Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Интегральное эффективное сечение не зависит от энергии и ско-

рост и носителей заряда, но дифференциальное эффективное сечение

сильно зависит от скорости носителей заряда:

(56.17)

Кроме того, как показывает выражение для σ(θ), рассеяние на

ионах резко анизотропно: σ(θ) ~—Цр. Эффективное сечение про-

sin

водимости о с имеет двойную зависимость от скорости

—

степенную

и логарифмическую. Введем обозначение:

— -3-

i (ът*хР\

fT In (1+*) /ГГСЮЧ

При х> 1

СТс-^, , (56.19)

поскольку логарифмическая зависимость значительно слабее степен-

ной. Если же то выражение (56.15) для о

упрощается:

Oc^^Nj

- ^ - . (56.20)

эффективное сечение проводимости не зависит от скорости и энергии

рассеиваемых частиц. Рассмотрим условия, необходимые для выпол-

нения неравенства (56.19) или (56.20); для этого введем значение

энергии в выражения для х:

(em*v

1 · / Ε \

/клоп

"LT Ζβ

Но р= V (2b

max

) есть потенциальная энергия на расстоянии

2&шах от рассеивающего центра. При V (2b

max

), т. е. для «мед-

ленных» носителей заряда, о

не зависит от их скорости и энергии.

РИ £> V(26

max

^^, или при E^V(2b

max

) зависи-

мость а

от . υ остается, но значительно более слабая, чем при

больших энергиях. Значения V(2b

max

) для различных Nj при ε =10

1 даны в табл. 18.

В табл. 18, кроме того, приведены значения температур Г К,

ычисленные из условия 1/(2b

max

) = kT. Интервал энергий (0

—

Е)

3<?1

Таблица 18

Nj, см"

1021

1018

1015

ΙΟΙ

10»

max-

см

10-7

10"б

10-5

• ю-4

Ю-з

max)-

эВ

0,143

0,0143

0,0014

0,0001

0,00001

Τ — ^ к

max £ »

1670

167

16,7

1,7

0,17

и соответствующий ему интервал температур, в которых а

не зави-

сит от скорости, тем. больше, чем выше концентрация ионов при-

меси. При Л^/я^Ю

и ниже интервал значений энергий, в котором

не^

зависит от Ε, очень мал, поэтому можно считать, что

Перейдем к рассмотрению зависимости времени релаксации от энер-

гии. Согласно (54.17) и (56.15)

τ ι

(к)

NjO

(к)

2nN

Z*e*

ε/η*υ

2Nf

Ze2

(56.22)

Это выражение для τ

называют формулой Конуэлл

—

Вайскопфа.

Из (56.22) видно, что r

. Выражая скорость через энергию:

пол

чим

1 А *

У~2г*т*

NjnZW In

N j

Ze*

*τ

Ε~<

(56.23)

Мы видим, что при рассеянии носителей заряда на ионах при-

меси время релаксации зависит от энергии в виде τ (Ε) = τ

при

р =

. Релаксационный процесс длится тем дольше, чем больше

энергия носителей заряда. Применимость этой формулы была уже

рассмотрена. При Е-+0 выражение (56.24) не применимо, оно должно

быть заменено выражением .

τг-

l°c

Vт*

N~N

_ι

πΝ jV

JiNj

(56.24)

что вытекает непосредственно из (56.23).

362

Если определить длину свободного пробега носителей заряда

энергией Ε соотношением

(Ε) = νχι (Ε), то

h~E*·, lj (Ε) = const (56.25)

при больших и соответственно малых энергиях электронов и дырок.

Вернемся к выра1жению (56.5), с помощью которого вычислим

транспортное эффективное сечение:

О ζ . ( Ze*m* \2

(1 — cos θ)

sin

°с =

* \

(-ip— τ '—TF

• Ь

K 1

[/c§+4/c

sin

|-J

' J

«ο

sin

L J

Вынося 4/c

и вводя новую переменную у = sin

у, получим

Интеграл в (56.27) вычисляется, например, по частям, в резуль-

тате чего имеем X

(56

28)

При /с

->-0 выражение для а

->оо. Параметр к

можно связать

с концентрацией свободных носителей заряда, учитывая экранирую-

щее действие роя электронов или дырок, притягивающихся полем

иона. Но поскольку принципиального отличия от выражения для

°с и τ/, даваемого формулой Конуэлл

—

Вайскопфа, не возникает,

исследовать выражение (56.28) не будем.

Резюме § 56

1. Дифференциальное эффективное сечение для рассеяния носи-

телей заряда в кулоновском поле иона представляет собой формулу

езерфорда

-(^)-i(w)

-7Т- <

56Л

р>

Рассеяние резко анизотропно, превалирует рассеяние на малые

Углы, которым соответствуют большие прицельные расстояния,

выражения для 5* и о

расходятся.

