Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Положение уровня энергии E

указано с плюсом, если E

отсчитывается от Ε

, и с минусом, если E

отсчитывается от Е

Для сравнения приведена вероятность захвата электронов атомом

галлия.

Резюме § 65

1. Дефект, способный захватывать свободные носители заряда

с последующим их освобождением, называется ловушкой захвата.

2. Дефект, способный захватывать последовательно электрон и

дырку, что приводит к рекомбинации пары свободных носителей

заряда, называется рекомбинационной ловушкой.

3. Теория рекомбинации электронов и дырок через рекомбина-

ционные ловушки приводит к следующему выражению для времени

жизни пары τ = x

которое описывает зависимость времени жизни пары:

а) от величины избыточной концентрации неравновесных носи-

телей заряда δη = δρ (от уровня инжекции); б) от равновесной кон-

центрации носителей заряда п

, р

; в) от положения уровня энер-

гии E

рекомбинационной ловушки (посредством п

и р

); г) от

концентрации дефектов N

и вероятности захвата (с

) и <с

)

опре-

деляющих время захвата τ

η0

и τ

ρ0

4. При малом уровне инжекции в области примесной проводи-

мости время жизни пары определяется временем захвата неоснов-

ных носителей заряда. По мере перемещения уровня Ферми к сере-

дине запрещенной зоны время жизни пары возрастает.

5. Для описания неравновесных состояний может быть исполь-

зована функция Ферми

—

Дирака, параметры которой должны быть

изменены. Если верхние уровни заселены больше, чем нижние, то

температуру системы неравновесных частиц необходимо считать вели-

чиной отрицательной: Г< 0. Такие системы называются системами

с инверсной населенностью уровней, или системами с отрицательной

температурой; они используются для создания квантовых генерато-

ров и усилителей.

Если распределение неравновесных частиц по уровням энергии

нормальное, то такая система описывается квазиуровнем Ферми У

определяемым из условия нормировки неравновесной функции рас-

пределения на неравновесную концентрацию η:

η=ΆΦι (ξ*). (65.2ρ)

Κπ 2

Для невырожденных полупроводников положение квазиуровня

Ферми можно определить из уравнений для электронов

nz=NcQ

-^kT

. F% = E

^kT\n^-, (65. Зр)

441.

для дырок

p = N

;

—

. (65.4p)

Расстояние между , квазиуровнями электронов и дырок опреде-

ляется уровнем инжекции:

F% —

Fp = kT In — = £7 ln^. (65.5р)

Для вырожденных полупроводников связь между неравновесной

концентрацией и квазиуровнем Ферми можно получить, учитывая,

что

ΦΙ/2(Γ) = 4^

3/2

§ 66. ДИФФУЗИЯ И ДРЕЙФ НЕРАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

Если в полупроводниках создать неравновесные носители заряда,

то в них наблюдается целый ряд новых физических явлений. Они

могут быть описаны на основе обобщенного кинетического уравнения

Больцмана или с помощью вытекающего из него уравнения непре-

рывности:

|=-div| + G-R. ·' (66.1)

Рассмотрим стационарное состояние в отсутствие генерации носи-

телей заряда за. счет внешней энергии, т. е. положим dn/dt = О,

(3 = 0, после чего уравнение <66.1) запишем в виде

. ydivj + R = 0. (66.2)

Из уравнения (66.2) следует, что при R^=0 неравновесная кон-

центрация носителей заряда поддерживается током j. Другими сло-

вами, уменьшение избыточной концентрации носителей заряда вслед-

ствие рекомбинации компенсируется расходимостью тока.

Для величины плотности тока j мы можем воспользоваться

общим выражением (38.1 р), считая, что кинетические коэффициенты

выражаются через неравновесную концентрацию η и усредненное

время релаксации для неравновесных носителей заряда. Будем

считать, что магнитное поле отсутствует (В = 0), полупроводник

находится в изотермических условиях (V7

= 0). В таком случае из

(38.1р) запишем

j =

/СЦЕ —

VF*. (66.3)

Необходимость сохранения члена

—

eKnVF* очевидна, если

учесть, что он описывает ток, обусловленный неоднородностью полу;

проводника. В данном случае неоднородность вызывается возможной

442.

