Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Величины А' и В' находятся из граничных условий

δη (d) = 1 - А'е~ ^ - В'е^], (

)

где d

—

толщина пластины. Выразим граничные условия через ток

j* (0) и j

(d). Поскольку

il = ~

eDd

iz = - еЖт^Г

- £е

], (67.10)

то H(0) = -eGL(A'-B'), (67.11)

jl(d) = — eQL{A'f^-B'e^). (67.12)

Из (67.11) и (67.12) можно получить выражения для А' и В':

А·- -Й«•>·*+«», (67.13)

2eLGsh-£-

,_-g

.-T+

)

..w

(6714)

2eLG sh

Рекомбинационный поверхностный ток можно выразить через

избыточную концентрацию носителей заряда на поверхности δn

= e8n

s, (67.15)

где s

—

коэффициент пропорциональности, связывающий ток j

с избыточной концентрацией. Очевидно, что размерность s есть раз-

мерность скорости: [s] = LT~

. Величина s получила, название ско-

рости поверхностной рекомбинации. Можно выразить коэффициенты

А'и В' через скорости рекомбинации Si(2 = 0) и s

(z = d). Для этого

необходимо выразить δ η из (67.9—11) и (67.15):

δη (0) = Gx

[1 - А' - В'] = ш = _

[А

' _ В'], (67.16)

δη {d) = GT, [l - А'е~ ^ - В'еЦ = ^ =

= - -Б'е^"]. (67.17)

15* 451

Решая систему уравнений (67.16, 17), получим выражение для

А' и В':

Л':

(

—^Ь)

+ 2v

D (h~h)

(67.18)

В'-·

D-h)

e L

D-h)

(

χ +

D (h-h)

(67.19 )

В выражении (67.18, 19) v

= L/r

—

диффузионная скорость. Вели-

чины s

и s

имеют разный знак; поскольку направление тока к пло-

скости z = d положительно, а к плоскости ζ = 0

—

отрицательно,

будем считать S!<0; s

> 0.

Рассмотрим распределение δ η (ζ) при разных значениях

Si и s

1. Поверхностная рекомбинация отсутствует:

si = s

= 0. Из (67.18, 19), видно, что А' = В' и δη(ζ) = Gx

т. е.

δη не зависит от координаты.

2. Бесконечная скорость поверхностной реком-

бинации:

= s

= oo. Физически это означает, что избыточная

концентрация носителей заряда, приходящих на поверхность, обра-

щается в нуль вследствие рекомбинации. Из (67.18, 19) следует

А'

—

В'·

(67.20)

δη (ζ) = Gx

. 2 , , d—z

+sh

(67.21)

Из (67.21) следует, что δη (0) = δη (d) = 0.

3. Аналогично можно исследовать и другие случаи, например,

при Si = 0 и s

= со:

2ch

(67.22)

δη (ζ) = Gx

u d

(67.23)

452.

При z = d избыточная концентрация обращается в нуль —

δη (d) = 0,

—

поскольку s

= oo. В точке z =

δη (0) = GT^

ι,

При малой диффузионной длине и большой

если d сравнимо с L, то 6/z<Gt/, по-

скольку большая скорость рекомбинации

иа плоскости ζ = d приводит к силь-

ному обеднению объема полупроводника.

В общем случае обеднение должно наблю-

даться на расстоянии порядка диффу-

зионной длины от поверхности. На

рис. 100 приведено распределение δη (ζ)

для случая d = 4L при разных значениях

и при s

= oo.

В германии наблюдались скорости по-

верхностной рекомбинации от 50 до

см/с и более.

Необходимо заметить, что ток, вызван-

ный поверхностной рекомбинацией, не

приводит к появлению электрических по-

лей, поскольку при этом электронейтраль-

ность не нарушается.

