Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

ницей, получим для (68.45):

dV(x) "\2еЧТп

dx \ εε

V , ta V-ni/8

+ l+_Le»

[ .

Ni JJ

При V<^kT уравнение (68.46) еще упрощается

(χ)

n}\

l/2

JL Ι

ϊ ^

1/1

j?eViTn

ft|V

dx . I εε

' \Νπ kT

(68.46)

(68.47)

v, (*<!:). (68.48)

dx Ιεββ kT> WI

Обозначая в последнем случае величину

е*п

запишем

- i/>

- (68.49)

(68.50)

dV(x)^_j_ V

dx "" L

откуда конечное при х-+оо решение имеет вид

V(x)=V

e~^. (68.51)

Так же, как и в собственном полупроводнике, происходит искрив-

ление зон энергии и изменение концентраций электронов и дырок.

При V

<0 увеличивается концентрация электронов, при V

>0 —

дырок, поэтому приповерхностный слой обедняется основными носи-

телями заряда и обогащается неосновными. Аналогично ведет себя

полупроводник и в случае, описываемом уравнением (68.47).

При \V\^>kT уравнение (68.46) можно упростить следующим

образом. Если У <0, то, сохраняя максимальный по величине член

, будем иметь

= ±

i^kTjll\

\'Wr. (68.52)

dx γ £8Q у

Решая уравнение (68.52), находим

(68

53)

Полагая х = 0; F(0) = F

, получим

Ь.

С = e

2kT

(С< 1). (68.54)

461.

Из (68.53) имеем асимптотическое решение

V {x) = 2kT\n{c + ^y, L

' = (68-55)

оно справедливо при таких х, при которых — 1. Найдем из-

менение концентраций электронов и дырок:

η (χ) =

е~~

^ = , (68.56)

т. е. концентрация электрона уменьшается по квадратичной гипер-

боле, приповерхностный слой обогащается электронами:

* n

= n (0) = n

<0). (68.57)

При F>0 в уравнении (68.46) оставим член

(68.58)

V*'* (х) = ± 2 (^)

1/2

*+ С. (68.59)

Постоянная интегрирования находится из граничных условий

У(0) = У

= С

, т. е. C=Vl

, поэтому запишем

ν»-[^.

»(&)"χ]·_ν.[ΐ ±2(fi)"

,]\ (68.60)

Полагая у

1/2

= t, получим

VW=V

(l±f)

. (68.61)

Поскольку F(x)>0, то, сохраняя знак минус, получим

V(x) = V

[l —f)

. (68.62)

Из этого уравнения следует, что напряженность поля линейно

зависит от координаты, а плотность заряда постоянна. У поверх-

ности возникает обедненный основными носителями заряда слой;

концентрация неосновных носителей заряда в нем возрастает.

В заключение рассмотрим случай столь больших полей, что при

F>0 и^>1

462.

η-,

N д

(68.63)

Согласно (68.46) для этого случая имеем

dV(x)

= +

/2е

/гТп

у/2 ?г

(68.64)

(68.65)

# *

Найдем концентрацию дырок при

л:

V V

2 S

Ps = = --г > Л^д = По,

(68.66)

следовательно, в этом случае в приповерхностном слое происходит

изменение типа основных носителей заряда —возникает инверсный,

или обращенный, слой. Поскольку у поверхности тип проводимости

меняется, при удалении от поверхности можно найти слой, в ко-

тором ρ п, т. е. слой с собственной проводимостью, или i-слой, а

область полупроводника, в которой меняется тип проводимости,

носит название физического р-п-перехода. Оя исчезает при снятии

внешнего поля.

Результаты аналитического решения уравнения Пуассона качест-

венно интерпретируются следующим образом. Внешнее электрическое

поле перемещает свободные носители заряда в полупроводнике до

тех пор, пока они своим зарядом не скомпенсируют внешнее поле.

