Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Если производная от энергии по Ρ вычисляется в произвольной

точке Р, то m* = m*(P) и т* называется обобщенной эффективной

массой.

2. В окрестности экстремума Р

энергия является квадратичной

функцией от Р

—

(или к —к

), поэтому т*

-1

не зависит от Ρ и

равен второй производной в точке экстремума, при этом

з'

i=\

3. В окрестности минимума энергии компоненты 0, в окре-

стности максимума энергии т/< 0.

4. В окрестности экстремума, энергии изоэнергетические поверх-

ности являются эллипсоидами, оси которых пропорциональны ком-

понентам тензора эффективной массы в степени 1/2. Если все компо-

ненты одинаковы, то эффективная масса является скалярной величи-

ной, а поверхности энергии —сферами. Если два компонента равны,

например т

= т

^ т

, то поверхность энергии представляет

собой эллипсоид вращения, ось вращения при этом соответствует т

которая называется вследствие этого цродольной эффективной массой

и обозначается т

а величина гпг = т

называется поперечной эффек-

тивной массой m

5. Средняя (в квантовомеханическом смысле) скорость равна

, «-4-ΤΪ·

она связана с квазиимпульсом соотношением

v = (14.6р)

6. Квазиимпульс связан—ео—ередним (в квантовомеханическом

смысле) импульсом соотношением

<p>

= m<v) = ^(P-P

). (14.7р)

7. Электрон испытывает ускорение только под действием внешней

силы F

, однако силы F, поля решетки проявляют себя тем, что

ускорение определяется эффективной массой ш*:

a = F

/m*=m*"4v, F

= m*a. (14.8р)

8. В случае скалярной эффективной массы электрон движется

против электрйческого поля, если он находится в окрестности мини-

мума энергии. Если же он находится в окрестности максимума

энергии, то его ускорение направлено против силы. Он движется

в данном электрическом поле как частица с положительной эффек-

тивной массой и положительным зарядом.

9. При действии внешней силы F

квазиимпульс электрона ме-

няется:

dΡ

; P(0 = P(0)+jF

(g)dg. (14.9ρ)

Если сила F

не зависит от времени, то траекторией электрона

в пространстве квазиимпульса (и волнового вектора) является пря-

мая линия, определяемая направлением силы F

. Движение элек-

трона в пространстве Ρ означает, что энергия электрона меняется,

и он переходит с одной поверхности энергии на другую в резуль-

тате работы внешних сил.

10. Из (14.6р) и (14.5р) можно получить эффективную массу

скорости, или квазиимпульса, часто используемую для описания

различных физических явлений (при Р

= 0):

1 ν 1 dE 1 dE ЛД 10 \

~т* "Ρ Г" ΤΓΊδίΓ

WST* (МЛЩ

Для квадратичного закона дисперсии различные определения

эффективной массы дают одну и ту же величину. Но если закон

дисперсии отличается от квадратичного, то эффективные массы, опре-

деляемые различными соотношениями, являются разными вели-

чинами.

§ 15. ЗОНЫ БРИЛЛЮЭНА

Решетке каждого кристалла соответствует так называемая обрат-

ная решетка, которая определяется следующим образом.

Построим три вектора b

, Ь

посредством уравнений:

, [а

] , _ f

i1 . h __ [

2] /1с

ι \

(а![а

])' (aja^])'

(

а1

[а

]) *

с помощью которых построим пространственную решетку. Векторы

bi, b

, b

образуют базис этой решетки, называемой обратной

к исходной решетке с базисом а

, а

Объем базисной ячейки обратной решетки Уь связан простым

соотношением с объемом базисной ячейки прямой решетки W

Va = (а! [а

]); V

= (Ь

]); F

= 1/К.: (15.2)

Вектор

b = /ib

+ /

(15.3)

определяет узлы обратной решетки, если /

—

целые числа.

Из определения базиса обратной решетки следует, что

(a^-HO/VaMaJa

]) = 0

/у

, (15.4)

поскольку при

s и t не могут совпадать с /, в силу чего ска-

лярное произведение должно равняться единице; при i j один из

векторов а

или а, совпадает с а

поэтому смешанное произведение

обращается в нуль, что очевидно из самого определения базиса

обратной решетки.

рассмотрим скалярное произведение вектора b и произвольного

вектора п. Учитывая (15.4), получим

(пЬ) = п

+ η

+ n

= Q, (15.5)

где

—целое число.

