Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Глава VI

РЕКОМБИНАЦИЯ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

§ 64. УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ.

ВРЕМЯ ЖИЗНИ

В третьей главе была подробно рассмотрена зависимость кон-

центрации носителей заряда от температуры, концентрации и вида,

примеси. При этом мы предполагали, что полупроводник находится

в состоянии термодинамического равновесия. Концентрацию носите-

лей заряда, соответствующую равновесию, будем называть равновес-

ной концентрацией. В четвертой главе, рассматривая кинетические

явления, мы исходили из того, что внешние поля нарушают состоя-

ние термодинамического равновесия. В полупроводнике, по которому

течет электрический ток, состояние является термодинамически

неравновесным. Однако в однородном полупроводнике, находящемся

в изотермических условиях, концентрация носителей заряда оста-

ется равновесной, если поля невелики. Но поскольку электрическое

поле нарушает термодинамическое равновесие, то носители заряда

являются неравновесными, ибо их распределение по состояниям

описывается неравновесной функцией распределения. Действительно,

согласно (29.1р—2р) выражение для концентрации носителей заряда

имеет вид

$/(г, = ^ \ [/о(г, к)+Р'(г, K)]dx

(

κ) (ν

)

= п

(Γ) +

Λι

(г), (64.1)

где через я

обозначена равновесная концентрация электронов или

дырок. Вычислим п

пг (г) = i [ f

{1)

(г, к) dx

= -± \ (κν) άτ

. (64.2)

Λ) (Ук)

Легко видеть, что п

(г) равно нулю. Действительно, κ и df

/dE —

четные функции к, а ν —нечетная, вследствие чего подынтегральная

функция в (64.2) является нечётной, а интеграл от нечетной функ-

ции в симметричных пределах равен нулю. Таким образом,

η (г) = п

(г) (64.3)

— концентрация остается равновесной. Легко показать, что (64.3)

получается из условия (36.6): df/dt = 0. Из этого же условия выте-

. 421

кает известное из гидродинамики и теории электричества уравнение

непрерывности

-f- = -g. + div pv = f

+ div j = 0, (64.4)

' где ρ —плотность массы или заряда, ν —скорость их перемещения.

Уравнение (64.4) означает, например, что объемная плотность

заряда изменяется только в результате расходимости тока. Оно

справедливо в самом общем случае. Однако если его записать в виде

уравнения для одного типа носителей'заряда, то оно существенно

видоизменяется, поскольку число носителей заряда каждого типа

может меняться, как это было видно из § 63, при этом полный

заряд остается неизменным. Чтобы описать подобные состояния,

необходимо обобщить использованное в четвертой главе уравнение

Больдмана. Однако вместо этого обобщим уравнение непрерывности,

но прежде всего введем некоторые определения, необходимые для

понимания целого ряда явлений. Если концентрация электронов

или дырок η (г, t) отлична от равновесной концентрации п

(г), то

ее называют, неравновесной. Величину δη (г, t), равную.

δ η (г, t) = n (г, t) - п

(г), (64.5)

называют избыточной концентрацией носителей заряда.

Возникновение пары свободных носителей заряда называют генера-

цией пары, обратный процесс, приводящий к исчезновению пары сво-

бодных носителей заряда — электрона и дырки, — называют рекомби-

нацией. Генерация и рекомбинация могут происходить в результате

внешних и внутренних причин. Обозначим через gj и g

скорости

изменения концентрации вследствие генерации в результате внутрен-

них (gi) и внешних (g

) причин, а через г

и г

—скорости измене-

ния концентрации вследствие рекомбинации в результате действия

внутренних (г

) и внешних (г

) причин. Учитывая поток частиц, генера-

цию и рекомбинацию носителей заряда, запишем уравнение непре-

рывности для электронов и дырок: ' . '

= - div h-+gM+ego - rW - rg>, (64.6)

^ = — div + g^ + -

г\р)

rjp>.

(64.7)

Если задать начальные и граничные условия, то при известных

зависимостях величин j, г, g от координат и времени можно в прин-

ципе получить решение- уравнений (64.6) и (64.7) для η (г, t) и

р(г, t). Однако решить уравнения непрерывности в общем случае

не представляется возможным.

Рассмотрим ряд более простых случаев. В полупроводнике,

находящемся в адиабатических условиях g

= r

= 0. Если в нем

нет тока: j = 0, то уравнение непрерывности (64.6) имеет вид

dn/dt = gi

—

г ι. (64.8)

422

В стационарных условиях dnidt = 0, поэтому

gi=r

(64.9)

т. е. рекомбинация и генерация носителей заряда взаимно компен-

сируют друг друга, обеспечивая стационарность состояния. Поскольку

генерация и рекомбинация носителей ^заряда происходят за счет

энергии тепловых колебаний . решетки, величины gj и /7, которые

обозначим в этом случае через g

Ль определяют скорости измене-

ния концентрации частиц в результате тепловой генерации и рекомби-

нации. Величины пир, обозначаемые в этом случае через п

и р

представляют собой равновесные концентрации, их называют иногда

концентрациями темповых носителей заряда. Величины п

и р

определяются только характеристиками полупроводника, например,

для невырожденного полупроводника:

с~

Р F

—

; p

= N

e π ; (64.10)

= N

= щ.