Это значит, что при подаче на металл отрицательного потенциала

относительно полупроводника поле направлено от полупроводника

к металлу, оно перемещает электроны в глубь полупроводника,

а дырки к поверхности, и приповерхностный слой заряжаются поло-

жительно. Положительный потенциал металла приводит к появлению

отрицательного заряда в приповерхностном слое. В зависимости

от типа электропроводности полупроводника это приводит либо

к обогащению, либо к обеднению слоя носителями заряда с после-

дующей инверсией типа электропроводности. Если приложение поля

происходит мгновенно, то заряд образуется в течение времени, рав-

ном времени релаксации Максвелла. Указанную на рис. 103 струк-

туру, состоящую из металлического электрода, полупроводника

и разделяющего их слоя диэлектрика

—

воздуха,

—

можно рассматри-

вать как плоский конденсатор, одной из обкладок которого и явля-

ется полупроводник. Это позволяет оценивать величину объемного

заряда по толщине слоя диэлектрика и разности потенциалов между

полупроводником и металлом. Изменяя потенциал металла, можно

изменять объемный заряд. Если система электродов Μ позволяет

получить электрическое поле определенной конфигурации, то и заряд

в приповерхностном слое будет отражать конфигурацию внешнего

поля. Меняя конфигурации внешнего поля, мы тем самым изменим

конфигурацию объемного, заряда и проводимость приповерхностных

слоев. Перемещение заряда вдоль поверхности возможно при созда-

463.

нии поля вдоль поверхности либо с помощью дополнительных

электродов, либо с помощью системы поверхностных электродов.

Рассматриваемая структура лежит в основе одного из важнейших

направлений микроэлектроники

—

микроэлектроники МДП-структур,

в которых в качестве диэлектрических слоев используют тонкие слои

изоляционных материалов, наносимых на полупроводник тем или

другим способом. Если используется слой окисла, то такие струк-

туры называют МОП-структурами, или в английской транскрипции

MOS-структурами. Прибо-

ры на основе МДП-струк-

тур обычно называют по-

левыми. Широкое распро-

странение МДП-структур

обеспечивается развитием

планарной технологии.

Возникновение заряда

под действием поля проис-

ходит в условиях термо-

динамического равновесия.

Однако он может быть

образован и неравновесны-

Рис. 103. Использование эффекта поля в крем- ™ носителями заряда,

нии для формирования изображений Действительно, если под

действием света создать

локально объемный заряд, то он должен существовать в течение

времени, равном в среднем времени жизни, после чего исчезнет

вследствие рекомбинации. Это значит, что избыточный заряд спосо-

бен хранить информацию о создавшем его свете по крайней мере

в течение времени жизни. Меняя конфигурацию поля, можно за-

ставить этот локальный заряд перемещаться вдоль поверхностного

слоя, что обусловливает простоту сканирования изображения.

На рис. 103 приведена схема линейного устройства, используемого

для передачи изображения. Эти приборы обладают существенными

преимуществами по сравнению с полупроводниковыми приборами на

основе фотопроводимости

—

видиконами.

Резюме § 68

1. При помещении полупроводника во внешнее однородное элект-

рическое поле в результате перемещения свободных носителей заряда,

вызванного внешним полем, в объеме полупроводника вдали от по-

верхности электрическое поле отсутствует. Поле существует только

в приповерхностном слое, в котором существует и объемный заряд.

Он экранирует внешнее поле, вследствие чего оно и не проникает

в объем полупроводника.

2. В области объемного заряда зоны энергии искривляются.

Если они изгибаются кверху, то приповерхностный слой обогаща-

464.

ется дырками, при изгибании их вниз происходит обогащение элект-

ронами. В собственном полупроводнике проводимость приповерх-

ностных слоев увеличивается независимо от направления поля.

В примесном полупроводнике проводимость приповерхностного слоя

увеличивается, если внешнее поле вытягивает из объема основные

носители заряда, и уменьшается, если приповерхностный слой обо-

гащается неосновными носителями заряда. Изменение проводимости

приповерхностного слоя называют эффектом поля.

3. Толщина слоя, в котором существует объемный заряд и элект-

рическое поле и искривляются заметным образом зоны энергии,

характеризуется некоторой величиной L

соответственно в собственном и примесном полупроводнике, L

назы-

вается дебаевой длиной экранирования.

