Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

поверхности энергии (на одной сфере). Из рис. 86 видно, что для

т0

го чтобы вектор К принял все возможные значения при фиксиро-

анной энергии, вектор к должен принять значения, лежащие на

сфере радиуса к с началом координат в точке (—к'). Обозначим

угол между к и К через а, между К' и к —через Θ. Угол θ меня-

ется от 0 до π, при этом угол а меняется от π/2 до π,

меня-

ется от нуля до 21 к

Найдем со-

отношение между α и Θ. Так как

(кК) „

cosa = а К = к — к, то

_ (к'к) — к

к'к

cos Q

—к

= — ^-(1 —cos θ), (61.27)

или

1 — cos 6 = COS α (61 28) 86..Связь между углами α и θ

Учитывая (61.28), (61.23), перепишем (61.26) в следующем виде:

2 к л

4U - - -SF-S "»W

[-Ш -±

COS

2л

X ~ cos α sin adai dep. (61.29)

Вычислим интеграл no α:

л —1

- J d(^±co$a

)

jcosadcosa= jj tx^xdx = ^· (61.30)

о 2ac

m* Δ?

χ (к) 4л

/г

/с

J.ul(K)K

dK. (61.31)

Чтобы вычислить интеграл (61.31), необходимо знать амплитуды

Различных колебаний. Для этого рассмотрим распределение осцилля-

торов по состояниям колебаний. При больших температурах все

0с

Дилляторы находятся в высоких колебательных состояниях, энер-

ГИя

колебаний совпадает при этом с энергией классического осцил-

ятора:

у Λ4αΑ4 = kT, (61.32)

401

откуда

__ 2kT _ 2kT

Μ ω

~~ Mc*K

(61.33)

τ (к)

т. е.

2 к

_ т*Ас С 2kT-K

ήΚ

_ 4т*ДIkW _ 4т*Д^Г .

*" 4лДО/с

J MW пШПЧЧ

лШй»са ν

)

1 tfMcW Ε

осгч

τ(κ)=——— — = — . (61.35)

ν 1

. 4т AckT

± kT >

2 (т*)

Зависимость времени релаксации от энергии имеет вид *

τ (к) = т(£)==-§г£

при Р = -у. (61.36)

Длина свободного пробега в атомных кристаллах при рассеянии

на акустических колебаниях не зависит от энергии носителей заряда:

Если определить с соотношением

положить

Μ = -jj, то

Мс

= -2- = ^ и

JV ρ л

τ(£) =

(6h37)

2(2 m*)

Таким образом, врежя релаксации обратно пропорционально кон-

центрации - N атомов основного вещества и связано с модулем. упру-

гости СЦ.

Для описания процесса рассеяния носителей заряда на оптиче-

ских колебаниях йспользуется так называемый поляризационный

потенциал. Он вводится следующим образом. Смещение атомов

в ячейке происходит в противофазе. Разделение зарядов порождает

электрическое поле (поляризацию вещества), которое.перемещается

в пространстве в виде плоской волны. Взаимодействие носителей

заряда с этой волной приводит к их рассеянию. Чтобы определить

вероятность рассеяния, необходимо найти матричный элемент возмУ"

щения. Если вычислить его с помощью плоских электронных в°

лН

в приближении эффективной массы, то легко сделать вывод, что пр

рассеянии должны выполняться законы сохранения

Пк'

= Пк±НК\ E

= Е ±

Йсо.

(61.3S)

402

Поскольку энергия оптических колебаний достаточно велика,

необходимо учитывать величину йсо. Кроме того, при достаточно

низких температурах число оптических фононов будет невелико,

поэтому щ нельзя заменить на kT, ul пропорционально числу опти-

ческих фононов:

. (61.39)

поэтому время релаксации при рассеянии на оптических колебаниях

должно зависеть от температуры в виде

• Г Яо)° Ί

[е — 1J* (61.40)

При низких температурах это приводит к зависимости

Κω

%~ekT, (61.41)

а при больших температурах (Ы°<^1гТ) число фононов пропорцио-

нально kT, так же как и для акустических фононов, но при этом

τ от энергии носителей заряда'не зависит.

