Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

т. е. в области больших частот α~λ

. Если ω<^ω,

и п —мнимая величина, поглощение велико:

кр»

<Χί

λ γ ι

4πσ

то ε<0

(75.18)

ι + ω

Таким образом, мы пришли к новому и несколько неожиданному

результату. В области «малых» частот коэффициент поглощения зави-

сит от λ в виде α ~ λ

-1

, при этом поглощение велико. В области

больших частот α ~λ

и поглощение сравнительно мало. Оценим

критическую частоту согласно (75.16):

ω,

кр

4 пе

(75.19)

Критическая частота ω

κρ

существует, если концентрация носите-

лей заряда велика:

Р> (75.20)

тЧпе

Полагая 10"

с, m* ~ Ю

-27

г, получим

Ю-27

Р>

10-26. 1,26-2,3. 10-18

3,5-10

СМ"

При меньших значениях концентрации частиц критическая частота

отсутствует. Для металлов ω

κρ

~ j/~

™f ^ 5 -10

-1

, т. е. крити-

ческая частота ω,

КР

лежит в

ультрафиолетовой области. Если

ω>ω

κρ

, то а мало. Многие ме-

таллы действительно обладают

малым поглощением в ультра-

фиолетовой области спектра.

При ω<ω

κρ

металлы обладают

очень большим поглощением.

Для полупроводников ω

κρ

может

не существовать и область силь-

ного «металлического» поглоще-

ния в них может отсутствовать.

Нормальное же поглощение опре-

деляется обычным соотноше-

нием (75.17) и оно пропорцио-

нально λ

Поскольку коэффициент отра-

жения определяется значением

коэффициентов преломления и поглощения согласно"(73.4), изменение

этих величин в области критических частот приводит к резкому

изменению коэффициента отражения. По мере приближения к кри-

тической частоте со стороны больших значений происходит умень-

шение коэффициента отражения практически до нуля, после чего

наблюдается его резкий рост (рис. 110). Это явление носит назва-

Рис. 110.

20 λ, м км

Плазменное отражение в селе-

ниде ргути

501.

(75.23)

ние плазменного отражения, оно позволяет определять эффективную

массу свободных носителей заряда. Для наблюдения плазменного отра-

жения необходима большая концентрация свободных носителей заряда.

Перейдем к рассмотрению поглощения энергии излучения свобод-

ными носителями заряда в полупроводнике, на который наложено

постоянное магнитное поле с индукцией В. Уравнение движения

носителей заряда с учетом действия соударений, электрического и

магнитного полей имеет вид

В стационарном состоянии решение имеет вид (75.6), однако

уравнение для определения амплитуды колебаний отлично от (75.7):

= + (75.22)

Перепишем уравнение (75.22) следующим образом:

ν , μ KB]

1+ίωτ 1+ί'ωτ *

Вводя для упрощения обозначения

' = = (75.24)

запишем согласно (37.27) и (37.32) решение векторного уравнения

(75.23):

Уо=

А+[АФЗ_ШАф1_. (75.25)

Ограничимся случаем поперечных полей, поскольку в случае про-

дольных полей в веществах со скалярной эффективной массой явления

протекают так же, как и в отсутствие магнитного поля; запишем

' = Γ

μΕ

° -1 +

;

ίΕ

Β]

. (75.26)

Как видно из (75.26), скорость частиц имеет продольную νό

поперечную VJ- составляющие относительно электрического поля.

