Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

другими словами величину у можно выразить через А

и Δ„. Выра-

зим произведение концентраций носителей заряда через тензор

деформации:

пр =

п\

= N

e " =„?(0)е

кТ

- (52.10)

Таким образом, приращение произведений концентраций электро-

нов и дырок связано с постоянными потенциала деформации и вели-

чиной деформации и. В собственном полупроводнике п = р и

δη __ б щ _ A

б ρ /г

n(0) ~~ъ(0) ~~ 2kT pW' loz.iij

.' Учитывая выражение для проводимости, можем записать

б ρ _ δη _ Ac —Ay Δ

— A

Ρ . /|-

Ро ~ я ~ 2/гГ 2kT Е

' [ΟΔ.ΙΔ)

Сравнивая (52.12) с'(51.36), можем записать выражение для про-

дольного коэффициента пьезосопротивления

щ =

%те*

; Sl =

' (52.13)

Оценка л^ на основании (52.13) дает сравнительно

небольшое

изменение сопротивления при всестороннем сжатии. Так как согласно

(51.13) всестороннее сжатие в общем случае входит как составная

часть в любую деформацию, кроме чистого сдвига, то изменение

концентрации свободных носителей заряда, обусловленное всесто-

ронним сжатием, должно наблюдаться во всех случаях.

Однако в области истощения примеси всестороннее сжатие может

изменить общую концентрацию частиц только на удвоенное изме-

нение концентрации неосновных носителей заряда, поэтому тензо-

сопротивление проявится слабо. В действительности же в целом

ряде случаев тензосопротивление проявляется значительно сильнее,

что может быть объяснено только сложной структурой зон энергии.

2. Одностороннее сжатие или растяжение. Значи-

тельно большее тензосопротивление наблюдается при одностороннем

сжатии или растяжении, когда тензор напряжения имеет вид (51.24)

или (51.25). Деформация тела определяется тензором деформации u

Необходимо отметить следующее обстоятельство: если в направлении

сжати я расстояние между атомами уменьшается, то в поперечном

Управлении расстояние между атомами увеличивается. Это по-раз-

ному меняет характер перекрытия волновых функций атомов вдоль

Разных направлений.

Выразим положение дна зоны проводимости в виде

(и) = Е

( + (52.14)

j^^U/fc

—

компонент тензора деформации, а

—

компонент тензора

0э

Ффициентов потенциала деформации. Выражение (52.14) справед-

331

ливо для малых деформаций. Обобщим поставленную задачу на слу.

чай полупроводника, имеющего Μ долин. Предположим, что поло,

жение дна зоны проводимости в каждой долине (ν-долине) описыва-

ется своим тензором Δ^

<ν)

= Δ^:

£<

(u) - E

(0) + 2 Aff u*. (52.15)

ik / ·

Поскольку тензор деформации одинаков для всех долин, а Δ<

)

вообще говоря, различны, то дно зоны проводимости сместится

по-разному в каждой долине. Положение уровня Ферми от номера

долины не зависит, поэтому расстояния между уровнем Ферми и

дном зоны становятся различными, что приводит к различной вели-

чине концентраций электронов в каждой долине: если дно долины

поднимается, то число электронов в ней уменьшается; если дно

долины опускается, то число электронов в ней увеличивается:

F* —

w = N

=/i<v)(

). (52.16)

Через F' обозначен уровень Ферми в деформированном кристалле:

F' = F + 8F; 6F^^D

. (52.17)

Наиболее интересен случай примесной проводимости. Рассматри-

вая для простоты область истощения примеси, мы можем записать

условие, сохранения числа электронов проводимости

м ,

niv)

(

) =

η(ν}

(°) Μ = п. (52.18)

ν=1

Разлагая (52.16) в ряд по малой величине тензора деформации

и ограничиваясь линейным членом, получим

/ dF-%A

(и) = п^ (0) 11 -f

+...]. (52.19)

Подставляя (52.19) в (52.18), запишем

п^ (0) Μ - (0) Μ -

ν== 1 \ ik

(52.20)

Приравнивая члены в квадратной скобке (52.20) к нулю и вместо

SF подставляя (52.17), получим

М 3 3 -

ΜΣ Affu2 (

2 )

l,k=*\ i

k =

332

Из (52.21) имеем

= -2 Δί]? = <Δ>«, (52.22)