При ΤιΦ gi в адиабатических условиях концентрация частиц

меняется. При этом, если gi>r

то dn/dt>0

—

концентрация частиц

растет; если gv < г

, то dn/dt < 0

—

концентрация частиц уменьшается.

Поскольку полупроводник находится в адиабатических условиях и

в нем нет тока, то условие dn/dt Φ 0 означает, что один из процес-

сов преобладает. С другой стороны, отсутствие обмена энергией и

отсутствие тока являются необходимыми условиями равновесного

состояния, поэтому уравнение

dn/dt^gi-ггфО (64.11)

должно описывать релаксационный процесс, т. е. процесс установле-

ния равновесного состояния, которое было нарушено током или

внешним воздействием. Если внешнее воздействие увеличило концент-

рацию носителей заряда: η

—

= δη> 0, то в процессе релаксации

рекомбинация должна превалировать: rj>gj. Если η

—

= δ/ζ<0,

то в процессе релаксации должна превалировать тепловая генерация:

gi>r

Обозначим разность между g7 и г ι через R:

R = ri-£i. (64.12)

При г

= г

и gi = g

скорость изменения концентрации равна

нулю

—

R = 0

—

вещество находится в стационарном равновесном

состоянии. Говоря о рекомбинации, имеют в виду именно случай

R Φ 0. Другими словами, говоря о рекомбинации, рассматривают

процесс изменения избыточной концентрации носителей заряда. Для

описания релаксационного процесса необходимо знать величину

R = R(r, t)\ в этом случае уравнение непрерывности (64.11)

dn/dt = — R(r, ή (64.13)

позволяет найти вид п (г, /).

423

Рассмотрим решение уравнения (64.13) при некоторых предполо-

жениях о величине R (г, t). Пусть существует некоторая постоянная

величина l/x

равная вероятности рекомбинации одного свободного

носителя заряда за единицу времени в единице объема. В таком слу-

чае за единицу времени прорекомбинирует

° = R частиц:

• . (64.14)

Уравнение (64.14) . легко интегрируется, в результате чего

получаем

_ ±_ _

δη (/) = n(t) — n

= [η (0) — η

] e

/ = δη(0) e

/. (64.15)

Таким образом, неравновесное состояние после прекращения внеш-

него воздействия релаксирует с некоторой характерной величиной τ

которая носит название релаксационного времени жизни неравновесных

носителей заряда, или просто времени жизни. Величина x

численно

равна времени, по истечении которого избыточная концентрация

уменьшается в е раз. Легко видеть, что x

представляет собой сред-

нее время существования избыточной концентрации.

Действительно, в интервале времени /, t-\-dl прорекомбини-

рует

—

dn = δη (t) Ц- частиц, «проживших» в течение времени t. Если

сложим все времена (—dn)t прорекомбинировавших частиц и раз-

делим на начальное число избыточных носителей заряда, то получим,

среднее время (t) их жизни:

оо со t

= =

= (64Л6)

Таким образом, величина ту, определяющая релаксационный

процесс и равная обратной величине вероятности рекомбинации одного

носителя заряда в единицу времени и в единице объема, представ-

ляет собой величину, равную среднему времени жизни неравновес- ,

ных носителей заряда, или среднему времени существования избы-

точной концентрации неравновесных частиц. ·

Так как можнЬ нарушить равновесное состояние и для электро-

нов и для дырок, то уравнения (64.16) и (65.15) имеют место одно-

временно для электронов и дырок, при этом времена жизни xf и т?

могут не совпадать. Если скорость изменения избыточной концен-

трации неравновесных носителей заряда пропорциональна их конце*

трации, то рекомбинация носит название линейной. При линейной

рекомбинации переход носителей заряда из свободного состояния

в связанное происходит независимо от наличия избыточных носите-

лей заряда другого знака. Это означает, что не происходит прямого

соединения электрона и дырки.