зависимостью неравновесной концентрации носителей заряда от коор-

динаты. Перепишем уравнение (66.3), учитывая выражения для /Си·'

j=e

пЩ-Е-епЩ V/

* = σΕ - ημ^*. (66.4)

• ''^ 171

Из (65.3р) можем записать для невырожденного полупроводника

VF*=kT~, (66.5)

откуда

j = dE-^Vtt==jE + b, (66.6)

где. jE = aE представляет собой омический, или дрейфовый, ток, а

= —A7>

V/i (66.7)

носит название диффузионного тока. Последнее название связано с тем,

что ток j о возникает вследствие диффузии носителей заряда при их

неравномерном распределении в кристалле. Поток частиц должен

быть пропорционален градиенту "концентрации и направлен в сто-

рону уменьшения концентрации частиц. Умножая поток частиц на

их заряд и вводя коэффициент пропорциональности D, можем запи-

сать

]d = — eDln. (66.8)

Величину D называют коэффициентом диффузии, он имеет раз-

мерность [L

], как это видно из его определения соотношением

(66.8). Сравнивая (66.8) с (66.7), получим связь между коэффи-

циентом диффузии и подвижностью носителей заряда

0 = (66.9)

— выражение, справедливое как для дырок, так и для электронов.

Выражение (66.9) называется соотношением Эйнштейна для подвиж-

ности и коэффициента диффузии. Подобное же соотношение можно

получить и для вырожденного полупроводника. Действительно, учи-

тывая связь между я и Ζ

*, получим

-Ι'·?'··'· «*·'°>

откуда

Подставим уравнение (66.6) для j в (66.2), получим

-idiv(aE-eDVn) =0, (66.12)

или

ημ

div Ε (EVn) - DV

n + = o. (66.13)

443.

Выражение (66.13) может быть записано как для дырок, так и

для электронов, при этом величина электрического поля, входя-

щего в уравнение (66.13) для электронов и дырок, не зависит от

знака заряда частиц. Поскольку при прохождении тока электро-

нейтральность не нарушается, то на основании уравнения Пуас-

сона можем записать

divE = 0, (66.14)

после чего уравнение (66.13) примет вид

= - (65.15)

Так как неравновесная концентрация поддерживается током, то

Vn должен быть коллинеарен Е. Рассмотрим одномерный случай,

положив Е = (Е, 0, 0),_и запишем уравнение (66.15) для избыточной

концентрации п

—

d*(n—n

) μ

Ε d (η—η

) η—η

0 Λ

—Ш D Τχ

Dx~

(

66Л6

)

Введем обозначения

Dx = L

Ε μ

Ετ l

В новых обозначениях уравнение (66.16) будет иметь вид

(η /г

) · l

d(n-n

) п

— п

L? dx ΰ~

(

66Л8

)

Ищем решение линейного однородного уравнения в виде

—

= Ае

ах

. (66; 19)

Подставив (66.20) в (66.19), после сокращения на Ае

ах

получим

характеристическое уравнение

= \ (66.20)

решение которого имеет вид

Введем величину

= — 1 /а, с помощью которой запишем решение

(66.19):

я-По^е-*/'. (66.22)

Чтобы решение было конечным при необходимо выбрать

а < 0 или

> 0, А имеет смысл избыточной концентрации в точке

444.

χ = 0: [я

—

= А. Из условия а<О следует, что в (66.21)

необходимо оставить знак минус перед корнем, поэтому .

τ = t(V

+^-W)· <

Мы пришли к выводу, что избыточная концентрация с ростом χ

уменьшается по экспоненте с некоторой характеристической вели-

чиной I, которую называют длиной затягивания; она равна расстоя-

нию, на котором избыточная концентрация уменьшается в е раз.

