Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Из (10.18) и (10.20) следует

Т'(п) = Т(/п), (10.21)

что справедливо для экспоненциальной функции.

Запишем Т(п) в виде

Τ (η) = е

ф(п

\ (10.22)

Так как трансляция на вектор η есть совокупность независимых

трансляций по трем осям, то для того, чтобы выполнялось условие

(10.21) и (10.22), необходимо, чтобы φ(η) была линейной скаляр-

ной функцией:

φ (η) = (κη) =

Κχη-ιβ!

+ + Ks

3· (10.23)

Из условия нормировки, которая не зависит от выбора начала

координат

5ΐψ

(Γ

η)|·Λ = |е^») I

JIψ(r) |

dx = |е**

, (10.24)

следует, что φ (η) является вещественной функцией, т. е. вектор к

должен быть вещественным. Так как размерность вектора к —обрат-

ная длина, то он получил название волнового вектора. Ниже уви-

дим, что это название оправдано не только его размерностью.

Итак,

f (η) φ (г) = φ (г + η) =

>i|)

(г) = Τ (η) ψ (г). (10.24')

А А

Но собственные функции Τ (η) и Η совпадают, поэтому для

собственных функций гамильтониана можно записать

ψ (г + п) = е

кп)

г|) (г). (10.25)

Условие (10.25) называется трансляционным свойством волновой

функции. Можем сказать, что собственные функции оператора Га-

мильтона при движении электрона в периодическом поле удовлет-

воряют трансляционному условию (10.25).

Вектор к является характерным для данной волновой функции,

поэтому его необходимо указывать в виде индекса внизу:

Ψ(Γ)=Ψ

(Г). (10.26)

Но так как

ΗΨ

(Γ) = £ψ

(Γ), (10.27)

то можно утверждать, что энергия Ε должна быть функцией волно-

вого вектора: Ε = Е (к). Нахождение этой зависимости представляет

собой одну из важнейших задач современной физики твердого

тела.

Мы видим, что нахождение собственных функций оператора

трансляции связано с решением уравнения Шредингера, поэтому их

вид должен зависеть от функционального выражения потенциальной

энергии U (г). Однако общий характер волновой функции можно

найти, не решая уравнение. Шредингера. Для этого необходимо

вспомнить, что собственная функция оператора V имеет вид

я|)(г) = Ле'<

кг

> (Ю.28)

и удовлетворяет уравнению k

, νψ(Γ) = ίκψ(Γ). (10.29);

Она же является собственной функцией оператора V* и, следов

вательно, оператора e

. Легко проверить непосредственной подста-

новкой, что функция е

(кг)

является собственной функцией опера-

тора трансляции:

(

ОО ι СО i

2 ^ n

> = ^ ^f (η

ix)

i(Kr

> =

кп

>е

кг

m=0 _ / m=0

= Τ (η) e

i(Kr)

. (10.30)

Однако эщ не единственно возможный вид собственной функции

оператора трансляции f (η). Если умножить е

(кг

> на произвольную'

периодическую функцию ф(г + п) = ф(г), то это произведение будет,

также собственной функцией Т(п). Выбор функции φ (г) должен

определяться тем, что % должна являться также решением и урав-1

нения Шредингера. I

Приходим к важному результату, что решение уравнения Шредин-

гера для электрона в периодическом поле U (г + n) = U (г) должно!

иметь вид ·

(г) = е'

(кг

> φ (г) = e

i(Kr)

(г), (10.31) ί

где φ

(г + п) = ф

(г) является периодической функцией с периодич-

ностью потенциального поля U (г); е

(кг)

представляет собой плоскую

волну, идущую в направлении вектора к. Выражение (10.31) для ψ

(г)

носит название волны Блоха, поскольку наглядно волновую функ-

цию ΨΚ(Γ) МОЖНО представить в виде плоской волны e

i(Kr)

с перемен-

ной амплитудой ф

(г), модулированной в такт решетке кристалла. Мы

указали к в качестве индекса у φ (г), поскольку при разных к

функции φ (г) могут быть различными.

Резюме § 10

1. Оператор трансляции ί (η) смещает пространство на вектор

трансляции п, в силу чего функции координат точек пространства

меняются при действии на них f (η) согласно (10.6) f (π) коммути-

рует с Η периодического поля.

