Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

0 дискретные и непрерывные области спектра энергии приводит

тому, что коэффициент поглощения πρΗ_/ζω = Δ£'

не равен

нулю. Расчеты Эллиота, Декстера, Мак-Линаг и др. дают следующую

форму спектра при прямых разрешенных межзонных переходах:

2яе

/2т* \з/2

где

sh ζ

(76.65)

При ήω-+ΔΕ

получим

а(АЕ

) =

4яе

т,шп

(76.66)

(76.67)

тем больше ов

•

О,

а уравнение (76.65) дает

Δ£

" .

(0)

(Ef)

l/2

экситона Е

(^Кр γ,

т. е., чем больше энергия ионизации

при Ы =

АЕ

При и

α(Δ£

I зависимость вида

(/ζω — Δ£

)

1/2

Аналогичные поправки появляют-

ся и для прямых запрещенных

переходов. Развита теория и не-

прямых экситонных переходов.

Как следует из модели экси-

тонных переходов, должна суще-

ствовать резкая длинноволновая

граница фундаментальной полосы,

тогда как в действительности

длинноволновый край фундамен-

тальной полосы поглощения более

или менее затянут в сторону

Ηω<ΑΕ

На рис. 121 приведена зави-

симость вида α

(/ζω) для теллу-

рида кадмия, построенная по дан-

ным рис. 120, а. - На кривой

зависимости α

ι/2

(/ζω) отчетливо

видны несколько прямоугольных

участков, экстраполяция которых

к а^

= 0 дает энергии с рас-

стоянием между ними 0,021 эВ,

что хорошо совпадает с энергией продольного оптического фонона.

Это означает, что край поглощения формируется с участием фо-

нонов, взаимодействующих с экситонами. При непрямых межзон-

ных переходах должны наблюдаться только два прямолинейных

участка на зависимости α

1/2

(/ζω), разделенных при экстраполяции

их к а

{

= 0 интервалом энергии, равным удвоенной энергии

фонона. Теория экситон-фонногс! поглощения разработана Б. Се·

галлом.

ЩэВ

Рис. 121. Зависимость α

1/2

от энергии

фотона для теллурида кадмия (по дан-

ным рис. 120,

а)\

/—исходный образец; 2—отожженный при

500 °0

17 Киреев

521

При экситон-фононных межзонных переходах форма края собствен-

ного поглощения многих веществ может быть описана в широком

интервале значений а уравнением Урбаха

(fico

— Е

)

α(Λω) = α

. - (76.68)

Параметр Е

закона Урбаха может быть связан с энергией мак-

симума экситонной полосы поглощения, при этом параметр а

совпа-

дает со значением коэффициента поглощения в максимуме экситон-

ной полосы. Параметр σ принимает значения в интервале 1-ьЗ.

Если считать

его зависящим от температуры, то можно описать

и температурное изменение фундаментальной полосы.

Резюме §76

,1. Переходы электрона при поглощении света называются пря-

мыми, или вертикальными, если выполняются правила отбора

«2 = «1 + 8» или к

^ Κχ. (76.1 ρ)

Переходы называют непрямыми, или невертикальными, если

Ka^Ki +

Кфон.

(76.2р)

2. Край собственного поглощения определяется при прямых

и непрямых переходах соответственно соотношениями:

/ζω

Γρ

= Δ£°, (76. Зр)

^ω

Γρ

= (Δ£

zt /гсо

фон

). . (76.4ρ)

3. Коэффициент поглощения а у края собственного поглощения

пропорционален разности (Ηω

—

ΔΕ

) в степени г:

α~(/ζω- Δ Ε

γ=(Η<ύ

— Λ<ύ

ΐρ

γ,

(76.5р)

где г принимает значения:

1/2—

для прямых разрешенных; 3/2 —для прямых запрещенных;

2 —для непрямых разрешенных; 3 —для непрямых запрещенных

переходов. '

4. Собственное поглощение приводит к генерации пары свобод-

ных носителей заряда

—

электрона и дырки.

Кулоновское взаимодействие генерированных светом электрона

и дырки приводит к изменению формы края, собственного поглоще-

ния при межзонных переходах, благодаря чему коэффициент погло-

щения не обращается в нуль на границе полосы.

