Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

подставим его в уравнение Шредингера для кристалла и найдем

уравнение для Ф

{Ъ

...):

ΗΨ - (Н

+ Η

- Ё

) Ψ

= Φ

Η,Ψ

+ Η

Ψ,Φ

- £Д

= £Ψ

(8.8)

или, учитывая (8.3), запишем

ΗΨ

= Η

= ΕΨ

€

Φζ = ΕΨ. . (8.9)

Так как Ψ

зависит от координат ядер, то Η

будет действовать

на найдем, например, Δ

Ψ* = V

(Ψ,ν

+Φ

) =

= Ψ,Δ

+ Φ

Ψ, + 2 (ν

. ν

Учитывая эту формулу, перепишем (8.9):

! Η

= ^)[^Δ

+Φ

Ψ,4

2(ν

.ν

)] +

+ υ

+Ε

= ΕΨ

. (8.10)

Умножим уравнение. (8.10) слева на Ψ* и проинтегрируем по

координатам электронов; учитывая, что

$Ψ*Ψ^τ

=1, (8.11)

получим

Σ(~ 2Щ) [

αΦζ + Φζ 5 ΨίΑ

άτ

+ 2(ν

$ №а%йх

)] +

+ υ

+Ε

= ΕΦ

. (8.12)

Если учесть обозначение (8.5) для Η

, то (8.12) можно перепи-

сать следующим образом:

= ΕΦ ζ +

Ψ| dXe + 2 (ν

Φζ

νΛ

(8.13)

Умножив уравнение (8.13) на Φ| слева и интегрируя по коор-

динатам ядер, получим выражение для энергии кристалла:

\Φ*

άτ

= Ε + δΕ. (8.14)

Чтобы оценить величину δ Ε:

+ 2^(2 5 Φ%4

άτ

5 Ψ?ν

<ίτ

), (8.15)

необходимо сделать некоторые предположения о характере зависц

мости Ψ

от координат г* и R

. Если пренебречь в Н

взаимодейе*

вие м электронов, то Н

превращается в гамильтониан системы

взаимодействующих частиц, и волновая функция такой системы бу

дет представлять собой комбинацию атомных волновых функций

которые зависят от разности — R

|. Но в таком случае

= (8.16,

и первый член в (8.15) можно переписать в следующем виде: }

i, а

где (Ti)

—

средняя кинетическая энергия одного электрона. Таки^

образом,

η* С

2М

)

Ψ*Δ

= —ZN

^ (Τι). (8.18;

Но этим членом по сравнению с Ε можно пренебречь, ошибка,

вносимая при этом в выражение для энергии кристалла, крайне мала\

она составляет величину порядка отношения массы электрона к маса

ядра, которая для Ge, например, составляет величину около 104

Второй член в (8.15) оценивается аналогично:

7 (S ναΦζ dxz 5 Ψ*

Λ dx

) = - -J- «ρ

>. <

>). (8.11

и тёрмодинамическ

гики

/ ΡΪ \ _ / ft \

(

Так как в состоянии термодинамического равновесия для сл^

чая классической статистики

(8.20

(Pe)

= i(pl), (8.21

\2т/ \2 М

3π

ТО

<Ре> —ΐ/

^- (8.22]

поэтому второй член в (8.15) составляет величину порядка У т/Ц

от полной энергии кристалла.

Мы выбрали при этом самый «невыгодный» случай, когда волн о

вая функция электронов представляется комбинацией атомных воЛ

новых функций (так. называемое приближение сильно связанны^

электронов). Если бы волновая функция электронов не зависела о

координат ядер (приближение свободных электронов), то об

поправки в (8

Л 5)

были бы равны нулю.

Таким образом приходим к выводу, что, отбрасывая обе поправки,

мы делаем ошибку в величине энергии Ε не более Ym/M от Ε (для

германия Ym/M составляет примерно 0,3%), поэтому для опреде-

ления энергии кристалла с достаточной точностью можно решать

уравнение

= Ε

= ΕΦ

;· (8.23)

другими словами, полная энергия кристалла с большой точностью

совпадает с собственным значением ядерной части гамильтониана.

