Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Поскольку выбор матрицы S произволен, рассмотрим случай,

1С0Г

да S унитарна *. Для унитарной матрицы можно записать

Тщ.

= 5β. nj; Sp, nj = Tt'

β, (58.21)

Σ^α, Л

п]

= б

р, (58.22)

njS

i = 6

= S

mSji. (58.23)

Из (58.18) можно выразить w

j через q

; для этого умножим

(58.18)

слева на T

, просуммируем по α и получим

Ttni,

a4a = Σ Σ Tml, aS

njW

j = 2 (Σ "i

)

a ot nj nj

a /

• =Σ

-ηΐ,

njW„j

= w

mi(

(58.24)

т. e. -

= Σ TuA. aq

= Σ

™'4<x· (

)

a a

Найдем уравнение движения в новых переменных:

= 2

«Чес = - Σ

njW

= - £ Anl. nj^nj,

. (58.26)

a nj nj,

Умножив уравнение (58.26) слева на S

i и просуммировав

по mi, получим:

для левой части уравнения

mi a a

\ mi

/ а

' и для правой части уравнения

Σ S

; mi 2 °

· β4β = — 2 f Σ

Υ· mi£>

i, "i^nj.

β ]

ςβ —.

mi nj,

\mi, nj

= - 2 (SDT)

= - 2 (SDSAp ς

. (58.28)

β β

Учитывая (58.27) и (58.28), запишем

ςγ^-Σ^Αβ^β· (

)

* Матрица S называется унитарной, если обратная к ней матрица совпа-

с+

ет

2 сопряженной: S

= S

. Сопряженная матрица S

определяется условием

/^S*,

де знак (*) означает комплексное сопряжение элементов матрицы,

*) —транспонирование матрицы.

371

Поскольку матрица S произвольна, то выберем ее таким обра-

зом, чтобы матрица SDS

-1

была диагональной

(SDS~

)

3 = g)y6

P. (58.30)

Размерность (SDS

)

p есть размерность квадрата частоты, так

что (ο

по размерности есть частота

Дальше покажем, что подобная матрица S существует, а пока

предположим, что наложение условия (58.30) на матрицу S возможно.

В таком случае уравнение движения (58.29) упростится:

+ co*q

= 0. , (58.31)

Мы видим, что переменные q

являются независимыми и изме-

няются по гармоническому закону

(/) = q®e-'®i^. (58.32)

Вектор q

содержит

^в

себе амплитуду и начальную фазу. Вели-

чины ω

носят название собственных частот. Число собственных

частот кристалла равно sN, поэтому кристалл описывается 3sN раз-

личными колебаниями в соответствии с полным числом степеней сво-

боды совокупности sN атомов.

Независимые переменные, подчиняющиеся уравнению (58.31), назы-

вают нормальными, или главными, координатами кристалла. Выра-

зим энергию кристалла в нормальных координатах. Потенциальная

энергия

U = U

+ Y 2

ni, miWnjWmi =

nj, mi

-ί/ο+4- 2

Dni mi

Tnh α4α Tmi

βίϊβ=

nj, mi α β

+У 2 F 2

SL NJDNJ

MITMI

4Α4

Ρ· <

33)

α, β

\nj, mi /

Переменные u

j, w

j и матрицы А и D вещественны. Если счи-

тать нормальйые координаты вещественными величинами, т. е. нор-

мальными координатами считать не величину Яае

-Ша

', а только ее

вещественную часть Re (q&e""*®^), то матрица S должна быть веще-

ственной:

SS.„, = S

.„,. (58.34)

Учитывая условие вещественности (58.34) матрицы S и уравнение

(58.30), запишем уравнение (58.33) в очень простом виде:

U = + (58-35)

372

Найдем кинетическую энергию Т:

Т = 2τ= = T

"J nj nj

/ \ β

= У 2 F 2 Β) = У 2

«·

(58

36)

αβ \ nj

/ α

Для полной энергии Η = Ύ-\~υ соответственно получим

Я = Т +

= 2(уЧ1+у «) + U о = %На + U

(58.37)

α α

где

Ha^f+^ψ (58.38)

есть функция Гамильтона, соответствующая а-нормальной коорди-

нате?. Полная энергия колебаний решетки складывается из энергий

нормальных колебаний..

