Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Перейдем к волновому уравнению, для чего найдем ротор урав-

нения (74.1) или (74.2):

rot rot

= grad div

- V

H = — V

H = \ rot ^ + ^ rot σΕ =

=ίΚ4+Η

Γ0ίΕ=

-ά(

έ+Η

(74

ИЛИ

При выводе уравнения (74.9) мы использовали соотношения

(74.1—7). Если σ = 0, то уравнение (74.9) переходит в волновое

уравнение

решение которого имеет вид плоской волны:

Н = Н

(/-^), (74.11)

идущей со скоростью υ = в направлении единичного вектора к

У ей

Беря ротор от (74.2), получим уравнение для Е:

= (74.12)

Решение уравнений (74.12) и (74.9) удобно искать методом моно-

хроматических плоских волн, для этого представим E = E(r, t)

в виде интеграла Фурье по всем возможным частотам: ,

оо

Ε (г, 0=

Ε (г, ω) d<a, (74.13)

— ОО

где фурье-компонент Ε (г, ω) поля равен

ОО '

Ε (г, ω) = -- $ Ε (г, t) е~

dt. (74.14)

— ОО

Найдем уравнения для фурье-компонента роля Е:

оо

E (г, 0= $ V

E (г, ω) е

da>,

(74.15)

— ОО

ОО

дЕ

= J ί'ωΕ (г,

03)

/ш

da, (74.16)

— ОО

ОО

дгЕ

£:

= - jj ω

Ε (г, ω) е"°' d(o. (74.17)

491.

Подставляя (74.15—17) в (74.12), получим

I {ν*Ε (г, ω) + [ψ - i Ε (г, ω)} е« do - 0. (74.18)

— ОО

Из (74.18) следует, что амплитуда Ε (г, ω) монохроматической

волны удовлетворяет уравнению

·. ΔΕ(Γ,

)

[^-^]Ε(Γ, ω)=0. . (74.19)

Запишем коэффициент при Ε (г, ω) в виде

где η и κ —две неизвестные беличины.

Возводя в квадрат правую часть (74.19) и приравнивая соответ-

ственно действительные и мнимые величины, получим

.«У-£„••<!η*(1-χ

) = εμ;

; 4πμσω __ . 2κη^ω

. _ 2πμσ /74 9 П

2 '

Из (74.21) можно выразить пик:

(74.22)

пх = /«(j/l+l^-l). (74.23)

- п носит название показателя преломления, ηκ

—

показателя погло-

щения. Если σ = 0, то η = ]/εμ и ηκ = 0. Используя (74.19), запи-

шем уравнение (74.18) в таком виде:

ΔΕ (г; ω) +

ω2

Е (г; ω) = 0

. (74.24)

Решение этого уравнения легко находится:

„ , • ^ —

(1 —ίκ)(κ°Γ)

^ +®п*(

вг, +i®D(

or)

Ε (г; ω) = Е

сое < = Ε

οω

6 ' е ' =Ε

. (74.25)

Вводя волновой вектор к = -^к°, запишем уравнение (74.25) для

монохроматической волны, в котором сохраним только знак минус:

(г, /)==Е

ош

е-

|ПХ

кг

>е-'^-

кг

)]. (74.26)

Выражение (74.26) показывает, что у плоской монохроматической

волны по мере прохождения в среде, обладающей конечной прово-

димостью σ, уменьшается амплитуда (если κ < 0, то среда усили-

492

ает излучение). Поскольку интенсивность света пропорциональна

квадрату амплитуды, то, отсчитывая расстояние вдоль луча (кг) =

/слг,

получим

(X)

= Лсое-

™** = Jοωβ-^, (74.27)

2ηκω 2ηκ·2π 4π

ίΠΑ 00ч

α = 2ηκκ = = —— = у ηκ. (74.28)

Таким образом, коэффициент поглощения света α определяют

согласно теории Максвелла проводимостью вещества:

= ¥ /?[]/»(

)

Оценим α при некоторых значениях величин ε, μ, σ, ω. Положим

ω^ ΙΟ

с"

, σ=

Ом^см'^Э· ΙΟ

СГСЭ

; ε^ 10, μ^ 1. В таком

случае

163X202

g^=l,28-10-e<l,

4π

α = -γ ηκ

причем неравенство сохраняется вплоть до σ~10

Ом

-1

см

-1

, кото-

рая наблюдается в сильно легированных полупроводниках. Разло-

жив корень в (74.28) в ряд, запишем

4π

Αεμ 1 16π

8π

|/"εμ

4πσ q^v

-~λ V "2" "2 '