V= 1

т#

е. тензор D

, определяющий смещение уровня Ферми, обеспечиваю-

щее сохранение числа электронов проводимости, представляет собой

усредненный по минимумам тензор Ай?. Учитывая (52.22), перепи-

шем выражение для n

(v)

(и):

„(V) (

) = (0)

1 —

= + (52.23)

Так как концентрация электронов в различных минимумах при

деформации меняется по-разному, то минимумы перестают быть

эквивалентными. Запишем теперь выражение для полной проводи-

мости -

м м

σ (и) = 2

σ(ν)

(

) = * Σ

n(v)

(

) μ

(ν)

· (52.24)

ν=1 ν=1

ЕСЛИ поверхности энергии в минимумах сферические, то Μ

(Ν

> = Μ

не зависит от номера долины и в этом случае согласно (52.18)

σ(ιι) = σ(0), т. е. в этом приближении тензосопротивление отсутст-

вует. Если же μ

1ν)

анизотропна, то проводимость становится при

наложении деформации анизотропной:

а (и) = σ (0) - е 2 μ

(ν)

δ/ι

(ν

>. (52.25)

ν =

При фиксированной деформации, определяющей значения δη

(ν)

анизотропия проводимости связана с анизотропией подвижности,

т. е. с анизотропией обратной эффективной массы.. Рассмотрим

в качестве примера кремний п-типа.

Если сжать кристалл кремния вдоль оси [100], то расстояния

между атомами в этом направлении уменьшатся, обменный интеграл

Для этого направления возрастет, а для направлений [010] и [001]

Уменьшится. Дно зоны проводимости в направлении [100] опустится,

в перпендикулярных направлениях поднимется. Так как

2 δ^

> = 0, (52.26)

ν=

То

область занятых состояний в минимумах (:±к

0х

, 0, 0) увеличится,

остальных уменьшится (рис. 77). Обозначим через δη

увеличе-

очев

Концент

ации

электронов в первом и четвертом минимумах,

—

46/28

= 26/1!.. (52.27)

333

Запишем изменение тензора проводимости δσ:

Ч, = - (μ^ - V,

>) = -е

<τ> 2δη, (52.28)

= (52.29)

Таким образом, изменение проводимости для разных осей раз-

лично как по знаку, так и по модулю. Если наложить давление

вдоль оси [110], то минимумы /, 2, 4, 5 опустятся, а 3> 6 подни-

мутся; 46^ = — 2бя

. Выра-

жение для изменения прово-

димости имеет вид

δσ

χχ

= —2еЧп

<τ>(- -) =

1 4 /

\ mi

= 6a

yy?

(52.30)

(52.31)

Если же сжать кристалл

в направлении [111], то все

экстремумы останутся экви-

валентными, перераспределе-

Рис. 77. Перераспределение электронов ния электронов не произойдет, '

между минимумами энергии в кремнии при

и в эхом

приближении тензо-

'деформации сопротивление наблюдаться

не должно. В действительно-

сти оно будет иметь место вследствие изменения концентрации

носителей заряда, о котором говорили в первом пункте.

Перейдем к рассмотрению тензосопротивления в германии или

кремнии р-типа. В них наблюдается большое изменение сопротивле-

ния, которое не может быть объяснимо указанным выше изменением

концентрации носителей заряда. Вспомним, что валентная зона гер-

мания и кремния обладает почти сферическими поверхностями энер-

гии, поэтому объяснить аномально большое тензосопротивление ани-

зотропией проводимостей подобно тому, как это имеет место в зоне

проводимости, нельзя. Объяснение было найдено при учете вырож-

дения валентной зоны —две ветви энергии —для легких и тяжелы*

дырок —сливаются в точке

= 0. При наложении анизотропной

деформации нарушается симметрия поля решетки, что приводи№

к снятию вырождения

—

потолок валентной зоны легких и тяжелыX

дырок смещается на различную величину и в противоположны*

334

лправлениях. Величина смещения уровней энергии δ Ε (к) зависит

к следующим образом:

δΕ (к)=±

UiiKiK]

~ 2

»)

•

(52

32)

