Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

В окрестности центра зоны Бриллюэна фазовая и групповая

скорости волн акустической ветви равны скорости звука

ω άω

/rri ЛГЧ

=c;

Гк =

К =

Т>

' <

)

поэтому

= (60.26)

Таким образом, число колебаний, соответствующих единичному

интервалу частот и единичному объему кристалла, определяется

соотношением (60.26) для состояний вблизи центра зон Бриллюэна,

е. для длинных волн. Согласно Дебаю предположим, что соотно-

шение (60.26) справедливо для всего спектра акустических колебаний.

Кроме того, учтем, что возможны два типа поперечных и один тип

продольных колебаний со скоростями c

к c

. В таком случае плот-

ность состояний §·(ω) равна

, ч ω

/ 2 ,

1 \

Зсо

= - • : <

)

где.определяемая условием

i = + (60-28)

есть усредненная по направлениям и типам колебаний скорость звука.

Запишем теперь энергию акустических колебаний:

max max

С tog (ω) Υάω _

ЪУ%

? ω* άω

о о

Положим Hay/kT = x и перепишем (60.29) в следующем виде:

(60.30)

Величина лг

, или соответствующая ей предельная частота со^,

находятся из условия нормировки g(co) к полному числу акусти-

ческих колебаний, равному 3N:

шах

- (60.31)

! • . о

Подставляя выражение (60.27) в (60.31), получим

maX

3ω

. ω·,

βχ

3Ν 3

* = ЕРГ= У = IT

"max = <ax, (60.32)

Или

(60.33)

391

где а

—

постоянная решетки, V

= α

= V

/N —

объем элементарно

ячейки.

Оценим максимальное значение волнового вектора*

Если оценить К шах по минимальной длине

волны

—λπγ\

=2а,

для /(max получим значение

Кшах

= л/а. Таким образом, интерполад^

Дебая приводит к несколько завышенному максимальному значен^

волнового вектора решетки, поскольку она заменяет зону Бриллюэна

сферой радиуса Ктах.

Оценим максимальную частоту ω

max·

GW = C

KMA

; (W^\QM0

= \0

С"

. ДШ^

Вместо максимальной частоты (о

тах

спектр акустических колебании

можно определять

характеристической температурой

твердого тела,

или

температурой Дебая 6:

• РАВ)

При (o

max

-1

температура Дебая

\00°

К. Ддя

ргштч-

ных

тел

температура Дебая различна

составляет величину

в несколько

сот

градусов. Очевидно,

что

характеристическая темпе-

ратура Дебая

не

превышает температур Дебая

да

оптически!

вет-

вей:

6<6].

Запишем энергию колебаний решетки

как

температуры:

М 3s

о ν

Учитывая (60.36), можем записать коэффвдш перед, ннтеграз

из (60.37):

после чего можно представить

(Е) в

виде

ti/.ч

рассмотрим теплоемкость твердого тела

0 = (60.41)

Выражение для С в общем случае получается достаточно слож-

ным.

Рассмотрим область высоких и низких температур. Когда Τ^θ

и T^Qh оптические колебания дают в этом случае величину, про-

порциональную

3s ?/_ 3s

1-ш—™ 2

(

>· (

Β0

)

/=4ё

—1 /=4

и акустические колебания дают вклад, пропорциональный значению

функции Дебая D (в/Т):

е/т

dID-^A^. (60.43,

τ)

Но при больших Т, когда Θ/Γ<

и л:< 1, е*^

+лг, £>(0/Г)я^1

и , следовательно,

Я^ [3 + (3s

—

3)] = (60.44)

— на одну степень свободы приходится энергия kT, а теплоемкость

решетки не зависит от температуры:

С = 3Nsk. (60.45)

Для молярной теплоемкости получим величину 6 кал/моль в соот-

ветствии с законом Дюлонга

—

Пти. Он справедлив, пока для метал-

лов Τ </

/&==Т

ырожд, а для полупроводников концентрация элек-

тронов остается много меньше числа атомов основного вещества

в единице объема.

