Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

веществом, относится к наиболее чистому и совершенному монокри-

сталлу. В табл. 19 приведены численные значения подвижности

Рис. 88. Зависимость подвижности электронов и дырок от температуры

в кремнии, содержащем примесь различной концентрации, Wj, см

о) /—5

•

10" б) 1—Ъ 10"

Р—1·

. Ю" ,

2—1

ΙΟ"

3—1

•

10"

3-5 10"

4-Х- 10

1в

4—1 10"

5-Ь

10" 5—1 10"

6—1

10"

электронов и дырок в ряде полупроводниковых материалов при двух

температурах: 300° К и 77° К и отношение подвижностей Ь.

Таблица 19

-μ

Λι

см»(В-с)-*

300 к

77К

см

(В«с)

-1

300К

77К

μ„

зоок

грманий

-1,6 —2,3 3.800

37.100 1.820

43.700

2,1

0,7

эемняй

—2,6 -2,3

1.300

45.500' 500 11.600 2,6 3,9

-1,6

-2,1

78.000 1. 200. 000 750

10.000

100

120

is -1,2

—2,3

33.000

82.000

460 690

120

—2,0

-2,4 4.600

24.000

150 1.200 30

5b i

I —2,0

—0,9 .

4.000

6.000 1.400

3.600

1,7

-1,0 -2,1

8.500

21.000

420

4.200

> Ι

-1,5 -1,5

110

500

75 420

1,5

) -1,8

200

—

420 3.700

411

В табл. 19 указан показатель ρ зависимости подвижности от

температуры в виде μ^Τ

. Обращает на себя внимание, что только

в ряде случаев показатель ρ соответствует теоретическому значению

(—3/2), обусловленному рассеянием на

акустических колебаниях решетки. До-

статочно удовлетворительного теоретиче-

ского объяснения этого расхождения

не существует. Однако очевидно, что

оно отражает тот факт, что существует

целый ряд различных механизмов рас-

сеянияобусловленных колебаниями

решетки, приводящих к несколько дру-

гой зависимости подвижности от темпе-

ратуры. Действительно, расчеты пока-

зывают, что двухфононное рассеяние

приводит к зависимости μ ~ Г

-3

. В ин-

концентрации примеси в крем- терметаллах А

большую роль

нии при Τ=300К играет рассеяние на оптических колеба-

ниях решетки (полярные колебания).

Однако можно сказать, что несмотря на большое число работ тео-

рия еще далека от возможности объяснить зависимость подвижности

прежде всего от температуры для каждого конкретного вещества.

- В заключение этого параграфа

остановимся на температурной зави-

симости удельной электрической про-

водимости. Она определяется зависи-

мостью подвижности и концентрации

от температуры;

ο{Τ)=^β

(Τ)μ

(Τ). (62.24)

В области истощения примеси кон-

центрация основных носителей заряда

остается постоянной, и проводимость

при изменении температуры меняется

только вследствие изменения подвиж-

ности. В зависимости от концентра-

ции

примеси подвижность может

уменьшаться или увеличиваться, что ~ i ζ 3 4 5 6 7 8.9

приводит соответственно к уменыне- Ю

/т,1/к

НИЮ или увеличению Проводимости. р

ис>

до Зависимость удельной элек

В области температур, соответствую- трической. проводимости

от

обратной

щих малой ионизации примеси или температуры в кремнии п·

и р-типа

собственной проводимости, концентра-

ция носителей заряда изменяется по экспоненциальному закону»

поэтому α (Г) определяется видом п

(Т). На рис. 90 в качестве

примера приведен график зависимости а (Г

-1

) при разной концен-

трации донорной и акцепторной примеси в кремнии.

μ,

см

/(Be)

•

1200

1000

800

600

МО

\Ч

МО

- .

1 1 1 1—J L-.