Рассмотрим вновь трансляционное условие, накладываемое на

волновую функцию электрона, движущегося в поле кристалла: '

(г + п) = е

(κη)

(г). (15.6)

Если мы вместо вектора к возьмем вектор к'=к + 2яЬ, то транс-

ляционное условие не нарушается:

t(K'n) __ (к-|-2яЬ,

η)

i(Kn)

i2jT(nb)

(

η)^

(15.7)

поскольку

(nb) =Q, е<

^=1. (15.8)

Но это означает, что состояния, характеризуемые вектором к и

вектором κ-f 2лЬ (или Ρ и Р + 2лЬЬ соответственно), физически

эквивалентны, и энергия электронов, находящихся в этих двух состо-

яниях, должна быть одной и той же. Другими словами, энергия

является периодической функцией волнового вектора (или квазиим-

пульса):

Ε (κ-f 2лЬ) =

£•

(к), (15.9)

или

Ε (Р + 2яЬЬ) =Е (Р). (15.10)

Если в пространстве Ρ (или к) построить обратную решетку

с базисом 2nbb

2лйЬ

, 2nhb

(или 2nb

2nb

, 2лЬ

), то все прост-

ранство Ρ (или к) можно разбить на области, совокупность точек

которых представляет собой физически эквивалентные состояния.

Такие области называют зонами Бриллюэна. Первой, или основной,

зоной называют минимальный по объему многогранник, построенный

вокруг начала координат в пространстве Ρ (или к), содержащий

все возможные различные состояния.

Предположим, что найден такой многогранник. Если ко всем

точкам Ρ (или к) выделенной области добавлять различные векторы

2лЬЬ (или 2лЬ), то· получим все точки пространства Ρ (или к).

Отсюда следует, что любую точку

пространства Ρ (или к) можно

перевести в основную зону Бриллюэна с помощью некоторого вектора

обратной решетки. В дальнейшем найдем уравнение, с помощью

которого можно разбить пространство к на зоны Бриллюэна наибо-

лее удобным способом.

Укажем некоторые свойства обратной решетки, которые будут

необходимы. Рассмотрим вектор b с компонентами

Ь = (/А, 0, 0). (15.11)

Он ортогонален плоскости, определяемой векторами а

и а

Модуль вектора Ь равен

b^/xIWI^iMi (15.12)

Для ортогонального базиса прямой решетки

/ι I

= 1

/а

(15.13)

где а

есть расстояние между двумя соседними плоскостями семей-

ства атомных плоскостей, определяемых векторами а

и а

Этот результат, можно обобщить: вектор b определяет семейство

ортогональных ему атомных плоскостей кристалла, расстояние между

которыми d связано с модулем вектора обратной решетки

соот-

ношением

|b|

//d,

- (15.14)

где

/ —

некоторое целое число.

Для кубической решетки кристалла обратная решетка также

кубическая. Если решетка кристалла имеет примитивную элементар-

ную ячейку, то обратная решетка имеет примитивную элементарную

ячейку. Для кристалла с простой кубической решеткой зона Брил-

о—з

люэна в к-пространстве представляет собой куб объемом Дей-

ствительно, построим в пространстве к решетку с базисом 2пЪ

2ЯЬ

, 2ЯЬ

. Куб, построенный на этих векторах, содержит неэкви-

валентные точки, поскольку они не могут быть получены одна из

другой с помощью какого-либо вектора Ь. Исключением являются

точки, лежащие на гранях этого куба, которые получены друг из

друга с помощью векторов 2лЬ* или —2яЬ,·. Все точки, лежащие

вне куба, могут быть получены из точек, лежащих внутри куба.

Тем самым можно утверждать, что выделенный объем содержит все

физически различные состояния, т. е. является зоной Бриллюэна.

Чтобы построить основную зону Бриллюэна, необходимо сместить

все точки на вектор (— ПЪ

— ЯЬ

, — ЯЬ

), после чего центр куба

совместится с началом отсчета к = 0.

Таким образом, для вектора к можно указать следующий интер-

вал значений:

π' _ π

π π

Если решетка кристалла не является кубической, то для каж-

дого компонента Κι можно записать

я _ π

или, в общем виде,

- + 2 nlib

(15.17)

тС

•

где

/j —

произвольное целое число.