Поглощение энергии вызвано тем, что электрическое поле совершает

работу по перемещению заряженных частиц. Из. (75.26) видно, что

поперечный компонент скорости не приводит к потере энергии, поэ-

тому ограничимся рассмотрением продольного компонента скорости:

V iiF 1-Ηωτ

~~~

Г ρ2χ2 Τ =

ρ [1+№ + ωητ*] + ίωτ[(ωΙ-ω*)τ*--1]

μ 0

[1 + (ω»-ω«)τ2]8 +

4ω2Ϊ3

: ' (/Ο.Ζ/)

еВ

= —

т*

502.

Так же,. как и в случае (75.10), действительная часть (75.27)

связана с током проводимости, мнимая часть связана с током поля-

ризации. Из (75.27) имеем для проводимости

=*μΡ

[1+κ

ω2) τ2]

4ω^· ί

)

Если Β = 0, то о)

= 0 и выражение (75.28) переходит в (75.12),

которое согласно (74.34) дает зависимость α (ω) вида (74.65). Не

останавливаясь на этом случае, рассмотрим зависимость α (ω), выте-

кающую из (74.34) и (75.28), при В Φ 0. Обозначив

4πσ

получим

= . (75.29)

α (ω) = «о μ +

(ω

ω2) τ2]2+4

ω2τ* ·

(75

30)

Исследуем выражение (75.30) при некоторых значениях^ входя-

щих в него параметров.

1) ω?τ

>1. Выражение (75.30) можно упростить следующим

образом:

для низких частот (со<^со

)

ω*τ з α

= ^ = (75.31)

для высоких частот (со^>со

)

«<®>~ (

)

Для частот коэффициент, поглощения достигает максимума:

α(ω)^. (75.33)

Мы видим, что поглощение «света» имеет резонансный характер.

При этом резонанс проявляется тем резче, чем лучше выполняется

условие ω*τ

;>1. Смысл этого неравенства очень простой: за время

свободного пробега частица совершает несколько оборотов, причем

чем больше оборотов делает частица, тем резче, острее проявляется

резонанс. Явление резонансного поглощения излучения при ω ^

со

= еВ/т* называют циклотронным резонансом, со

называют цикло-

тронной частотой.

2) ω?τ

<4— за время свободного пробега частица совершает

лишь часть оборота.

В области высоких частот (ω

^>1)

= = (75.34)

в области низких частот (ω

<^1)

α(ω)^α

. (75.35)

503.

Таким образом, в случае ω*τ

<4 резонанс не наблюдается. На

рис, 111 представлена зависимость α (ω) при трех различных зна-

чениях ω

τ = μβ. При экспериментальном изучении циклотронного

1 ωμ

Рис. 111. Условия Наблю-

дения циклотронного ре-

зонанса: 1—со

т = 0,2;

2 —со

τ=1; 3 — ω

τ = 2

О' 'то .2000- зооо то sooo

Магнитное поле 6 гауссах

Рис. 112. Пики поглощения при цик-

лотронном резонансе в германии

резонанса выбирается определенная частота излучения, и резонанс

достигается изменением магнитного поля, т. е. со

. Определив со

можно вычислить эффективную массу т*. Циклотронный резонанс

—

ί00

«—*2оо°к

о 193°К

—— 293°К

(перед обли-

чением)

2,5А,мкм

Рис. 113. Влияние облучения нейтронами

р-кремния на поглощение света свобод-

ными носителями заряда

о,з о,5 ι г з

Волновое 4UCJW(W

CM~

)

Рис. 114. Влияние темпера-

туры на поглощение света

свободными носителями заря-

да в монокристаллах теллура

позволяет получать сведения об эффективной массе и в том случае,

когда она является тензорной величиной. На рис. 112 приведены

пики поглощения в относительных единицах в германии.

504.

Циклотронный резонанс может быть объяснен квантованием энер-

гии электронов и дырок в магнитном поле, при котором возникают

уровни Ландау. Расстояние между уровнями равно

ПеВ

Йсо

(75.36)

Длина

BoMHbf,

мкм

15108 6 5 if J Ζ,5

Если энергия фотона Йсо равна расстоянию· между уровнями