Рассмотрим случай, когда электрического поля нет: Ε = 0. В

таком случае /

= 0 и .

= L^V

Px. (66.24)

В вещестре нет электрического поля, в нем течет лишь диффу-

зионный ток

j = j

= — eDVn. (66.25)

Так как избыточная концентрация изменяется только в резуль-

тате диффузии неравновесных носителей заряда, то l = L называется

диффузионной длиной. Для одномерного случая

(χ)

- п

= δη

(χ)

= δη

(0)

(66.26)

и ' .

j = — = = = (66.27)

Обозначим отношение L/τ через v

°~ Τ

Т?

Τ"' (

Величину Vd называют диффузионной скоростью, она равна чис-

ленно скорости, с которой неравновесные носители заряда проходят

путь, равный диффузионной длине, за время их жизни. Плотность

диффузионного тока можно выразить через диффузионную скорость:

jDx=eu

(n-n

) = j

. (66.29)

Выражение (66.29) показывает, что плотность диффузионного

тока уменьшается по тому же закону, по которому изменяется

избыточная концентрация, уменьшение которой обусловлено реком-

бинацией неравновесных носителей заряда. Выражения (66.24

—

29)

будут справедливы не только при Е = 0, но и при Е^О, если

IE<2L. .

Рассмотрим противоположный случай

—

случай больших полей:

/|^>4/А Это условие имеет наглядный смысл:

4^2 =

Щ>

' (

30)

445.

Величина I Ε численно равна пути, который проходят неравновес-

ные частицы за время жизни со скоростью дрейфа

поэтому ее назы-

вают длиной дрейфа неравновесных носителей заряда. Таким образом,

поле Ε будем считать большим, если длина дрейфа намного превос-

ходит диффузионную длину. Однако при нахождении длины затяги-

вания I надо различать два случая /Е>0 И /Е<0. Рассмотрим

случай /

> 0, из (66.23) можем записать

-Ι^ΐΛ 4-iii'-AUMl-l·- —+

I ~~ L \2L V

2L) 2L

т. е.

—

длина затягивания равна длине дрейфа:

= μ^Ετ = ν

τ (/

> 0).

'г» <

)

(66.32)

Учитывая (66.22) и (66.32), запишем для избыточной концентра-

ции δ/ζ (л:): ч

бл(*) = бл(0)е

/Е

=бп(0)е

\ (66.33)

Смысл этого выражения состоит в следующем. Если в начале

координат создается избыточная концентрация δη(0), то в результате

прохождения тока, вызываемого сильным электрическим полем, избы-

точная концентрация «затягивается» полем на расстояния (2-5-3)/Е

в объем полупроводника. Если при этом δη(0)>0, то объем обога-

щается неравновесными носителями зарядов; это явление называется

инжекцией неравновесных носителей заряда. Инжекция дырок в

точки χ > 0 из точки χ = 0 наблюдается

при Е>0, инжекция электронов

—

при

Е<0. Если избыточная концентрация

отрицательна

—

бя(0) < 0

—

, то объем

обедняется носителями заряда, это яв-

ление называется экстракцией.,

Рассмотрим случай /

<0, (|/Е|>0)·

Для длины затягивания I из (66.23)

получим

1 _ 4<EI

_I'E|. ,JL

Г66 34)

Рис. 98. Распределение избы-

точной концентрации дырок в

случае инжекции, эксклюзии,

экстракции и аккумуляции

т. е. с ростом поля (по модулю) длина

затягивания стремится к нулю. При

δη(0) > 0 происходит уменьшение, а при

блг(0) < 0 — увеличение концентрации в объеме полупроводника по

сравнению со случаем Е = 0; первый случай называют эксклюзией,

второй

—

аккумуляцией (неравновесных) носителей заряда.

На рис., 98 приведено распределение р

—

в зависимости от

направления поля и величины δρ(0). (Необходимо заметить, что

в некоторых статьях эксклюзией часто называют явление, названное

выше экстракцией, и наоборот.)