2. Собственные значения оператора трансляции равны

Т(п) = е«

кп

>, (10.1)

где к

—

произвольный вещественный вектор, называемый волновым.

3. Решение уравнения Шредингера для электрона в периодиче-

ском поле имеет вид волны, или функции, Блоха:

ψκ (г) = е

1(кг)

(г), (10.2)

при этом

(Γ+η) = φ

(Γ).

4. Энергия электрона является функцией волнового вектора:

£ = £( к). (10.3)

§ 11. КВДЗИИМПУЛЬС

Многие рассматриваемые в физике величины обладают важней-

шим свойством

—

для них существуют законы сохранения, т. е. при

определенных условиях эти величины сохраняются. Действительно,

импульс ρ = mv сохраняется при движении частицы в пространстве

с постоянной потенциальной энергией. Момент импульса М = [гр]

сохраняется в поле с центральной симметрией U (r) = U (г). Энергия

изолированной системы сохраняется, если функция Гамильтона

Я(р, г) не зависит явно от времени. Эти же величины являются

интегралами движения в квантовой механике и записываются в форме

операторов: не зависящая явно от времени величина L сохраняется,

если соответствующий ей оператор L коммутирует с оператором

Гамильтона, так как ,

§ = [H,Ll =

4.[Lft-HL]. (11.1)

Физической основой законов сохранения являются определенные свой-

ства симметрии пространства и времени.

Действительно, закон сохранения импульса отражает однородность

пространства; изотропность пространства приводит к закону сохране-

ния момента количества движения; однородность времени приводит к

закону сохранения энергии; неразличимость левого и правого винтов

•приводит к закону сохранения четности. Другими словами, наличие

некоторой симметрии пространства и времени приводит к сохранению

определенной физической величины. Если некоторое воздействие нару-

шает симметрию, то соответствующая данной симметрии величина

начинает изменяться под влиянием этого же воздействия. Три из

указанных выше закона легко получить, используя канонические

уравнения Гамильтона.

Рассматривая движение электрона в периодическом потенциаль-

ном поле решетки кристалла, можем высказать следующее утверж-

дение: трансляционной симметрии потенциального поля решетки

должна соответствовать некоторая физическая величина, сохраняю-

щаяся при движении частицы в этом поле. Назовем эту величину

квазиимпульсом. Простейшим основанием для названия «квазиим-

пульс» служит его размерность. Так как трансляционная симметрия

отражает неизменность свойств пространства при его смещении на

любое целое число периодов идентичности решетки, то квазиимпульс

должен иметь ту же размерность, что и импульс, отражающий одно-

родность, неизменность свойств пространства при произвольном сме-

щении. В дальнейшем будет показано, что свойства квазиимпульса

во м'ногом подобны свойствам импульса. Квазиимпульсу Ρ должен

соответствовать оператор Р, коммутирующий с гамильтонианом

решетки:

РН-НР = 0. (11.2)

Таким образом, мы можем утверждать, что при движении элек-

трона в поле решетки собственные функции операторов Η и Ρ

должны совпадать, а между их собственными значениями должна

быть некоторая функциональная связь:

£ = £( Р). (11.3)

Другими словами, энергия электрона должна быть функцией ква-

зиимпульса.

Совершенно очевидно, что из условия коммутации Ρ и Η сле-

дует, что оператор квазиимпульса не может иметь вид

— iHV,

т. е,

вид обычного оператора импульса, поскольку определенней таким

образом оператор квазиимпульса не коммутирует с гамильтонианом,

что и приводит к несохранению обычного импульса при движении

частицы в поле решетки:

§ =4(pH-Hp) = -(Vt/) = F,. (11.4)

В то же время очевидно, что между ρ и Ρ должна быть опре-

деленная связь. Действительно, пусть Vi/->0, т. е. потенциальная

энергия поля решетки стремится к константе. В этом предельном

случае квазиимпульс и импульс должны быть тождественными.

Но это означает, во-первых, что оператор квазиимпульса должен

содержать в себе величину, зависящую от вида потенциального поля

U\г), которая стремится к нулю при

Vi/ —>-0.

Это позволяет напи-

сать для Р:

= —

ihV

ihy(

г), (11.5)

где γ (г)-*0 при Vi/->0. Наличие γ (г) должно обеспечить комму-

тацию Ρ и Н.

