Киреев П.С. Физика полупроводников
Подождите немного. Документ загружается.
Таблица 11
Ρ
-1/2
0
3/2
A
2
—2C +
0 615 = (24,8)2
, D
+χ·
Переход от рассеяния на тепловых колебаниях решетки к рас-
сеяни ю на ионах примеси приводит к резкому изменению множи-
теля при В
2
:
R
B
= R
0
( 1-1,39μ^β
2
) для ρ = —у,
#
β
= ^
0
(1--615μ^
2
) для р=4. (44.10)
Таким образом, в области слабых полей коэффициент Холла
уменьшается пропорционально μαΒ
2
.
Рассмотрим область сильных полей μ|β
2
^>1. Разложение (44.3)
здесь справедливо, но при этом ряд расходится, необходимо перейти
к разложению в ряд по (μ^β
2
)"
1
. Можно записать таким образом:
1
+
х
• т—0
τ 2 (-^'(тГ; ι*ι>
1
» <
44
·
π
>
или
*{
ι
+
λ
)
\ X/
т
Учитывая разложение (44.12), запишем
< ч$*г> ~ w +•··)> ~ ж
<»
-
<
μ
-
2
>
(44
·
13)
и
\iw) (w - τάτ +
• ·
·)/ = i ~ <
μ_3
>
β
"
2)
·
(44.14)
Подставив (44.13) и (44.14) в (44.1) и оставляя члены не ниже В-*,
получим
R=
1 ^(Ι-(μ-)β-)
eti 1
(μ-ΐ)2
(1
-2 (μ"
2
) β"
2
) Β
2
= i {1 + «μ
2
> - (μ
χ
>
2
) Β η = R
B
. (44.15)
271
Выражение (44.15) можно представить в виде
Полагая τ = τ
0
Ε
ρ
, получим, например, при р = —V
2
(44.16)
(44.17)
где
m
Таким образом, в области слабых и сильных полей
ел \ Prf^ /
(44.18)
где α и а' зависят от механизма рассеяния. Общий ход R(B) пред-
ставлен на рис. 66.
Л
Rco
1
:в
ι
в
Рис. 66. Зависимость коэффициента Холла от магнитного
поля в области слабых (а) и сильных (б) полей
Перейдем теперь к исследованию зависимости R(B) для общего
случая, когда имеются носители заряда нескольких типов:
1
/ Ч
Λ
ηα
\ΐ+ϊΐρν
Для слабых полей с учетом (44.4) получим
R =
Σ
««»« «μ
α
>
-
<μ«>
*) J+[Σ
«„»« «μ*> -<μ&> ^
2
)]
2
β
2
}
272
(44.19)
.. (44.20)
Оставим в (44.20) только члены не выше В
2
:
{[|>а
п
«0*«)"
+
+
=
2
е
а
п
а
β
α
η
α
β2|
=
'5>а»«<^>1 ί Γ
•Ji =U
1 —
β
2
[Σ <^>]
2
-
2
[Σν« <μ«>] [Σν« (Κ)γ
где
_
α
<μ
α
)
.α '
-Ro
(44.21)
(44.22)
Выражение (44.21) переходит в (44.6) при α=1.
Для собственного полупроводника ηι = η = η
2
= ρ. Полагаем
(
μι
) = —6(μ
2
>; тогда
R
B
= R
0
{
1
- μ*,β
2
(1 + Ь
2
) + А
2
(1 - V) - 2С. (44.23)
Если&<1,то
Rв = Ro{l-μUB
2
[^+Δ
2
-Ж]} (44.24)
в полном соответствии с (44.9) для одного типа носителей заряда.
Если Ь 1, то
(44.25)
RB = Ro {l - + Л
2
- 2С]}.
Выражения (44.24) и (44.25) показывают, что изменение коэф-
фициента Холла β слабом магнитном поле обусловливается β первую
очередь более подвижными носителями заряда.
Тот же результат получили и для случая полупроводника
с несколькими типами носителей заряда одного знака.
Подобное положение наблюдается, например, в ρ—Ge. С ростом
поля из-за вклада легких дырок R уменьшается, поскольку одно
и то же поле оказывается сильным для легких дырок и слабым
Для тяжелых дырок. В электронном германии R практически не
зависит от поля в области «нуль —несколько килогауссов».
Можно представить, что если подвижности нескольких типов
носителей заряда различаются значительно, то на кривой R(B)
273
можно заметить столько перегибов, сколько типов носителей заряд
а
участвуют в образовании проводимости и поля Холла. Эффект^
резкого изменения будут тем более заметны, чем ближе концентру
ции носителей зарядов разного типа.