Рассмотрим другой предельный случай: и, следовательно,

Это означает, что верхний предел интеграла Дебая можно

заменить на оо, но

оо

dx π

е*—

15'

поэтому

(60.46)

»№)-Ϊ(Τ)Τ (60.47)

>=Via

Тогда

(60.48)

. (60.49)

393

т**

д/

/ У

Д// \

У/ '

LJ I

Закон C^T

хорошо оправдывается в области температур д

—

50° К. В области промежуточных температур необходимо учи.

тывать как роль акустических, так и оптических колебаний. В этой

области теория Дебая недостаточно хорошо совпадает с эксперимен-

тальными результатами. Это связано с тем, что происходит возбуж..

дение коротковолновых колебаний, для которых интерполяция Дебая

не имеет места. Действительно, рассматривая, линейную цепочку

типа NaCl и учитывая элементы динамической матрицы, Келлерман

путем численных расчетов

получил сложную зависимость ω (/f)

(или /((ω)), из которой для g"(co) он построил кривую, изображенную

на рис. 84.

В заключение этого параграфа остановимся на двух вопросах:

на тепловом расширении решетки и тепловом сопротивлении. Если

рассматривать колебания решетки в гар-

моническом приближении, то нормаль-

ные координаты являются независимыми.

Каждой нормальной координате соот-

ветствует определенный набор фононов.

Они должны быть также независимыми,

поэтому в гармоническом приближении

фононы не взаимодействуют. Энергия,

переносимая фононами, перемещается в

решетке с групповой скоростью, поэтому

потоку тепла сопротивления нет. Сред-

нее смещение атомов, совершающих гар-

моническое колебание, равно нулю,

и расстояния между атомами не изменя-

ются. Реальные тела испытывают тепло-

вое расширение. Для объяснения этого

, факта необходимо учесть кубические чле-

ны разложения потенциальной энергии по смещениям ядер. Если учесть

тензор S

j,mi,ik, то колебания ядер уже не будут гармоническими,

кубический член делает их ангармоническими и взаимно зависимыми.

Соответствующие нормальным координатам осцилляторы будут также

ангармоническими. Ангармонизм осцилляторов превращает фононы

во взаимодействующие. Благодаря этому возможно рассеяние фононов

на фононах, т. е. происходит нарушение принципа суперпозиций

упругих волн. При этом во взаимодействие должны вступать три

фонона, что может привести как

к рождению нового фонона, так

и к уничтожению одного из них (точнее —два фонона превращаются

в один). Рассеяние фононов на фононах приводит к появлению теп-

лового сопротивления. Поскольку ангармонизм колебаний проявляется

тем меньше, чем меньше амплитуда колебаний, или чем меньше

температура, то тепловое сопротивление должно уменьшаться с умень-

шением температуры. Ангармонизм колебаний приводит к томУ>

что среднее смещение атомов отлично от нуля, в результате м

г0

размеры тел изменяются, т. е. имеет место тепловое расшире

ние

твердых тел.

(в 10"г')

Рис. 84. Плотность колебаний

g(a>) для NaCl по Келермаиу

(сплошная линия) и Дебаю

(пунктирная линия)

394

Резюме § 60

]. В статистической физике показывается, что вероятность нахож-

дения некоторой системы в состоянии с энергией Е

равна

= Z

-1

, (60.1 ρ)

где статистическая сумма Ζ определяется из условия нормировки

вероятности:

Z = (60.2р)

S S

Среднее, или равновесное, значение энергии (Е) равно

<£> = 2^· (бО.Зр)

2. Для гармонического осциллятора равновесное значение энер-

гии согласно (бО.Зр) равно

+ (60.4р)

^т _1

Если считать, что возбуждение осциллятора адэкватно рождению

фонона, то среднее число фононов определяется уравнением

= · (60.5р)

—1

Из (60.5р) видно, что фононы подчиняются статистике Бозе

—·

Эйнштейна и, следовательно, они имеют целочисленный спин (в еди-'

ницах П).