446.

Говоря об изменении избыточной концентрации носителей за-

ряда, мы не связывали его с видом частиц. Более того, условием

divE = 0 мы по существу предположили, что избыточные концен-

трации электронов и дырок меняются одинаковым образом. Чтобы

доказать это, рассмотрим полупроводник, в котором каким-либо

образом создан объемный заряд с плотностью ρ (г, 0). Введенный

заряд порождает электрическое поле Ε (г, /), которое связано с

Ρ (

> 0 уравнением Пуассона:

divE=£. (66.35)

εε

Электрическое поле Ε вызывает ток проводимости ]'Е=ОЕ. Из

уравнения непрерывности

- |=-divj (66.36)

следует

' — = — divaE = — σ div Е = —— = (66.37)

dt εε

где через τ

обозначена величина, имеющая размерность времени:

(66.38)

Уравнение (66.37) решается элементарно:

ρ (г, ί) = ρ (г, 0) е

τΜ

. ' (66.39)

Оценим величину τ

, положив ε =10 и σ= 10 Сим-м

-1

и учи-

тывая, что ε

= 10

/4яс

= 8,85416· 10~

Ф/м, получим т^^10-

с.

Величину τ

называют временем релаксации Максвелла, она опреде-

ляется удельной электрической проводимостью вещества. Таким

образом, в результате проводимости объемный заряд, введенный в

полупроводник, существует в среднем в течение времени τ

. Но

отсюда вытекает важнейший для понимания многих вопросов физики

полупроводников и полупроводниковых приборов, связанных с нерав-

новесными носителями заряда, вывод: если создать в полупроводнике

избыточную концентрацию основных носителей заряда, то объемный

заряд и избыточная проводимость исчезнут в среднем через т

; но

если создать избыточную концентрацию неосновных носителей заряда,

то благодаря релаксации Максвелла их объемный заряд будет ском-

пенсирован основными носителями заряда через τ

, а избыточная

концентрация неосновных и основных носителей заряда будет сущест-

вовать в течение времени жизни jf неравновесных носителей заряда.

Таким образом, неосновные и основные неравновесные носители

заряда играют принципиально различную роль в изменении физи-

ческих свойств полупроводника, поэтому обычно говорят об инжек-

ции или экстракции только неосновных носителей заряда.

447.

Неизменность первоначального распределения объемного заряда

с течением времени, вытекающая из уравнения (66.39), возникает

потому, что мы учли только ток проводимости. В действительности

же будет иметь место диффузия заряда, поэтому объемный заряд

вследствие диффузии меняет свое распределение в кристалле.

Резюме §66 —

1. Рассасывание (или компенсация)-объемного заряда вследствие

проврдимости называется релаксацией Максвелла. Время релакса-

ции Максвелла определяется проводимостью вещества

в СИ в системе Гаусса

66Л

р)

2. Избыточная концентрация основных носителей заряда рас-

сасывается через τ

; избыточная концентрация неосновных носите-

лей заряда исчезает вместе с вызываемой ею избыточной концентра-

цией основных носителей заряда через время жизни т^.

3. Изменение концентрации неравновесных неосновных носи-

телей заряда в стационарных условиях в отсутствие генерации

носителей заряда за счет энергии, попадающей извне, описывается

уравнением

±divj+^ = 0. (66.2р)

4. Ток в изотермических условиях и при В = 0 имеет вид

j = е

КцЕ - eKn^F* = j

+ Ь, (бб.Зр)

где

= е

КцЕ = βημ

Ε (66.4р)

есть ток проводимости, а

)

= — ημ^ν/

* = — еКи V/

* = — eDVn (66.5р)

есть диффузионный ток.

5. Коэффициент диффузии D и подвижность носителей заряда

связаны соотношением Эйнштейна:

= ~

μάη\

p = r № ι(66.6ρ)

t>n Cp

«=P

V«n>

P = lS;V<iP (66.7p)

соответственно для. невырожденного и вырожденного полупровод-

ников. ,

447.