Ч0

10'

,см-з

Рис. 89. Зависимость подвиж-

ности электоонов и лыоок от

ШОг

412

Резюме§62

1. В невырожденных полупроводниках при действии одного меха-

низма рассеяния усредненное время релаксации (τ) определяется

соотношением

(τ) = τ

(kT)

p Д

/5Х

(62.lp)

при τ (Ε) = τ

; Если действует несколько механизмов рассеяния, то

τ"

= (62.2ρ)

•И

(62. Зр)

В вырожденных полупроводниках <τ) = τ(/

) и

> = /{Σ^

)}"

\· (62.4р)

2. При рассеянии на тепловых колебаниях решетки подвижность

пропорциональна т*~

5/2

и Г

-3

, если рассеяние происходит на аку-

/ —

стических фононах; μ^^/η*

3/2

и определяется величиной (е

— 1)

при рассеянии на оптических колебаниях.

3. При рассеянии на ионах примеси μ/ пропорциональна Т

3/2

jjq при Τ

—>·

Т-1/2

4. При больших температурах основную роль играет рассеяние

/т2\ Зя

на тепловых колебаниях решетки, поэтому Α = ~g-· В облас-

ти низких температур основную роль играет рассеяние на ионах при-

315π

меси, что дает для А величину

512

; однако по мере приближения Τ

315π

нулю величина А = -gyj- уменьшается и переходит в величину 3π/8.

При рассеянии на полярных колебаниях А может меняться от 1 при

Малых температурах до 1,1 — 1,3 при При рассеянии на

Нейтральных примесях μ не зависит от температуры и А=1. При

Рассеянии электронов на дырках

и А

413

§ 63. ЗАВИСИМОСТЬ ВРЕМЕНИ РЕЛАКСАЦИИ ОТ ВНЕШНИХ ПОЛЕЙ.

НАРУШЕНИЯ ЗАКОНА ОМА

Решая кинетическое уравнение и анализируя связь между вре-

менем релаксации и вероятностью переходов, мы указывали, что

в простейшем случае время релаксации не должно зависеть от полей.

Если же τ = τ(Ε, В), то решение резко усложняется.

Н а рис. 91 приведена зависимость плотности тока от напряжен-

ности электрического поля в электронном германии в двойной лога-

рифмической шкале. На графике

отчетливо видны три различные

области. В первой области —в по-

лях до 10

В/см (при 77° К) график

линеен с углом наклона в 45°, т. е.

тангенс угла наклона равен еди-

нице, во второй области тангенс

угла наклона равен

и в

третьей

—

0. Это значит, что в пер-

!qh £ β/щ вой области α не зависит от поля,

а) '/

во

второй. области σ^Ε

-1

Jjl/см*

10%

10'·

1(Г*

[

_1 « t t t «

Τ Γ Τ Τ г

/ 2 J 4 5 67

8910

20 JO

40 005070 90 Ε,Β/сМ

Рис. 91. Влияние сильного электрического поля на прово-

димость германия при трех различных температурах (а);

ударная ионизация в электронном германии,при

= 4,2°К (б)

в третьей σ ^ Е

-1

трех областях. Но о =

еп\л

так что

jr^ Ε

и в указанных

поэтому нарушение закона Ома

возможно по двум причинам

·—

происходит изменение (τ) или

Изменение (τ) полем легко понять из следующих простых сообра-

жений.

При изотропном рассеянии время релаксации практически соот-

ветствует времени свободного пробега, поскольку скорость направ-

ленного движения теряется полностью за одно столкновение. Скорость

направленного движения зависит только от поля. Энергия, перед

414

ваемая носителем заряда за одно столкновение, составляет малую

долю полной энергии: = Но поскольку система частиц

находится в стационарном состоянии, электроны или дырки отдают

только избыточную энергию. Это означает, что. под действием поля

частицы за время свободного движения приобретают ту же энергию

9/W* г-»

следовательно, под действием поля энергия и скорость элек-

трона или дырки меняются незначительно. Если же поле возрастает,

то полная скорость и энергия также возрастают. Поскольку длина

свободного пробега не зависит от энергии (при рассеянии

на тепло-

вых колебаниях решетки), увеличение скорости приводит к умень-

шению времени свободного пробега и, следовательно, к уменьшению

подвижности.