3. Итак, фононы —это квазичастицы, соответствующие гармони-

ческим· колебаниям решетки кристалла с частотой ω

и волновым

вектором К

Энергия фонона

= Ы

, (60.6р)

квазиимпульс

= ЙК

. (60.7р)

4. Характеристической температурой θ твердого тела, или темпе-

ратурой Дебая, называют величину, определяемую условием

е = . (60.8р)

395

5. Температурой Дебая для оптических колебаний решетки назьь

. вают величину Θ/, определяемую условием

/ζω?

·β;=Υ· (бо.9р)

6. Число оптических фононов при температуре Τ равно

*J=ip-·. (бОЛОр)

е^

— 1

7. Число акустических фононов зависит от их частоты и темпе-

ратуры в соответствии с (60.5р). С ростом температуры число длин-

новолновых фононов растет быстрее числа коротковолновых фононов.

При больших температурах энергия, переносимая фононами,

не зависит от их частоты и равна kT на каждую степень свободы.

8. Теплоемкость твердого тела при пропорциональна Т

при Τ она не зависит от температуры:

9. Ангармонизм колебаний решетки приводит к тепловому рас-

ширению тел и тепловому сопротивлению, т. е. к рассеянию фоно-

нов на фононах.

§ 61. РАССЕЯНИЕ НА ТЕПЛОВЫХ КОЛЕБАНИЯХ РЕШЕТКИ.

МЕТОД ПОТЕНЦИАЛА ДЕФОРМАЦИИ

Используя понятие фононов, можно объяснить рассеяние элек-

тронов или дырок на колебаниях решетки на языке корпускулярных

представлений. Носители заряда, сталкиваясь с фононом, обмени-

ваются с ним энергией и квазиимпульсом. Поскольку число фононов

определяется температурой, то и рассеяние носителей заряда должно

зависеть от температуры.

Однако, чтобы воспользоваться общей теорией квантовых пере-

ходов, изложенной в § 55, необходимо найти возмущение, порож-

даемое колебаниями решетки, являющееся причиной перехода элек-

тронов и дырок из одного состояния в другое. Для нахождения

возмущения воспользуемся методом потенциала деформации.

Гармоническая волна (ω, К) приводит к локальным деформациям

кристалла. Смещение, создаваемое упругой волной в точке г в мо-

мент t, имеет вид

я (г. 0 = »ое"

(Кг)+

А, (61.1)

где и

—

амплитуда колебаний, фаза π/2 введена для упрощения

вычислений.

Деформация и приводит к относительному изменению объема А»

равному согласно (51.17) divw:

Δ - div и = i (Ku

) е~' Η ~~

(Кг) +

fl = (Ku

) е-' W - <KDI. (61.2)

396

Как видйо из (61.2), в кубических кристаллах изменение объема

наблюдается только при прохождении продольных волн. В анизотроп-

ных кристаллах происходит изменение объема при прохождении

любых волн. Найдем тензор деформации, равный согласно (51.3)

«--Т(£+£·)·· <

'·

Поскольку m-компонент смещения и определяется т-компонентом

а дифференцирование (61.1) по г

приводит к появлению мно-

жителя /Cm, ТО получим

Urnn^Ye-W-^HUornKn + UonKrn). (61.4)

- Направим ось ζ вдоль вектора К, вследствие чего К = (0, О, /С).

Для продольной волны

йо

—(0, 0, и

для поперечных волн в зави-

симости от поляризации: и

= (и

, 0, 0) или и

= (0, и

0). Для тен-

зора деформации получим

; · и = и

Ке-^-<

Кг

>Ь|

(61.5)

и = и

/Се-

'^-<

Кг

>Ч

(61.6)

= и

Ке-'№-

(Кг

П· , (6117)

при этом (61.5) относится к продольной волне, (61.6) и (61.7)— к попе-

речной волне с колебаниями вдоль осей χ и у.