4. При достаточно большой напряженности поля в приповерх-

ностно м слое может измениться тип проводимости.. Слой с изменен-

ным типом проводимости называют инверсным слоем; слой, в кото-

ром п^ ρ я^Я/, называют /-слоем. Область, в которой происходит

изменение типа проводимости, называют физическим р-я-переходом.

5. Если поверхностные состояния заполняются свободными носи-

телями заряда, то между поверхностью и объемом возникает элект-

рическое поле, локализованное в приповерхностном слое, свойства

которого меняются таким же образом, как и в результате действия

внешнего электрического поля.

6. В металле концентрация свободных электронов велика, поэтому

дебаева длина экранирования значительно меньше межатомного рас-

стояния.

§ 69. РАБОТА ВЫХОДА

Хорошо известно, что для перевода электрона из твердого тела

в вакуум необходимо затратить определенную энергию. Примем за

начало отсчета энергию электрона, находящегося в вакууме вдали

от данного тела и покоящегося относительно него. В таком случае

полная энергия электронов, покоящихся в твердом теле, отрица-

тельна. Электрон, находящийся на дне зоны проводимости, имеет

нулевую кинетическую энергию, его полная энергия, с точки зрения

классической физики, является потенциальной энергией. Пусть поло-

жение уровня Е

в вышеуказанной «абсолютной» шкале энергии

характеризуется некоторой величиной (—W)> (W>0). Величина W

равна работе, необходимой для перевода покоящегося в твердом теле

электрона в вакуум без сообщения ему кинетической энергии, W на-

зывается истинной работой выхода, она определяет глубину потен-

циальной ямы, которая соответствует электронам проводимости ме-

талла. В теории квазисвободиого электрона величина (— W) обознача-

лась как (U). Уровни энергии, лежащие выше Е

, практически

465.

полностью заняты вплоть до уровня Ферми. Электроны, имеющие

полную отрицательную энергию, не могут выйти из металла. Но

среди электронов есть и такие, которые имеют положительную пол-

ную энергию; они способны выйти из металла. Вычислим поток

электронов из металла в вакуум за счет их тепловой энергии.

Пусть металл заполняет полупространство х< 0. Подсчитаем число

электронов, способных преодолеть прямоугольный потенциальный

барьер высотой W и выйти из металла. Для этого кинетическая

энергия электрона, обусловленная скоростью υ

, должна быть не

меньше- глубины потенциальной ямы

m*vl „ m*vl

+ = (69.1)

Будем считать, что все вышедшие из металла электроны захва-

тываются некоторым внешним полем и не возвращаются в металл.

При этом предположении легко записать выражение для плотности

тока, текущего из вакуума в металл:

оо оо оо E — F 00 оо оо E — F

άτ

ίχ==β

§ §

= e J J jj

объеме кристалла и объеме άχΡ содержится 2 ,

состояний, заня-

Λ»

Vnin . f^min

(69.2)

Соотношение (69.2) записано с учетом того, что в единичном

.тых электронами с вероятностью

Ε— F

fo(E> = -t^f—

> (69.3)

-1

поскольку для электронов, способных вылетать из металла, Ε

—

F !>

" kT.

Учитывая, что энергию Ε можно выразить через скорость:

Ε = Е

+ = Е

+ ϋξ- (pi+ vl + νΐ), (69.4)

получим для j

2ее

т*

h = -

№

00 m*Vy со m*v\

е dv

2kT~

—00 —СХЭ

m*v\

оо

X J v

2kT

. (69.5)

min

466.