Рассмотрим, как проявляется вырождение на зависимости коэф,
фидиента Холла от поля в случае, когда проводимость осущест.
вляетс я несколькими типами носителей заряда. Не анализируя (44.1)
можно сказать, что в этом случае R должно зависеть от В. В под!
тверждение этого сравним (43.23) и (43.33), из которых видно, что
Ro Φ Roо.
Для смешанной проводимости при вырождении электронов и дырок
что возможно в полуметаллах при перекрытии зон энергии, (44.1)
примет вид:
ΡιΜΊ . - σ
2
μ
2
η/дч
] + μ
^2 -t- ι
+
μ|£2
R ( )
~ ( * I * У
1
( 1 ^ Γ'
( i26)
\ 1+μΙΒ* ^ l+μΐθ
2
J
~*~\ΐ
+
μΙΒ*
\ Ι+μ^ )
Введем обозначение
№f§- = f(
b
> (44-27)
Из (44.27) видно, что f (b, 0) = 1 и f(b, oo) = b
2
. Используя f(b, В)
перепишем (44.26):
1
+ JLjtf. ^ -
_1+μ|№
τ
fr f(b. В) ,
2
V
+
f(b, В))
ei
f (ь, в)) .
Из (44.28) следует (43.23) при £->0 и (44.33) при 5->оо. Для
собственного полуметалла имеем:
o
=
i±Ji£i IhJD. (44 29)
n
рп, I h \2 / Λ2 \2 · V"' '
СрЩ
Хотя поле влияет на величину коэффициента Холла и в вырож-
денных полупроводниках, однако это влияние при прочих равных
условиях меньше, чем в невырожденных полупроводниках. Это
видно, например, из соотношения (44.25) —при доминировании элек-
тронов в образовании поля Холла вырождение электронного газа
приводит к независимости R от В. С точки зрения наглядных пр№
ставлений об эффекте Холла зависимость R от В следует ожидав
в тех случаях, когда магнитное поле меняет вклад в образований
поля Холла носителей заряда различной энергии в невырожденьЫ*
полупроводниках с одним типом носителей заряда или различны*
типов носителей заряда независимо от степени вырождения. В пол)'
проводниках или полуметаллах с большим отношением подвиж^
0
'
274
400
сТ
ей b в области малых полей могут доминировать более подвижные
носители заряда даже при их небольшой концентрации, но с ростом
поля их вклад может существенно
уменьшаться, что позволяет наблю-
дать изменение знака поля Холла.
На рис. 67 в качестве примера
приведена полевая инверсия знака
коэффициента Холла CdJHg^Te,
у которого b ^ 60 -ь 100.
Изучение явления Холла имеет
важнейшее значение при опреде-
лении концентрации и подвижно-
сти носителей заряда, при изуче-
нии поведения различных примесей
в полупроводниках. Зависимость
In
|
R
|
от Т'
1
дозволяет определить
энергию ионизации примеси или
ширину запрещенной зоны, други-
ми словами, получение большинства' сведений относительно зависи-
мости концентраций носителей заряда от внешних условий или
состава полупроводника возможно при исследовании явления ·Холла
t
20
В,
к Гс
Рис. 67. Полевая инверсия знака
коэффициента Холла в Cd^Hg^Te
при 77°К
Резюме § 43, 44
1. Уравнения для определения коэффициента Холла R и под-
вижности Холла \i
H
в случае, когда в полупроводнике содержатся
носители заряда нескольких типов, имеют тот же вид, что и в слу-
чае одного типа. Между R и μ
//
имеется связь:
R<J
в
= μ
н
. (44
Л
р)
2. Подвижность Холла
Σ
т\
а
ι* Кп (а) 2
σ
α^α
(α) 2
α α -
связана с подвижностью Холла каждого типа носителей заряда
и проводимостью, создаваемой каждым типом носителей заряда.
Подвижность Холла μ
Η
определяет напряженность поля Холла
через напряженность поля Е
х
и индукцию магнитного поля В:
Ε
ζ
= — μ
Η
ΒΕ
χ
= tg φΕ
χ
. (44. Зр)
В собственном полупроводнике подвижность Холла
μ
σ„ + σ
ρ
1
+ 6 ·
275
Если А
п
= А
р
, то
А
(1
—
б
2
)
μ
ρ
ν" = Г+Г- = 0 -
ь
) ^· (44.5
Р)
3. Выражение для коэффициента Холла имеет вид (43.15)
В слабых полях
н Σ°α<
Для собственного полупроводника
*-£Γ·ΤΪΓ· (44.7р)
В полупроводниках, имеющих вырожденные зоны, более подвиж-
ные носители заряда играют большую роль в образовании поля
Холла, чем в проводимости.