йсо

Н(й

(75.37)

то возможно поглощение фотонов. Но уравнение (75.37) и есть условие

циклотронног о резонанса.

Рассмотрим некоторые эксперимен-

тальные данные в качестве иллюстра-

ции расчетов, изложенных в § 74, 75.

На рис. 113 представлена зависимость

коэффициента поглощения кремния

р-типа в области от 1 до 2,5 мкм. Рез-

кое уменьшение α в области λ^ 1,1 мкм

связано с уменьшением собственного

поглощения, которое переходит в по-

глощение свободными носителями за-

ряда (правая часть пунктирной кри-

вой). Исследованный образец затем

был подвергнут облучению нейтрона-

ми, проводимость его упала, и мы

видим, что характер кривой погло-

щения сильно изменился.

На рис. 114 приведены кривые

поглощения монокристалла теллура

в двойной логарифмической шкале.

По оси абсцисс отложен логарифм

волнового числа ν = λ

(в 10

Отчетливо видно, что логарифм коэф-

фициента поглощения в области от 300 см

-1

до 2000 см

-1

линейно

зависит от логарифма волнового числа. Кроме того, коэффициент

поглощения растет с ростом температуры, которая обусловливает

возрастание концентрации носителей заряда.

На рис. 115 представлено поглощение, обусловленное дырками,

инжектированными в германий я-типа. Поглощение свободными

носителями заряда может быть использовано для изучения явлений,

связанных с неравновесными процессами на контактах.

0,4 0,5 0,6

Знергия

фотонов,

эВ

Рис. 115. Поглощение света дыр-

ками, инжектированными в герма-

ний п-типа

Резюме § 74, 75

1. Поглощение энергии излучения свободными носителями заряда

обусловлено тем, что электрическое поле -волны вызывает омический

ток,, на поддержание которого расходуется энергия волны, перехо-

505.

дящая в ленц-джоулево тепло. Коэффициент поглощения пропорци-

онален проводимости

α = |σ. (75.1 ρ)

2. Зависимось коэффициента поглощения от частоты может быть

найдена или на основе теории дисперсии, или с учетом зависимости

проводимости от частоты. И в том и в другом случае зависимость α

от частоты имеет вид

a = (75.2р)

т. е. В" области ω

<^ω?

α = α

, а при ω

^>ω?

а уменьшается по

закону: α ~ or

. Физический смысл ω

Γρ

в разных теориях разный,

однако во всех случаях со

гр

зависит от времени релаксации.

3. При наложении магнитного поля на полупроводник его сопро-

тивление возрастает, поэтому поглощение свободными носителями

заряда уменьшается. Выражение для α (ω) имеет вид

. , , 4πβμρ

+ (с^ +

со

)

2 ^

α {(0)

- [

+ (ω* - ω

) τ

]2 + 4ω

^ . I'&.dp)

где ρ —концентрация носителей заряда, η

—

коэффициент прелом-

ления.

4. При совпадении частоты излучения ω с циклотронной часто-

той со

наблюдается возрастание коэффициента поглощения по срав-

нению с частотами ω Φ со

. Это явление называется циклотронным,

или диамагнитным, резонансом. Он наблюдается достаточно отчет-

ливо в том случае, когда частица за время релаксации совершает

не менее одного оборота. Чем лучше выполняется неравенство ω?τ

1, тем отчетливее наблюдается резонанс. С квантовой точки зрения

циклотронный резонанс есть результат квантования энергии частиц

в магнитном поле. Фотон поглощается в том случае, когда рассто-

яние между уровнями Ландау равно энергии фотона:

Й(о

Йсо

; со

со

(75.4р)

Циклотронный резонанс позволяет определить /п*; для его наблю-