Из сказанного видно, что адиабатическое приближение для кри-

сталла с гамильтонианом (7.11) приводит к достаточно точному зна-

чению энергии, если предположить, что волновая функция кристалла

может быть записана в виде

Ψ(Γχ, Ri, ...) = Φζ(Κι, ...)Ψ*(Γι, Ri, ...), (8.24)

причем и Φ

находятся из уравнений

= Ε

; (8.25)

= Ε

= ΕΦ

. (8.26)

В адиабатическом приближении волновая функция электронов

определяется мгновенным положением ядер (член U

в НД в то

время как волновая функция ядер определяется усредненным полем

электронов (член Е

в H

Резюме § 7

—

1. Гамильтониан кристалла учитывает все виды энергии электронов

и ядер: кинетическую энергию электронов и ядер, энергию взаимо-

действия частиц и энергию всех частиц во внешнем поле. Уравне-

ние Шредингера для кристалла имеет вид (7.11). Оно содержит

3(Ζ+1)Ν переменных и в общем виде не решается.

2. Адиабатическое приближение позволяет разделить координаты

электронов и ядер, что упрощает уравнение (7.11).

Гамильтониан кристалла разбивается на электронную

Н^,

—(8.1)-

и ядерную Η

—

(8.6)-части, а волновая функция кристалла Ψ пред-

ставляется в виде произведения волновой функции ядер Φ

и элек-

тронов Ψ

= Φ

(8.1

ρ)

при этом

ВД, = £Д'

, (8.2р)

φ ζ = ΕΨ

(8.3р)

и члены

Σ 2ЩI

Λ dx

+ 2 ( J Φ! ν

JJ Ψ; Ν

Ψ, άτή] (8.4Ρ)

отбрасываются вследствие их малости. По энергии при этом достц,

гается точность порядка j/"-^-,

н0 из

теоретического рассмотрения

выпадают некоторые процессы, связанные с тепловым колебание?*

решетки. ;

Волновая функция ядер Φχ определяется усредненным движе*

нием электронов

—

членом Е

в Н?, а зависит от мгновенно^

положения ядер (член U

z в Н

). Пренебрежение поправкой Щ

равносильно тому, что действие Δ

на Ψ сводится только к дей!

ствию на Φ

, что отражает факт медленного движения ядер по срав^

нению с электронами. |

§ 9. ОДНОЭЛЕКТРОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ j

В результате адиабатического приближения волновая функция

электронов должна удовлетворять уравнению \

= E

, (9.1)

или

i^j i, α

= Ε

Ψ,. (9.2),

Это уравнение также не может быть решено, оно должно быть

сведено к уравнению для одной частицы. Из уравнения (9.2) непо-

средственно видно, что для системы электронов оно распадается на]

систему уравнений, если предположить, что электроны не взаимо-

действуют:

[///

= (). Поэтому возникает задача учесть взаимодействие

электронов таким образом, чтобы в конечном итоге рассматривать;

вмест о системы взаимодействующих электронов систему невзаимодей-,

ствующих электронов. Это достигается посредством введения так'

называемого самосогласованного поля. Возьмем некоторый i-й элек-·

трон. Он находится в поле всех ядер и остальных электронов.'

Допустим, с помощью внешнего источника удалось создать в каж-

дый момент времени такое же поле в точке нахождения i-го элек-

трона, какое создается остальными электронами. Обозначим потен-

циальную энергию /-го электрона в этом поле через Ω/. Очевидно,

что она зависит от координат только ι-го электрона: Ω,· =

Ω/

(г

Если бы удалось создать такие поля для каждого электрона, то

энергию попарного взаимодействия электронов можно было бы заме-

нить суммой членов Ω,· (г/):

(9-3)

ίψί

Потенциальная энергия Ω; (г,)-го электрона зависит не только от

движения всех остальных электронов, но косвенно зависит от дви-

жения и самого /-го электрона, поскольку движение го электрона

44 !