4. В сильных магнитных полях в собственном полупроводнике
= 0, а в полупроводнике, имеющем смешанную проводимость,
ι
= = Σ
β
ο·
η
°·- (44.8р)
α α
5. В области слабых магнитных полей и в области сильных
магнитных полей коэффициент Холла уменьшается пропорционально
(μ
α
Β)* и (μ^)"
2
.
6. Изучение эффекта Холла используется для определения кон-
центрации и подвижности носителей заряда, для изучения их тем-
пературной зависимости, для определения энергии активации.
§ 45. МАГНИТНОРЕЗИСТИВНЫЙ ЭФФЕКТ
I
Рассмотрим магнитнорезистивный эффект на. основе кинетиче-
ского уравнения. Пусть ограниченный полупроводник в виде парал-
лелепипеда, ребра которого направлены вдоль осей координат,
имеет сферические поверхности энергии и один тип носителей заряда·
Ток идет вдоль оси χ. Проводимость вдоль поля Е
х
имеет вид (42.12)·
= + (45.D
т
или
/
α ->.«/ μ Χ ι
rn
\ΐ + μ
2
Β
2
/ (45.2)
°в-еп\
Т
_ррдру+м / μ-у-
1
\
1
+μ
2
52 /
276
Коэффициент магнетосопротивления Ή принято вводить соотно-
шением
н
Рд-Ро
1
1 Δρ в
а
о~
а
в
1
/дсоч
= ОТ"*-
(45
·
3)
Если Η известен, то сопротивление ρ в в поле В можно записать
в виде
Рв = Ро(1 + ЯБ
2
); Од— . (45.4)'
Так как а
0
=
е
2
/Сц,
то из (45.3), (45.1) и (45.2) для Я запишем
выражени е
еЦКгг-К'и)-
е
1
№
3
)
а
или
I "
ν 411
т
»а
Я =
-о5
—^—
(К
,
μ
, (45.5)
/ ^
ЛЛ / μ \ \ ι+μ
2
^
2
/
\
1
+μ
3
β
2
/ / μ \
/ μ \ ι \ΐ + μ
2
5
2
/
\1 + μ
2
ΰ
2
/ / μ \
\ΐ+μ2Β*/
Рассмотрим область полей, в которой согласно (44.4) можно
записать
1 * 1<μ)-<!*)*]
• ,45.7)
В области слабых полей (в пределе В = 0)
Н = Н
>=
(μ3)(
%-
(μψ
(45.8)
т
· е. коэффициент магнетосопротивления постоянен, сопротивление
растет пропорционально В
2
:
РЯ = РО(1+Я
0
В
2
). (45.9)
С ростом поля коэффициент, магнетосопротивления {45.7) умень-
шается, что означает замедление роста сопротивления.
277
Рассмотрим сильные поля (в пределе В = оо)
Н
W
=
1к
((μ>
<
μ
"*> "
1}
·
(45Л
0)
Коэффициент магнетосопротивления в области сильных полей
уменьшается как В~
2
. Следовательно, сопротивление при больших
полях имеет насыщение:
Ρ в ** ро (1 + <μ> (μ*
1
) — ΐ) = Ρο <μ> (μ
-1
) = poo. (45.11)
Величина насыщения магнетосопротивления
Δραο =
poo
- Ро = Ро «μ) (μ
-1
) — 1) = Ро «τ> <Ό - 1) (45.12)
зависит от механизма рассеяния.
Если действует один какой-либо механизм рассеяния, так что
τ = τ
0
£
ρ
, то
• г(4
+
„)г(|_р).
<τ> (0==
г Ш1
2
— '
(45ЛЗ)
rwj
В табл. 12 приведена величина [(τ) (т"
1
)]
-1
и НВ
2
для некото-
рых значений р.
Таблица 12
Ρ
0
±1/2
±1
±3/2
±2
[<τ> <τ-ι>η
1
g = 0,884
4 = 0,600
0
|=0,295
Jr
0
·
86
НВ2
0
0,116
0,400
.0,705
0,914
Мы видим, что положительное магнетосопротивление достигает
насыщения, величина которого зависит от р. При р =
х
/
2
отношение
^^ составляет примерно 12%.