Поскольку поперечные волны представляют деформацию сдвига,

они не приводят к изменению объема, как это видно из (61.6) и

(61.7). Отметим, кстати, что поскольку продольные волны представ-

ляют собой деформацию сжатия и растяжения, а поперечные —дефор-

мацию сдвига, то они должны иметь различную скорость, так как

модуль Юнга и модуль сдвига в общем случае не равны друг другу.

Локальная деформация, создаваемая волной, приводит к смещению

дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.

Согласно (52.13)-запишем

(и) = Е

(0) + Δ$ и,* = Е

(0) + (г, t)

(61.8)

(и) = Ε

(0) + 2 АЙЧ* = Ε

(0) + V

(г, ί), ' (61.9)

Де V

и V

представляют собой потенциалы деформации для зоны

проводимости и валентной зоны. Обозначим элемент А^ через Δ^

397

а элемент = = Из соображений симметрии запишем Δ^

= =

А'

Проведем вычисления для продольной волны и зоны про.

водимости:

(г,. t) = W (г, 0 = и

К Δ,

е № - (кг)]. , (61 л 0)

Вычислим матричный элемент оператора возмущения (61.10)

с помощью волн· Блоха в приближении эффективной массы и при

нормировке в ящике объемом

= L

Ε (к) t . \

ΨΚ(Γ ,

= ^к(г)е ft = LA.

(Kr)

J. (61.11)·

Запишем

и^к'к = ^ск'к =е ft \ е dx =

(G)

= \МоКе~*

(Б

+ Ш

'ь

к+к

,/ (61.12)

При вычислении интеграла в (61.12) мы учли условие ортоиор-

мировки собственных функций ψ

(г). Для вероятности перехода из

состояния к в состояние к' согласно (55.23) имеем

о;(к, к')=^А*

и!К

Ъ(Е + Гт-Е')б

к+к

, (61.13)

В вероятность перехода входят две δ-величины, обеспечивающие

законы сохранения энергии и квазиимпульса. Именно, вероятность

отлична от нуля только в том случае, если

Е' = Е + Ы\

Йк'

Йк

+ ЙК, (61.14)

которые означают, что энергия и квазиймпульс электрона меняются

на энергию и квазиимпульс фонона. -Если учесть, что в (61.10)

в показателе экспоненты можно взять как минус, так и плюс, то

(61.14) можно записать в более общем виде:

Ε' = Ε±Ηω;

Пк

= Нк±ПК, (61.15)

т. е. энергия электрона увеличивается или уменьшается на вели-

чину энергии фонона, другими словами электрон или поглощает,

или порождает фонон.

Прежде чем переходить к дальнейшим вычислениям, отметим,

что соотношения (61.15) могут быть истолкованы на языке волно-

вых представлений:

к' = к±К (61.16)

— частота -γ и волновой вектор к электронной волну меняются на

величину ± ω и ± К вследствие эффекта Допплера при рассеянии

на движущемся объекте

—

области деформации.

398

Выражение (61.13) иллюстрируется рис. 85, на котором изобра-

жены две изоэнергетические поверхности Ε и £ +

/йо.

При заданном

вазиимпульсе фонона ЙК найдутся такие две точки Л и β на

поверхности энергии Ε и Е', которые должны отстоять друг от друга

а расстоянии К, так что конец вектора К лежит на поверхности Е\

начало —на поверхности энергии Ε. Таких точек может быть

несколько. Переход А ->· В соответствует рассеянию с поглощением

фонона. Точки Л', В' соответствуют рассеянию электронов с излуче-

нием фонона. Обозначим угол между к и К через а и выразим

соотношение между к и К через него, учиты-

вая (61.15):

£' = £( к') =

пч'

2m*

2т*

(к ± К)

2т*

ок

+ К

: 2кК cos α) =Е (к) ±

Ηω

Λ- I

= тг-=-±Λω.

