Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

ном; таким образом, вероятность поглощения одного фотона одним

электроном

Шф .16n

/fc

cos

= Щ

' (

)

т*

Перейдем к нахождению коэффициента поглощения а. В элементе

объема dx

имеется dx

(4η

fa (к

) свободных и

(4л

(к

)

занятых состояний. В элементе объема dx

имеется dx

(4л

Д (κχ)

занятых и dx

(4n

(к^ свободных состояний. Поскольку веро-

ятности прямых и обратных переходов равны, при вычислении коэф-

фициента поглощения света необходимо учитывать как прямые, так

и обратные переходы, вызванные светом. Спонтанными переходами

(рекомбинационными переходами)

будем при этом пренебрегать. За

единицу времени будет поглощено фотонов

δ(

Τ = №

(κι)

ра

(к

) w

(к

)

dx dx

. —/

(к

Р1

(к

)^(к

)] . (76.28)

Первый член в (76.28) определяет число поглощенных фотонов,

второй

—

излученных*- В обычных условиях уровни энергии заняты

электронами в соответствии с равновесным распределением их по

состояниям:

/ι(κι)=

ΈΕ

^—/

(£

)^0;

fpi (Κχ) = -pz^i ^ 0; f

(Εύ Ъ* 1,

(76.29)

т. е. валентная зона практически заполнена, а зона проводимости

практически свободна, поэтому обратными переходами можно пре-

небречь. (Но если в полупроводнике создать инверсную заселенность

уровней энергии, то (76.28) станет отрицательной величиной, и такой

полупроводник будет усиливать излучение, а не поглощать.) Умно-

жим (76.28) на Йсо, получим количество энергии, поглощаемой в еди-

нице объема полупроводника в единицу времени.

Но согласно (73.6) коэффициент поглощения а представляет собой

величину, определяющую количество энергии, поглощаемой в еди-

ничном объеме в единицу времени:

(76.30)

Интегрируя (76.28) с учетом (76.23) и (76.17),-получим

ПЧ2п

jj cos

θκ£δ (Е

(К

) - Е

(к

) 4- Щ

(76.31)

(йсет*

511.

Исключим зависимость а от Е

и /с|, учитывая, что £

•=£ι + Λω. Кроме того, необходимо иметь в виду, что величина

эффективной массы т*, входящая во все выражения (76.1—31), есть

эффективна я масса электрона в валентной зоне, или масса дырки.

Выразим /с| через ω:

Щ^Е^Ес^Ег + ^-Е^Е^-Щ + Пвь-Ес. (76.32)

Из (76.32) при κ

κχ

име.ем

δ (Е

(к

)

—

(к

) +

Йсо)

- + = (76.33)

где

• . <

)

— приведенная эффективная масса электрона и дырки. Для коэффи-

циента поглощения α с учетом (76.33) можем записать

J^-^-St)'*.· №35)

Множитель 4π/3 возникает вследствие интегрирования по углам,

при этом полярный угол отсчитывается от направления вектор

—

потен-

циала. Для вычисления интеграла в (76.35) положим

ПЩ /2т^\1/2

откуда

ι /2т* \з/2

\ dK

= ~ {-^j

X*/*

dx, (76.37)

после чего интеграл легко вычисляется *

00 '

1 /2/72* \5/2 • .

^тЫ

) (*ω-Δβ

)»'•-. (76.38)

Подставляя (76.38) в (76.35), получим

/zV

η 4jt 1

(Λω

—

АЕ

)

з!ъ

- =

(ηω-ΑΕ

)*ΐ>;

2 e

, (2<

)s/s

512.

а =

Выражение (76.39) показывает, что при вертикальных переходах

области малых (Αω

—

Δ£

) коэффициент поглощения пропорциона-

лен (Αω

—

Δ£ο)

3/2

. Если Λω<Δ£

, то а = 0

—

собственное поглоще-

ние имеет резкую границу со стороны* малых частот. Граница соб-

ственного поглощения определяется (оптической) шириной запрещен-

ной зоны для вертикальных переходов:

= К

= -щ·· (76.40)

Если выразить ширину запрещенной зоны в эВ, то границу соб-

ственного поглощения можно вычислить из соотношения:

Γρ

, мкм^д^^у. (76.41)

Как мы видим из (76.39), у края собственного поглощения а

определяется разностью между энергией фотона и шириной запре-

щенной зоны в степени

Выражение (76.39) справедливо только при переходе в полупро-

водника х со сферическими поверхностями энергии и экстремумами,

лежащими в одной точке, например в центре зоны Бриллюэна.