Выражение (58.38) совпадает с выражением полной энергии гармо-

нического осциллятора единичной массы (М

=1 и ρ

= ς

= ψ + (58.39)

Согласно классической физике энергия гармонического осцилля-

тора может быть произвольной, она пропорциональна квадрату ампли-

туды колебаний ςά° = Re q°

(0 =

sin (ω

ί + φ

); q

= ω

ς£' cos (ω

* + ψ

) (58.40)

ω^α

= cos

(ω

^ + φ

) + sin

(ω

ί + φ

) = . (58.41)

Согласно квантовой механике оператор Гамильтона гармоничес-

кого осциллятора имеет вид

d^t^L + 'Jf, ,58.42)

а уравнение Шредингера

αψα

= £αψ

, (58.43)

где

fl<»a

+ у)

^ = 0,1,2,... (58.44)

есть энергия осциллятора, а ψ

—

его собственная функция. По-

скольку гамильтониан решетки равен сумме независимых Н

Η Η

+ £/

, (58.45)

373

то энергия решетки может быть представлена в виде суммы энергии

гармонических осцилляторов:

Ε = Uо + J

•Ε

Uо

+ % {

« + у)' <

)

α α

Квантовый осциллятор с энергией Е

= йо

(υ

+ может изме-

нять энергию на величину ΔΕ

= Ηω

Αν

. Как известно из кванто-

вой механики, правило отбора для квантового числа осциллятора

имеет вид

Δι>

= ±1. (58.47)

Если Δν

=—1, то решетка переходит в одно из более низких

энергетических состояний, а энергия йсо

отдается носителям,заряда

или окружающим телам. Квант энергии Ηω

получил название

кванта энергии колебаний решетки, или фонона. Таким образом,

переход Δυ

=—

можно назвать процессом излучения фонона решет-

кой, а переход Δν

= +1 — процессом поглощения фонона решеткой.

Можно подойти к этому вопросу иначе. Будем считать, что энер-

гия колебаний Е

локализована в объеме кристалла в виде свобод-

ных квазичастиц

—

фононов

—

в количестве у

каждого сорта. Фононы

образуют фононный газ. В этом случае Δυ

= +1 будет означать

рождение фонона, а Δν

=—1 — уничтожение фонона.

Волновая функция решетки представляется в виде произведения

волновых функций осцилляторов

Ψ = Π^(4α), (58.48)

где и, например,-

= е //.„(£), (58.49)

где q

—

"j/*^"·; Hv

—

полиномы Чебышева

—

Эрмита.

В заключение этого параграфа укажем, что движение ядер, опи-

сываемое в адиабатическом приближении, в нормальных координа-

тах-имеет вид гармонических колебаний.

Резюме § 58

1. Хаотическое движение атомов (ионов) решетки описывается

вектором смещения и

j. Поскольку смещение атомов решетки меняет

их взаимодействие, то потенциальная энергия решетки зависит от

смещения атомов:

U = U

+ ± 2 4

nJl

oT*nJ»nT+.·. (

58Лр)

nj, n'j'

374

Сила, действующая на mi-й атом, равна

<ni =— = - 2

ml. nj«nj, (58.2р)

уравнение движения mi-го атома- имеет вид

MiUml = — 2 A

nj^nj. (58.Зр)

2. Если ввести приведенные смещения w

i =

Y~M\

i и динами-

А.

ческую матрицу D

= , то уравнение (58.3р) переходит

в уравнение

=-2ZW„jW

. (58.4р) -

3: Если предположить, что существует некоторая унитарная

матрица S, которая переводит динамическую матрицу в диагональную

(SDS

)

p = Ογδγβ, (58.5р)

то матрица S позволяет ввести новые переменные q

==2

a, miWmi, (58.6р)

которые удовлетворяют уравнению

-<4q

= 0. (58.7р)

Независимые переменные q

, изменяющиеся во времени по гармо-

ническому закону

qaW = q&e-*4 ' (58.8р)

называют нормальными, или главными, координатами решетки

кристалла.