(61.17)

Сокращая на

2m*

обе части равенства, подста-

вляя вместо ω величину с/С, WHO справедливо

для длинноволновой части акустической ветви,

получим:

(61.18) —2/ccosa.

Рис. 85. Переходы ча-

стиц при выполнении

законов сохранения

энергии и квазиим-

пульса

Так как ό^ ΙΟ

см/с, то при

2т*

1 первый член в (61.18)

равен ^ 10

см

-1

. Второй член зависит от угла а, при малых углах

cos α ~ 1, так что 10

2/с.

Выразим величину к через тем-

пературу из соотношения

откуда

__ ^

ЬТ

2т* — 2

к^^УЪтЧТ.

(61.19)

(61.20)

Полагая т*~10~

г, получим ΙΟ

]/^ см

-1

. Для того

чтобы электрон имел /с~10

см

-1

, достаточно, чтобы температура

тела была ^ ГК. Другими словами, первый член в (61.18) во всех

практически важных случаях можно отбросить, поэтому запишем

/^=p2/ccosa. (61.21)

В зависимости от α квазиимпульс фонона К может меняться

0т

0 до 2/с. При Г = 300°К 10

см

-1

и, следовательно, К может

принимать значение от 0 до 2-Ю

см

-1

, что соответствует энергии

Фононов от 0 до ПсКы Ю-

· 10

= 10~

эрг = 6· 10"

эВ.

• Мы видим, что основную роль в рассеянии играют длинноволно-

вые фононы с энергией, значительно меньшей энергии носителей

399

заряда, поэтому можно считать, что рассеяние "носителей заряда на

фононах упругое. В таком случае можно отбросить энергию фонона

в выражении для w(k, К').

Учитывая (61.21), преобразуем δ-функцию от энергии к виду

2|1 δ - к*) = δ (К>± 2 кК cos α) =

(±

os α),

(61.22)

после чего для вероятности перехода (61.13) будем иметь

, ^ 2лт*А1иШ е/ К \ /ci

®(к.»0 = — \"2к )' (61.23)

Чтобы вычислить время релаксации, необходимо учесть рассея-

ние на фононах всех возможных значений К. Другими словами,

в общем случае необходимо представить смещение атомов решетки

в виде супперпозиции нормальных колебаний:

и (г, 0 = Σ«οαβ

_ί

[

(ΚαΓ)

"^. (61.24)

Для потенциала деформации запишем

- А

Σ и

е~

IV-(V)]. (61.25)

Найдя потенциал деформации (61.25), вычислим теперь матрич-

ный элемент оператора возмущения,- после чего можем записать

выражение для вероятности перехода до (к, к'). В общем случае

-квадрат суммы не равен сумме квадратов, но необходимо учесть,

что при возведении в квадрат матричного элемента в общем выра-

жении для вероятности будут члены с произведениями δ-величин,

которые при суммировании выпадут, в результате чего под знаком

одинарной суммы останутся только квадраты матричных элементов

гармонических составляющих смещения (61.24).

Физически этот результат очевиден. Так как гармонические волны,

пропорциональные нормальным координатам, независимы, процессы

рассеяния на гармонических волнах являются независимыми и для них

складываются вероятности, поэтому какие-либо интерференционные

эффекты отсутствуют. Интегрируя (61.23) по всем к' свесом

—

cos θ), найдем τ

-1

(к):

755" = \ ^(

')[l-cosQ]dx

, (61.26)

(Μ

Для вычисления интеграла (61.26) удобнее перейти к перемен-

ной К. Так как к' =

+ К, то К = к'

— к

и dx

' = dx

. Поскольку

мы рассматриваем упругое рассеяние, векторы кик' лежат на одной

400