423

Если происходит прямое соединение неравновесных электрона

и дырки, то в одном акте рекомбинации исчезает как электрон,

так и дырка. Поскольку мы рассматриваем прямую рекомбинацию

электрона и,дырки, скорости изменения концентраций электронов

и дырок равны; кроме того, они должны быть пропорциональны их

произведению, или

Я=у(пр-п

) (64.17)

-§·= —Υ("Ρ-"οΡο)=^-· . (64.18)

Подставляя вместо пир величины η

+ δη и ρ

+ δρ, получим

дп др

~dt ~дГ

дп

др

_ „

оРо

]

= — у [η

δρ + ρ

δη + δηδρ], (64.19)

Пусть отклонение концентрации от равновесной невелико:

δηδρ<^η

δρ + ρ

δη. (64.20)

Предположим, что полупроводник электронный, в таком случае

Ро<% и

= (64.21)

решение уравнения (64.21) имеет вид

δρ (/) = [ρ (0) - р

] е-*"·' = δρ (0) е~ V, (64.22)

где

τ, = —. (64.23)

/ уп

4 7

Из (64.22) видно, что избыточная концентрация неосновных но-

сителей заряда уменьшается (увеличивается при δρ(0)<0) по экспо-

ненте подобно тому, как было в случае линейной рекомбинации.

Это естественно, поскольку уравнение (64.21) совпадает с уравнением

(64.14) при y = (n

Учитывая, что

|L=_

6p(0)e

/, (64.24)

и интегрируя (64.24), получим

δη (t) = γη

δρ (0) + С. (64.25)

Константу интегрирования С определим из начальных условий

δη (0) = уп

бр (0) х, + С = 8р (0), (64.26)

или

С = δη (0) - уп

Ьр (0) τ, = δη (0) - δρ (0). (64.27)

425

Подставляя (64.27) в (64.25), получим

δη (ί) = δρ (0) е

ί + δη (0) - δρ (0). (64.28)

Но так как δη 0 при оо, то δη (0) = δρ (0) и δη (ί) = δρ, т. е.

β случае прямой рекомбинации отклонения от равновесного значения

концентраций электронов и дырок равны и изменяются по экспо-

ненте с некоторым временем жизни τ

= (γη

Есл и избыточная .концентрация велика, так что оп^>(ро, п

), то

|ΐ

δ/ζδρ. (64.29)

Предполагая, что δη = δρ, получим

)

Разделяя переменные, запишем

дЬп

-ydt, - (64.31)

(δη) 2

откуда

или

(

6433

•Таким образом, при квадратичной рекомбинации избыточная

концентрация уменьшается по гиперболическому закону. Если опре-

делить (/), то получим (t) =

· Однако это не означает, что в слу-

чае квадратичной рекомбинации неравновесное состояние существует

сколь угодно долгое время. Гиперболический закон изменения δη

переходит в экспоненциальный через некоторое время, по истечении

которого условие бя^>(р"

, н

) нарушается.

Если считать возможным вводить время жизни в любом случае,

то для квадратичной рекомбинации время жизни зависит от δρ:

Т?—Y(«P)

—W)· ·

(64

34)

где

35)

Величину %f(t) можно назвать мгновенным временем жизни, оно

является функцией избыточной концентрации носителей заряда.

В общем случае можно считать, что изменение концентрации

частиц определяется уравнением

дЦ

о (64.36)

dt τ, »

426

де релаксационное время жизни

= =

(64

37)

Для случая линейной рекомбинации это дает =

Если известна зависимость δn(t), то отношение ординаты кривой

ftn(t) к тангенсу угла наклона касательной в той же точке равно

мгновенному времени жизни. Для линейной рекомбинации r

равно

тангенсу угла наклона касательной к кривой, построенной в коорди-

натах {In δη (0, t}. ,

Рассмотрим уравнение непрерывности в однородном полупровод-

нике в случае, когда в нем существует генерация под действием'

внешнего возбуждения G = g

—

в отсутствие тока:

-G- = G-R. \ (64.38)

Будем считать, что G не зависит от времени. В стационарном

состояни и

G = R. (64.39)

Для линейной рекомбинации R = и

(64.40)

(64.41)

(64.42)

носит"название стационарного времени жизни неравновесных Носите-

лей заряда, оно равно отношению стационарного значения избыточ-

ной концентрации б/г

стац

к скорости генерации G.

Для квадратичной рекомбинации

G = γ (6n

CTau

)

; вл„.

= - (64.43)

и ' __

стац

^ац.

j/"^. (

.44)

Если процесс не стационарный, то

= G — R (64.45)

R = G-|^. (64.46)

427

Ρ /г-

-ftp

ИЛИ

Sfi

= GXf.

Величина .

~ ^я

стац

V~~ G ~~

Записав R в виде R =

П — П

—, можем определить в общем случае

мгновенное время жизни соотношением-

п—п

тис

τ/

τ/ (/) =

G —

~дГ

(64.47)

При dn/dt = 0 из (64.47) следует определение стационар-

ного времени жизни; при G = 0

—

релаксационного времени жизни.