Иногда для характеристики роли по-

верхностной рекомбинации вводят понятие

эффективного времени жизни τ^, которое

толщине δη (0) = Gx

. Но

ф·

Рис. 100. Влияние скорости

поверхностной рекомбинации

на избыточную концентра-

цию неосновных носителей

заряда: а) s

= 0; б)

= v

;

)

во всех

случаях

= oo, толщина образца 4L

определяется условием

(67.24)

где

—

время жизни в объеме полупроводника,

τ| —

на поверхности

полупроводника. . *

Глава VII

КОНТАКТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ

§ 68. ДЕБАЕВА ДЛИНА ЭКРАНИРОВАНИЯ

При приведении в контакт двух веществ между ними возникает

обмен носителями заряда, что приводит к изменению свойств полу-

проводника не. только на контактной поверхности, но и в объеме.

Практическое использование полупроводников и исследование

многих физических явлений в них неизбежно связано с включением

полупроводника в определенную цепь, со-

стоящую из различных веществ. Для по-

нимания многих явлений, обусловленных

наличием контакта, необходимо рассмот-

реть изменения свойств полупроводника,

внесенного в электрическое поле.

Рассмотрим полупроводник, внесенный

для простоты в однородное электрическое

поле конденсатора (рис.101). Оно приведет

к перераспределению носителей заряда

в полупроводнике, в результате чего в. нем возникнет объемный

заряд ρ (г) и электрическое поле Е, связанное с объемным зарядом

уравнением Пуассона

(ϋν'εε

Ε (г) =

(г). (68.1)

Если выразить поле Ε через потенциал, то уравнение Пуассона

(68.1) будет иметь вид

νι

φ(

) = —1^· (68.2)

-Потенциальная энергия электрона V(r) связана с φ (г): F(r) =

= εφ (г). Но, как было показано в § 19, потенциальное электрическое

поле V(r) искривляет зоны энергии таким образом, что Е(г)=Е +

+ V (г), или

(r) = E

+V(r). (68.3)

Смещение испытывают все уровни энергии, в том числе и ди-

скретные,- лежащие в запрещенной зоне. Но если полупроводник

находится в состоянии термодинамического равновесия, то уровень

Ферми в нем постоянен, следовательно, расстояние между ним и

зонами энергии меняется:

454.

Рис. 101. Полупроводник в

однородном электрическом

поле

без поля

-F\ F

—

; (68.4)

с полем

+ V (г) - F; F- [E

+ V (г)]. (68.5)

Сравнивая (68.5) с (68.4), видим, что если расстояние между F и

увеличивается на V(r), то между F и E

уменьшается на ту же

величину, и наоборот. Поскольку меняется расстояние между F

и уровнями энергии, то меняется и распределение частиц по уров-

ням энергии.

Согласно (30.5), уравнение электронейтральности имеет вид

я + я

-р-р

= М

-ЛГ

. (68.6)

Поле V(r) меняет входящие в (68.6) величины по-разному, что и

приводит к появлению объемного заряда:

р(г)=£?(бп +

бЯд —

δρ

—

бр

) (е = е

). (68.7)

Если ' обозначить равновесные значения концентрации частиц с

индексом 0, а при наложении поля —без индекса 0, то

δ/г

/г

(г)

— п

бр = р(г) —р

;

б/г

лг

(г) —

/г

д0

;

SPa = Pa(r)-PaO. (68.8)

Для невырожденного полупроводника имеем

(г)

— F E

-F V (г) V (г)

Я (г)

, (68.9)

Vjr)

p(r) = Po*

, (68.10)

Яд 00 = E.+ vj^F - ; Pa (r) =

v(r)

• (68.11)

^ +1 je ^ +1

Умножая (68.2) на,заряд электрона е = е

и учитывая (68.7—11),

получим уравнение для V (г):

w (г) = - ^ = _ Δ. (δη + δη, - δρ - δρ

) =

• = - ΐ)] + (δ^-δρ

)}. (68.12)

Выражения для δη

и δр

имеют сложный вид, поэтому мы сохра-

нили краткую форму записи.