Ро
В вырожденных полупроводниках Η =
О
при любых полях-
Это означает, что в вырожденных полупроводниках и металлах
магнетосопротивление в первом приближении равно нулю. Чтобы
получить отличные от нуля члены, необходимо учесть следую1Ш*
е
члены в разложении (3.42).
Вычисления дают
# = (46. И)
где
н
π* r
e
kTx(F)J /45.16)
278
с. в слабых полях магнетосопротивление квадратично по В,
ρ сильных полях магнетосопротивление достигает насыщения.
рассмотрим ограниченный полупроводник с несколькими типами
носителей заряда; согласно (43.12) и (43.15)
В области слабых полей
= rVe» //us /u3\il ·
(45
·
17)
Оставляя только члены при нулевой и второй степени В, получим
, U • J . (45.18)
B σ
Β J^eaflafra)
a
Рассмотрим собственный полупроводник:
<μι> = μ»*; <μ
2
) = μ
Ρ
*; (μί) = <μ
α
>
2
Α
α
; Α
χ
= Α
2
=Α;
<μα>
= <μα>
3
ε
α
; С
Х
= С
2
= С;
ηι
= η = η
2
= ρ.
(
Подставляя (45.19) в (45.18), получим
Α
2
(μ»—
Γ Αι ν и-η
ν ρ 7
μ
η) μ
0
— μ Γ
1
+
6»
1
=
μρ
-
μη
ΑΜΙ-^]. (45.20)
Соотношение (45.20) имеет наглядный смысл. Если мы имеем
дело с носителями заряда одного знака, то согласно (45.8) Н
0
=
= μ
ρ
[С
—
А
2
]. Величина С определяет магнетосопротивление вслед-
ствие «,закручивания» носителей заряда магнитным полем; ^лгя с А
2
определяет компенсирующее действие поля Холла (учитывает ограни-
ченность образца).
Если в полупроводнике концентрации электронов и дырок не
равны, то, обозначая — = из (45.20) получим
Я..-СЦ' АУ /45 2П
279
Если носители заряда имеют одинаковый знак, то
(1+JT6)
-A
0+XB)2
\, (45.21А)
где μ
ρ1
—
подвижность носителей заряда с концентрацией (или η
\
x^bJ^.
Магнетосопротивление в сильных полях можно получить обычны^
способом из общего выражения (45.16).
Рассмотрим теперь магнетосопротивление в неограниченном веще-
стве . Как уже говорилось неоднократно, поле Холла в этом слу-
чае не возникает, ток поворачивается на угол φ, появляется отлич-
ный от нуля компонент тока j
z
. Выражение для тока согласно (42.2)
имеет вид *
i = ^E + ^/Ci
2
[EB] (45.22)
с «граничными» условиями: Ε = (Е
Х
, 0, 0) при В = (0, 5, 0). Запи-
шем (45.22) для компонентов тока:
i
x
= e
2
K'
n
E
x
= o
Bx
E
x
\
/„
= 0; (45.23)
jz = К'пВЕ
х
= О
В2
Е
х
.
Проводимость а
Вх
определяет ток вдоль электрического поля
при наложении магнитного поля, а
Вх
зависит от В, так как от В
зависит К'ц. Величина σ
Βζ
определяет проводимость вдоль оси г,
в направлении вектора [Е, В]; ее называют проводимостью Холла,
α
Βζ
отлична от σ
Βχ
. Говоря о магнетосопротивлении, имеют в виду
изменение сопротивления вдоль поля Е
х
(или j
x
). Найдем коэффици-
ент магнетосопротивления
1 σ
0
—σ
β
ι <μ>-\ΐ·^μ2β
2
)>
В
2
В
2 / μ \
\1
+ μ
2
В
2
/
/ μ
3
^
2
\
<
/__μ!_\
1 \1 + μ
2
В*/ XI + μ
2
В
2
У /46 24)
Β2
/ μ χ / μ χ'
\ΐ + μ
2
Β
2
/ \1 + μ
2
Β
2
/
В слабых полях (с учетом членов порядка μ
2
β
2
)
н
_ <μ3)-(μ*)Ζ?2 _ <μ3> г /<μ3> <μ5>ч ^
Π
-(μ)-<μ3 )В
2
- (μ) ['^[(μ)
№) )
° J'
1
В полях, когда
Я - <μ
3
>_
Ν
2 <Ξ!λ-Γπ
2
, /45.26)
280