4. Полная энергия колебаний решетки, выраженная через нор-

мальные координаты, имеет вид энергии совокупности гармонических

осцилляторов

# = = + a£q£) (при U

= 0). (58.9р)

a a ^

В таком случае можно ввести понятие фононов. Фононы —это

Кв

азичастицы, энергия которых равна Йсо

, а их число равно v

, так

Чт

о энергия решетки может быть записана в виде

Ε =2

ЙСОа

(

Уа

+ т)' где у

= 0, 1, .... (58.Юр)

Совокупность фононов образует фононный газ, свойства которого

Дэкватно описывают свойства колебаний решетки.

375

§ 59. АКУСТИЧЕСКИЕ И ОПТИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ РЕШЕТКИ

Вернемся к уравнению движения (58.31). Мы записали его в про-

стой форме в предположении, что существует такая матрица S, с по-

мощь ю которой можно привести динамическую матрицу к диагональ-

ному виду:

(SDS-i)

p = c46

p, , (59.1)

или

2 Sa, njAij, mi^mi, β = (59.2)

nj, mi

Умножим уравнение (59.2) справа на 5β, ki и просуммируем по β;

2 2

S<x,

njAij,

miTm\,

β5β, kl = 2

i» miSmi, kl = ,

β nj, mi nj, mi

= 2 ^a, njAij, kl = 2

αδάβ5β, kl = 0)aS

, kl, (59.3)

nj β

т. е.

<x. nj (£>nj, kl - cotfnj, kl) = 0. (59.4)

«1

Систему уравнений (59.4) можно рассматривать как систему урав-

нений относительно элементов неизвестной матрицы S. Эта система

уравнений однородна; для того чтобы существовало нетривиальное

решение, необходимо, чтобы детерминант системы был равен нулю:

Aij,

kl — G>a6

= 0. (59.5)

Мы видим, что

корни этого уравнения определяют набор собст-

венных частот колебаний решетки, они зависят только от упругих

свойств решетки и масс ядер.

Рассмотрим в качестве примера простейший случай:

«"«=yliIr^—^f^- <

» 1

Так как в этом случае в определителе все недиагональные эле-

менты равны нулю, то определитель равен произведению диагональ-

ных членов:

откуда

— обычное выражение для частоты собственных колебаний частинь

с массой Mj, на которую действует упругая сила F

j = — ^"i·

Поскольку кристалл обладает периодической трансляционной сИ*

метрией, то A

· не зависит от n: A

j, nj = ^oj и, следовательно,

частоты колебаний всех атомов j одинаковы, но собственные частоты

различных атомов j вообще говоря различны. В этом простейшем

лучае кристалл обладает набором из s различных частот. Можно

предполагать на этом основании, что и в общем случае имеется

различных наборов собственных частот.

К уравнению (59.5) можно прийти несколько иначе. Вернемся

вновь к уравнениям движения (58.10) и (58.17). Будем искать част-

ное решение этих уравнений в виде гармонического колебания всех

атомов с одной и той же частотой:

(59.8)

(59.9)

Подставим (59.8)-и (59.9) в указанные уравнения, после сокра-

щения на е~

получим

— COAiitf°mi = — (59.10)

> nj

- cAv^i = — Σ

mi. njwi,. (59.11)

Мы видим, что уравнение (59.11) в точности совпадает с урав-

нением (59.4), т. е. амплитуды колебаний w£j удовлетворяют тем же

условиям, которым удовлетворяет матрица преобразований S. Но это

означает , что матрица S .может быть построена из частных реше-

ний в виде гармонических колебаний. Раскрывая определитель системы

(59.11), найдем' все возможные частоты колебаний ω

, являющиеся

собственными частотами кристалла. Из частных решений вида

Wnj.aiO^wSj.ae"'^'·

(59.12)

можно получить общее решение

= (

59ЛЗ

)

Но уравнение (59.13) подобно уравнению (58.25). Другими сло-

вами, преобразование (58.25) можно рассматривать или как линей-

ное преобразование от «старых» координат к «новым», или представ-

ление общего решения уравнения движения как совокупности частных

решений в виде гармонических колебаний. Благодаря этому стано-

вится более отчетливой аналогия между уравнениями (59.11) и (59.4)

ДЛЯ

К}, а И S

.nj.