оказывает воздействие на

движение остальных

электронов. Поэтому

поле

Ω/

(г,·) не только определяет движение i-ro электрона, но и само

зависит от его движения, в силу чего оно было названо самосо-

гласованным. Поле Ω,· (Г/) в принципе может быть найдено методом

последовательных приближений. Идею метода нахождения этого

поля, развитого первоначально для атома, и рассмотрим дальше,

но вначале остановимся на некотором следствии введения самосо-

гласованного поля. Предполагая, что такое поле найдено, можно

гамильтониан Н

записать в виде

ι ίφί i

- 2 (- s*.)+2в.ел+2(2Ц -1

-· <

i i i

a J i

где гамильтониан i-го электрона

< = - ST

< +

{Ti)

Ui (r

); (9

Ω/

(ΐί) есть потенциальная энергия i-то электрона в поле всех осталь-

ных электронов, a

Ui(г,·)

—в поле всех ядер. Так как теперь гамиль-

тониан не содержит энергии взаимодействия электронов, то волно-

вая функция системы электронов имеет вид произведения волновых

функций отдельных электронов, а энергия системы равна сумме

энергий отдельных электронов: '

Ψ.(Γι. г„ ...) = 1ГМ*>. (

)

. (9.7)

' i

причем

Η = (9.8)

т. е. введение самосогласованного поля сводит многоэлектронную задачу

к одноэлектронной.

Чтобы найти вид' Ω,- (г*), запишем уравнение Шредингера для

электронной части гамильтониана кристалла в двух формах:

= ^ (- Δ,) + да + 2'U' Μ

<·

(

Эти две формы одного и того же

уравнения определяют опера-

тор Ω,· (г,·), однако его нельзя определить равенством

(Γ

) = γ 2 U

ij9

(9.11)

Н!ФЬ

поскольку Ω, (г,·) должно зависеть только от координат ί-го элек-

трона , в то время как ^ Vij зависит от координат всех электро-

на/)

нов. Очевидно, уравнения (9.11) и (9.3) лишены смысла, поскольку

необходимо приравнивать не отдельные сомножители членов диф-

ференциальных уравнений (9.9) и (9.10), а сами уравнения.

Для нахождения

Ω^

(г*) умножим оба уравнения (9.9) и (9.10)

слева на Ψ| и проинтегрируем по координатам всех электронов,

после чего вычтем уравнение (9.10) из (9.9). Справа получим нуль.

Первые и третьи члены дадут нуль, и мы получим

2 UijYedXe-^^Qiir^edXe-O (9.12)

и i^i i

ИЛИ

2 J μ ψ, dx,=2 $ Σ

' t /</=£*)

Так как введение

Ω/

(г*) сводит задачу для электронов к системе

невзаимодействующих частиц, то можно представить в виде произ-

ведения волновых функций отдельных частиц:

, ...) = П>(г<). (9.14)

Учитывая, что άχ

= άχχάχ

можем переписать (9.13) таким

образом:

Σ$Ψ?(Γΐ) ... й(Г,)ЫГ1) =

. i

= (Г,) (Γ;)

ψ;

(

,) dt

i =

= у 2 S (Γι) ... (I

—

г, I)

ψχ (Γχ)

... ... =

и ш

Σ$

ψ?(Γ<)

ΓτΣ Uf(

;)Vif(\

f\)b(b)dTj]bdXi. (9.15)

' L I ft

Сравнивая второй и последние члены цепи равенств (9.15), можем

записать

Σ $ dtj. (9.16)

Выражение для Ω^γ,·) имеет следующий смысл: ^1%(г

есть

плотность заряда электронного облака /-го электрона в точке г/,

e\tyj(rj)\

dxj есть элемент заряда, который определяет потенциал

в точке Г/. Интегрируя по-всем значениям координат /-го электрона,

получаем энергию взаимодействия ί-го электрона с «размазанным»

/-электроном.