Рассмотрим теперь периодическое поле кристалла. С учетом усло-

вия Лоренца (76.4) гамильтониан электрона может быть записан

в виде:

= -

С")

"Ь Ц <

> =

» + W. (76-42)

где для оператора возмущения имеем:

ifi ρ —

(а

р)

(76

43)

В этом выражении для возмущения используется масса свобод-

ного электрона т

вместо эффективной массы. Кроме того, для удоб-

' ства дальнейших вычислений введен единичный вектор а

, опреде-

ляющий поляризацию волны. Вычисления матричных элементов

возмущения проводятся с использованием функций Блоха =

= е'

(кг)

сряк (г), у которых указаны два индекса: положение точки

в зоне Бриллюэна к и номер зоны я. Временная зависимость волны

Блоха аналогична временной зависимости волны де-Бройля, поэтому

при вычислении вероятности перехода снова получим δ-функцию,

из которой вытекает закон сохранения энергии при переходе элек-

трона из валентной зоны в зону проводимости. Опуская временную

зависимость, получим для матричного элемента оператора возму-

щения

. п'к

= 5 е~'

(ΚιΓ)

φ*

Κι

<gr)

(a°V) е'

(Κ2Τ)

'κ

άτ =

_еАо_?

-ϊ(κ

ιΓ

)φ£

Κι6

-ί(2Γ) (

0р) (к

г)(76.44)

с j

513.

Учитывая, что Vi|v

= tK

i|)

,4-e

V(p,

1Ki

, получим

nKi

, J е-'(K.+g-κ, r><p*

(ao, ш

) φ

,άτ +

S е-(a°V) φ

'κ

ίίτ. (76.45)

Поскольку |g|<^(/Ci, /с

), первый член дает

= K, или (76.46)

т. е. то же, что мы имели при использовании волн де-Бройля.

Условие κχ = κ

отражает закон сохранения квазиимпульса, поэтому

будем считать, что оно справедливо и для второго члена в (76.45).

В таком случае, объединив оба члена в (76.45), введем, обозначение

Рпп>

(к

) =

(а°, -

ihV

Нк

)

A> (76.47)

что позволяет записать для матричного элемента оператора возму-

щения

Ψηκ»

п>ш

= Фпп>(кд = — -$гРпп>Ы (76.48)

Шф

и для вероятности перехода

Отг Δ 2 '

(К

= р

пп

. (к

) I

δκ,κ,δ [Ε (

) - Ε (к,) + Μ· (76.49)

Предполагая, что экстремумы энергии находятся в точке к = 0,

разложим Рпп' (к

) в ряд

Рпп· (К

) = Рпп' (0) +

άΡ

™

(0)

+ ..· (76.50)

В приближении эффективной массы первый член равен нулю,

а второму члену согласно (76.17)'соответствует (а

, Йк

)^.

Учитывая (76.30), (76.28) и (76.22), получим

Α=

7$Η

ΚΙ

КГ)

4π

стЫ*ηω

5 I (Κ

) δ [£·

(κ

) - £·

(κ

) +

йсо]

rfx

. (76.51)

Переходы называются разрешенными, если Р

пп

> (0) ф 0. Для них

имеем:

I Р„„>

(0) ρ с

а =

jpcwf" ηω

i("2)-EM+n<o]dT

. (76.52)

514.

, шА'1

Η с

{

Используя (76.33) и (76.36),' вычислим интеграл в (76.52)

[Ei

(к

)

- Е

(к

)

Λω)]

άτ

Κ2

δ [(Αω

- ΑΕ

) - Щ-]

Απκ\άκ

2m* \

^ω-Δ£

)

1/2

, (76.53)

что дает для α:

' е

яя

, (0)

2π (2m* )

α = -т-г

1 1

(Λω - Δ£

)

n*cml ηω ft

3 ν 0/

' 2e

Ρ„„, (0) I

/2m* W*

„1/

πρ)

(Λω - AE

)Vi = β (λω - Δ£

)>/*, (76.54)

nPcmlH

ηω

где '

cmlfi

ηω

(76.55)