В реальных веществах подвижность определяется как рассеянием

на акустических, так и оптических фононах.

В заключение этого параграфа укажем еще на один механизм

рассеяния, который имеет место в многодолинных полупроводниках.

Поскольку волновой вектор решетки К меняется от 0 до 2π/ω, то

в результате поглощения фонона носитель заряда может перейти

из одной долины в другую. Такие процессы носят название процессов

переброса. ~

Резюме § 61

1. Упругая волна, создавая деформацию кристалла, приводит

к смещению зон энергии. Величины V

и V

определяющие сме-

щение зон энергии, носят название потенциалов деформации. Они

могут быть выражены через тензор деформации и и тензор коэффи-

циентов потенциала деформации, например для зоны проводимости:

{r, («Up)

Тензор деформации выражается через смещение (61.2) в виде (61.4).

2. Вероятность перехода w(к, к') носителей заряда, вызываемого

°тенциалом деформации, имеет вид

а; (к, κ') = ^ΑΙη!Κ

δ(Ε±Ηω-Ε')δ

κ+κ

(61.2р)

у она отлична от нуля только в том случае, когда энергия элек-

Р°нов и дырок меняется на энергию и квазиимпульс фононов. Учи-

403

тывая одновременное выполнение законов сохранения энергии ц

квазиимпульса, выражение (61.2) можно преобразовать к виду

, ,

2π т*А

оК

К . \ /βίο,

W{k,K')=-

_l_6J_±cosaj, (61.3р)

где α —угол между к и К.

3. Учитывая, что процессы рассеяния на нормальных координа-

тах являются независимыми, суммируя (61.3), получим τ

-1

(к); пере-

ходя к интегрированию по а и К, получим

* 2

2К

Чтобы вычислить интеграл в (61.4), необходимо знать распреде-

ление амплитуд колебаний и

по частотам или по /С, т. е. необхо-

димо знать число фононов определенной частоты. В общем случае

число фононов определяется функцией Бозе

—

Эйнштейна (60.10).

Поскольку при любой конечной температуре некоторая часть осцил-

ляторов возбуждена до высоких квантовых состояний, когда число

фононов равно &77Йсо, то, выражая потенциальную энергию коле-

бани й через энергию фононов, получим

γ Μω

ιιΙ = Ηω

= kT. (61.5p)

С точки зрения классической статистической физики условие

(61.5р) означает, что на каждую степень свободы приходится энер-

гия kT. Для τ (к) получим

ч /Ζ74

и*Мс

Е-

. Мц Е~

fift

τ (к) = τ (Ε) = з ^ = f (61.6р)

2 (2/п*)

Ас

2 (2т*)

Δ%Ν

4. Если выразить транспортное эффективное сечение через

время релаксации, то можно сказать, что транспортное эффективное

сечение рассеяния на тепловых колебаниях решетки не зависит от

энергии частиц. Рассеяние на тепловых колебаниях решетки изотропно.

5. Рассеяние на оптических колебаниях решетки может быть

описано введением поляризационного потенциала.

§ 62. ЗАВИСИМОСТЬ ПОДВИЖНОСТИ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

ОТ ТЕМПЕРАТУРЫ

Результаты предыдущих параграфов позволяют рассмотреть тем-

пературную зависимость подвижности носителей заряда

μ=^ = μ(Γ). - (62.D

При изменении температуры может измениться эффективная масса.

Простейшей, но не единственной причиной этого изменения явля-

404

еТС

я тепловбе расширение решетки. Однако мы в дальнейшем не

будем учитывать изменение эффективной массы, а ограничимся рас-

смотрением температурной зависимости усредненного времени релак-

саЦ

ии. Согласно (40.4)

со з

^ х

е~

(х) dx

> = <£г>

=а>

(

(62.2)

^ x

где я

—

"^"· Вычисления проводятся элементарно, если время релак-

сации имеет степенную зависимость от энергии, т. е.

