Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

сеяние называют изотропным. Очевидно, что для изотропного рас-

сеяния о связано с S* простым соотношением

(53.16)

(53.17)

S*= 5 σ(θ, φ)ώΩ = σ$ άΩ =

<4πσ,

(4π) (4π)

σ =

4π '

Угол θ представляет собой угол между первоначальным направле-

нием движения частицы и ее движением после рассеяния. Угол φ

отсчитывается от некоторой плоскости, проходящей через полярную

ось (ось ζ)у совпадающую с направлением первоначального движения

частицы. Если рассеивающий центр обладает осевой симметрией, то

а зависит только от, полярного угла θ и определяет вероятность

рассеяния в телесный угол, заклю-

ченный между двумя конусами

и θ (рис. 78).

Полагая, что σ не зависит от φ,

и интегрируя (53.13) по φ, получим

2 π

σ(θ) sin

\ άφ = ο (θ) 2π sin0d0 =

= σ (θ) dQy (53.18)

где dQ = 2nsin6 dd есть угол

между двумя конусами. Рис. 78. Телесный конический угол

Как известно, соударения могут рассеяния

быть упругими и неупругими.

Соударения называют упругими, если кинетическая энергия соударяю-

щихся частиц сохраняется. Если же кинетическая энергия частиц

после удара будет больше или меньше, чем до' удара, то соударение

носит название неупругого.

При столкновении легкой частицы с тяжелым неподвижным рас-

сеивающим центром энергия частицы при упругом соударении прак-

тически не меняется. Проверим это утверждение, для этого запишем

законы сохранения импульса и энергии:

Pi + 0 = p

+ P,

2т Ш

(53.19)

(53.20)

Де (0, Р) и (рх, р

) — импульсы тяжелой и легкой частиц до соуда-

рения и после соударения.

Выражая Ρ из' (53.19) и подставляя в (53.20), получим

• Р = Р1-Р

; Р

р\

+ Pl~2

PlP2

cos θ. (53.21)

Из (53.20) можно записать

(53.22)

341

Сравнивая (53.22) и (53.21), получим

Pi +

Р\

ZPiPz

cos

--j- pi + pi = 0, (53.23)

или

Решим уравнение (53.24)

ι-Μ.

g 2picos0 . m «,

Ρ*- \ Μ \P*

ЛГ^

' (53.24)

„

;

, _

~~ M I/ / Λί

Μ \

m \

Px cos θ . -| / Pi cos

θ \ m

cose ± ]/ —Sin2 0

= Λ —Έ · (

)

1+ —

Для случая, когда сохраняя в (53.25) только члены пер-

вого порядка малости по и отбрасывая знак минус перед корнем

(р2> 0), получим

•

cos6-|

_ . -

Pa = Pi ΛΓ-^Λί

—яг (·1-cos θ)]. (53.26)

1 4-

Мы видим, что импульс рассеянной частицы по модулю несколько

меньше импульса падающей частицы:

Pi —= (1

—

cos θ). (53.27)

Найдем изменение энергии рассеиваемой частицы:

ΔΤ = Т

- Т

= Τ =

(р\

- pi) =^

(pi +

)

(Pi -

Pa)

-i^^d-co.ej-^d-co.ej-T^d-co.·).

(53.28)

Доля энергии, передаваемой падающей частицей рассеивающей

центру, зависит от» угла рассеяния: ΔΤ = Τ = 0 при 6 = 0 (рассеяния

нет). Максимальное изменение энергии падающей частицы происх

дит при рассеянии на угол

= π, когда частица отскакивает наззД·

ΔΤ = Τ = Τ

^. (53.29)

342

Найдем среднюю энергию, передаваемую рассеиваемой частицей

центру рассеяния за одно столкновение. Для этого учтем, что веро-

ятность рассеяния в угловой интервал dB согласно (53.18) равна

^ (θ) 2π sin

dB; в то же время это есть вероятность того, что при

рассеянии частицей будет потеряна энергия ΔΤ(Θ). Умножая ΔΤ(Θ)

на вероятность рассеяния и учитывая, 'что функция σ(θ) нормирована

на S*, запишем

<ΔΤ>

где.