5. Собственное поглощение приводит к быстрому поглощению

света; длина свободного пробега фотона /

фт

при Ηω>Ηω

Γρ

имеет

величину порядка 10

-5

— Ю

-6

см.

6. Оператор возмущения имеет вид

W = -|(Aj) = |^(Av). (76.6р)

522.

§ 77. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА РЕШЕТКОЙ

Поглощение света решеткой происходит в результате взаимодей-

ствия электромагнитного поля световой волны с движущимися заря-

дами узлов решетки. В ионных кристаллах локализованный заряд

иона, имеющего координату R

j и скорость R

·, взаимодействует

со световой волной, которую можно описать вектор-потенциалом

А (г, /). В гомополярных кристаллах. атомы будут иметь дипольный

момент вследствие движения ядер или вследствие индукции полем

световой волны. Для определенности будем рассматривать движение

ионов решетки. Энергию взаимодействия света с решеткой можно

записать согласно (76.5) в виде

W = (77.1)

Если длина волны света велика по сравнению с периодом

решетки и тем более с величиной смещения и

j, то можно взять зна-

чение вектор-потенциала при и

j = 0, т. е. в положении равновесия

ядер Rnj. Считая опять-таки интенсивность света не слишком боль-

шой, можно отбросить второй член в выражении (77.1). Введем

вместо величин R„j нормальные координаты

Rnj = ^ni=yM7W

. (77.2)

Величины приведенных смещений можно записать в виде

a(s)

= wo,. «(„е"' [®а(5»'-(

аи)»)], (77.3)

Из (77.3) и (77.2) запишем

Rnj = — *2>0j,a(s)e. , (77.4)

a(s)

. поэтому для оператора возмущения (77.1) из (77.4) имеем

W = -f22

i®«(»)(

[

+ i'^<«w)

ill0a(i,i

(Ka,s,n)1

· (77.5)

nj a (s)

Запишем вектор-потенциал

Α (η + j, t) = A

e' (77.6)

Чтобы искать вероятность перехода, необходимо указать, между

какими состояниями· происходит переход. Нас будет интересовать

система фононов; она характеризуется энергией Ε и волновой функ-

цией Ψ:

a (s)

= Π

-(5)(ς

α(

5)). (77.8)

a(s)

17* 523

Для нахождения вероятности перехода из одного состояния

(Ψχ, Εχ) в другое (Ψ

, Ε

) необходимо найти матричный элемент

оператора возмущения:

№ΐ2 = $Ψί$Ψ

</Γ\ (77.9)

где df —элемент, объема в конфигурационном пространстве. Если

подставить в (77.9) вместо W его выражение (77.5), то можно вычис-

лить W

При таком способе вычисления мы не учитываем изменений, про-

исходящих в системе фотонов. Чтобы учесть изменение в системе

фотонов, нужно записать волновые функции фотонов с использова-

нием методов вторичного квантования, вводя операторы рожде-

ния и уничтожения. Мы ограничимся качественными соображе-

ниями.

Вычисляя матричный элемейт W

12f

необходимо иметь в виду,

что интеграл берется по всем нормальным координатам; кроме того,

приме м во внимание, что величина #oj/<x(s)

есть

нормальная коорди-

ната, так что Uoi a(s) = q

0?), поэтому при интегрировании все вели-

чины, кроме u°oi a(s), можно вынести из-под знака интеграла:

= -12 2

ejcoa

(s)

cos О^

[

« ~

<*>

nj a (s)

(qcc

(

s))qa(s)^^

(s)

(

s))dq

), (77.10)

остальные функции фононов дают единицы при интегрировании.

Матричный элемент координаты гармонического осциллятора

равен

5 (s) (*)) (s)^ (S) (4a

(S))

(s)

τ/ΙΙΕΖ iVvaisb = (77.11)

Таким образом, матричный элемент оператора возмущения W

отличен от нуля только в том случае, когда колебательные кванто-

вые числа меняются на единицу: υ" = υ' ± 1 для любых частотг.

Если

ν"'

= υ'

—

1, то число фононов уменьшается на единицу

—

про-

исходит уничтожение фонона, если ν" = υ' +1— происходит рожде-

ние фонона за счет фотона.