Если (0) = 0, то переходы называют запрещенными. Вычис-

ляя а на основании (76.51) с учетом линейного члена в (76.50),

получим выражение типа (76.39) с несколько другим значением

константы А. Учет последующих членов разложения (76.50) приве-

дет к зависимости

(Ηω —

Д£'

)

, где т

—

порядок производ-

ной матричного элемента по волновому вектору. В общем случае,

могут иметь место переходы различной «мультипольности», однако

их вклад оказывается различным. Для проверки этого оценим

отношение коэффициентов поглощения, соответствующих разрешен-

ным (76.54) и запрещенным (76.39) переходам:

- =

φω- АЕ

) = Зту

пп

, (0)

· (

)

Мы видим, что при любом конечном . значении

п' (0)

форма

края собственного поглощения определяется разрешенными перехо-

дами. Однако с ростом энергии φω—ΑΕ

) вклад запрещенных пере-

ходов возрастает.

Таким образом, прямые переходы должны давать, зависимость а

от

(1ϊ(ύ —

ΔΕ

) в виде α = α

(Ηω

—

ΑΕ

Υ, где г может принимать зна-

чения

/г

прямых разрешенных и запрещенных перехо-

дах. Граница поглощения со

гр

определяет оптическую ширину запре-

щенной зоны Δ£ο = Αω

ΓΡ

, которая превосходит минимальное расстоя-

ние между валентной зоной и зоной проводимости, определяющее

термическое возбуждение электронов.

Поскольку существуют состояния, разделенные энергетическим

промежутком меньшим, чем Δ£ο, возникает вопрос, возможно ли

поглощение фотонов с энергией меньшей, чем йсо

гр

. Очевидно, что

пр и этом правила отбора (76.13, 14) должны нарушаться. Однако

нарушение правил отбора

+ g не может означать нарушение

закона сохранения квазиимпульса (импульса). Переход электрона

515.

из состояния к^О в состояние к

^к

возможен, если изменение

импульса электрона будет компенсироваться изменением импульса

фонона.

Рассмотрим следующие процессы. Пусть электрон находится

в состоянии к! = 0. Переведем его в состояние к

= 0, для этого ему

необходимо сообщить энергию Но такой электрон оказывается

«горячим» и в результате столкновения с решеткой электрон может

отдать свою энергию решетке, породив фонон с энергией Е

(0)

—

и квазиимпульсом ЙК =— Лк

, при этом электрон окажется в состоя-

нии Е

(к

). Его энергия изменилась на Е

(к

)

—

(0) = Δ£

< Δ£{[.

Такой переход можно представить следующим образом: электрон

переходит из состояния Е

(0) в состояние Е

(к

) в результате погло-

щения фотона с энергией ΔΕ% и длинноволнового фонона с энергией

—при этом электрон оказывается в состоянии £

(0).

Испустив фонон с энергией —и волновым вектором —к

электрон оказывается в состоянии Е

(к

). Таким образом, электрон

переходит из Е

(0) в .Е

(к

), поглотив фотон с энергией Λω = ΔΕξ.

Необходимая для переброса электрона энергия

—

ΔΕξ сообщается

электрону решеткой и решетке же она передается электроном. Пере-

ход электрона происходит через промежуточное состояние, в кото-

ром происходит преобразование длинноволнового фонона в коротко-

волновый. Другими словами, переход электрона из зоны проводимости

в валентную зону происходит за счет энергии фотона, изменение же

импульса электрона компенсируется решеткой (фононом).

Разобранная выше схема не является единственно возможной.

Действительно, электрон в состоянии £ι(0) может поглотить фонон

с энергией (Δ£°

—

ΔΕ%) и квазиимпульсом йк

, в результате чего он

окажется в некотором виртуальном состоянии; испустив длинновол-

новый фонон с энергией —электрон окажется в состоянии

(ко). Электрон в состоянии Ει (0) может испустить фонон с энер-

гией

ΔΕ°

—

ΔΕΙ и с импульсом (—йк

) и быть при этом в некото-

ром виртуальном состоянии, поглотив затем фонон с энергией ΔΕΙ,

электрон окажется в состоянии £

(к

). Таким образом, переход

электрона из состояния /^(κχ) в состояние £

(к

) при к/я^О и к

происходит через ряд виртуальных состояний: Чтобы получить

зависимость а, от частоты, необходимо учесть законы сохранения

энергии и импульса .