где В

—

[в

+ \ С

; 5, С

—

константы, входящие в выражение

(26.2),

г-константа деформационного потенциала. Верхний знак

относится к легким дыркам, нижний —к тяжелым. Смещение зон

энергии легких и тяжелых дырок меняет их концентрацию при со-

хранении полного числа дырок проводимости (в случае примесной

проводимости в области истощения) ρ

+ ρ

= Ν

. Но перераспреде-

ление концентраций легких и тяжелых дырок вследствие различия

в их подвижности меняет проводимость и сопротивление:

δσ = е

φρ

ρ}1

+ δρ

μ^

)

(62.33)

при бр

= —δρ

Таким образом, аномально большое тензосопротивление германия

и кремния р-типа связано с различием масс и тем самым подвиж-

ностей легких и тяжелых дырок.

Если поместить деформированный кристалл в магнитное поле,

то все гальвано- и термомагнитные явления должны протекать иначе,

чем в недеформированном кристалле. Аналогичным образом изме-

нятся и термоэлектрические явления. Изменение всех кинетических

явлений обусловлено тем, что деформация кристалла меняет его

энергетическую структуру. При более точном описании явлений

в деформированных полупроводниках необходимо учитывать изменение

механизма рассеяния, эффективной массы и других величин.

Выражение для плотности тока типа (50.5) изменится при нало-

жении деформации. На основании закона Ома выражение для плот-

ности тока можно записать в виде

*(и,В)£

(52.34)

Αϊ= 1

Де проводимость a

можно представить для слабых полей в виде

Ik (11, В)

σ?

Γι +

(п-^штЩт] +

/Г^ а

iklmn

\ Βλ

I Im J IL ι Imn J J

+ {ΓΣ °iklm+. Σ

OlklmnpVinp]

Β β Λ (52.35)

I L Im imnp J J

Если деформации отсутствуют (u^ = 0), то (52.35) переходит

выражение типа (50.5); при В = 0 оно переходит в (51.30), если

Учтем, что тензоры p

и a

являются взаимообратными, через (nr^ikim

позначен элемент iklm тензора, обратного тензору пьезосопротивле-

ия. Тензоры oiki и о

Шт

описывают проводимость Холла и магнитно-

335

резистивный эффект. Тензоры а

Штп

и о

Штпр

описывают соответ

Ст

венно поперечный и продольный тензогальваномагнитные эффект^

Если полупроводник имеет Μ экстремумов, то необходимо

выр

]

жение (52.35) просуммировать по всем экстремумам.

Резюме § 51—52

1. Тензорезистивный эффект состоит в изменении сопротивления

(проводимости) полупроводника или металла в результате его дефор.

мации. Физической причиной тензосопротивления является измене-

ние энергетической структуры полупроводника. Изменение ширины

запрещенной зоны приводит к изменению концентрации носителей

заряда и тем самым к изменению сопротивления.

2. В веществах, имеющих сложную структуру зон подобно гер-

манию или кремнию η-типа, деформация кристалла, вызванная

односторонним сжатием или растяжением, приводит к большому

изменению сопротивления, которое не может быть объяснено изме-

нением общей концентрации носителей заряда. Объяснение состоит

в том, что в результате анизотропной деформации экстремумы энер-

гии становятся неэквивалентными, происходит перераспределение

электронов по экстремумам. Минимумы, дно которых опустится,

дадут больший вклад в проводимость, чем минимумы, дно которых

поднимается. Изменение проводимости при этом наблюдается только

в том случае, если поверхности энергии отличны от сферических.

3. В полупроводниках кремния р-типа большая величина изме-

нения сопротивления обусловлена снятием вырождения зон энергии

при наложении анизотропной деформации. В_ результате снятия

вырождения меняется число легких и тяжелых дырок, обладающих

различной подвижностью и дающих благодаря этому различный

вклад в проводимость, что приводит к изменению сопротивления

даже при сохранении общего числа дырок.

4. Тензорезистивный эффект описывается тензором коэффициентов

тензосопротивления (пьезосопротивления). Он является тензором чет-

вертого ранга.

Если на полупроводник наложить одновременно магнитное поле

и деформацию, то его проводимость можно представить в случае

слабых магнитных полей в виде (52.35).