Первый интеграл уравнения (68.12) находится стандартным спо-

собом: умножим (68.12) на VV(r), после чего левая часть уравнения

примет вид

[VK (г)] V

(г) = |

V [V V

(г)]

. (68.13)

455.

Выражение, стоящее в квадратных скобках (68.12), можно пре-

образовать следующим образом:

- 1) -

Ро

(е^^ - 1)]

(г)

{- -V (

)) -

Ро

W-V (г))]}. (68.14)

Предположим, что аналогично можно подобрать некоторую функ-

цию Ω (г) таким образом, что

(6n

-6p

)VF(r) = VQ(r). (68.15)

В таком случае первый интеграл уравнения (68.12) можно

записать в виде

«г,,_{ш: [4" Ψ+ф)

+Р

(& - j^)] -

-|йщ

)+с}

. (68.16)

Константа интегрирования С определится из граничных условий

для V и VI/. Дальнейшее решение уравнения (68.16) в общем виде

практически невозможно, в связи с чем перейдем к рассмотрению

некоторых частных случаев. .

1. Собственный полупроводник. В собственном полу-

проводнике = N

= 0, поэтому бяд =

б/?

= 0, кроме того, п

= р

— я,·, и уравнение (68.16) принимает вид

νV (г)

= l^EfH^L

+ е

~ ^ + (68.17)

г εε

Если за начало отсчета V принять потенциальную энергию

в точках, в которых поле равно нулю, то из условия VV=V = 0

следует

= [2 + С]

1/2

; С = —2 (68.18)

Ограничимся одномерным случаем

Разделив в (68.20) переменные, получим

456.

Интеграл в (68.21) вычисляется следующим образом:

\ Γ~Ι= f Г^

f ~~r

= Inth

T· (68-22)

3«Ь6 3

shlchl J shf J th|

chf

ch2

поэтому для (68.21) имеем

(68

23)

Введем обозначение

εε

называют дебаевой длиной экранирования. Так как гиперболи-

ческий тангенс не превосходит единицы, а x>0, то при χ необхо-

димо сохранить только знак минус:

— *+Ci = L

In th-^г. (68.25)

Величина С

определится из условия на поверхности: V (0) = V

при

л:

= 0, следовательно,

= L^lnth^ (Ci< 0). (68.26)

Выразим th-^^r через учитывая (68.25):

ι — χ

(68

27)

4kT ~~

Решая уравнение (68.27) относительно V (χ), получим

/ *

Ci — χ

—

77Г У '

' ~1D~ \ / 1+e

th^-

1/ (X)

= 2kT In

1+e

= 2kT In

AkT

J: (68.28)

Уравнение (68.28) описывает смещение зон энергии как функцию

координаты χ и Мы видим, что величина смещения монотонно

меняется от V

при

л:

= 0донуля при х->оо. Учитывая, что гипер-

болический тангенс не превосходит единицы, упростим выражение

для V (х) в случае малых и больших х. При x^(2-t

3)L

экспо-

нента будет много меньше единицы, в результате чего можем записать,

пользуясь соотношением 1η(1+ξ)^|:

—

V (х) ^2kT-2th^r е l

= 4kT th ^ е

. (68.29)

457.

Если ТО выражение (68.29) будет справедливо при лю-

бом χ:

V(x) = V

. (68.30)

Рассмотрим случай малых χ. Чтобы разложить выражение (68.28)

в ряд по*в точке

лг

= 0, найдем dV/dx и d

V/dx

. Опуская простые,

но громоздкие вычисления, запишем

х__

dV(x)_ AkT . У, е

ПГ

;

3Ι

l-th'-^-e

2x \ χ

Vs f.^JV. Ll>L~LO

4kTth

^ \

l+th2

d** jD

/ ' * '