(к

) = Ε

(κχ) + tiω ±

Йс0ф

ОН

(76.57)

= к

±К

он, (76.58)

где ω

φ0Η

Кфон —

частота и волновой вектор поглощаемого (плюс) или

испускаемого (минус) фонона. Граница поглощения должна опреде-

ляться условием

йсо

гр

= Е

(к

) - Е

(0) ± Йсо

фон

= ΔΕ

± Ηω

φ0Η

. (76.59)

Таким образом, существует две границы собственного поглоще-

ния, оптическая ширина запрещенной зоны,(минимальная) при

516

прямых невертикальных переходах Должна быть меньше термической

ширины запрещенной зоны ΔЯ

на энергию фонона 7ζω

φ0Η

Если предположить, что возмущение содержит теперь некоторую

характеристику фононов, то вероятность перехода электрона будет

определяться как матричным элементом возмущения со стороны

электромагнитного поля, так матричным элементом возмущения со

стороны решетки.

Предполагая, что матричный элемент возмущения со стороны

решетки не зависит от частоты фонона, мы получим зависимость

коэффициента поглощения От частоты в виде

α (ω) ~

(Нео

- ΔΕ[ ± Йсо

фон

)

. (76.60)

Если учесть, что число фононов зависит от их энергии и темпе-

ратуры, то выражение для α можно записать в виде

f(/uo-A£

fao

фон)

(/ζω-Δ£

-/κο

φθΗ

)

α (ω) ~ —- + Т^— • <

)

I е

— 1

1-е

' J

Первый член описывает процесс поглощения света с поглощением

фононов, число которых пропорционально величине «

φθΗ

—

второй член описывает процесс поглощения фотона с испусканием

фонона, вероятность испускания фонона равна вероятности того,

что данное колебательное состояние не возбуждено, т. е.

. —Ч^г· <

кТ

-1 1-е

Для запрещенных непрямых переходов

показатель степени должен

быть на единицу больше по сравнению с непрямыми разрешенными

переходами, т. е. вместо (76.60) следует записать

α (ω) ~ (йо - АЕ? ± Йсо

фон

)

. (76.63)

В заключение этого параграфа сравним коэффициенты поглоще-

ния света в результате прямых и непрямых переходов. Прямой

переход определяется вероятностью встречи двух частиц

—

электрона

и фотона. При непрямых переходах должны встретиться три части-

цы—электрон, фотон и фонон. Но это означает, что непрямой пере-

ход является процессом менее вероятным, чем прямой, поэтому

коэффициент поглощения света при прямых переходах должен дости-

гать больших величин, чем для непрямых переходов.

На рис. 116 представлена схема прямых (а) и непрямых (б)

переходов. Точки У и 2 представляют собой виртуальные состояния.

Примерами прямых переходов могут служить переходы электронов

Ри поглощении света в InSb, непрямые переходы имеют место,

Например, в германии и кремнии.

517.

На рис. 117 представлены спектры поглощения германия и крем-

ния. Граница собственного поглощения, определяющая оптическую

ственном поглощении света

ширину запрещенной зоны, находится при 0,66 и 1,09 эВ. Край

поглощения обусловлен непрямыми переходами. В области 0,8 эВ

в германии наблюдается резкое возрастание коэффициента поглоще-

ния, оно объясняется началом пря-

Вол новое

число, Ю

см'

10 15 20 15

10*

π—| Π Π Π"

1,5 2,0 25 3,0

Энергия фотона для

si,э1

мых переходов, которые, как было

сказано выше, являются более ве-

роятными по сравнению с непря-

мыми переходами. В кремнии пря-

мые переходы наблюдаются при

Йсо^2,5 эВ.

На .рис. 118 представлена гра-

фическая зависимость собствен-

ного поглощения в Α

ΠΙ

, а на

рис. 110

—^

в некоторых соедине-

ниях A

. Резкое возрастание

коэффициента поглощения у края

основной полосы связано с быст-

рым ростом числа частиц, спо-

собных поглощать фотоны с ростом

их энергии. На рис. 119 видно,

что за краем собственного по-

глощения α определяется погло-

щением свободными носителями

заряда.

Исследуя форму кривой в обла-

сти края собственного поглощения,

можно в ряде случаев сделать заключение о структуре зон энергии.