= 2π

σ (θ) (1

—

cos θ) sin

dd ^ (53.31)

есть усредненное дифференциальное эффективное сечение\ усреднение

по углам θ производится с весовой функцией (1 —cosG); σ

назы-

вают эффективным сечением проводимости или подвижности, или

транспортным эффективным сечением. Весовая функция уменьшает

вклад от σ (θ) в а

при рассеянии на малые углы и увеличивает

почти в два раза роль отклонений на большие углы. Это понятно,

поскольку при рассеянии на большие углы доля передаваемой энер-

гии велика. Рассмотрим простейший случай, когда рассеяние изо-

тропно. Вычислим транспортное эффективное сечение при изотроп-

ном рассеянии:

π ,

= 2πσ ^(1— cos θ) sin

d9 = 4πσ = S*. (53.32)

Следовательно, при изотропном рассеяний {ΔΤ) = -^-Τ

Величину а с можно интерпретировать несколько иначе. Так как

ри рассеянии на угол θ скорость и импульс, связанные с направ-

ленным движением, меняются, можем найти долю скорости направ-

ленного движения Уг, теряемую при соударении. Учитывая, что

cose, (53.33)

ожем записать

Δυ* =

01 —

—

cos θ), (53.34)

Или

—

cos θ. (53.35)

ΔΤ (θ) α

(θ)

2π sin

5°

= Τ

2 m

2π j σ

(θ) (1

—

cos θ)

sin

(θ)

2π sin

^ 2m o

(53.30)

343

Усредняя величину Δν

по углам Θ, получим

(Δυ

) =

< 1

- cos θ) = 2π jj (1 -- cos θ) σ (0) sin

QdB

= v

(53.36)

Отношение равно отношению Если обозначить

через q-\ то

(Av

) = ^

;

, = ^ = > (53.37)

Величину q можно рассматривать как число столкновений, в резуль-

тате которых скорость направленного движения теряется полностью.

Так как для изотропного рассеяния a

= S*, при изотропном рас-

сеянии скорость направленного движения полностью теряется при

одном соударении.

В заключение этого параграфа перечислим основные типы цент-

ров рассеяния:

1) ионы примеси,

2) тепловые колебания решетки,

3) атомы примеси,

4) вакансии и точечные дефекты,

5) дислокации,

6) границы кристаллитов, плоскости спайности, границы крис-

талла,

7) носители зарядов.

Очевидно, что роль указанных рассеивающих центров различна.

Для ее оценки '„необходимо найти вероятность рассеяния на каждом

из перечисленных видов рассеивающих центров. Для этого доста-

точно оценить эффективное, сечение величиной некоторой площадки,

в пределах которой возможно взаимодействие между носителем

заряда и рассеивающим центром.

Рассеяние носителей заряда друг на друге не должно играть

большой роли, поскольку их взаимодействие было учтено введением

самосогласованного поля. Самосогласованное поле позволило рас-

сматривать носители заряда как невзаимодействующие. Это не

означает, конечно, что электроны не подчиняются, например, закону

Кулона. Взаимодействие происходит на основе обычных законов

электродинамики, однако в силу большого числа взаимодействующих

частиц и их волновых свойств реальное движение протекает так,

как если бы фактически взаимодействия не было, т. е. имеет место

своеобразная динамическая устойчивость самого движения, что зало

жено в функциях Блоха и в сохранении квазиимпульса. Из сказанного

можно сделать вывод, что рассеяние на носителях заряда не моЖ

еТ

являться основным механизмом, определяющим характер протекай^

кинетических явлений.

344

рассеяние на границах кристалла, на границах кристаллитов

или зерен должно играть важную роль в монокристаллических

л поликристаллических пленках. В объеме монокристалла этот

фактор несуществен.

Дислокации захватывают большие области кристалла, поэтому

они должны иметь очень большое эффективное сечение. Если считать,

что линейная дислокация имеет длину 1 мм и диаметр ее измеряется

сотней периодов решетки, то площадь ее осевого сечения составит

величину порядка 5

· 10~

10"

= 5

10~

см

. Если объемная

плотность дислокации равна 10

см*

, то l

= Sd~

Nd = 2

-2

см.