Будем искать вид оператора Ρ из уравнения на собственные

функции и собственные значения, учитывая, что ψ

является собст-

венной функцией оператора квазиимпульса:

Ρψκ(Γ) = Ρψ

(Γ). (U.6)

Чтобы найти отсюда вид оператора Р, необходимо представить

в виде волны Блоха, Ρ

виде

—

ihV + ihy. Для нахождения γ

мы получим уравнение

Ρψ

(г) = — Шкг|?

(г) +

(КГ

(—

ttVq>

(г)) +

/Λγψ«

(

) =

= /ΖΚΨ

(Г) + ih [Γ - V 1Η Φ

(Γ)]Ψ

(Г) = Ρψκ (Г). (11.7)

Из (11.7) можно записать

Р =

Йк

(11.8)

Υ = (νΐπφ

(г)). (И.9)

Мы видим, что γ есть оператор умножения, он зависит от вида

потенциального поля U (г) посредством зависимости через периоди-

ческую функцию φ

(г). При стремлении VU(г) к нулю ср

(г) будет

. стремиться к постоянной и γ будет стремиться к нулю, что обеспе-

чивает тождество квазиимпульса с обычным импульсом ρ в этом

предельном случае.

Таким образом, оператор квазиимпульса имеет вид

Ρ (г) = — ih

+ ih (V In φ

(г)). (11.10)

Пусть теперь на периодическое поле U (г) наложено некоторое

дополнительное поле V (г), не обладающее той же периодичностью.

В этом случае

H = f + u+ V=H

+ V. . (11.11)

Так как Ρ коммутирует с Н

—

гамильтонианом поля решетки,

а (V In

ср

)

коммутирует с V, поскольку они оба являются опера-

торами умножения, то производная по времени от квазиимпульса

будет равна внешней силе F

= -(VV). (11.12)

Действительно,

4 = Р] = [VP] = {(—

/Й V)

—

V (— ih V)} = — (VV) = F

(11.13)

Таким образом, квазиимпульс меняется под действием непериоди-

ческой части потенциального поля

—

[VI/ (г)]. Это означает, что при

любых нарушениях идеальности поля решетки происходит изменение

квазиимпульса Ρ и, следовательно, на любых нарушениях идеальной

структуры решетки должно происходить рассеяние электронных

волн. Такими нарушениями периодичности U (г) являются тепловые

колебания и дефекты решетки. Рассеяние на них является физической

причиной конечного сопротивления электрическому току. Если на

идеальный кристалл наложить внешнее силовое поле V(r), то квази-

импульс меняется только под действием внешней силы F

, в то время

как импульс меняется в результате действия внешних F

и внут-

ренних F, = —Vi/(r) сил:

dp/dt = F

+ F

. (11.14)

Энерги я электрона должна зависеть от волнового вектора к или

квазиимпулься Ρ =

Нк.

Конкретный вид функциональной зависимости

Ε (к) или Ε (Ρ) может быть найден только при решении уравнения

Шредингера

Αψκ (г) =£ (к) if>

(r). (11.15)

Найдем уравнение, которому должна удовлетворять функция φ

Для этого учтем, что

νψ

(г) = ίκφ, (г) + е'

кг

[Vcp

(г)]; (11.16)

Δψ

(г) = ίκ [/κψκ (г) + е*

кг

(ν

Φκ

(г))] + foe'

кг

[νφ

(г)] +

+ е'<->[Аср

(г)]. (11.17)

Следовательно, подставляя (11.17) в уравнение (11.15) и сокра-

щая на е

кг

\ получим уравнение для ср

(г):

-^[-κ^Γ) + 2ί>·νφ

(Γ))+Δφ

(ι·)] +

+ [/(Γ)φ

= £(κ)φ

(Γ), (11.18)

или

- -gj. Δφ

(г) + - (KV) + и (г)] <р

(г) = Ε (к) φ

(г). (11.19)

Уравнение (11.19) показывает, что ф

(г) зависит от значения к,

поэтому мы и указываем к в виде индекса внизу. Так как энергия —

вещественная функция, т. е.