363

2. Обрезая прицельные расстояния на некотором значении 6

или не принимая во внимание отклонения на углы меньше некото-

рого 0

min

, получим конечные значения для S* и а

. Физической

основой, позволяющей ввести &

тах

, является экранирующее дей-

ствие роя свободных носителей заряда, превращающего кулоновский

потенциал в экранирующий потенциал вида (56.2), или компенси-

рующее действие полей соседних ионов. В первом случае выраже-

ния для σ и о

имеют вид

= (56.3P,

где к

связано с концентрацией свободных носителей заряда. Во

втором случае для а

получаем

= 2я (

У In

гт*Ф j

. / ет*£>

-f-

2Nj Ze

(56.4ρ)

3. При достаточно больших энергиях носителей заряда эффек-

тивное сечение проводимости а

обратно пропорционально квадрату

энергии, в то время как для малых энергий о

не зависит от

энергии.

4. Время релаксации носителей заряда при рассеянии на ионах

примеси имеет 'вид

(2т*)

Т/

NrttZW

ι+ί

ε£

Ze2

(56.5ρ)

Оно пропорционально эффективной массе в степени V

. Для боль-

ших энергий τдля малых энергий

. Интервал энер-

гий, при котором Xjr^E

, играет заметную роль при малых тем-

пературах, близких к нулю.

§ 57. РАССЕЯНИЕ НА НЕЙТРАЛЬНЫХ АТОМАХ ПРИМЕСИ

Рассеяние носителей заряда на нейтральных примесях можно

описать выражениями (56.5) и (56.28) соответственно. Поскольку

для атома примеси /с

^Ю

см

-1

, что соответствует энергии

практически для всех носителей заряда величиной к

по сравнений

364

с к

\ можно пренебречь, в связи с чем выражения для σ (θ) и а

упрощаются:

<57

т. е. рассеяние изотропно, а а и о

не зависят от энергии рассеи-

ваемых частиц.

Оценим величину σ; положив т* = т; ε = 10; Ζ= 1; к

= 10

см

-1

получим σ^2·10~

см

Время релаксации при рассеянии на нейтральных атомах примеси

согласн о (57.4) равно

τΗ=

(57.3)

H™

N^V 2 к \ Ze 2 )

Выражения (57.2) и (57.3) для а

и τ

справедливы постольку,

поскольку нейтральный атом или точечный дефект можно описать

экранирующим потенциалом (56.2). Укажем на одну особенность

в зависимости а

от диэлектрической проницаемости вещества. При

оценке о

для к

мы использовали значение, справедливое для изо-

лированного атома. Если атом примеси описывается водородо-

подобной моделью, то размер электронного облака атома примеси

возрастает в ε раз, как это было показано в § 21, поэтому необхо-

Кр

зависимости σ и о

от ε:

димо заменить к

на

κό

= —, вследствие чего изменится характер

в ,

что при вышеуказанных предположениях дает σ^2·10

см

Полученные выше выражения справедливы в том случае, если

рассеиваемая частица не влияет на поле рассеивающего центра.

В действительности же это не так. Свободный носитель заряда своим

полем поляризует атом примеси, вследствие чего у атома примеси

появляется индуцированный дипольный момент. Его величина d

определяется напряженностью поля, создаваемого рассеиваемой части-

цей и поляризуемостью χ атома:

|d|

= -gr· (57.5)

Индуцированный дипольный момент в свою очередь создает

электрическое поле, действующее на свободный заряд. Как известно

из электростатики, напряженность поля диполя в направлении его

оси равна

"Н*--^. (57.6)

365

Для потенциальной энергии свободного носителя заряда в поле

индуцированого им диполя .из (57.8) получим

--·φτ· ' (57.7)

Выражение (57.7) справедливо до тех пор, пока расстояние

между рассеивающим центром и носителем заряда велико по сравне-

нию с Ко

, поскольку при меньших расстояниях не применимо выра-

жение (57.6), справедливое лишь для точечного диполя. При мень-

ших расстояниях необходимо найти распределение заряда рассеи-

вающего центра с учетом поля рассеиваемой частицы. Однако при

достаточно больших расстояниях, при которых экранирующий потен-

циа л практически ргавен нулю, будет иметь место рассеяние носите-

лей заряда нейтральным рассеивающим центром за счет поляриза-

ционного потенциала (57.7). Найдем дифференциальное эффективное

сечение рассеяния на потенциале (потенциальной энергии) (57.7).

Для этого вычислим V

оо .со

6-5^-г. <57.8,

До Ro

В отличие от кулоновского поля выражение (57.8) сходится при

со, но расходится при г0. Однако· расходимость в последнем

случае снимается введением некоторого минимального расстояния

Яо, поскольку при г-»·0 выражение (57.7), как уже говорили, не

применимо.