Как будет видно из последующих оценок, эта величина достаточно

большая, и для ряда явлений кристалл со столь большой плот-

ностью дислокаций не может быть использован. '

Для дефектов и примесных атомов за величину S* можно при-

нять площадь порядка площади грани элементарной ячейки, т. е.

S* = 3-10~

см

. Если предположить, что Л^я^ЛО

см

-3

, то

^3·10-

см.

Для ионов примесй S*, вероятно, надо положить больше S* по

крайней мере на два порядка, в таком случае при Af/я^ 10

, см

-3

и S/^3· 10~

см

для /

получим //^3· Ю

-4

см = 3 мкм. Оценивая

роль тепловых колебаний решетки, необходимо иметь в виду, что

под Sf надо понимать не площадь сечения атома основного вещества,

а площадь сечения той области, которую он занимает, совершая

колебания, т. е. надо учесть амплитуду колебаний. Очевидно, что

амплитуда

колебаний должна быть тем больше, чем больше темпе-

ратура. Если считать, что амплитуда колебаний порядка \А, то

площадь сечения области, занимаемой атомом вследствие коле-

баний (за вычетом площади сечения самого атома), будет равна

произведению диаметра атома на удвоенную амплитуду, т. е.

ST-Я^Ю"

СМ

. МЫ видим, что эффективное сечение рассеяния на

тепловых колебаниях меньше, -чем для всех предыдущих рассмот-

ренных видов рассеивающих центров. Однако число колеблющихся

атомов велико: 10

см

-3

, и следовательно, /7я^10~

см =

= юол.

Приведенные оценки являются сугубо качественными, однако

°ни достаточно верно передают соотношение между длинами

свободного пробега при рассеянии на центрах различной при-

роды.

Действительно, как показывает опыт, при высоких температу-

рах основную роль в рассеянии играют тепловые колебания решетки.

С понижением температуры подвижность определяется рассеянием

<* ионах примеси. Если концентрация ионов примеси мала, то

основное значение имеет рассеяние на примесных атомах или дефек-

тах. В дальнейшем сможем сделать эти выводы на основании матема-

тических выражений для времен релаксации при действии различ-

ных видов рассеивающих центров.

345

§ 54. СВЯЗЬ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ

С ЭФФЕКТИВНЫМ СЕЧЕНИЕМ

Все кинетические явления связаны с усредненными по энергиям

временами релаксации. Время релаксации определяется через

интеграл столкновений, величина которого зависит от вероятностей

переходов электронов и дырок из одного состояния в другое под

действием соударений. Поэтому естественно" предположить, что

должна быть связь между эффективным сечением рассеяния ц

временем релаксации.

В квантовой механике и физической кинетике доказывается, что

элементарные вероятности прямых и „обратных переходов равны.

Это значит, что и>(к, к') = ау(к', к). Учитывая это равенство, запи-

шем выражение для времени релаксации:

dtlc

'Η.

τ-(к)

Ш J {а» (к', к)/(к') [1-/(к)]-

-w(к, к')/ (к) [1

—

/(к')]} άτ

'. (54.1)

Учитывая,

что равновесная функция f

—

обращает интеграл

столкновени й в нуль, полагая f =

+ /

и пренебрегая членами

вида /

(1),

получим

τ(·)

ξ {ш(к', к)[^[1-/о(к)]-/о(к')]-

(М

-а»(к,

')[ΐ-/.(κ')-^;

(κ)]}Λ^ (54.2)

что совпадает с выражением (Зб.бр).

Учитывая, что ω>(κ," к') = ш(к', к), сокращая одинаковые члены

в (54.2), выражение для τ (к) представим в виде

Согласно (37.16), /

(1)

имеет вид

(54.3)

(κ (к) ν (к)); /<*) (к') = - Ι (κ (к') ν (к')). (54.4)

Если подставить вместо /

(1)

(к) и /

' (к') их выражение (54.4), то

получим уравнение для τ (к):

дЕ

τ (к)

= к') 1

, (κ(κ')ν(κ'))

дЕ

(κ

(к)

ν (к))

'. (54.5)

Величина κ должна определяться по уравнениям (37.52), из которых

видно, что κ в свою очередь зависит сложным образом от времени

релаксации, поэтому уравнение (54.5) является нелинейным инте'

346

ральным уравнением, решить которое в общем виде не пред-

ставляется возможным. Введение времени релаксации позволило

получить решение кинетического уравнения, однако трудность,

существовавшая при решении уравнения Больцмана, 'введением

времени релаксации не ликвидирована, а только перенесена с урав-

нения для /

(1)

на τ. Кроме того, решая уравнение для /

\ мы

считали, что время релаксации не зависит от внешних полей.