Рассмотрим некоторые свойства матрицы S, или частных реше-

ний. Построим'из wSj.a матрицу w°, столбцы которой представляют

амплитуды и фазы колебаний, соответствующие различным часто-

Там ω

α> для одного и того же атома. Строки же матрицы представ-

ляют амплитуды и фазы колебаний различных атомов, соответству-

«nj (t) =

w„

(0 = wJje-'

atf

37 7

ЮЩЙХ одной и той же частоте. Заменим в уравнении (59.11) индексы

m и η наш +

и п +

получим

jWj +

J;a

. (59.14)

n j

Но Z?m-f-i, i; n+i, j = Ani,

j, поэтому уравнение (59.14) можно пред-

ставить в виде

G>aWm-f-1, I; a = Σ ^ml, njW£

1, j;

. (59.15)

Отсюда следует вывод, что если элементы некоторого столбца a

матрицы w° являются решением уравнения ((59.15), то решением

ТОГ9 же уравнения является набор величин [w„+i, i

]

, который

получается из [wnj,

]

перестановкой элементов на величину

(транс-

ляция на вектор 1). Но поскольку все частные решения найдены,

[wn+i, j;oJ

совпадает с одним из частных решений с точностью до

постоянного множителя:

[w„ + l. j: a]a = C

(1) [wj,.

]

. (59.16)

Величина C

(1) обладает свойствами экспоненты:

(21) = a(l), (59.17)

что вытекает из (59.16). Положим

(1) = е^

>. (59.18)

Так как 1 может быть любой величиной, то из ограниченности

амплитуд колебания следует, что К

вещественный вектор, т. е. С

(!)

по модулю равен единице. Это означает, что «трансляция» элементов^

матрицы на вектор 1 не меняет амплитуд колебаний различных ато-

мов, а меняет только фазу их колебания. Вектор К

обладает неко-

торыми очевидными свойствами: если добавить к нему вектор 2яЬ,

то условие (59.18) не нарушается, следовательно, вектор К

опре-

деляется с точностью до вектора обратной решетки, поэтому все

различные векторы К

лежат в некотором ограниченном объеме,

совпадающем с зоной Бриллюэна для волнового вектора к электрона.

Таким образом, значения К

можно рассматривать в том же про-

странстве, что и к. Далее очевидно, что условие (59.13) не изме-

нится, если вместо К

взять (—К

). Учитывая указанные свойства

и уравнения (59.16), можно выразить w„j через wjj:

.a = wS

(

a"). (59.19)

Величина w|Jj

f a

содержит амплитуду и начальную фазу колебании

всех атомов j с частотой ω

,a(0 = w„

,ae-

[V-M. ' (59.20)

Если вместо η подставить г, то (59.20) примет вид

Wrj, a.(t) =

Wj, α

(г, 0 = w2

[V-(^aOJ. (59.21)

378

Выражение (59.21) представляет собой уравнение плоской гармо-

ичсской волны частоты ω

, идущей в направлении волнового вектора

. Фазовая скорость волны

Уф

со

//С

групповая скорость у

гр

^ jco

/d/(

. Плоской волне с частотой ω

можно поставить в соот-

ветствие квазичастицу с энергией йсо

и импульсом ЙК

. Эта частица

представляет собой введенный ранее фонон. Таким образом, сово-

купности гармонических волн (ω

, Κ

) соответствует фононный газ

квазичастиц с энергией Ηω

и квазиимпульсом ЙК

. Между частотой

π волновым вектором должна быть определенная функциональная

связь

= ω

(Κ

): (59.22)

Перепишем уравнение (59.21) с учетом уравнения (59.19):

n j nj

Перепишем (59.23) следующим образом:

ΣΓΣ^

ml. „ie'MJwS,.