Вычисление V

из (57.8) можно провести, переходя к комплекс-

ным переменным. Однако прдвёдем его оценку иначе. Прежде всего

обратим внимание, что при κ = 0 интеграл вычисляется элементарно:

оо

κ-ο _ _ JCfL С - /Г7 9)

4π — 2ε

J ή ~~ 2ε

}

Это же выражение будет справедливым при

= 0 и

любой

энер-

гии носителя заряда или при к = 0. Можно считать применимым

выражение (57.9) и в том случае, когда KR

мало. В таком случае

приходим к выводу, что при малой энергии носителей заряда, когда

1, дифференциальное эффективное сечение рассеяния на поля-

ризационном потенциале изотропно и не зависит явно от энергии:

(5710)

· yoi I

Если κ величина большая, то sin кг

—

быстро осциллируются

функция, поэтому интеграл (57.9) практически равен нулю при

больших Θ. Но при малом Θ, когда можно считать, что

^Lr^it

УС

интеграл вновь вычисляется, он равен . Таким образом, Р&*

сеяние на нейтральных центрах вследствие их поляризации Р

езК

366

аН

изотропно — рассеяние происходит только внутри конуса с угло-

вым раствором вне этого конуса рассеяние практически

отсутствует. Эффективное сечение рассеяния внутри конуса слабо

зависит от энергии. Но так как при изменении к угловой раствор ΔΘ

меняется, то изменяется и дифференциальное эффективное сечение

примерно' как (KR

. Вычисляя транспортное эффективное сечение,

получим a

r^ (kR

)~*. Таким образом, с ростом энергии рассеиваемой

частицы изотропное рассеяние переходит в резко анизотропное.

Однако в действительности все обстоит еще более сложно. При рас-

сеянии электронов вследствие тождественности рассеиваемого элек-

трона и электрона атома возможен обменный эффект. Кроме того,

необходимо учитывать, что водородоподобный нейтральный рассеи-

вающий

центр имеет целый ряд возбужденных состояний, вследствие

чего рассеяние может быть неупругим. Другими словами, задача

рассеянии электронов и дырок нейтральными центрами является

значительно сложней задачи о рассеянии частиц заряженными при-

месями. Решая задачу о рассеянии носителей заряда в поле водо-

родоподобного атома примеси, Эргинсой показал, что а

примерно

пропорционально ir

; из этого следует, что время релаксации не

зависит_от энергии рассеиваемых частиц. Для оценки времени релак-

сации обычно используют приближенное соотношение, полученное

при решении уравнений численным методом:

2 1

/С7

где N

—

концентрация нейтральной примеси при данной темпера-

туре. Необходимо отметить, что электрически активная примесь

может быть нейтральной только при очень низких температурах.

В заключение этого параграфа отметим, что при рассеянии на

дислокациях эффективное сечение рассеяния существенно зависит

от угла между начальной скоростью носителей заряда и осью дис-

локаций. Можно найти а, исходя из общего уравнения (55.30).

Опуская выкладки, укажем, что для времени релаксации при рассея-

нии на линейных дислокациях обычно пользуются выражением вида

(57Л2)

где

—

радиус, А^

—

поверхностная плотность дислокаций.

Резюме§57

1. Рассеяние носителей заряда на нейтральных рассеивающих

Цитрах изотропно. Анизотропия наблюдается лишь для очень

больших энергий электронов и дырок.

2. При рассеянии носителей заряда на атомах примеси или

°чечных дефектах время релаксации практически не зависит от

скорости частиц; при рассеянии на линейных дислокациях τ^ιτ

367

§ 58. КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ. НОРМАЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ.

ФОНОНЫ

Для понимания многих физических явлений в полупроводниках

необходимо иметь представление о методе описания колебаний решетки.

Из общего курса физики известно, что в нагретом теле атомы совер!

шают хаотические тепловые колебания относительно положений рав-

новесия. Амплитуда тепловых колебаний зависит от температуры.

Электроны и дырки, двигаясь в веществе, атомы которого совер-

шают хаотические движения, могут обмениваться с ними энергией.

Благодар я колебаниям решетки устанавливается термодинамическое

равновесие между решеткой и электронным газом, оно характери-

зуется некоторой температурой, одинаковой как для атомов (ионов)

решетки, так и для электронного газа. Перейдем к математическому

описанию колебаний решетки.

Обозначим через R„j равновесную координату атома, находяще-

гося в j-узле элементарной ячейки, положение которой в кристалле

определяется вектором п = (д

; п

, п

). Пусть атом Rnj смещен

из положения равновесия и его координата при этом, равна R^j.