(Ε)

= τ

(kT)

(62.3)

где ρ —показатель степени, а τ

—величина, не зависящая от энер-

гии. Подставляя (62.3) в (62.2), получим

- + ρ

'!*

(р+ у)

(τ) = τ

(kT)" ^-з = τ

(kT)"

V 2/

. (62.4)

f x

\2")

Отношение Г-функций при некоторых ρ дано в табл. 8.

Подставляя (62.4) в (62.1), запишем

exkP

(Т+")

^ μ = (62.40

Если τ

не зависит от температуры, то температурная зависимость

подвижности подобна зависимости времени релаксации от энергии.

, Перейдем к рассмотрению конкретных механизмов рассеяния

электронов и дырок.

1. Рассеяние на тепловых колебаниях решетки.

Учитывая, что при рассеянии на акустических колебаниях 'решетки

= — 1/2, согласно (62.4) и (61.37) запишем

_з

.. поедет

(2)

1 π

ttoc

/А9

μ (У) -з 3- = у Ι~ΤΎ' *'

2 (2m*)

NActn*r ^Aj (kT)

3.2

Nblk

β выражение (62.5) для подвижности входят величины трех видов:

Ч универсальные константы е, й, k и числовые множители; 2) харак-

теристики данного вещества c

Ν, А

Су

m*; 3) температура. В дан-

ном веществе подвижность зависит только от температуры:

μ = μο^-

3/2

(62.6)

405

— с ростом температуры подвижность, обусловленная тепловыми

колебаниями решетки, уменьшается. Смысл этого выражения доста-

точно простой: с ростом температуры число фононов возрастает про-

порционально температуре, а средняя скорость пропорциональна У~Т>

вследствие чего вероятность столкновения электронов или дырок

с фононами растет пропорционально Т

; если температура умень-

шается, то подвижность носителей заряда возрастает. Необходимо

только помнить, что при Τ->·

выражение (62.5) теряет смысл

вследствие неприменимости соотношения (61.32).

Обращает на себя внимание, что величина подвижности обратно

пропорциональна эффективной массе в степени

. Это подтвержда-

ется опытом —в веществах с малой эффективной массой подвижность

носителей заряда больше, чем в веществах с большей эффективной

массой, а подвижность электронов превосходит подвижность дырок.

При рассеянии на оптических колебаниях решетки температурная

зависимость подвижности определяется фактором

Г 1

[е

-1]·

(62.7)

2. Рассеяние на ионах примеси. Согласно (56.23) время

релаксации τ

при рассеянии на ионах примеси имеет двойную зави-

симость от энергии —степенную и логарифмическую:

V2&т*

nZ*e*N

N)Z&

(62.8)

При усреднении этого выражения мы вынесем логарифмическую

функцию, взяв ее в точке, в которой подынтегральная функция

достигает максимума. Для этого необходимо вместо Ε подставить

3£7\ После вынесения логарифмической функции из-под знака интег-

рала можем записать

8 VI k

'4*m*

l/2

' Τ

η *Pe*Nj

ι+ίψν

\N f

(62.9)

Из (62.9) следует выражение для подвижности при рассеянии на

ионах примеси:

μ/

8/2 /г

3/2

у.З/2

s/2

e* Z2^m*

1/2

1п

i+pF-V

\NjZe\

(62.Ю)

406

Подвижность носителей заряда при рассеянии на ионах примеси

определяется величинами трех видов: 1) универсальными константами

и числовыми множителями; 2) характеристиками вещества N

ε, Ζ,

3) температурой.

Предполагая, что все величины, кроме температуры, постоянны,

исследуем выражение для μ/. При достаточно больших температурах

логарифмической зависимостью μ

от температуры пренебрежем,

поэтому можем сказать, что подвижность с ростом температуры

возрастает по закону

μι^μοΐΤ*'

. (62.11)

При уменьшении температуры подвижность, обусловленная рас-

сеянием на ионах примеси, уменьшается. Однако необходимо обра-

тить внимание на следующее обстоятельство: при

Νψζ4*

Т2

<-w- <

62Л2

логарифмическая зависимость становится существенной, и мы можем

записать:

8У2е τ~

ι/2

ίΜ

*q\

^ЭЛ

A^m*

{Ь2Л6)

т. е. подвижность μ/^ρ^. Этот результат непосредственно выте-

кает из того факта, что время релаксации в области малых темпе-

ратур согласно (56.24) характеризуется зависимостью τj^E-

Оценим температуру, исходя из (62.12). Положив ея^Ю; Z=l,

получим

<5.КГ

ЛГ?