Полагая * = 0, получим

RFV (Л:)

4fer

th ^

2fer

-h

D th

4kT

^·

4 kT

(68.33)

Ограничиваясь случаем малых χ, запишем

• «**>

Такий образом, при x<^L

потенциальная энергия V (х) изме-

няется по линейному закону, который при х>L

переходит в экспо-

ненциальный. Изменение V(x) при больших V

^>kT) происходит

в области толщиной порядка L

Напряженность электрического поля Ε (л:) определяется из соот-

ношения (68.31):

Ε (*) = -1

ш . (68.35)

* dx eh

4 kT

2x v 7

4 kT

На поверхности x=0 в соответствии с (68.33)

w S

2 kT

458.

Плотность объемного заряда р(х) определим из (68.2) и (68.32)

(Х):

εε

ФУ (χ)

е dx

4eeokT th

-Μ

4kT

1+tha

4 kT

г ?

(68.37)

Вычислим объемную плотность заряда p

на поверхности полу-

проводника:

р5

(0)

Учитывая, что •

4εε„ kT

(

— th

2 s

4 kT)

thg(l+th^) _ 1

—th2

ξ)2

— 4

й11

и подставляя вместо L

его выражение (68.24), получим

= —2ещ sh -Γψ= etii \e

—e

(68.38)

(68.39)

(68.40)

Выражение (68.40) можно получить непосредственно из (68.7)

с учетом (68.9—10). Мы видим, что знак объемной плотности заряда

на поверхности полупроводника p

зависит от знака V

. При V

(зоны энергии смещаются вверх) р

>0, при ^<0 и p

<0. Вели-

чина |р

| от знака V

не зависит.

Полученный результат означает, что у поверхности полупровод-

ника образуется объемный заряд в результате того, что концентра-

ция электронов (V

<0) или дырок (Vs>0) возрастает. Толщина

области объемного заряда невелика, поскольку при малых χ функция

V (*) пропорциональна х, поэтому ρ (χ) уже при малых χ уменьшается

по экспоненте, при больших χ плотность заряда р(*) уменьшается

еще быстрее с ростом х. В связи с тем, что концентрация носите-

лей заряда у поверхности может значительно превосходить концент-

рацию частиц в объеме

YJL

(68.41)

то проводимость поверхностных слоев может резко возрасти. Это

явление называется эффектом поля. Рост концентрации носителей

заряда в приповерхностных слоях может быть обусловлен не только

внешним полем. Как мы видели в §22, на поверхности полупровод-

ника существует значительное число поверхностных состояний,

уровни энергии которых могут находиться в запрещенной зоне.

459.

Поверхностные состояния могут захватить свободные носители за-

ряда—электроны или дырки, в результате чего на поверхности

полупроводника создается поверхностный заряд, вызывающий элект-

рическое поле, которое окажет такое же действие на свойства

в объеме,

электричес-

-e

полупроводника

как и внешнее

кое поле. На рис. 102 пред-

ставлена зависимость V, Ε и

ρ от х.

. 2. Примесный полу-

проводник. Рассмотрим

полупроводник, содержащий,

например, донорную примесь,

при температурах, когда при-

месь остается полностью иони-

зованной:

ηο

Ν+

= Ν

(68.42)

Пренебрегая изменением

степени ионизации примеси,

получим согласно (68.16)

)2e

kTn

εε

' kT

+ ^ +

Рис. 102. Искривление зон энергии во

внешнем поле; объёмный заряд и

поле в полупроводнике

(68.43)

Определив постоянную интегрирования тем же условием: V = 0

при V

V = 0, получим

(χ)

l+l+C.O; C = -(l+|)

(68.44)

(68.45)

Если полупроводник легирован достаточно сильно, то

Например, для германия, содержащего примесь Л^

=10

при

д2

Гя^ЗООК — ^ Ю

-6

. Пренебрегая величиной —

по сравнению с еди-

460.