Интегралы по v

и υ

сводятся к интегралу Пуассона

оо

\ e-Vdl = Vn. (69.6)

— ОО

с помощью замены переменных, например,

= Y^dl, (69.7)

2 kT

поэтому

00 m*Vy 00 m*v\

J = (69,.8)

—ОО —00

Интегрирование по v

выполняется непосредственно:

l ' т*Л , л

о \

S ξ

^min

Λ:Πΐίη

*4min ^ '

-».*?. ""ir = (69.9)

m* m* m*

Учитывая (69.8) и (69.9), запишем выражение для j

иβ

/ У*'

АГ

е^; (69.10)

Г д — 120 f

L Л» ~

1ZU

\m j

см2

град

Обозначим расстояние от начала отсчета энергии до уровня

Ферми F через Ф, т. е. положим F = — Φ, (Ф>0), после чего для j

будем иметь

= АТ

. (69.11)

Величина Φ носит название термодинамической работы выхода

электронов из металла. Численно она равна работе, необходимой для

удаления из металла электрона, находящегося на уровне Ферми. Выра-

жение (69.11) называется формулой Ричардсона, a j

—плотностью

тока термоэлектронной эмиссии. В. реальных условиях термоэлек-

тронный ток не может достигать величины />, если не созданы для

этого специальные условия. Действительно, металл, потеряв элек-

троны, заряжается положительно. Возникшее электрическое поле

удерживает термоэлектроны, возвращая их в металл. Устанавлива-

ется динамическое равновесие между двумя встречными потоками

электронов, что обеспечивает обращение j

в нуль. Для того чтобы под-

держивать j τ постоянным, необходимо внешним электрическим полем

467.

рассасывать термоэлектронное облако и в то же время компенсиро-

вать потерю заряда металлом. Обе эти функции может выполнять

одно и то же поле подобно тому, как это имеет место в двухэлек-

тродной лампе. Величина термоэлектронной эмиссии резко зависит

от температуры. Действительно, при Φ = 2,5 эВ и Г 300° К плот-

ность тока /V—10"

А/см

, но при повышении температуры в пять

раз (Г^ 1500° К) jr^ 0,8 А/см

, т. е. возрастает в 10

раз.

Найдем величину плотности тока термоэлектронной эмиссии j

электронов из полупроводника. Для этого рассмотрим энергетичес-

кую диаграмму полупроводника. Примем, как и в предыдущем слу-

чае, за начало отсчета энергию электрона, покоящегося в вакууме.

Представим энергию Ферми

в виде суммы двух членов:

Ес = -%(%> 0)

K = E

—

F, (69.12)

или из (69.12) и (69.11)

F = E

-K = —

+ K).

(69.13)

Представление величи-

ны F в виде суммы двух

членов удобно, поскольку

величина χ зависит только

от вида полупроводнико-

вого вещества, в то время

как κ зависит от температуры, вида и количества легирующей при-

меси, как это было найдено в третьей главе. На рис. 104 представ-

лена схема расположения уровней энергии в металле и полупровод-

нике при условии, что за начало отсчета энергии принята энергия

электрона, покоящегося в вакууме.

Повторяя выкладки, проделанные выше для металла, получим

для плотности тока термоэлектронной эмиссии из полупроводника:

F χ+κ Φ

= АТ

= АГ

(69.14)

где Φ

—

термодинамическая работа выхода электронов из полупро-

водника. Как и в металле, она определяется положением уровня Ферми

в «абсолютной» шкале энергии:

Ф- —/

= χ + κ, (69.15)

несмотря на то, что на уровне Ферми в невырожденном полупро-

воднике нет электронов. Используя результаты третьей главы, запи-

шем выражения для работы выхода электронов в различных случаях.

Для собственного полупроводника работа выхода Φ равна

= χ + ^ + = χ + (69.16)

Е.

Металл

'/////////////А

г ^

•

л/л

-F

а) δ)

Рис. 104. Схема уровней энергии металла (а)

и полупроводника (б). За начало отсчета энер-

гии принята энергия электрона, покоящегося

в вакууме

468.

Для донорного полупроводника

= + (69.17)

Ф(Т) =

+ кТ\п^- (69.18)

соответственно в области слабой и сильной ионизации примеси.

Для акцепторного полупроводника аналогично предыдущему слу-

чаю имеем

= х + (69.19)

φ(Γ) = χ + Δ£

-£Γ1η-^. (69.20)

Как видно из (69.17

—

20), работа выхода электронов из дыроч-

ного полупроводника значительно больше, чем из электронного.