. (62.14)

Как видно

из (62.14), температурный интервал δ7\ в котором

справедливо соотношение (62.13), зависит от концентрации ионов

примеси Νι\ при Nj->·0 0. Однако необходимо иметь в виду,

что при N/->0 подвижность μ/->οο при любой температуре. В заклю-

чение необходимо заметить, что Nj зависит от температуры; при

T-+Q N/->-0, если в полупроводнике содержится "примесь одного

вида. Если же в полупроводнике есть и донорная, и акцепторная при-

меси, то при 0 Nj принимает постоянное значение, равное удво-

енной концентрации примеси с. меньшим содержанием, т. е. если

то Nj = 2N

вследствии взаимной компенсации примеси.

3. Рассеяние на нейтральных центрах. Согласно

(57.13) при рассеянии частиц на нейтральных центрах время релак-

сации не зависит от энергии

407

Отсюда следует, что подвижность, обусловленная рассеянием на

нейтральных центрах, имеет вид

V» = 20eS/

· <

)

В явном виде юна не зависит от температуры. С ростом темпе-

ратуры электрически активная примесь ионизуется,- вследствие

чего при больших температурах μ

определяется электрически неак-

тивной примесью, т. е. примесью, не поставляющей в зоны свобод-

ные электроны и дырки.

При рассеянии на дислокациях τ>~Ε-

, поэтому

μη^^ψ. (62.17)

4. Общий случай. Рассмотрев действие основных механизмов

в «чистом» виде, перейдем к общему случаю, когда действуют все

механизмы рассеяния одновременно. Считая, что все механизмы рас-

сеяния независимы, мы можем сказать, что полная вероятность рас-

сеяния равна сумме вероятностей рассеяния на каждом типе рассеи-

вающих центров. Отсюда следует, что полное время релаксации τ

имеет вид

$ (к, к') (1-cos=

(62Л8)

(Μ ' "

или

(

)

Поскольку τ/ зависят от энергии, то и τ является функцией энер-

гии, которую можно найти, подставив явное выражение Χι (.Ε). Найдя

т (Е) и усреднив его, получим выражение для подвижности:

Zri(E)

Проанализируем это выражение. Члены, входящие в качестве

слагаемых в (62.20) или (62.19), играют различную роль в разных

условиях. Предположим, что парциальные времена релаксации оди-

наковы. В таком случае

Ti =

= ... = T

и х

= у; μ = (62.21)

т. е. если действует г механизмов рассеяния с одинаковыми време-

нами релаксации, то полное время релаксации и полная подвиж-

ность меньше парциальных в г раз. В действительности равные вр

мена релаксации маловероятны. Пусть время релаксации /-механизма

много меньше других. Поскольку τ7

при этом превосходит все ос-

тальные слагаемые в (62.19), мы можем сказать, что χ^χι. ДРУ*

408

ими словами, полное время релаксации τ определяется тем парци-

альным процессом, который имеет наименьшее время релаксации

данных условиях у вследствие чего и (τ)=^(τ/). Поскольку т/ зависят

т энергии, мы должны сравнивать роль того или иного процесса

релаксации при данной энергии носителей заряда. Однако при

этом медленные и быстрые носители заряда могут играть различную

роль в разных процессах. Чтобы получить правильный результат,

β этом случае необходимо оценить роль частиц, имеющих среднюю

энергию γkT, поскольку частицы с энергией, близкой к средней,

составляют основную часть свободных носителей заряда.

Если вместо Ε подставить (£), то получим приближенно

%^{Е))=х

фТу(^)

(62.22)

вместо истинного

{Xi) = 4{kTY

;

. (62.23)

•

Таким образом,' чтобы оценить роль того или иного процесса

рассеяния, необходимо сравнить (т,·), или, что то же самое, (μ/).