Найдем изменение тепловой скорости ν

в результате действия

поля. Под действием поля частица ускоряется и за единицу вре-

мени приобретает энергию, равную работе силы еЕ:

§· = (βΕν

)=βΕμ

Ε = £Ε'. (63.1)

2т*

В результате рассеяния частица теряет энергию Ε в течение

времени τ, так что в среднем за единицу времени теряется энергия

2т* Ε

—д^-—. Поскольку процесс стационарный, в среднем энергия носите-

лей заряда не меняется со временем:

dE _ 2m* Ε

dt ~~ Μ τ

(63.2)

или

2m* т*Ф

Заменив величину τ на //У, получим

еЧ

= ~ν\ (63.4)

Пусть l = l

, тогда

WL =

i 4-4.) · (63.5)

υ~Ε

. (63.6)

При рассеянии на тепловых колебаниях решетки'длина свободного

пробега не зависит от энергии, следовательно, г = 0 и

. (63.7)

415

Увеличение скорости движения носителей заряда согласно (63.6)

приводит к уменьшению τ:

/ 1

τ^ —

откуда

1/2 '

(63

σ = у^;

= σ

1/Έ при Ε > Е

кр

. (63.9)

Величина критического поля Е

кр

определяется тем условием, что

дополнительная скорость,' приобретаемая частицей в поле, стано-

вится сравнимой с тепловой скоростью. Отсюда ясно, что при умень-

шении температуры величина критического поля Е

кр

уменьшается

(см. рис. 91). Очевидно также, что чем больше μ

, тем меньше Е

кр

Если г Φ ,0, то зависимость υ от поля будет более сложной. При

г = 2, как это имеет место при рассеянии на ионах примеси, сог-

ласно (63.6)

τ~Ε

. (63.10)

Шокли нашел следующее выражение для зависимости подвиж-

ности от напряженности~электрического поля при взаимодействии

носителей заряда с фононами:

г π Γι .

К2

· (63.10·)

где μ

—подвижность в слабом поле; с

—

скорость звука. Для крем-

ния скорость звука ~7·10

см/с. Поле, при котором электроны

получают скорость, равную скорости звука, составляет ~ 5,5 кВ/см.

При Е^с/μο из (63.10) следует уже знакомый результат μ μ

χ т. е. μ ~ Е~

1/2

в нарушение закона Ома.

На рис. 92 приведена экспериментальная зависимость дрейфовой

скорости от напряженности поля для двух веществ. Ее необходимо

имет ь в виду при оценке всех величин, зависящих от скорости.

Если в области сильных полей наблюдается насыщение тока, то

при дальнейшем увеличении поля ток может резко возрасти, начи-

ная с некоторого поля Ек

Рост тока можно описать эмпирической зависимостью проводи-

мости от поля:

= а

е*(

-р). (63.П)

Резкое возрастание проводимости в электрическом поле носит наз-

вание эффекта Пуля. Возрастание проводимости по экспоненциаль-

416

ному закону, как правило, связано с увеличением концентрации

носителей

заряда. Рост концентрации обусловливается рядом причин.

Один из механизмов носит название ударной ионизации. Электрон

(или дырка) под действием поля приобретает энергию за время сво-

бодного пробега, достаточную для ионизации примеси или даже

основного вещества. При столкновении «горячих» частиц с атомами

примеси или основного вещества генерируются дополнительные носи-

тели заряда, которые в свою очередь ускоряются и генерируют

дополнительные свободные носители заряда. Если учесть, что

с ростом концентрации носителей заряда возрастает и их рекомбина-

ция, то легко понять, что возможно такое стационарное состояние,

когда концентрация носителей заряда, а следовательно, и проводи-

Vdn^CM/C

1Q2 jo·

10^ Е

}

В/см

5-10* Ε В/см

α) δ)

Рис. 92. Зависимость дрейфовой скорости электронов от напря-

женности электрического поля в кремнии (а) и теллуриде 'кад-

мия (б) при разных температурах, °К

мость при действии поля оказываются повышенными. Если же гене-

рация не компенсируется рекомбинацией, то концентрация начинает

возрастать лавинообразно, и в полупроводнике возникает необрати-

мое явление пробоя.