Глава V

ТЕОРИЯ РАССЕЯНИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

§ 53. ЭФФЕКТИВНОЕ СЕЧЕНИЕ РАССЕЯНИЯ

В идеальном кристалле направленное движение электронов

и дырок может существовать без внешнего электрического поля

сколь угодно долго. В реальном кристалле электрический ток после

выключения поля уменьшается по экспоненте

j (0 = Joe <

>, (53.1)

где (τ)

—

некоторая характеристика вещества, имеющая величину

порядка Ю

-13

с, т. е. ток обращается в нуль практически мгновенно.

Механизмом, обеспечивающим возврат системы в равновесное состоя-

ние, является рассеяние носителей заряда, их столкновение с различ-

ными нарушениями периодичности поля решетки.

Характеристикой процесса рассеяния служит величина, называе-

мая обычно эффективным сечением. Ее можно ввести следующим

образом.

Пусть через единичное сечение в единицу времени проходит

одна частица со скоростью ν, она образует одночастичный поток.

Определяя поток в общем случае как число частиц, проходящих

за единицу времени через единичное сечение, мы можем выразить η

через, концентрацию частиц в пучке п

и их скорость ν: η

—

υ..

При η =

см

-2

-1

концентрация частиц в пучке равна п

—

см^

/(см

-1

) = у см

-3

. Поместим в пределах этого сечения

некоторый непрозрачный для частиц экран с площадкой S. Вероят-

ность попадания частицы в экран равна отношению S:l=S при

Условии, что частица с достоверностью проходит через единичное

сечение (1 частица на 1 см

за 1с). Если каждое попадание в пло-

нЗДку S выводит частицы из пучка, то S равно вероятности столк-

новения или рассеяния. Таким образом, зная площадь площадки S,

Мы

знаем вероятность столкновения частицы с площадкой. Если

На

единичное сечение приходится N площадок, то вероятность столк-

новения увеличится в N раз и будет равна NS. Если через единич-

ное сечение в единицу времени проходит не одна, а η частиц, то

Число рассеянных в единицу времени частиц An = nNS.

При движении частиц в среде, в которой имеются рассеивающие

Центры с концентрацией N, на участке пути длиной dx вдоль дви-

жения частиц для пучка единичного сечения находится Ν -I

337

рассеивающих центров, вероятность частице испытать рассеяние

на них равна SNdx. Число рассеянных в единицу времени частиц

dn = tiNSdx. Если в точке χ поток частиц имеет величину п(х)

То

в точке x+dx он станет меньше на dn = nSNdx

так что n(x+dx)^

_ n(x) + dti. Поскольку происходит уменьшение потока частиц,

То

η (x+dx) <п(х) при dx> 0, и, следовательно, dn< 0, поэтому

можно записать

— dn = n(x)SNdx. (53.2)

Уравнение (53.2) легко решается, если S и N не зависят от

(

) =

e-sNx

(53.3)

Мы видим,' что, зная вероятность рассеяния S, можно вычислить

поток частиц в любой точке х. Число частиц в потоке, или сам

поток, уменьшается по экспоненте. На расстояниях = число

частиц уменьшается в е раз. Можно придать несколько другой

смысл величине Для этого возьмем интервал {χ, x+dx}, на нем

рассеивается —dn(x) частиц, все они прошли путь от χ до x+dx,

или, с точностью до dx, путь χ. Их суммарный п^уть равен

-dn(x)x. (53.4)

Если просуммируем (53.4) по всем

значениям χ, то получим

сумму длин отрезков, которые прошли все п

частиц без рассеяния.

Разделив сумму длин всех отрезков на первоначальное число частиц

в пучке, получим средний отрезок /, который проходят частицы

без рассеяния:

о о

оо

-ж^'Ъ-ж· (

Выражение (53.5) связывает длину свободного пробега I с эффек-

тивным сечением рассеяния. Но из (53.2) следует, что вероятность

рассеяния на участке пути длиной dx равна

SNdx = (53.6)

Следовательно, величина SN = Η есть вероятность рассеяния

на единичном интервале пути. Это соотношение совёршенно анало-

гично соотношению между временем свободного пробега и вероят-

ностью рассеяния за единицу времени, полученному в расчетах §

на основании законов теории вероятности. Можно связать эти веЛИ-

338

чины между собой. Если ν есть средняя скорость по модулю, то ее

можно определить отношением

ν = (53.7)

В таком случае

= (

Величина S была введена как площадь сечения «экрана», на кото-

ром происходит рассеяние частиц потока. Для электронов, движу-

щихся в твердом теле, необходимо ввести некоторые более сложные

понятия, описывающие процессы рассеяния. Рассеивающим центром

называют любое нарушение идеального поля решетки, приводящее

к изменению квазиимпульса и скорости электрона . или дырки. Про-

цесс взаимодействия носителей заряда с ними характеризуется неко-

торой вероятностью W.