£*(к)=£(к), (11.20)

то уравнение Шредингера для комплексно-сопряженной волновой

функции ΨΚ(Γ) МОЖНО записать в виде

Η*ψκ (г) = Ε (к) ψκ (г). (11.21)

Учитывая, что

= _ *-Δ + ί/(Γ) (11.22)

φ:(Γ) = Θ-'<«·>φί(Γ), (11.23)

получим для (г)

- 2L Δφκ (г) + + ^ (KV) + U (г)] ф* (г) = Ε (к) ф* (г). (11.24)

Запишем теперь уравнение

(11.19)

для

функции с вектором (—к):

__ Δφ_

(Г)

[-Ц-

-f-

(KV) +

U(г)] ф_

(г) =£(- к) φ_

(г).

(11.25)

Если фк(г) = ф-

(г), то уравнения (11.24) и (11.25) для них

совпадают, что означает выполнение условия

£(к) = £(-к), (11.26)

т. е. энергия является четной функцией волнового вектора. В окрест-

ности точки к = 0 энергия зависит по крайдей мере от к

Если рассматривать пространство к

ХУ

, к

, то уравнение

Ε (к) = const (11.27)

определяет некоторую поверхность

—

поверхность постоянной энер-

гии, или изоэнергетическую поверхность. Форма изоэнергетических

поверхностей определяет многие свойства полупроводников.

Резюме § 11

- 1. Трансляционной симметрии поля решетки должна соответст-

вовать сохраняющаяся физическая величина, называемая квазиим-

пульсом.

2. Оператор квазиимпульса коммутирует с гамильтонианом поля

решетки; его собственные функции есть функции Блоха Ψ

(Γ), собст-

венные значения Ρ связаны с волновым вектором к:

Р = йк,

(11

Лр)

а сам оператор Ρ имеет вид

P = _iftV + /ft[Vln(p

(r)]. (11.2р)

3. Энергия является функцией квазиимпульса и волнового вектора

Е = Е (Р); Е = Е (к), (И.Зр)

а уравнение · .

Ε (Ρ) = const или Е(к) = const (И.4р)

определяет в пространстве Ρ или к поверхность, называемую изо-

энергетической.

4. Если на кристалл наложить поле V(r), не обладающее перио-

дичностью решетки, то квазиимпульс меняется в соответствии с урав-

нением

dP/dt = — Vl/(r) = F„, (11.5р)

то время как импульс ρ меняется в результате действия внешних

си

л F

и сил поля решетки F

= — V[/(r):

dp/d/

= F

+ F,.. (11.6р)

§ 12. ЭФФЕКТИВНАЯ МАССА ЭЛЕКТРОНА

Пусть точка к

(или Р

) является точкой экстремума

Е(к

)=Е

= Е

ехи

. (12.1)

Помимо точки к

должны быть и другие экстремальные точки,

например симметричная ей точка

—

. Поскольку четность энергии

должна проявляться не только относительно к, но и его проекций:

Ε (к

ХУ

fCy, к ζ) = Ε ( к

, к

уу

) = ...

(12.2)

то можно утверждать, что число экстремальных точек должно опре-

деляться элементами симметрии поля решетки, т. е. потенциальной

энергии. К этому можно прийти, примеряя преобразование симмет-

рии к гамильтониану. В кубической решетке, имеющей 24 элемента

симметрии, экстремальных эквивалентных точек может быть в общем

случае 24.

Разложим Ε (к) в ряд Тейлора относительно одной из экстре-

мальных точек к

| = + + (12.3)

К о

Дифференцирование по векторному аргументу

—

d/άκ

—

означает

совокупность трех величин, получающихся при дифференцировании

соответственно по к

, к

гу

поэтому записанная кратко в произве-

дении производная представляет собой сложное выражение, называе-

мое (ковариантным) тензором 1-ранга.

При I = 0 получаем скаляр, при

имеем тензор первого ранга,

представляющий собой вектор; при

= 2, 3 и т. д. имеем тензор

2-го, 3-го и т. д. ранга. Выпишем только два первых члена —1=1;

= 2:

(12.4)

dE дЕ

дЕ

дЕ \ .

άκ

дк

Г' дк

дк

d*E / d дЕ

d дЕ d дЕ

άκ*

\ άκ дк

άκ дк

' άκ дк

~ д*Е .

