные члены равны нулю. Выражение (50.8) легко получить,

раскрывая член [т*Е, В].

Найдем /-компонент /<

ν)

, обусловь

ленный вторым слагаемым

/(v)

2^(v)[

*-'E, B]

(50.10)

Но, например,

Т.аблица 15

Компоненты,

тензора

Значение

компонентов

r(V)

1122

+ 2mi).m

+2m

/?(v) __

р(\)

1133

—

2233

{

2mi)

+2m

p(v) __

p(v)

3311

—

8322

3 (m

-\-2m

)

+2m

пц

p(V) _

p(v)

1212 —

1313

—

— F

(v)

. —

2323 '

3(m

2m>)

(mi

+ 2w/)

r(v)

liii

[ш*

Е, В],

ЕуВ

EzBy

(50.11)

KtxW

b^Lb

. (50.12)

Мы видим, что в сумме

(50.10) фигурируют члены вида

причем

1Ф

1ФК

с различным знаком в соответ-

ствии с четностью перестановок.

Используя единичный антисим-

' ' метричный тензор третьего ран-

га, приходим к выражению (50.7) и (50.5). Таким же образом

можно прийти к представлению третьего слагаемого в виде (50.5),

где o^h можно записать в виде

χΓ-f— + — + —VTF<V> =

L3 \т

пи

т^)\ iikl

= V* (τ

)

Щ ' m

(2/η,

+ Μρ»'

Ъггцтх {m

2пц)

•

Я УУ

ijkl *

.(50.13)

Компоненты тензора анизотропии представлены в табл.

Для того чтобы найти соответствующие значения компонент^

полных (суммарных) тензоров, необходимо найти сумму соответс

320