На рис. 91, б представлена зависимость плотности тока от элек-

трического поля - в электронном германии при

= 4,2/С При

Ε г^ 5 В/см происходит резкое скачкообразное возрастание плотности

тока, вызванное ударной ионизацией атомов примеси. Однако при

дальнейшем повышении поля наступает насыщение тока. Явление

ударной ионизации может происходить в результате действия внут-

ренних полей, обусловленных локальными неоднородностями кри-

сталла или полем р-/г-перехода. Ударная ионизация проявляется

при тем меньших полях, чем меньше температура, меньше энергия

активации и больше подвижность.

Вторым механизмом возрастания концентрации является эффект

Зинера, который был рассмотрен нами в § 19. Вероятность туннель-

ного перехода зависит от высоты Δ£·

и ширины а барьера. Ширина

барьера зависит от напряженности электрического поля:

аеЕ = Δ£

; α = (63.12)

14 Киреев

417

Как известно из квантовой механики, вероятность перехода дл

барьера треугольной формы имеет вид

2 Υ т.* (ΔΕρ)

D = D

2ehE

(63.13)

Вероятность туннельного перехода одна и та же как для пере-

ходов из валентной зоны в зону проводимости, так и из зоны про-

водимости в валентную зону. Но поскольку концентрация электронов

в валентной зоне превосходит концентрацию электронов в зоне про-

водимости, поток электронов будет направлен из валентной зоны

в зону проводимости. Эффект Зинера аналогичен явлению холодной

эмиссии. Он наблюдается в полях Ε > (ΙΟ

— 10

) В/см. Таким обра-

зом, эффект Зинера приводит к увеличе-

нию концентрации свободных носителей

заряда.

Электростатическая ионизация, прояв-

лением которой служит эффект Зинера,

может выступать в виде других эффектов.

Одним из них является эффект Штарка,

. который приводит к увеличению ширины

уровней энергии атомов, образующих кри-

сталл. Увеличение ширины уровней ато-'

мов кристалла приводит к увеличению ши-

рины зон энергии и уменьшению ширины

запрещенных зон. Но уменьшение ширины

запрещенной зоны приводит к росту равно-

весной концентрации электронов й дырок.

Однако объяснение роста концентрации частиц при наложении силь-

ного поля можно построить согласно Френкелю иначё, без учёта

Штарк-эффекта. На рис. 93 представлена потенциальная энергия

электрона в атоме без поля (пунктирная линия) и с полем (сплош-

ная линия). Внешнее электрическое поле понижает потенциальный

барьер в направлении, противоположном электрическому полю.

Максимум потенциального поля находится в точке г

, в которой

сила притяжения к ближайшему ядру уравновешивается внешней

Рис. 93. Понижение потен-

циального барьера под дей-

ствием электрического поля

силои:

откуда

= еЕ,

(63.14)

(63.15)

Можно оценить уменьшение величины потенциального барьера,

разделяющего два соседних узла решетки, величиной

еЕ

. (63.16)

418

Но уменьшение потенциального барьера увеличивает вероятность

термического возбуждения согласно статистике Больцмана на вели-

чину

^Ji (UlfZyw)

UrK

(63.17)

Этот эффект играет роль при Е> 10

-~ 10

В/см.

В некоторых веществах в сильных электрических полях наблю-

даются высокочастотные осцилляции тока. Частота колебаний тока

достигает в арсениде галлия величин (1ч-6)10

-1

при амплитуде

колебаний" тока более одного ампера. На рис. 94 представлена

осциллограмма тока в образ-

це η-типа GaAs длиной

0,025 мм при подаче на него

импульса напряжения вели-

чиной 16 В, длительностью

10~

с. В верхней части рисун-

ка представлен участок осцил-

лограммы в большем масшта-

бе. Высокочастотные колеба-

ния тока при наложении на

полупроводник постоянного

напряжения могут быть обус-

ловлены различными физичес-

кими процессами. Приведен-

ные на рис. 94 осцилляции по-

лучены Ганном. Эффект Ганна

наблюдается в арсениде гал-

лия, фосфиде галлия и не-

которых других веществах.