Вектор

- tin] = Rnj — Rnj (58.1)

называют вектором смещения j-атома ячейки п. Пусть U

= U

(..., Rnj ...,) есть равновесное значение потенциальной энергии

решетки, a U

—

потенциальная энергия решетки со смещенными

атомами, ее можно выразить в виде функции от смещения атомов:

t/ = t/(...

Rnj ...,) = £/(..., «„,, ...·;). (58.2)

Разложим U в ряд Тейлора по вектору смещения относительно

равновесного состояния кристалла:

£/(..., e

= + + ~ 2 13Γ»"ί»η'ί'+

[nj "> nj, n'j' "

+ i 2 • ra^k

(58Д

nj, n'j', n"j"

Так как разложение ведется относительно равновесного состояния,

dU ___

в котором тело имеет экстремальное значение энергии, то

ди

- ^

= 0 и, следовательно, ряд начинается с квадратичных членов.

Обозначим элементы тензоров второго и третьего ранга соответ-

ственно

= (58.4)

Bnl n'j', n'j' =

™ . ' (

368

Учитывая (58.4) и (58.5), запишем

nj, n'j'

υ = υ

+ γ 2 ^nj. nT«nj«nr + .-. (58.6)

Если смещения малы, то, пренебрегая кубическими членами,

представим U в виде билинейной функции от смещения атомов.

Сила, действующая на атом mi, равна производной по и

\ от U со

знаком минус:

Fmi = = — у 2 Ani n'j' («n'j'fimi,

+ И njS

i, nj) =

nj, n'j'

= - у (2

™i>

n'l'ttnr +2

miUn

- 2

ЛТ1

NJUNI

(58,7)

\n'j' nj / nj

Величина i4„j, mi зависит не от m и η в отдельности, a of рас-

стояния между атомами, т. е. от |n

—

Anj,

= Α μ (η - m). (58.8)

Отсюда следует, что трансляция на целое число периодов решетки

не меняет «коэффициента упругости»:

Лп+р, j;m+p, I = i4ji (π —m) = i4nj

mi. (58.9)

Запишем уравнение движения атома mi с массой Mi, учитывая,

что F

i определяется соотношением (58.7):

Miii

i = — 2 А

т1

Unj. (58.10)

Уравнение (58.10) содержит в явном виде массу атома Μι, что

в ряде случаев вызывает дополнительные трудности'при решении

задачи. Введем так называемые приведенные смещения w

j, опреде-

ляемые условием

Wnj

= VMunu (58.11)

а вместо матрицы {Α

}

, n'j'} введем матрицу {D

f n

'j'}:

^•^уЩг- <

58Л2

Матрица {D

j, „т} носит название динамической. Размерность

элементов матрицы D равна Т

-2

. Действительно, так как размер-

ность А совпадает с размерностью коэффициента упругости

-.] = [£] = [#-] = [#-], (58.13).

369

то размерность D

njt

i совпадает с размерностью квадрата частоты

Из очевидного равенства

An}, mitfnjtfmi = VMi «nj УЖ u

i ' (58.14)

следует, что потенциальная энергия в приведенных смещениях

имеет вид

υ = υ

+ γ 2

nj. miw

. (58.15)

nj, mi

Уравнение движения (58.10) можно теперь представить в таком

виде:

М\й

\ ==

"j/Λίΐ

Wmi

= — ^mi, nj^nj = — Σ

™

njWnj . (58.16)

nj ' nj

или

Wmi = — H^mi,njW

. (58.17)

Система уравнений (58.10) или (58.17) показывает, что смещения

различных атомов и

\ (или w

j) взаимосвязаны. Решение системы

уравнений (58.17) в общем случае очень сложно. Чтобы упростить

систему уравнений (58.17), перейдем к другим переменным, описы-

вающим состояние кристалла. Обозначим через N число элементар-

ных ячеек -в кристалле, а через s

—

число атомов в элементарной

ячейке, число степеней свободы кристалла равно 3sN; они описы-

ваются sN векторами и

j, или 3sN их компонентами. Вместо w

можно ввести любую другую совокупность переменных, пригодных для

описания состояния кристалла. Наиболее просто состояние кристалла

описывается в так называемых нормальных, или главных, координатах.

Рассмотрим с. этой целью произвольное линейное преобразование

координат (сохраним векторное выражение для переменных).

Пусть имеется sN новых переменных q

(a=l, ..., sN)

кото-

рые связаны со старыми переменными посредством матрицы S, задаю-

щей линейное преобразование координат в виде

= njWnj. (58.18)

Будем считать, что матрица-S имеет отличный от нуля детерми-

нант, в связи с чем у нее есть обратная матрица, которую мы

обозначим через Т:

T = S~

; ST = TS = I, (58.19)

где I —единичная матрица. Уравнение (58.19) можно записать

в таком виде

У! Sa, njTnj,

= δ

β,

Σ Τn

aSa, mi = 6nj, mi = δηπΑ*. (5

·^

370