Исходя из этого можем сделать вывод, что при больших тем-

пературах основным механизмом рассеяния является рассеяние на

тепловых колебаниях решетки: х^Е

при ρ =—1/2. Подвижность

носителей заряда с ростом температуры уменьшается по закону

7-з/2

При уменьшении температуры роль колебаний решетки умень-

шается, подвижность увеличивается, но одновременно с этим увели-

чивается й роль рассеяния на ионах примеси, вследствие чего при

малых температурах х^Е

при ρ = 3/2 и μ^Τ

. Другими сло-

вами, если учитывать только рассеяние на ионах примеси и тепло-

вых колебаниях решетки, то можно прийти к выводу, что подвиж-

ность μ с ростом температуры растет пропорционально 7

проходит через максимум и затем уменьшается пропорционально

Т- 3/2

Напомним, что в области температур, когда основную роль

играет тепловое колебание решетки, множитель А, входящий в коэф-

фициент Холла, должен быть равен соответствующий р = —1/2;

315ji

области низких температур А = -5^2" (Р = 3/2). Аналогично должны

вычисляться и другие кинетические коэффициенты.

Рассмотрим в заключение этого параграфа некоторые экспери-

ментальные данные. На рис. 87 представлена температурная зави-

симость подвижности, электронов и дырок в арсениде галлия! На

Рисунке отчетливо видны области роста и уменьшения подвижности

409

JU,CM/BC

№

и область максимума. Кривые такого типа наблюдаются у многих

веществ. На рис. 88 представлена зависимость подвижности электро-

нов и дырок в кремнии при. различной концентрации примеси в ин-

тервале температур от —50 до 250° С. Мы видим, что подвижность

дырок меньше подвижности электронов. Это положение имеет место

во всех полупроводниках.

Как видно из рис.. 88, подвижность электронов и дырок с рос-

том концентрации ионов примеси уменьшается. Очевидно, что в соб-

ственном полупроводнике, имеющем совершенную кристаллическую

структуру, величина подвижности

определяется только тепловыми коле-

баниями решетки. При нарушении

совершенства кристаллической струк-

туры подвижность может только

уменьшаться: μ^μτ-. На рис. 89

показана зависимость подвижности

электронов и дырок от концентрации

примеси при комнатной 'температуре.

Из рис. 89 видно, что при концен-

трации примеси Л^сЮ^см"

по-

движность электронов и дырок прак-

тически не зависит от концентрации

ионов примеси, но начиная с Njm

я^10

см

их подвижность падает.

Другими словами, при Т^ 300°С

рассеяние на ионах примеси в крем-

нии начинает играть определяющую

роль при концентрации УУ/^ 10

см

Существенно отметить, что отношение

подвижностей Ь

—

— μ

/μ

с ростом

концентрации примеси уменьшается.

Аналогичное происходит с под-

вижностью электронов и дырок

в соединениях Α

ΙΠ

с ростом кон-

центрации примеси. Обращает на

себя внимание тот факт, что подвижность электронов в дырочном

полупроводнике меньше подвижности электронов в электронном полу-

проводнике. Это различие тем более заметно, чем больше отношение

масс т%/тп. Объяснение данного факта состоит в том, что вследствие

большого различия в массах

т%

электроны сильно рассеиваются

в кулоновском поле дырок подобно тому, как они рассеиваются в поле

ионов.

Из приведенных примеров видно, что подвижность носителей

заряда может сильно отличаться от образца к образцу в зависи-

мости от его состава и совершенства кристаллической структуры·

Тем не менее мы можем говорить о подвижности электронов и дырок

в данном полупроводниковом веществе. Численное значение подвиж-

ности, которое обычно связывается с данным полупроводниковым

/ То IP w

г\ к'

Рис. 87. Температурная зависи-

мость подвижности электронов в

арсениде галлия при действии раз-

личных механизмов рассеяния:

—

ионы примеси; 2

—

полярные

оптические колебания решетки;

3—деформационный потенциал;

—

пьезоэлектрический потенциал;

сплошная линия

—

суммарный эф-

фект;

XXX

—эксперимент

410