Подставляя (77.11) в (77.10), получим

^12= -

Υ'Ш7

Ι(Β)У

«(«) +

оcos χ

nj a(s)

χ e'(®"®aJ

(

«(i)-«' n)

-i<gj)

(77.12)

524.

Для вероятности перехода w (1,2) получим

а»

(1,2) =

2π

да

e,eri«eJ)cos0j

j a(s)

!-./'*"«(,) Κω

[/ 2Aij

(Kaxi)-b») |

.χδ(ω-ω

α(5)

(77.13)

Мы видим, что поглощение света колебаниями решетки носит

резонансный характер:

-до

(1, 2) = 0, вела ω φ ω (s). Из сплошного

спектра излучения колебаниями решетки поглощаются только соб-

ственные частоты ω = ω

α(5

). Значения ω

α(

}

определяются совокуп-

ностью оптических и акустических ветвей. Учитывая, что ω

α(

^=ω,

можем существенно упростить выраже-

ние (77.13). Однако прежде всего учтем,

что последняя сумма в (77.13) легко

вычисляется:

g+2jtb.

(77.14)

где N

—

число ячеек в кристалле, b

—

век-

тор обратной решетки. Выражение

(77.14) имеет наглядный смысл: при

поглощении света должен выполняться

закон сохранения квазиимпульса:

a(s)

=g + 2rcb. (77.15)

Рис. 122. Определение спектра

поглощения света колебаниями

решетки

Если мы, как всегда, ограничимся основной зоной Бриллюэна

для колебания решетки (Ь = 0), то

a(s)

=g, \ (77.16)

т. е. поглощаются только такие фотоны, импульс которых равен

импульсу фононой. Объединяя соотношения (77.13) и (77.15), можно

записать

Λω

α(β)

=Λω,

^Kct(s) =^g

(77.17)

— законы сохранения энергии и импульса. Они позволяют провести

геометрическое построение для нахождения спектра поглощения

колебаниями решетки. На рис. 122 приведены акустическая и опти-

ческая ветви колебаний решетки. Тангенс угла наклона акустичес-

ких ветвей равен скорости звука. Нанесем на том же графике

дисперсионную зависимость 03(g) для света:

о>

= cg, (77.18)

прямолинейная зависимость частоты фотона от его волнового век-

тора изображена на рис. 122 пунктиром. Поскольку угол наклона

должен быть равен с —скорости света, то дисперсионная кривая для

света должна быть практически вертикальной линией. Поглощаться

525.

будут только те частоты, которые находятся в точках пересечения

(5)(Κ)

® =

cg>

поскольку именно для этих точек выполняются

одновременно законы сохранения энергии и импульса.

Отсюда следует, что поглощение света акустической ветвью дей-

ствительно не происходит, поскольку она не может пересечься с пря-

мой

со

= сК. И3'каждой оптической ветви в поглощении проявляются

только длинноволновые колебания, практически можно считать, что

спектр'поглощения колебаниями решетки сводится к (3s —3) часто-

там

<0(

)

(0).

Запишем теперь выражение для вероятности перехода, учитывая

правила отбора (77.17) и (77.11):

„ 2) _ | «cos в, -j/·^3+l:

(77.18')

Если, проквантовать А§ тем же способом, который был использо-

ван нами в предыдущем случае

до 8яйсп

то получим

W( 1, 2) :

С 8

б= —

<7,

(77.19)

(77.20)

Jeje-'fci) cos Ojj/"

* +

Эффективное сечение поглощения одного фотона пропорционально

числу фононов v'o+l данной частоты.

Величина j имеет порядок постоянной решетки, в то время как

длина волны света в области поглощения много больше постоянной

решетки, поэтому е-'^я^Л.

Рассмотрим теперь зависимость ω (1,2) от поляризации света

и фононов. Угол Gj есть угол между векторами поляризации фотона

и фонона, и поскольку K=g, то для продольных оптических коле-

баний

= 90°, и поглощения не происходит. В поглощении будут

принимать участие только поперечные оптические фононы.