Если τ

есть постоянная величина,

то уравнение (64.45) имеет решение;

запишем

, п — щ Gy — (n — п

)

~ У

(64.48)

δη

Π Π Π Π

d (η—η

)

ИЛИ

ГУГУГУГУ

d (η — Пр)

Рис. 95. Изменение избыточной

концентрации δη со временем

при ее создании прямоуголь-

ными импульсами света

(п — я

) — Gx/

Интегрируя (64.48) с учетом на-

чального условия δη (0) = 0, получим

(п - п

) - GT, = Се~

t/T

f; С = — Gx

δη (t) = Gx

(1 - e"~

ί/τ

ί). (64.49)

Если при t^>Xf выключить возбуждение, то

δη

(it)

= δη(0) e~

i/T

f = G%fT

(64.50)

На рис. 95 приведена зависимость δn(t) при периодическом воз-

буждении полупроводника импульсами света G в предположении,

что длительность освещения и затемнения

В случае квадратичной рекомбинации уравнение непрерывности

имеет вид

Разделим переменные

d(ti — п

)

откуда

то

= dt,

, Г d (η — п

) .

G—γ (/г— /г

ι —"о)

(64.52)

(64.53)

Интеграл вычисляется следующим образом: определив корни зна-

менателя

G —

γ (δη)

= 0;

δ Пл

(64.54)

428

разложим подынтегральное выражение на множители:

1 / А , В

— γ

(6/1)2

(δn

-δn)(δn

+ δn)y 7 у [δ^

— δη

б^ + бл /

(64.55)

1 δ/ΐι(Λ+β) + δ/ι(Λ—£)

ν (δ/ΐχ —

δη) (6λζ!

δ/г)

откуда

1 1

> = (64.56)

Учитывая (64.56) и (64.55), получим для (64.53)

(64

57)

Из условия

б/г

(0) = 0 следует С = 0, или

δ/Ζ!

+ δ/г __ VQyt

(б4#58)

δπχ — δη ' •

откуда

2/Gyt ι ,

δ/г

(0 = δ/ΐχ

, = УЩ th VGy t. (64.59)

Таким образом, при квадратичной рекомбинации нарастание

избыточной концентрации определяется гиперболической тангенсоидой.

При малых временах имеем

Оу

6n(t)^VG/yVG^t = Gt. (64.60)

При больших временах

имеем

(64.61)

Если возбуждение выключается в некоторый момент времени

в стационарном состоянии, то спад происходит по гиперболическому

закону

б/1(0=

бп(

}

- =

'l- . (64.62)

+ VGyt \+\iGyt

Чем меньше γ, тем быстрее происходит рост избыточной концент-

рации при включении возбуждения и тем медленнее происходит спад

при его выключении.

Резюме §64

1. Если состояние отлично от термодинамически равновесного,

то оно называется неравновесным, а носители заряда

—

неравновес-

ными. Неравновесное состояние может быть вызвано перераспреде-

лением частиц в зоне Бриллюэна при сохранении концентрации

429

частиц. Оно наблюдается, например, при прохождении электричес-

кого тока через однородный полупроводник. Второй тип неравновес-

ных состояний наблюдается в том случае, когда концентрация час-

тиц изменяется в результате действия внешних или внутренних

факторов. Концентрация частиц (электронов или дырок) называется

в этом случае неравновесной, а разность

η (г, t) - п

(г) = δη (г, ί) (64.1 ρ)

— избыточной концентрацией. Говоря о неравновесных состояниях,

в физике полупроводников и полупроводниковых приборов обычно

имеют в виду случай, когда δη (г, 0^0. Переход к равновесному

состоянию в первом случае происходит с некоторым характеристи-

ческим временем τ, называемым временем релаксации, которое было

использовано при описании кинетических эффектов. Во втором слу-

чае эта характеристическая величина называется временем жизни

и обозначается через τ^ (часто используется обозначение времени

жизни в виде τ, что, как правило, не приводит к недоразумениям).

Смысл понятия времени жизни зависит от условий, в которых

находится полупроводник.

2. Для описания неравновесного состояния может быть использо-

вано уравнение непрерывности в виде'

дп i

•gf = — divf + g

+ g

-r

, (64.2р)

где η (г, t)

—

концентрация частиц, }/е

—

плотность их потока, g>,

—

скорости генерации, а r

—

скорости рекомбинации частиц

в результате действия внутренних (g

/7) и внешних (g

) факто-

ров. Вместо четырех величин r

можно использовать

две —R и G:

R =

-£/; G = (64. Зр)

при этом для R используется название скорости рекомбинации,

а для G —скорости генерации. Уравнение непрерывности может быть

записано в виде

^^ — ίϋν-^ + α-Κ. (64.4р)

, 3. Мгновенным временем жизни т^ называют величину, определяе-

мую отношением избыточной концентрации к скорости рекомбинации

в отсутствие тока:

(64.5р)

(64.6р)

или

δη

т,=

п — п

G —

дп_

430