Одно из объяснений эффекта Ганна может состоять в следую-

щем. При наложении электрического поля электроны переходят

в более высокие энергетические состояния, температура электрон-

ного газа повышается. Предположим, что зона проводимости имеет

минимумы энергии, лежащие выше абсолютного минимума и имею-

щие значительно большую эффективную массу, чем в нижнем мини-

муме,- подобно тому, как это изображено на рис. 42 для арсенида

галлия. Взаимодействуя с фононами, электроны могут быть перебро-

шены в верхние долины. Так как плотность состояний в верхней

долине превосходит плотность состояний нижней долины, то элект-

роны будут накапливаться в верхней _ долине. Но подвижность

электронов верхней долины значительно меньше подвижности элект-

ронов нижней долины, поэтому дрейфовая скорость электронов

уменьшается, их вклад в проводимость уменьшается, и ток падает.

Состояния в верхней долине являются неустойчивыми; электроны,

взаимодействуя с фононами, переходят в нижнюю долину, что при-

водит к росту тока. Периодические колебания наблюдаются обычно

в тонких образцах, что связано с механизмом возникновения повы-

14* 419

V /

\ 1

\ /

» /

\ /

\ ι

\ /

V /

\ (

ч/

» /

\ /

\ 1

\ /

ι υ

\ 1

\ /

\ ί

щЧ.

|Ι|ΙΙ!|||

ΐιιΐιΐϋ ϋΐΐΐιιιι

lllilldj

1 1 1 1

ι ι

1 I 1 I

№8

1 1

II"

III

1 1 1

ill

1 1 1 1 1 1 1 1

rill

1 1 1 1/

1 11 1

llll_

Jill

1 1 1 1

1 1

Vru

Рис. 94. Осцилляции тока в арсениде гал- '

лия при подаче на образец импульса напря-

жения длительностью 10

шенного сопротивления в полупроводниках. Чем больше напряжен-

ность поля, тем сильнее происходит процесс переброса электронов

в верхние долины, но чем больше электронов перебрасывается

в верхнюю долину, тем больше сопротивление в данной области

полупроводника и тем большее напряжение падает на ней, что при-

водит к уменьшению поля в соседних областях полупроводника.

Как показывают наблюдения, области , повышенного сопротивления

зарождаются у «катода» и перемещаются к «аноду». Эффект Ганна

наблюдается при таких полях, при которых дрейфовая скорость

становится сравнимой с тепловой скоростью, т. е. при с^^10

см/с

в обычных условиях.

Эффект Ганна может служить для исследований зонной струк-

туры полупроводников и может быть использован для разработки

генераторов колебаний большой мощности в области частот порядка

Гц.

Резюме§63

1. Внешнее электрическое поле изменяет энергию носителей

заряда, что приводит к изменению подвижности. В зависимости от

механизма рассеяния подвижность может или возрастать или умень-

шаться.

2. Сильное электрическое поле приводит к изменению концентра-

ции свободных носителей заряда в результате ударной

ионизации,

эффекта Зинера, или внутренней холодной эмиссии, эффекта роста

термического возбуждения вследствие понижения потенциального

барьера, эффекта Штарка.

3. Переход горячих электронов в более высокие долины, в кото-

рых эффективная масса превосходит эффективную массу в-нижней

долине, приводит к уменьшению дрейфовой скорости электронов и,

следовательно, тока. Переход электронов в нижнюю долину обеспе-

чивает рост тока. Это приводит к тому, что при наложении на полу-

проводни к постоянного напряжения возникает осциллирующий высо-

кочастотный ток (эффект Ганна).