Резюме § 69

1. Энергию, необходимую для перевода электрона, имеющего ну-

левую скорость, из металла в вакуум без изменения скорости, назы-

вают истинной работой выхода W.

2. Термодинамической работой выхода электрона из твердого

тела назьтают величину энергии, необходимую для перевода элек-

трона с уровня Ферми на уровень £ = 0 при его переходе из крис-

талла в вакуум: .

Ф = — F. (69 Лр)

3. Термодинамическая работа выхода электрона из полупровод-

ника зависит от температуры, вида и концентрации примеси. Работа

выхода электронов из дырочного полупроводника превосходит работу

выхода из электронного полупроводника почти на ширину запре-

щенной зоны.

4. Работа выхода Φ определяет плотность термоэлектронного тока

= АГ

е"^· (6Э.2р)

§ 70. КОНТАКТНАЯ РАЗНОСТЬ ПОТЕНЦИАЛОВ.

КОНТАКТ МЕТАЛЛ—МЕТАЛЛ

На рис. 105, а изображена энергетическая диаграмма двух раз-

личных изолированных металлов М

и Λί

. Величины, характери-

зующие металлы, имеют индекс «1» или «2». Индекс «0» соответствует

тому, что металлы не находятся во взаимодействии друг с другом.

Если привести металлы Μ

и Λί

в контакт, то они начнут обме-

ниваться электронами. Как известно, частицы переходят из той под-

469.

системы, в которой уровень Ферми находится выше, в ту подсистему,

в которой уровень Ферми расположен ниже. Это можно показать

следующи м образом.

Рассмотрим две подсистемы, которые обмениваются частицами.

Изменение термодинамического потенциала Φ системы равно

άΦ = ^

i = FidNx+F

(70.1)

Но так как dN

•dN

, то

dO^dNifa-FJ.

Г7Г\ [Ж

<Р,

Еао

Φι

Fzo

Ecio

\ Mt\

Μ*

-Fz

а)

ffZ

Рис. 105. Контакт двух металлов

(70.2)

Если F

= F

, ТО <ίΦ=0, и рассматриваемое состояние является

равновесным."

Если же Ζ

! Φ F

, ТО άΦ Φ 0, и, следовательно, система не нахо-

дится в равновесном состоянии. Переход к равновесному состоянию

означает, что άΦ<.0. Если

то из ίίΦ<0 сле-

дует dN

> 0, т. е.. число

частиц первой подсистемы уве-

личивается, а второй умень-

шается; если же F

то

άΝ

<0. Таким образом,

число частиц подсистемы

с большим химическим потен-

циалом должно уменьшаться

или, другими словами, пере-

ход системы к равновесному

состоянию означает наличие

направленного потока частиц из подсистемы с большим химическим

потенциалом к подсистеме с меньшим химическим потенциалом

Этот направленный поток частиц будет длиться до тех пор, пока

химические потенцилы не выровняются благодаря каким-либо физи-

ческим процессам, связанным с направленным потоком.

Вывод о характере направленного потока частиц в нашем слу-

чае можно получить из простых соображений: электроны должны

занимать все нижележащие свободные уровни; уровень Ферми отде-

ляет уровни, в основном занятые от почти полностью свободных,

поэтому если F

лежит выше F

, то это означает, что электроны

с верхних уровней М

должны переходить на ниже расположенные

свободные уровни в М

в полном соответствии с выводом, вытекаю-

щим из условия άΦ^Ο.

Так как положение уровня Ферми в «абсолютной» (т. е. в единой

для всех тел) системе отсчета энергии определяется только термоди-

намической работой выхода Ф, то можно сформулировать следующий

вывод: при контакте двух тел возникнет направленный поток час-

тиц из тела с меньшей работой

выхода в тело с большей работой

выхода. Направленный поток частиц прекратится, когда произойдет

выравнивание населенности уровней энергии в обеих подсистемах.

470.