^ ·

Если учесть оценку подкоренного выражения в α или ηκ, то

выражение (74.22) для η примет вид

η = ")/εμ. (74.31)

Величина μ для частот видимого света практически равна еди-

нице, поэтому мбжно записать η = |/ε и

α=™. (74.32)

Если измерять σ в Ом^см"

и α в см

-1

, то

α (см:

) = ^

(Ом-

см"

). (74.33)

При σ=1 Ом

-1

см

-1

и η = 3,14 α =120 см"

Так как проводимость σ пропорциональна концентрации носите-

лей заряда, то и коэффициент поглощения определяется концентра-

цией свободных носителей заряда. Обозначим концентрацию свобод-

ных носителей заряда через р, запишем

α =

4πσ

4π £Цт>

(74>34)

СП СП Ш

Таким образом, коэффициент поглощения света свободными носи-

телями заряда с концентрацией ρ зависит от их эффективной

493.

массы, усредненного времени релаксации и показателя преломления

среды. Но показатель преломления является в действительности

функцией длины волны, следовательно, и коэффициент поглощения

свободными носителями заряда должен зависеть от длины волны.

Например, Коши нашел теоретически задолго до теории Максвелла,

что показатель преломления можно представить в виде

π =

+ + (74.35)

где α, Ь, d

—

константы, которые необходимо определять экспери-

ментально для каждого вещества. . .

Электронная теория позволяет найти зависимость η от λ. Рас-

смотри м с этой целью поляризацию вещества, которая возникает

под действием электрического поля:

0 = Ε + 4πΡ = εΕ. (74.36)

Если Ρ = χΕ, то ε=1+4πχ. Чтобы найти ε, подсчитаем смеще-

ние зарядов- Пусть в атомах содержатся несколько сортов зарядов e

числом fi с концентрацией атомов N

Смещение зарядов равно Г/,

полный электрический момент единицы объема (поляризация) будет

равен

ρ -Σ^Μ-χΕ. (74.37)

Чтобы найти смещение заряда е> запишем уравнение его движе-

ния. На него должна действовать квазиупругая, возвращающая

сила

03Bp

= —

сила

«трения», зависящая от его скорости и при-

водящая к расходу энергии i

TpeH

= — gr

и вынуждающая сила,

обусловленная полем Е:

m*r=-yr-gr+eE. (74.38)

Обозначая — gfm* = b, получим

ί + + = = Еое-Ч (74.39)

где Е

—

амплитуда колебаний волны в точке нахождения заряда.

Уравнение (74.39) представляет собой уравнение вынужденных коле-

баний. В стационарном состоянии колебания происходят с частотой

вынуждающей силы, но со сдвигом фазы, поэтому положим

г(0 = г

е-'®'-*р. (74.40)

Подставим (74.40) в (74.39), получим после сокращения на е-*®*

- со

е-

/ф

- ко&г

е-'ф + = Е

, (74.41)

откуда

Аг Е

(

494.

Подставляя величину стационарного смещения зарядов в выра-

жение для поляризации и вынося поле Е

, получим

JL·

iq>l

е =

+ 4πχ =

+ 4я 2 ^ _ ^ =

η» (1

- (74.43)

Приравняем действительные и мнимые части двух последних

выражений в (74.43)

(74.44,

(74.45,

Решая систему (74.44

—

45), получим ^выражение для η и ηκ. Мы

видим, что они действительно зависят от частоты. Если провести

расчет поляризуемости атомов согласно квантовой теории, то вид

частотной зависимости η и ηκ, найденный в классической электрон-

ной теории, сохраняется. Меняется только смысл величины в клас-

сической электронной теории ft

—

число электронов в одном атоме

в данном состоянии, в квантовой теории вместо // появляется вели-

чина

(74 46)

которая назьшается силой осциллятора для перехода Е

-^Е

г ρ

/η

= —^——; din является матричным

элементом дипольного момента

d=£r атома, который индуцируется полем. Опуская расчеты, запи-

шем выражение для ε:

(?4

47)

Здесь w

—

вероятность того, что атом находится в состоянии E

-Ξι

r^e

. Выражение (74.47) получено без учета затухания коле-

баний. Как видим из (74.47) и (74.44), частотные зависимости п

по классической и квантовой теории совпадают.

Если применять выражение для η (ω) с учетом того, что элек-

троны проводимости являются квазисвободными, то необходимо счи-

тать γ = 0 и, следовательно, ω

= 0. Положим для простоты φ = 0 и

будем считать все электроны проводимости одинаковыми; с учетом

495.