Точнее , можно сказать, что процессы рассеяния при наложении

полей Е, В и без них протекают иначе. Дальше увидим, что зави-

симость процессов соударений от внешних полей выступает в виде

определенных физических явлений. Однако поскольку мы считали,

что τ (к) не зависит от внешних полей, то формально'можно рас-

смотреть уравнение (54.5) для случая Е-^0; В-^0; тогда

τ (к)

= \

дЕ

(ν (к') Е°) τ (к')

дЕ

(ν (к) Е°) τ (к)

', (54.6)

где Е° —единичный вектор, вообще говоря, произвольного направ-

ления.

Для большинства практически важных случаев выражение (54.6)

существенно упрощается. Мы предполагали ранее, что τ зависит

только от энергии. Направим ось ζ вдоль вектора к, тогда к' опре-

деляет направление движения частицы после рассеяния. Выбирая

Е° вдоль оси ζ, получим

(ν (к)Е°) = ν (к); (ν (к')Е°) = ν (к') cos (к', к) = ν (к') cos

(54.7)

и, следовательно,

(к)

4π3

w(к, к')

(Μ

дЕ

τ (Ε') ν (κ')

cos

(κ', κ)

Τ(Ε)0(Κ)

άχ

κ'·

(54,8)

Рассмотрим простейший случай

—

сферические зоны энергии. Как

сказано в § 53, при упругом столкновении частицы с рассеивающим

Центром ее энергия Ε меняется очень незначительно, не более чем

Иа

Следовательно, можно считать, что при упругом рассеянии

состояние частицы в зоне Бриллюэна остается на одной и той же

изоэнергетической поверхности. При этих предположениях выраже-

ние (54.6) может быть записано в виде

Г^о

1ST J

(

'> I

cos

(

άτ

«'>

(54.9)

ТА

К как Ер&Е', ТО модуль скорости сохраняется

347

В сферической системе координат с полярной осью, направлен,

ной вдоль вектора к, cos (к', к) = cos θ и

= i S К')[1-СО8 0]Л

.«

(

«)

i S κ', β, φ) (1

—

cos θ) /с'

άκ'

άΩ

(54.10)

Представим w(k

к', θ, φ) в виде двух функций: радиальной

w(tc

к') И угловой Ώ(θ, φ). Пусть до (θ, φ) есть вероятность рассея-

ния одной частицы в единичный телесный угол в направлении (θ, φ)

Дифференциальное эффективное сечение представляет собой вероят-

ность рассеяния одной частицы на одном рассеивающем центре

из единичного потока, следовательно,

w(9, φ) = Μ;(κ)σ(θ, φ), (54.11)

так как одной частице, имеющей скорость ν (к), соответствует по-

ток 1·ϋ(κ).

Пусть w (к, к') определяет вероятность перехода частицы из еди-

ничного объема 1 (к) в шаровой слой

радиуса к' единичной толщины:

άκ' =1.

Рассмотрим произведение w(k

к') w(Q

φ); оно определяет ве-

роятность- перехода в объем, выделяемый единичным телесным углом

из шарового слоя единичной толщины, площадь его основания равна,

очевидно, /с'

. Если мы разделим w (/с, к')т(Ъ

φ) на к'

, то полу-

чим вероятность перехода в слой единичной толщины, опирающийся

на единичную площадь, т. е. в единичный объем с центром в точке к',

поэтому можем записать

•а;

(

к') ^ ™

(/с

' ^

(θ

' =

Νυ (к) σ (θ> φ)

. (54 12)

' к'

к'

Выразим время релаксации через эффективное сечение:

- ' 00

^ = Νό(К) ξ σ (θ, φ) (1 - cos θ) άΩ ± J 5, (κ, κ') άκ'. (54.13)

(4π; о

Если рассеяние упругое, то состояние рассеиваемой частицы

остается на изоэнергетической поверхности, поэтому w (к

к') должно

быть пропорционально δ (к —к'). В качестве коэффициента пропор-

циональности возьмем 4л

w(k

κ') = 4π

δ(κ-κ') (54.14)

оо

(/С

—/с') (54.15)

поскольку рассеяние во все состояния к' есть достоверное событие.