Если подставить выражение (9.16) для Ωι(ΐι) в (9.8), то уравне-

ние для нахождения функций % (г

) будет иметь вид

dXt

' 2т

п г. (« е

axt

+ Ui(r

, =

Чтобы найти Ω* (г*), надо знать все ^у(гу), для нахождения кото-

рых в свою очередь необходимо знать все Ω/(Γ,·). Уравнение (9.17)

носит название уравнения Хартри, оно является интегродифферен-

циальным уравнением. Его решение можно искать методом последо-

вательных приближений. Взяв в качестве нулевого приближения

некоторые функции ψ}

(гу), необходимо с их помощью вычислить

Ωί·

(гι). Подставив ΩΓ (Γί) в (9.17), найдем некоторые функции ift

' (г

с их помощью вычисляется Ω^'φ) и т. д. Эта процедура повто-

ряется до тех пор, пока (п+ 1)-е приближение не совпадет с п-м

приближением в пределах заданной точности. Уравнение Хартри

имеет тот недостаток, что не учитывает принцип Паули. Учет прин-

ципа Паули приводит к уравнению Хартри— Фока. Принцип Паули

требует, чтобы волновая функция электронов была антисимметрич-

ной относительно перестановки двух электронов с учетом их коор-

динат и проекции спина. В то же время Πψ*(

/) не удовлетворяет

этому условию. Правильная комбинация волновых функций отдель-

ных электронов задается в виде определителя Слэтера:

Ψ* (Чь q

^ .ут\

Ψι (0ι)Ψι Ш

Ь Ы Ь Ш

(9.18)

где Ν

—

число электронов, a q* обозначает набор четырех перемен-

ных x

Zi и s

,. Волновая функция Ψ* удовлетворяет условиям:

-Ο* C-.q «...Φ...)

(9.19)

Используя выражение для Ψ* в виде определителя Слэтера, най-

дем выражение для энергии Ει

ъ ..·)[-•£ Δ/ + Ui(r

Rb R

, +

+ SSJ-2

(9.20)

Через dq

обозначен элемент объема в конфигурационном про-

странстве системы электронов, включающий спиновую переменную,

интегрирование по dq

означает интегрирование по координатам

и суммирование по спиновым переменным всех электронов.

Если первый интеграл в (9.20) не отличается от соответствую,

щег о члена в уравнении Хартри, то второй член отличается налц. !

чием обменных членов, отсутствующих в уравнении Хартри.

Это

связано с тем, что при интегрировании по dq

нужно оставить члены, j

содержащие координаты i и / электронов, которые могут теперь |

находиться в любом состоянии и и ψ*,

!Ф1 . 1

= 8STam22

(

1)/C+/

\ faYVitoddqidq,. (9.21) j

. i

k, ι

При к =

имеем обычную усредненную кулоновскую энергию взаимо-

действия электронов, а при к ф1 получаем обменную энергию. Однако

решение методом Хартри —Фока уравнения Шредингера для кри-

сталла практически невозможно.

Резюме § 9

1. Движение некоторого электрона зависит от состояния движе-

ния всех остальных электронов, но поскольку оно само влияет на

их движение, то движение всех электронов является взаимосогласо-

ванным. Это учитывается введением величины Ω,·, представляющей

собой энергию i электрона в поле всех остальных электронов с уче-

том его воздействия на их движение. Поле Ω,· носит название само-

согласованного.

2. Благодаря введению самосогласованного поля уравнение для

системы электронов сводится к системе уравнений для одного элек-

трона. Самосогласованное поле в принципе может быть найдено из

решения системы уравнений Хартри (9.17) или Хартри —Фока (9.20).

3. Введение самосогласованного поля позволяет рассматривать

электроны как частицы не взаимодействующие. Тем самым кванто-

вая механика подтверждает представление об электронном газе как

газе идеальном.

§ 10. ПЕРИОДИЧЕСКОЕ ПОЛЕ РЕШЕТКИ КРИСТАЛЛА.