При освещении кристалла естественным светом поляризацию

фотонов и фононов можно разложить по двум взаимно ортогональ-

ным направлениям, благодаря чему вместо cosGj можно поставить

единицу с тем или другим знаком. Знак cos 8j должен совпадать

со знаком ej (или быть противоположного с ним знака). Это связано

с тем, что смещения ионов 'ячейки происходят в противофазе. Учи-

тыва я последнее замечание, запишем

. (77.21)

Мы заменили М\ на некоторую приведенную массу

Αί

πρ

. Для

решетки с двумя ионами М

пр

= щ^+м - Полагая Ν (Λίι + Λί

) = pV,

запишем ;

526.

Подставим вместо νό их равновесное значение:*

<Р'о)"

ήω

—

(77.23)

. Выражение (77.23) определяет частотно-температурную зависи-

мость поглощения света колебаниями решетки. С ростом темпера-

туры, когда 'η^τ 1, ω(1,2)~7\ Оценим необходимую для этого

температуру: Положим, что длина вол-

ны равна 20 мкм; тогда

Ηω

^ 0,06 эВ,

что соответствует температуре 400° С.

Поскольку вероятности прямых и

обратных переходов равны, то силь-

ному поглощению должно соответство-

Бол но бое

шсло(10*см~

)£\

01 0,8 .

1,0

11 1Л

0,3 №

0,5

0.6

0.7

волновое что(Юкм-

\ G®

Рис. 123. Спектр поглощения

колебаниями решетки в герма-

нии и кремнии

-ВО 80' 100 120 т 16L

Длина бопны (микроны)

Рис. 124. Спектр отражения антимо-

нида индия

вать и сильное отражение. Спектр поглощения решеткой наблюдается

в виде так называемых остаточных лучей. Если направить на кри-

сталл пучок широкого спектрального интервала, то в отраженном луче

останутся только частоты собственных колебаний решетки, удовлет-

воряющих правилам отбора (77.17). В действительности же спектр

поглощения колебаниями решетки имеет полосы определенной

ширины. На рис. 123 приведен спектр колебаний решетки германия

и кремния. На рис. 124 приведен спектр отражения антимонида

индия.

Как видно из рис. 123, спектр поглощения света колебаниями

решетки в германии и кремнии имеет ряд сравнительно широких

полос: в области от 300 до 700см

-1

(33—14 мкм) в германии и

в области от 500 до 1400 см

-1

(20 —7 мкм) в кремнии. Коэффициент

поглощения измеряется единицами и десятками см

-1

. Коэффициент

поглощения в германии больше, чем в кремнии, поскольку плотность

вещества в германии больше, чем в кремнии.

527.

• ' . -ν

Спектр отражения антимонида индия содержит хорошо выражен*

ную полосу в области λ^50 мкм, обусловленную колебаниями

решетки. Обращают на себя внимание два момента на рис. 124.

При малой температуре, когда концентрация носителей заряда мала,

отражение имеет чисто диэлектрический характер, обусловленный

коэффициентом преломления. При комнатной температуре проявля-

ется отражение, связанное с поглощением свободными носителями

заряда. Коэффициент отражения возрастает с ростом длины волны,

пока λ<λ

Γρ

; при λ>λ

Γρ

он остается постоянным.

Резюме § 77

1. Колебания решетки приводят к поглощению света в соответ-

ствии с правилами отбора:

(77.1 ρ)

(77.2р)

2. Из правил отбора (77.1—2р) следует, что свет поглощается

только оптическими колебаниями решетки, при этом

ω^ω£

(5)

(0). (77.3р)

Свет поглощается поперечными оптическими колебаниями ре-

шетки. Колебания решетки проявляются вхпектре отражения в виде

«остаточных» лучей.

§ 78. ПОГЛОЩЕНИЕ СВЕТА ЭЛЕКТРОНАМИ

N В ЛОКАЛИЗОВАННЫХ СОСТОЯНИЯХ

Электрон или дырка, находясь в локализованном состоянии, может

поглотить фотон, перейдя при этом в другое локализованное состо-

яние или в свободное состояние. Полосы, поглощения света при

переходах носителей заряда с дискретных уровней лежат за грани-

цей собственного поглощения в сторону меньших частот. Положение

полосы поглощения можно определить соотношением

1 2 4

Д-лок= \Е

ЛШ

—Е

ех(г

\ (эВ) (

мкм

)· (78.1)

Рассмотрим элементарную теорию поглощения света электроном

в локализованном состоянии. Обозначим исходное состояние знач-

ком «1», конечное состояние

—

«2». Волновую функцию локализован-

ного состояния возьмем в виде

__Lf

tyi = Се~

хр

Λ лок

, (78.2)

где ρ =

г — Ялок!» ^лок — энергия локального уровня. Величина

κ"

-у равна расстоянию, на котором вероятность нахождения элек-

528.