348.

(54.16)

(54.17)

Резюме § 53, 54

1. Дифференциальное эффективное сечение рассеяния σ(θ, φ) есть

вероятность

того, что одна частица, имеющая скорость, равную еди-

нице, при соударении с одним рассеивающим центром попадает

-в единичный телесный угол άΩ = 1, построенный вокруг направления,

определяемого углами θ, φ при совмещении начала отсчета с рас-

сеивающим центром. Зная σ(θ, φ), можем найти число частиц

An'

(0, φ, х)

попадающих в телесный угол άΩ (θ, φ) при рассеянии

частиц, имеющих концентрацию в пучке п

и скорость υ при рас-,

сеянии на центрах с концентрацией Ν, при прохождении частицами

отрезка пути dx:

-dn'(д, ф, х) = о (Θ, cp)n

(x)vN dxdQ(d

φ). (53.1 ρ)

2. Интегральным эффективным сечением рассеяния S* называ-

ется вероятность рассеяния на произвольные углы, 5* связано

с σ(θ, φ) условием нормировки:

S*= $ σ(θ, φ)άΩ. (53.2р)

(4л)

3. Транспортным эффективным сечением, или эффективным сече-

нием подвижности или проводимости, называют величину а

, полу-

чаемую из дифференциального эффективного сечения σ(θ, φ) инте-

грированием по всем углам с весовой функцией (1

—

cosG):

л 2л .

= И °

)

—

cos θ

)

sin θ dB d(

P· (53.Зр)

, о о

Если дифференциальное эффективное сечение не зависит от углов

θ и ф, то

S* =4πσ = а

. (53 Ар)

В общем случае отношение S* к а

определяет среднее число

С0

УДарений q, при которых полностью тердется скорость направлен-

но движения:

? = =С· (53.5р)

Учитывая (54.15), запишем окончательно

= Ja(0, φ) (1

—

cos θ) άΩ = Ν ν (κ) a

(4л)

или

что аналогично' (53.8).

349

При изотропном рассеянии скорость направленного движения

теряется в среднем при одном соударении.

4. 'Длина свободного пробега U направленного движения свя-

зана с o

и концентрацией рассеивающих центров Л^:

(53.6р)

(53.7р)

(53.8р)

ти на

(53.9р)

7. Рассеяние электронов и дырок может происходить: 1) на. ионах

примеси ; 2) на атомах примеси; 3) на вакансиях и точечных дефек-

тах; 4) на дислокацйях; 5) на границах кристалла, плоскостях спай-

ности, границах зерен; 6) на электронах и дырках; 7) на тепловых

колебаниях решетки.

8. Задачей теории рассеяния является вычисление эффективного

сечения рассеяния на центрах различной природы, что позволяет

по о

вычислить τ (к) и (E

) и тем самым дать описание кинети-

ческих явлений, зависящих от механизма рассеяния.

§55. ПОНЯТИЕ О ТЕОРИИ КВАНТОВЫХ ПЕРЕХОДОВ

Как было указано в предыдущем параграфе, для вычисления

кинетических коэффициентов необходимо знать дифференциальное

эффективное сечение, которое может быть вычислено методами кван-

товой механики.

В связи с тем что некоторые результаты теории квантовых

переходов необходимы для понимания не только теории рассея-

ния, но и теории оптических явлений, напомним ее основные

положения.

Пусть некоторая квантовая система, описываемая гамильтониа-

ном Н°, имеет определенную совокупность стационарных состоянии»

характеризуемых энергией Е° (а) и волновыми функциями ψαΟ")'

удовлетворяющими уравнению

Wa(r) = E»(a)%(r) (55.·)

(α —полный набор физических величин). Волновая функция ψ*^

/ -_L·.

i i

5. Время релаксации τ (к) связано с а

к)а

6. Изменение энергии частицы с массой т* при рассеяг

центре с массой Μ равно в среднем

350