ОПЕРАТОР ТРАНСЛЯЦИИ

Введение самосогласованного поля сводит задачу для системы

взаимодействующих частиц к одноэлектронной задаче. Обозначив

потенциальную энергию произвольного i-ro электрона буквой U без

указания значка i:

ί/

= [/ (г) = Ω (г) + U (г, R

, ...), (10.1)

можем представить гамильтониан произвольного электрона в виде

Энергия Ε электрона и его волновая функция находятся из

уравнения

[--^ib + U(r)]^(r)=Et(r). (10.3)

Относительно потенциальной энергии U (г) можно сказать, что

она должна быть периодической функцией координат. Обозначим

периоды идентичности решетки по трем произвольным направлениям

через а

, а

и через η обозначим вектор

η = η

+ п

, (10.4)

где п

—

произвольные целые числа; вектор η называется век-

тором трансляции. Условие периодичности имеет вид

f/(r + n) = i/(r). (Ю.5)

Введем оператор трансляции Τ (η), который перемещает простран-

ство на вектор п, вследствие чего координаты всех точек Μ (г) изме-

няются на п, поэтому определим Т(п) из условия

Τ (n)f(r) = f(r + n), (10.6)

где f (г)

—

произвольная функция от координат. Разлагая f(r + n)

в ряд Тейлора в точке г, получим

ОО / ,ΟΟ \

т = 0 \т = 0 /

= e<»v)f (г) = f (n) f (г) (V

А). (Ю.7)

Следовательно, оператор трансляции имеет вид

T(n) = e<

v). (10.8)

Если подействовать оператором трансляции на периодическую

функцию, то

Τ (n)i/(r) = i/(r + n) = i/(r). (10.9)

Таким образом, произвольная периодическая функция является

собственной функцией оператора Τ (η), соответствующей единичному

собственному значению.

Если рассмотреть действие оператора трансляции на произведе-

ние потенциальной энергии (оператор) и произвольной волновой

функции, то

f (η)ΰ(Γ)ψ(Γ)=ί (η)1/(Γ)ψ(Γ) = ί/(Γ + η)ψ(Γ + η) =

= [/(Γ)ψ(Γ + η) = ΰ(Γ) Τ (η) ψ (г), (10.10)

f (η)ύ-ύί(η)=>0. (10.11)

Другими словами, оператор трансляции коммутирует с опер&

тором потенциальной энергии U (г) = U (г) электрона в кристалле,

Легко видеть, что оператор кинетической энергии коммутируем

с оператором трансляции:

ft (η)—£ (n<v<) = 11 (n'V) (- £ v.) -1 (n) t. ;

/=0 /=0 i

(10.12)

Из (10.11) и (10.12) следует, что оператор трансляции комму:

тирует с оператором Гамильтона для периодического потенциального

поля: ;

Hf (n)-T(n)H = 0, (10.13)

из чего следует, что Τ (п) является сохраняющейся во времени вели-

чиной

= ^{f(n)ft-Ht(n)}^[H, ΐ(η)] = 0 (10.14)

и что операторы Τ (η) и Η имеют одну и ту же систему собствен-

ных функций.

Рассмотрим оператор, обратный к Т(п), который обозначим как

(η). Произведение прямого и обратного операторов должно

оставлять пространство неизменным, должно дать тождественное

преобразование, которое определяется единичным оператором 1:

f (η) f-ι (η)' - t (η) Τ (η) = 1, (10.15)!

if (г) β f (г). (10.16)!

Из явного выражения Τ (η) следует, что Τ

-1

(η) приводит к транс- ]

ляции пространства на вектор —п:

-1

(n) = [e

(nv)

]

= e

(_nv)

= Τ (— η). (10.17) |

Квадрат оператора трансляции t

(η) есть оператор смещения ί

на вектор 2п, и аналогично

Т<(п) = Т(5п). (10.18)

Пусть ψ (г) есть собственная функция оператора трансляции, |

соответствующая собственному значению Τ (η): ^

Τ (η) ψ (г) = Τ (η) ty (г). (10.19) ,

Собственные значения f

(η) связаны с Τ (η) условием

(η) ψ (г) = f (η) Τ (η) ψ (γ) = Τ

(η) ψ (г). (10.20)