. α-ω|\ν§ι.

(

η,

) = 0. (59.24)

Система уравнений (59.24) содержит всего лишь s неизвестных

векторных величин woj. Умножим (59.24) на е"~

(

КаШ

). Введем обо-

значение n

—

m =

и перепишем сумму по η в (59.24):

*>-«.

(К

«' "~

га)

- Σ

»+,.

fif

°'>

- Σ

Dh (1) е

«'>=<h, (K

η 1

(59.25)

после чего уравнение (59.24) примет вид

»J (Ka) w8j, a ~

®aWoi,

= 0. (59.26)

Однородная система уравнений имеет решение при равном нулю

определителе:

|Ου(Κα)-ο4βι,| = 0. (59.27)

Определитель (59.27) является уравнением степени 3s относи-

тельно ω». Это означает, что существует 3s, вообще говоря, различ-

ных зависимостей Oa(K

)> или 3s функций ω

(К):'ω® (К); ω|(Κ), ...

•··

3β (К). Если уравнение (59.5) имеет степень 3^Vs относительно ω

откуда находятся все возможные частоты, то уравнение (59.27) имеет

степень 3s относительно ω

, но из него находится 3s функциональных

со

отношений ω

(К), откуда при известных К находятся все собст-

Ве

нные частоты. Найдя все корни уравнения (59.27), можем решить

систему уравнений (59.26), подставляя в нее последовательно of (К),...

ΜΚ). Для каждого из этих значений существует решение

oj.ot(1), ... w8j

a(s). Мы видим, что существует s различных вели-

Ин w

oj,a =

Woj

для каждого j-атома. Разложим woj по трем ортам,

379

один из которых (е

) коллинеарен вектору К, а два других (βι и е

)

лежат в плоскости, перпендикулярной к вектору К. Колебания

вдоль е

и е

являются поперечными, а вдоль е

—

продольными. Таким

образом, в кристалле имеют место 2s типа поперечных волн и s ти-

пов продольных волну всего 3s типов волн.

Рассмотрим простейший случай: s = 1

—

в элементарной ячейке

содержится один атом с массой Μ. Величина ^Gij (Κ

) примет вид

G (Κα) = D

(1) е<

(V) = 2-Ψ е' <V> = 2 Τ

(V)

· •

·28)

1 1

Из (59.27) следует, что

ω^ = 0(Κα) = 2τ

±ί6ί(Κα

)

· .

(59

)

Если

I Лоо при 1=0,

П-Ь1 — \

г, 1 / η

[.0 при 1=^0,

то

ΐΓ'

«=ι/"¥· <

°)

т. е. частота ω

не зависит от К

, следовательно, = 0 и график

«Да

(К

) имеет вид прямых, параллельных осям координат. Фазовая

скорость при этом будет тем меньше, чем больше К

, или чем меньше

длина волны = При /ί

-*0 (λ->'οο) фазовая скорость стре-

ла

мится к оо, поэтому все атомы решетки смещаются как одно целое

(при малых -частотах).

Пусть теперь, кроме А

, отличными от нуля будут члены вида

Л οι. Рассмотрим для простоты линейную цепочку атомов (опустим

значок а): .

•

0)2

= Ж + Ж + Ж

№

= ωψ + ^ cos Κα]=ω* [1 + у cos Κα],

(59.31)

ГД

Между различными

Α\·

}

должна существовать вполне определен-

ная связь. Действительно, пусть, например, все атомы цепочки сме-

щаются как одно целое, так что все a

= «

, в таком случае

-i

- (Σ njHnj) = - (Σ njj u

. (59.32)

Но поскольку цепочка атомов смещается как единое целое, то

i = 0, поэтому nj = 0, и, следовательно, в данном случае

380