этого выражения (74.44) и (74.45) можно переписать в виде

· (74.48)

Решая систему уравнений (74.48

—

49), получим

n = „

" . ' (74.50)

' <

Учитывая, что для больших частот А 1 mZ?<4, получим

η κ-

f 2 L С

' J

+···"" = —ί—; (74.52)

г 2 [ С

J КС (τ) ω ω

+ 6

2 ν 7

= = (74.53)

Найдем теперь коэффициент поглощения а: .

_ 4π _ 8π

σ6 1 _ 4πσ& 1 - „

""Χ

ηκ

"" COto ω

""7<τ>" ω

' ,

Если сравнить полученный результат (74.54) с (74.32), то легко

увидеть различие , и сходство между ними: по феноменологической

теории Максвелла

4яа 1

ггч

а = а

фен

= — γϊ> (74.55)

по электронной теории

4πσ 6 1

(

А ссч

а = а

эл = —-^г^^г. (74.56)

Из. '(74.56) и (74.55) имеем

_а

_ bVi _1

«Фен ~ <τ> ω

При ω

<^6

коэффициент поглощения не зависит от частоты и

равен

-=—Κΐ7·

(74

58)

496.

Поскольку электронная теория Лоренца при больших длинах

волн должна переходить в феноменологическую теорию Максвелла>

или, другими словами, ε (ω), μ (ω), σ(ω) можно заменить их стати-

ческими значениями, то отсюда можем оценить величину 6:

KxHVl;

= (74.59)

(τ)·

Подставляя выражение для b из (74.59) в (74.56), запишем

4πσ,

\/"г

1 __ 4πσ У г

а =

<Т>

+ ω

(τ)

(74.60)

(τ)

Таким образом, если то коэффициент поглощения

света свободными носителями заряда не зависит от частоты (или

длин ы волны) света, он остается постоянным и равным

α = α

4 πα

: У ε

4тсе

(τ)

с У em*

Ρ·

(74.61)

Оценим величину эффективного сечения поглощения света элек-.

троном; положим (т)^10~

с; ε =10; m*=10~

г; получим

α/ρ

= 3· 10~

см

Если концентрация электронов или дырок р=10

см~

, то

α = 30 см-

, но при р=10

см~

α = 30

ООО

см-

Если со

^>&

, то согласно (74.56) коэффициент поглощения зави-

сит от длины волны:

ос =

4 πα

4πσ b 1 __

с (τ) ω

У в (τ)

ОС η

(τ)

4π

(74.62)

Таким образом, в области больших частот α ~λ

, при этом α< α

поскольку ω

;>ε/(τ)

Оценим граничную частоту, при которой происходит изменение

зависимости α~λ

на Выразим для этого а через а

4πσ b

4πσ

(τ) co

с b(%)

ω2 +

£2*

(74.63)

Определяя границу перехода условием α = α

/2, получим со?

= 6

или

ω,

гр·

:& =

Уе

<т> ·

(74.64)

При (τ)

с, ε =10, ω

Γρ

^3· 10

с"

, что дает для

2 яс

гр

3· Ю

3-1013

ρ =

6,3

10~

см

——

63 мкм. Выразим α (λ) через λ

Γρ

учитывая (74.64) и (74.63):

сс

= а

„

ω^ + ω

:а

гр

λ^ρ+λ

(74.65)

497.

Вместо оценки величины α и (τ) удобно использовать экспери-

ментальное значение подвижности μ^, поскольку а

можно выра-

зить через μ

4ле

(74.66)

Электронная теория в отличие от феноменологической теории

Максвелла приводит к квадратичной зависимости коэффициента

поглощения от длины волны, при этом он пропорционален подвиж-

ности, или усредненному времени релаксации. Но при поглощении

свободными носителями заряда энергии световой волны происходит

переход частиц с одного уровня

энергии на другой. Следует ожи-

дать поэтому различной зави-

симости коэффициента поглоще-

ния от длины волны при доми-

нировании различных механиз-

мов рассеяния.

Рассматривая взаимодействие

свободных носителей заряда

с фотонами, мы должны иметь

в виду, что поглощение свобод-

ной частицей фотона невоз-

можно—не могут быть выпол-

нены одновременно законы со-

хранения импульса и энергии.