6. Избыточная концентрация' неосновных носителей заряда в

одномерном случае определяется уравнением

х_

δη(χ) = δη( 0)е

\ (66.8р)

где / называется длиной затягивания; она связана с диффузионной

длиной L = YDxj и длиной дрейфа /Е =μ

/Ετ

соотношением (66.23).

В слабом электрическом поле распределение, избыточной концентра-

ции неосновных носителей заряда определяется диффузией, в силь-

ном

—

дрейфом.

§ 67. ПОВЕРХНОСТНАЯ РЕКОМБИНАЦИЯ

На поверхности полупроводника содержится ряд дефектов, игра-

ющих роль рекомбинационных ловушек, что приводит к поверхност-

ной рекомбинации, уменьшающей концентрацию неравновесных

носителей заряда в приповерхностном слое полупроводника. Если

поверхность одного и того же полупроводника обработать различ-

ным образом, Например, шли-

фовкой, полировкой, травле-

нием, нанесением поверхност-

ного покрытия, то время

жизни, измеренное экспери-

ментально, будет различным,

оно зависит от способа обра-

ботки поверхности. Наличие

поверхностной рекомбинации

можно наблюдать визуально

или с помощью электронно-

оптического преобразователя.

На рис. 99 приведена фото-

графия диода из арсенида

галлия, в котором инжекция р

ис<9

9. Свечение на поверхности диода из

создается большими импуль- арсенида галлия вследствие поверхностной

сами тока. Из рис. 99 видно, рекомбинации

что приповерхностные слои

образца светятся, в то время как объем остается темным (за исклю-

чением р-я-перехода, где возникает стимулированная рекомбинация).

Поверхностная рекомбинация обычно характеризуется так называв-

мой скоростью поверхностной рекомбинации s, которую можно

ввести следующим образом.

Запишем уравнение непрерывности в виде

£-_±divj-»-=b + a, (67.1)

которое мы решали выше в одномерном случае в предположении

неограниченности полупроводника вдоль осей у и ζ и G = 0. Учтем

15 Кирееа

449

наличие границ у полупроводника. Внешнее электрическое поле,

направленное вдоль оси образца (осьх), обеспечивает инжекцию

неосновных носителей заряда. Чтобы упростить уравнение (67.1),

будем считать, что электрическое поле отсутствует: Е = 0, а избы-

точная концентрация создается некоторым источником, дающим

независящую от координаты скорость генерации носителей заряда G.

В этом случае электрическое поле всюду будет равно нулю. Если

рассмотреть неограниченную вдоль оси у (и х) пластину, то урав-

нение непрерывности снова будет одномерным. Так как на поверх-

ности образца существует рекомбинация, то концентрация избыточ-

ных носителей заряда у поверхности должна быть меньше, чем в

объеме, вдали от поверхности. Наличие градиента концентрации

неравновесных носителей заряда должно создать диффузионный

поток, направленный из объема полупроводника к его поверхности.

Величина тока будет тем больше, чем больше происходит ' актов

рекомбинации и чем ближе к поверхности находится элемент объема,

в котором мы рассматриваем ток. Ток должен обращаться в нуль

на поверхности. Пусть величина рекомбинационного тока на поверх-

ности равна Уравнение непрерывности (67.1) в стационарных

условиях может быть записано в виде

0 = —idivj—^ + ' (67.2)

Подставляя вместо j величину —eDl

n> получим

или

+ (67.4)

Общее решение однородного уравнения имеет вид

ζ ζ

бп(г) = п(г)-п

= Ле~

+£е

. ' (

Частное решение неоднородного уравнения (67.3) можно выбрать

следующим образом:

δη = Gr

. (67.6)

Общее решение неоднородного уравнения равно их сумме:

δη (ζ) = Gx,[l - Л V ^ - В'е\|, (

)

где

450.