трона уменьшается в е раз. Функция (78.2) подобна волновой функ-

ции s-состояния одноэлектронной атомной системы. Из условия нор-

мировки волновой функции можно найти коэффициент С:

оо

= |с I

§ е-

*р<*т = |С|Чя$ e~

Vφ = , (78.3)

'о

откуда

С = С*=™. (78.4)

У π

Для конечного состояния возьмем волновую функцию электрона

в зоне проводимости

1 [-^+

(к

/7Q

Энергию взаимодействия выберем в обычном виде

W = —(AV) = —

—

cm*

х 7

сп

Найдем матричный элемент W

W = = )]

(Ao

V). (78.6)

0 cm*

л L

,г

X J e-^e-'

е~< <

dx. (78.7)

Поместим начало отсчета в точке К

лок

, тогда

|р|

= |г|. Учиты-

вая, что . .

е* <

= I (А

) ё («.о, (78.8)

запишем

= !L

e-^+'to-··'> dx. (78.9)

cm*

У π L

Вычислим интеграл в (78.9); положив

-g

= Q, (78.10)

запишем

2Л

0-0 о

'^е

dr J

cos e

sinQ

rfO

c/cp

- [ r

(-x+i«) /· _

-<*+«» 1 r Λ- - ^ Г ! ί 1 =

8πκ

«? J

(κ-f-iQ)"

J (κ»+<?)»'

° (78.11)

529.

- Из (78.11) и (78.9) для матричного элемента возмущения имеем

Ък

(А

)

1 (X2 +

Q2)2

8Ynehx

(А

) •й-[^лок+

®-

/7Q io\

^12-— з м + Ш

· (/o.U)

Вероятность перехода в единицу времени из состояния «1» в со-

стояние «2» равна

12 8л

йе

2) =

^zJ (κ

+<?)

cos (А

)δ[Е

лок

+ П<й-Е

]. (78.13)

Из закона сохранения энергии

Ег = Е

ЛО

г+П(* (78.14).

следует, что поглощение света дискретным центром может происхо-

дить при любой энергии Н(о^Е

—

лок

= Е

. Подставляя вместо А§

его выражение (76.22) через поток фотонов, перепишем

w (ί,

2)=

210π

%2η

Klq=

2Wn

Ъ {Ы

Е1)

д.

(78.15)

3cm*

L4(0 (κ

)

3cm* Ше (κ

)

. '

Умножая (78.15) на концентрацию локальных центров поглоще-

ния АГ

Л0К

,. получим коэффициент поглощения:

__ 2

лок

κ& (Λω-£

) /7Я Ш

^ок — Зст*П1Ч (κ

)

' l/o.io;

Поскольку энергия £

электрона согласно (78.14) может быть

любой, то и квазиимпульс электрона не ограничивается никакими

правилами отбора. Чтобы найти правила отбора, рассмотрим с этой

целью величину β:

β=

(κ

ρ2)4 = [κ

+(к

~ g)

]

* (78.17)

Поскольку для поглощения света электроном на дискретном

уровне g"~10

см

-1

, а для электронов проводимости с энергией по-

рядка kT волновой вектор достигает значений 10

см

-1

, то величи-

ной g по сравнению с к

можно пренебречь, поэтому

•р-тЙ^· (

ΐβ

)

Если рассматривать а как .функцию к\, то из (78.18) видно, что а

проходит через максимум, положение которого найдем из условия

έ (x*+lf)* =° = (

κ2

+ - +

2/ί

(78.19)

ил и

= (78.20)

Вследствие резкого уменьшения а при больших к

(апри

>κ) мы можем считать, что волновой вектор электрона меняется

530.