Поглощение же свободными но-

сителями заряда происходит

с участием поля .решетки, по-

этому для этого процесса важ-

ное значение имеет рассеяние

носителей заряда на дефектах

кристаллического поля. Учет ме-

ханизма рассеяния приводит

к различной спектральной зави-

симости коэффициента поглоще-

ния, для одного механизма рас-

сеяния можно записать в случае

невырожденного газа:

Рис. 109. Спектр поглощения свободными

носителями заряда в теллуриде кадмия

Параметры исследованных образцов

Образец

см-

1 6.10

2 3,6

•

1016

1,7-10"

2,0

10"

3,1 · 10"

5,8-10"

(74.67)

где степень ρ принимает значения 3/2; 5/2 и 7/2 при рассеянии на

акустических колебаниях, на оптических колебаниях и ионах при-

меси. Значения показателя степени указаны для параболических

зон и невырожденного газа. Вырождение газа приводит к некото-

рому уменьшению показателя степени, а отклонение от параболич-

ности, т. е. от квадратичного закона дисперсии,

—

к увеличению.

498.

Например, расчеты для фотонов с достаточно большой энергией /ко>

^АЕо показывают, что ρ равно 1,66; 2,83 и 4,2 Г соответственно

для акустических и оптических колебаний решетки и ионов при-

меси. Если в рассеянии принимают участие два или более механиз-

мов рассеяния, то спектр поглощения свободными носителями заряда

становится более сложным. На рис. 109 приведен спектр поглоще-

ния электронами в теллуриде кадмия. Как видно из рис. 109, наклон

прямых с ростом концентрации электронов возрастает, что свиде-

тельствует о возрастающей роли поглощения при рассеянии на

ионах примеси. Аналогичный эффект имеет место при понижении

температуры.

§ 75. ЦИКЛОТРОННЫЙ РЕЗОНАНС

Чтобы найти зависимость α (λ), мы использовали результаты

теории дисперсии для атомов, положив ω

= 0. Можно получить эти

же результаты другим способом, учитывая, что проводимость должна

зависеть от частоты электрического поля.

Пусть ν —скорость направленного движения носителей заряда,

изменение ее происходит в результате действия внешней силы и

соударений. Если τ есть среднее время, в течение которого полностью

теряется скорость направленного движения' частиц, то уравнение

движения носителей заряда можно записать в виде

* 4_Л. (75.1)

dt т* τ

х 7

Первый член справа в (75.1) определяет приращение скорости за

единицу времени под действием поля Е, второй член определяет

потерю скорости за единицу времени вследствие столкновений. Этим

уравнением мы пользовались в сущности неоднократно. Действи-

тельно, в стационарном состоянии при постоянном поле имеем

^-- = 0, (75.2)

т* τ ' '

или

ν=-^Ε = μΕ. . (75.3)

Предположи м теперь, что внешнее поле является переменным.

Так как любое переменное поле можно представить в виде супер-

позиции гармонических колебаний, то мы предположим, что

Ε = Е

(75.4)

* ib-eft*--^. (75.5)

dt т* τ '

Общее решение однородного уравнения описывает процесс установ-

ления стационарного состояния. Считая, что /!>т, найдем устано-

вившееся движение, определяемое частным решением неоднородного

уравнения. Установившееся движение представляет собой вынужден-

499.

ные колебания с частотой вынуждающей силы, поэтому положим

(/)

= \

. (75.6)

Подставляя (75.6) в (75.5) и сокращая на е

, получим

tUJVQ —

ИЛИ

icov

=-^E

--f, (75.7)

еЕ

1 — ί'ωτ

«-.

Vo =

«/· In

= μ

«' <

т*

ίrco -[- — 1

откуда для v(/) имеем

νω-тйдг P-NEoe

= ^[B-гЩ. (75.9)

Умножим величину ν (ή на заряд частиц и их концентрацию р,

получим плотность тока

I=W?W

F]·

(75Л0)

Ток, определяемый выражением '(75.10), состоит из двух частей:

член, пропорциональный Ε (или действительной части ν

), представ-

ляет собой омический ток

Ε(0 = σ(ω)Ε(/), „ (75.11)

где

Вторая составляющая тока, пропорциональная dE/df, есть ток

поляризации

где поляризуемость χ равна

(75Л4)

Из (75.14) можем записать для диэлектрической проницаемости

ε(ω)-1+4^- 1 -J™X:

Hi]

-1—TTS^· (

5·15)

Положив ε = 0, найдем некоторую критическую частоту ω

κρ

= ^ ]/4πσ

—

1. (75.16)

Если ω>ω

κρ

, то ε>0 и η

—

действительная величина, коэффи-

циент поглощения света согласно (74.32) имеет вид

_ 4πσ __ 4π σ

^ 4πσ

г ι

СП / л -

1 -4-гл2

^ Гт2

ГЛ2 >

\IO.l/)

-,Λ 4πσ

со

ст* ω

500.