Собственное поглощение приводит к быстрому уменьшению интен-

сивности света, поскольку коэффициент собственного поглощения

имеет величину 10

—10

см

IL__/E

->{09 зВ

ч /|Ес НММ

Волновое число,

c/r

151 6 7

0,60ом 0,70 0,75 а,80

0/5

ОМ 0,951,00

Энергия фотона для

Ge,

эо

Рис. 117. Спектр поглощения герма-

ния и кремния

518.

При построении теории поглощения света, приводящего к меж-

зонным переходам электронов, мы не учитывали кулоновского взаи-

модействия между электронами и дырками, возникающими вследст-

вие поглощения фотона. Благодаря кулоновскому притяжению

образуется связанная система «электрон —дырка» —экситон, имею-

щая водородоподобную систему дискретных уровней энергии El =

===

Ес

—

Еуп

, расположенных ниже дна зоны проводимости, о чем

сказано в § 27. Основное состояние экситона согласно (27.9) лежит

ниже Е

на величину

При прямых межзонных переходах

дырка с волновым вектором к

=— к.

как единое целое, отсюда следует,

что движение электрона и дырки

коррелировано, их относительная

§125

из состояния к = к

образуется

Поскольку экситон движется

S/до

1 75

I 50

% 15

InSb

GaAs I

InAs

GaSb

InP

1 -

/AlSb

•d

1 ...1 r

1, 1 '

J L—L 1—

^ О 0,2 ом 0,6 0,8 1,0 1,2 Ifi 1,6 1ft

Энергия (ротона,эВ

Рис. 118. Край собственного поглощения

в соединениях Α

ΙΠ

и германия

'2fl 2,5 3,0 b

}

0 5,0

6,08,010 12

Длина

Волны, мкм

Рис. 119.

Край

собственного погло-

щения и поглощение свободными

носителями заряда в соединениях

скорость равна нулю. Это возможно в том случае, если экситон обра-

зуется при переходах к

= к

= 0, т. е. переходы происходят в центре

зоны Бриллюэна, или в точках экстремумов энергии в общем случае.

Малость интервала возможных состояний, из которых разрешены пере-

ходы электронов с образованием экситонов, приводит к возникновению

Узких спектральных полос поглощения, примыкающих к фундамен-

тальной полосе с длинноволновой стороны. Пример наблюдения

кситонных полос поглощения приведен на рис. 120 для теллурида

селенида кадмия. Для . теллурида кадмия наблюдается одна

голоса, соответствующая переходу в основное состояние экситона.

Для селенида наблюдается три полосы, соответствующие перехо-

дам

из трех валентных зон, одна из которых опущена вниз вслед-

ствие спин-орбитального взаимодействия на величину порядка 0,4 эВ

полоса С). Две другие возникают при снятии вырождения полем

519.

Кристаллической решеткй сёленида кадмий, имеющего структуру

вюрдита. Для теллурида кадмия двукратное вырождение не сни-

мается, поскольку он имеет

кубическую решетку типа

> сфалерита, а спин-орби-

тальное взаимодействие для

теллурида кадмия состав-

ляет примерно 0,9 эВ, и

полоса С попадает в об-

ласть сильного межзонного

поглощения и плохо раз-

решается.

Возникновение узких

дискретных полос погло-

щения

—

не единственное

изменение, вносимое экси-

тонными состояниями в

спектр собственного погло-

щения. Расчет показывает,

что существование экситон-

ных состояний, т. е. куло-

новского взаимодействия

электрона и дырки, приво-

дит к изменению формы

полосы собственного погло-

щения.

«г Как известно, любая

атомная система имеет бес-

конечный набор дискрет-

ных уровней энергии, со-

ответствующих финитному

движению электрона. При

нормировке потенциальной

энергии взаимодействия на

ноль в бесконечность пол-

ная энергия является ве-

личиной отрицательной.

Для положительных зна-

чений энергии движение

электрона инфинитно, про-

исходит ионизация атома,

а спектр энергии свобод-

ного движения электрона

непрерывен. Этот факт поз-

воляет характеризовать

собственную полосу погло-

щения как результат перехода электрона в состояния, соответствую-

щие непрерывному спектру энергии экситона, Наложение переходе

0,58 0,61 0,66 Х^мкм

Рис. 120. Край собственного поглощения в тел-

луриде (а) и селениде (б) кадмия. Спектры по-

глощения селенида кадмия на подложках из

сапфира (кривая С) и флюорита (кривая Ф)

при 80 К и спектр фоточувствительностн тол-

стого слоя (-^ 20 мкм) на флюорите (кривая S)

520.