д*Е

д* Ε

дк%>

дк

д*Е

дк

;

дк

д*Е д*Е

д*Е

дк

У *

дк\

(12.5)

т. е. ά

Ε/(άκ)

представляет собой величину из девяти частных про-

изводных энергии по волновому вектору второго порядка. Величины

d*El\dKidKj) называют компонентами, или элементами, тензора. Величи-

на смешанной производной не зависит от порядка дифференцирования

E/{dKi dKj) = d

E/(dKj дк{); (12.6)

, 1 fr

2 ZidKi

такой тензор называют симметричным, члены вида д

Е1{дк1)

называют диагональными. Производная /-порядка образует

тензор /-ранга с числом элементов 3*.

Рассмотрим малую окрестность точки к

. В этом случае можно

ограничиться первыми членами ряда. Так как разложение в ряд

Тейлора производилось относительно экстремальной точки, то

=0 (условие экстремума), поэтому ряд начинается с квадра-

иК [Ко

тичных членов:

-щ fa -

Код

(Kj -

Koj)

+.... (12.7)

Мы видим, что изоэнергетическая поверхность вблизи экстремума

изображается с достаточной степенью точности поверхностью вто-

рого порядка. Это будет тем точнее, чем ближе величина энергии

к экстремальной величине Е

. Условием этого является малость

отброшенных членов по сравнению с первым, например,

Ι (к - Ко)

-g- (к - Ко)

. (12.8)'

Тензор второго ранга подходящим выбором осей координат

можно привести к диагональному виду, т. е. недиагональные эле-

менты тензора обращаются в этих осях в нули. Предположим, что

мы нашли такие оси, что

E/(dKidK^=0 (при ιφ]). (12.9)

В этом случае уравнение изоэнергетической поверхности имеет вид

• Я(к) = £(к

) + 1 2 ^ fa ~*о0

= const = (12.10)

i = ι ·'

или

+ У Иг 0V-

= const

'· 02.11)

I "

Так как разложение проводится относительно экстремальной

точки, то знак у всех трех производных один и тот же —плюс

минимуме, и минус в максимуме, поэтому изоэнергетическая поверх-

ность представляет собой эллипсоид.

Рассмотрим вид изоэнергетических поверхностей в пространстве

Кв

азиимпульсов. Очевидно, что

^(Р) = Я(Р

)+^(Р-Ро)

+ ^(Р-Ро)

+ ..., (12.12)

так как Р

= йк

есть точка экстремума. Ограничиваясь достаточно

малой окрестностью точки Р

, можем записать

£(P)=£

+i4ji(

+ .... (12.13)

Введем новое обозначение для d

E/(dP

); положим

(PEldF^m*-

. (12.14)

Очевидно, что составляющими тензора ш*

-1

являются

—

E/dPi dPj. (12.15)

Так как размерность квазиимпульса совпадает с размерностью

импульса, то размерность компонентов тензора т*

-1

есть размер-

ность обратной массы; другими словами, размерность [mfj] =

= [d

E/(dPi dPj)]'

= [Μ]

—

есть размерность массы.

Величина m*-

= d?E/dP

называется тензором обратной эффек-

тивной массы. Выражение для энергии с использованием тензора

обратной эффективной массы может быть записано в виде

(12.16)

что по форме подобно выражению для кинетической энергии свобод-

ной частицы с импульсом р — р

Обратим внимание на знак эффективной массы: эффективная

масса положительна в минимуме и отрицательна в максимуме энер-

гии. Выпишем выражение для ш*

-1

в общем виде:

(т

1 т

у m

Чух

уу

\mzx mzy Шгг/

• д*Е д*Е

д* Ε

дР1

дР дР

X у

ЭР

дР

д*Е

д*Е д*Е

дР дР

у х

дР

уд

д*Е д* Ε

д*Е

_дР

дР

ЬР\

(12.17)

Если тензор приведен к диагональному виду, то

/тй 0 0 \ /т? О О

= 0 Шуу О U 0 п? О

\ О 0 т'Л) \ 0 0 mi

;

где через mj

обозначено

rrit

= d*EI(dP\) = mtt.

Введем тензор, обратный к тензору обратной эффективной массы

{т*

}

= т*. (12.20)

(12.18)

(12.19)