Построим вокруг рассеивающего центра экран с площадью S* = W.

Вероятности' рассеяния экраном и рассеивающим центром в этом

случае равны, поэтому вероятность рассеяния называют часто

эффективным сечением рассеяния.

Если возможно протекание нескольких различных процессов

с эффективными сечениями S* и числом рассеивающих центров

/-сорта N

то полная вероятность рассеяния W является суммой

отдельных вероятностей рассеяния:

= S* = 2^

'·· (53.9)

' i

Величину W можно определить через длину свободного пробега

/=4

в то же время S

Ni = и

1 = 21· (53.10)

Другими словами, если существует несколько механизмов рассеяния

и i-й механизм, действуя в «чистом» виде, обусловливает длину сво-

бодного пробега величиной то при их одновременном действии

Длина свободного пробега I должна быть, естественно, меньше·

любого из них, что подтверждается соотношением (53.10).

Оно выражает собой аддитивность вероятностей независимых

событий. Из (53.10) следует, что полная длина свободного пробега

всегда меньше самой малой парциальной длины свободного пробега.

Чтобы оценить вклад некоторого механизма рассеяния в полную

величину /, необходимо учитывать концентрацию соответствующих

Рассеивающих центров и эффективное сечение рассеяния на них.

Эффективное сечение S* может быть функцией энергии, эффек-

тной массы или каких-либо других параметров рассеиваемых

339

частиц. Задачей теории рассеяния является установление зависимо·

сти S* от энергии, массы частиц для различных видов рассеиваю,

щих центров.

Эффективное сечение S* мы определили как вероятность того

что частица рассеится, отклонится на любой произвольный yr

от направления первоначального движения. Но поскольку процесс

рассеяния является случайным процессом, то различные частицы

будут отклоняться от направления своего движения на различные

угл ы θ, φ. Пусть в элемент телесного угла dQ = sin

д dO

άψ на уча.

стке dx в единицу времени рассеится dn'' частиц. Это число можно

представить в виде

dn' =

ф)

= ηΝ άχσ

(О,

φ)άΩ,

откуда

/л \ ' dn'

*) = жж·

Величина σ(θ, φ) численно равна числу частиц dn', рассеянных за

единицу времени в единичный телесный угол άΩ =

на единичном

участке пути dx =

для единичного потока η = η-μ =

на одном

рассеивающем центре N = 1. Величина

α (θ, φ) dti = Ц- {η

υ = η = 1; N dx= 1) (53.13)

представляет собой вероятность рассеяния частицы из одночастич-

ного потока на одном рассеивающем центре на углы В и φ в телес-

ный угол άΩ, поэтому σ(θ, φ) называют дифференциальным эффек-

тивным сечением. Размерность σ(θ, φ) можно найти из (53.13): так

как dn

есть вероятность рассеяния одной частицы в единицу вре-

мени ([dn'] = Τ'

) для одночастичного потока (η

ν =

см-

-1

, т. е.

v] = L-

), то

Ив. = = (53Л4)

Мы видим, что дифференциальное эффективное сечение имеет раз-

мерность площади, так же как и эффективное сечение S*. Если

просуммировать величины (53.13) по всем углам θ, φ, то получим

вероятность рассеяния на произвольные, любые углы, т. е. получим

полную вероятность S*:

$ σ(θ, <p)dQ = S*. (53.15)

<4π)

Уравнение (53.15) представляет собой условие нормировки

величину-, S* можно назвать интегральным эффективным сечением·

Если дифференциальное эффективное сечение не зависит от угло

б и φ, т. е. рассеяние на любые углы равновероятно, то такое Р

аС

340

(53.11)

(53.12)