дения необходимы низкие, обычно гелиевые, температуры.

5. При поглощении света свободными носителями заряда происхо-

дит обмен импульсом между носителями заряда и решеткой, вследствие

чего коэффициент поглощения зависит от механизма рассеяния.

Для рассеяния на акустических и оптических колебаниях решетки

и ионах примеси коэффициент поглощения пропорционален λ

3/2

, λ

и λ

в полупроводниках со стандартными зонами энергии и невы-

рожденном газе носителей заряда. Вырождение или отклонение закона

дисперсии от квадратичного приводит к увеличению показателя

степени.

506.

§ 76. СОБСТВЕННОЕ ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА

Для описания собственного поглощения света воспользуемся

теорией возмущений. В качестве возмущения мы возьмем энергию

электрона в поле световой волны,, которую можно характеризовать

напряженностью Ε электрического поля и индукцией В магнитного

поля. Вместо двух величин удобно ввести векторный потенциал

А (г, 0» который позволяет выразить через него Ε и В (в системе

Гаусса):

Е —ту. - (76-0

. B = rotA. (76.2)

Гамильтониан электрона в кристалле, находящемся в поле излу-

чения, в приближении эффективной массы согласно (23.29) и (23.11)

имеет вид • .

(ρ L

н — i_£__i_ = _ — Δ 4- — (AV) 4-

~ 2m* • 2 m* ^ т*с

кл

' '^divA + ^i (76.3)

2m* с

wlv

™ ι 2m* c

Если ограничиться слабыми световыми потоками, которые можно

получить от обычных источников света, то последний член, пропор-

циональный А

, по сравнению с линейным можно отбросить

Учитывая, что вектор-потенциал должен удовлетворять условию

Лоренца

div А = 0, (76.4)

выделим в (76.3) оператор возмущения

W = ^(AV) = _±(A,-^) = -4(Aj), . (76.5)

где j

—

оператор плотности тока:

J-ev —gv. . (76.6)

* Таким образом, оператор Гамильтона для электронов полупровод-

ника, находящегося в световом поле, имеет вид

• H =

+ W = -^A+W. (76.7)

Как было показано в § 55, возмущение индуцирует переходы

из одного состояния в другое. Рассмотрим некоторое состояние

Учет А

необходим при освещении полупроводников мощными световыми

потоками, создаваемыми квантовыми генераторами, что приводит к описанию

Двухфотонных переходов.

507.

в валентной зоне с энергией Ε

(к

), ему соответствует волновая

функция ψίκι (г, t):

Φΐ«ι(Γ, о = 4

(К1Г)е

* · (

)

Возьмем некоторое состояние в зоне проводимости с энергией

(к

) и волновой функцией ψ2κ

(

> 0

t j

Ьк

(Г, 0=Ч

еМК2Г)е

* · <

)

Ζ.

Чтобы вычислить вероятность перехода, необходимо задать возму-

щение W = W(r, /). Вектор-потенциал возьмем в виде плоской волны:

А (г, 0 = Аое^®/-<вг>]. (76.10)

Для оператора возмущения W согласно (76.5) и (76.10) имеем

w = (AV) =

е<

<*>]

V). (76.11)

Вычислим матричный элемент W с помощью волновых функций

ψίκ, (г, t) И ψ

(г, 0·

J twr,/)w(r, owr.

(L*)

Jf §

(Kir)

i(gr)

V) e'

<*>

dx =

)

= -

)

е* 6

Kl+g

(76.12)

Выражение (76.12) показывает, что матричный элемент отличен

от нуля только в том случае, когда

+ g = K

, (76.13)

или

= Pi + ^g, (76.14)

т. е. при поглощении света должен выполняться закон сохранения

квазиимпульса: квазиимпульс конечного состояния равен векторной

сумме квазиимпульса начального состояния и импульса фотона.

, Если

Κχ

= 0, то K

= g. Но такие переходы невозможны, поскольку

в этом случае (А

) = (A