Из эквивалентности точек различных зон Бриллюэна следует,

что при движении частицы в пространстве к (или Р) можно рас-

сматривать траекторию частицы только в пределах основной зоны

Бриллюэна. Для этого необходимо переносить состояния из некото-

рой точки, лежащей на границе, в эквивалентную точку противопо-

ложной границы зоны Бриллюэна, как это

показано на рис. 11.

Покажем теперь, что кубическая решетка

с объемноцентрированной (или гранецентри-

рованной) элементарной ячейкой имеет обрат-

ную кубическую решетку с гранецентриро-

ванной (или объемноцентрированной) элемен-

тарной ячейкой.

Объемноцентрированная кубическая ре-

шетка (ОЦК-решетка) имеет 8 узлов в вер-

шинах куба и один узел в центре куба.

Каждый узел в вершине принадлежит 8

ячейкам, поэтому на одну элементарную ячей-

ку приходится 8

^ +

= 2 узла. Объем ячей-

ки равен а

, на один узел имеем а

/2.

Координаты узлов в вершинах можно за-

писать в виде α(0, 0, 0); а(

0, 0); а(0, 1, 0); а(0, 0, 1); а(

1, 1);

α(0, 1, 1); α(1, 0, 1) и α(1, 1, 0) и в центре а(1/2, 1/2, 1/2)

Выберем три вектора вида

Рис. 11. Движение элек-

трона в пределах основ-

ной зоны Бриллюэна

= (a/2)(i + j + K),

(я/2)

(_1 + ] + к),

а. = (о/2) (-i-j + κ),

(15,18)

т. е. три вектора, идущие в центры трех соседних элементарных

ячеек из начала координат, направления осей задаются единичными

векторами i, j, к, идущими вдоль ребер элементарной ячейки. Легко

видеть, что вектор трансляции η = η^χ + я

+/г

позволяет полу-

чить любой узел решетки. Вычисляя объем базисного параллелепи-

педа V

получим после несложных преобразований 1/

= α

/2, т. е.

объем, приходящийся на один узел решетки.

Для гранецентрированной кубической решетки с периодом а

имеем 8 узлов в вершинах ячейки, 6 узлов в центрах граней, всего

на одну элементарную ячейку приходится (8

1/8) + (6

1/2) = 4 узла

и объем а

/4. В качестве базисных векторов можно взять три век-

(15.19)

тора, выходящие из начального узла в узлы, лежащие в центрах

граней, например;

= (a/2)(i + j)

= (a/2) (j + к)

(а/2)

(k + i)

Объем базового параллелепипеда' V

= (а

[а

]) = а

/4.

.Построим теперь базис обратных решеток. Для ГЦК-решетки

согласно (15.1) и (15.19) найдем:

= J-[a

] = ^

^[j + K, K + i] = ~(i-K + j) = |-(i + j-K);

= |(j + K-i); (15.19')

= |(K + i-j).

Таким образом, если положить период обратной решетки Ь =

то обратную решетку получим типа ОЦК. Объем элементарной

ячейки обратной решетки равен 8/а

Для ОЦК-решетки согласно (15.1) и (15.18) найдем:

1 1 cfi

bi = p-[a

] = ^2)

[—i + j + k, — i - j + к] =

= l (i +

)

= y (i + κ);

= y(-i + j) (15.20)

= y(— j + κ);

Как видно из (15.20) и (15.21), обратной для ОЦК-решетки

является

ГЦК-решетка, а для ГЦК-решетки

—

ОЦК-решетка, при

этом их периоды связаны соотношением а-Ь== 2 при V

=\.

Для гексагональной решетки с cjа > 1 обратной является гекса-

гональная решетка, сжатая вдоль гексагональной оси.

Из сказанного вытекает, что характер симметрии прямой и обрат-

но й решеток одинаков, поэтому следует ожидать, что симметрия

зависимости Ε (к) полностью определяется симметрией потенциаль-

ного поля решетки U(г).

§ 16. НОРМИРОВКА В ЯЩИКЕ

И ДИСКРЕТНОСТЬ КВАЗИИМПУЛЬСА

При всех вычислениях, проводимых в квантовой механике, обычно

предполагается, что волновая функция нормирована.