g) = 0 (условие поперечности световых волн).

508

Квазиимпульс электронов

тепловой энергией имеет величину

-Р =

^Y2m*kT. При Г =

300

К и т* = 10~

имеем

Ρ !=» ΙΟ"

г-см/с

к ^ Ю

см

-1

. Для света с длиной волны λ ^

мкм g = ^

^6'10

см

, что значительно меньше к для тепловых электронов.

В таком случае, пренебрегая величиной tig по сравнению с Р

получим

= pi; к

= к

. (76.15)

Переходы из валентной зоны в зону проводимости в соответствии

с правилами отбора (76.15)

—

с сохранением волнового вектора элек-

трона—носят название прямых, или вертикальных. Электрон, погло-

тив фотон, переходит из некоторой точки зоны Бриллюэна валент-

ной зоны в эквивалентную точку зоны Бриллюэна зоны проводи-

мости.

Как видно из (76.12) в матричный элемент оператора возмущения

~[Ε

(κ

)~Ε

(κ

)-\-ηω]ί

входит член е

. При вычислении -вероятности

перехода в единицу времени этот множитель дает δ-функцию

(см. § 55):

δ[Ε

(κ

)-Ε

(κ

)+ηωΙ

которая отражает выполнение закона, сохранения энергии при погло-

щении света:

(к

)

Εχ

(κχ) +

/ζω.

(76.16)

В соответствии с (55.23) вероятность перехода электрона из еди-

ничного объема к

-пространства в единичный объем к

-пространства

в единицу времени равна

9<тт p2/j2

w(K

) = f ^(Αοκ^δ^ίκ^^^^ + ^δκ^,κ,. (76.17)

Предполагая в дальнейшем, что законы сохранения энергии

и квазиимпульса выполняются, мы можем опустить δ-функции.

Выразим вероятность перехода электрона (76.17) через число фото-

нов, проходяших через полупроводник. Для этого учтем, что средняя

£2

плотность световой энергии равна (мгновенная плотность равна

еЕ

μΗ

εΕ

\ εΕ

8π

8лГ

~4π/'

ποτοκ эне

ги

равен с-^г, где η

—

коэффициент

преломления вещества и с/п

—

скорость света в нем. Поток фотонов

Я найдем, если поток энергии разделим на энергию одного кванта:

76Л8

508.

Выразим вероятность перехода электрона через поток фотонов, для

этого выразим А? через q. Найдем связь между Е

и А

Е = -= - ^ [

(8Γ)

-£] (76.19)

с ot с с

Ео = уА

= £А

. (76.20)

. Из (76.18) и (76.20) следует

ηδπ^ω 8зт7тс

или

(76.21)

= (76.22)

Для вероятности перехода (76.17) с учетом (76.22) имеем

, ν

1бЯ

Й2^2

П/с

C0S

/7С ООХ

(к

) = ^ q (θ = А

, к

). (76.23)

сгт* ω

Переход электрона из одного состояния в другое возможен только

в результате поглощения фотонов, поэтому w(к

) есть вероятность

поглощения фотонов. Так как она пропорциональна потоку фото-

нов q, то эффективное сечение поглощения однофотонного потока на

одном электроне получим, разделив w{k

) на поток фотонов q:

w 16л

пя| cos

П/|

= J · (76.24)

Я сгт* ω

Оценим величину эффективного сечения поглощения однофотон-

ного потока электроном, предположив, что т*^10~

г, ε ^16,

/с

я« 10® см

-1

, при ω^ΙΟ

и cos

= V

, получим o

= 10~

см

. ЭТО значение соответствует площади поперечного сечения

электрона в классической физике. При вычислении о

положили

cos

= V3, что соответствует среднему значению (cos

0):

π 2л

<cos

G> = ~ jj jj cos

0sin6d9d<p = ~. (76.25)

0 0

Если рассматривать вероятность (76.23), отнесенную к одному

фотону, который образует поток с/п, то

16л;

/с|

cos

υ»

= σ

- = ^ . (76.26)

em* ω

Если рассматривать поглощение одного фотона одним электроном,

то (76.26) необходимо разделить на поток ^/образуемый электро-

510.