Нормировка собственных функций операторов производится

по-разному в зависимости от вида спектра его собственных значе-

ннй. Д

ля

дискретного спектра волновые функции нормируются к еди-

нице·' _

\rn№

(r)dx~6

[

npli П

> (16.1)

0 при пфт,

где

ψη

(г)» (г)

—

собственные функции (в r-представлении) некото-

рого оператора М, соответствующие собственным значениям М

и М

(т) = М

% (г); Щ

(г) = М

(г). (16.2)

Если оператор Μ имеет непрерывный спектр собственных значений

М^(г) = МгЫг); Мг|)лр (г) = Λί'ψΛρ (г), (16.3)

то собственные функции нормируются на δ-функцию Дирака

(ν)^Μ>(τ)άτ = δ(Μ-Μ')

(16.4)

где δ-функция Дирака удовлетворяет известным условиям:

I °

J δ (χ

—

a) dx = ν

ь I

оо при х = а,

1.при AG [b, с],

О при а φ [ft, с].

(16.5)

Интегрирование при нормировке производится по всему объему,

в котором находится частица.

В реальных условиях частицы движутся в ограниченных областях

пространства, например в кристалле конечного размера. В этом

случае необходимо решить уравнение Шредингера для ограничен-

ного кристалла и при этом надо задать граничные условия, т. е.

значения для волновой функции и ее первых производных по коор-

динатам на границе кристалла. Это приводит к целому ряду допол-

нительных трудностей, а именно, нарушается трансляционная сим-

метрия кристаллического поля, требуется вводить дополнительные

граничные условия, учесть которые не столь просто, поскольку

явления на поверхности кристалла, пожалуй, более сложны, чем

явления в объеме. В то же время очевидно, что если размеры кри-

сталла достаточно велики, то поверхностные явления не будут ока-

зывать решающего влияния на процессы внутри объема кристалла.

Это позволяет ввести так называемые циклические граничные условия.

Предположим, что кристалл имеет вид параллелепипеда со сторо-

нами L

, L

С объемом G = L

Предположим, что все пространство заполнено подобными кри-

сталлами. В таком случае трансляционное свойство поля кристалла

сохраняется. Так как все точки, отличающиеся на целое число L

2» L

эквивалентны, то граничные условия в обычном смысле слова

заменяются условием эквивалентности физических свойств кристалла

В точках χ и *и аналогичных точках, поэтому вместо обычных

граничных условий задаются циклические граничные условия в виде:

Ψ(*, У> z) = ^(x + L

, у,

2г)

= χμy-\-L

, г/,

+ L

). (16.6)

В таком случае достаточно рассмотреть движение электрона

в основной области G, поэтому и нормировку можно провести по

области G:

$ψΜΓ)ψΛί'(Γ)Λ=1. (16.7)

Это так называемая «нормировка в ящике» приводит к некото-

рому изменению спектра величины М, которое рассмотрим на при-

мере собственных значений квазиимпульса. Как видно, на квази-

импульс наложено одно условие —он должен быть вещественной

величиной. Так как при этом он может быть непрерывным, то его

собственные функции, т. е. функции Блоха, должны быть нормиро-

ваны на б-функцию:

\ ψκ

(г) ψί' (г) dt = δ (к - к'). (16.8)

При этом интеграл берется по всему пространству. Проводя нор-

мировку в ящике, мы можем записать

,16.9)

Другими словами, записываем условие нормировки функции опе-

ратора с дискретным спектром. Но дискретность спектра непосред-

ственно следует из циклических граничных условий:

ψκ (χ + U, у, г)W [M* + 4) + V + V]<p

{x +

у, *) =

= e

t(Kr)

(х, у, ζ) = е'<

кг

> φ

(г). (16.10)

Условие ср

(AT

+ LX, у, ζ) = φ

(*, у

ζ) выполняется автоматически,

поскольку Li, L

, L

содержат целое число периодов решетки,

а φ

(г) периодична с периодом прямой решетки. Из последнего ра-

венства следует

что

i = 1. (16.11)

Но это возможно, если показатель мнимой экспоненты есть целое

число, умноженное на 2π, т. е.

= 2m

(16.12)

где п

—

произвольное целое число. Отсюда следует дискретность

волнового вектора:

= т~ ^ij п

±1; ±2; ... (16.13)

Учитывая

условия периодичности по осям у и ζ, аналогично

получим

2π \

к = —

= 0;±1; ±2;...

2π (

16Л4

)

= γ~η

\ п

= 0; ±1; ±2...1

Определим L

через число узлов N

решетки, лежащих на ребре

кристалла:

U^Nm; (£=1,2,3). (16.15)

Подставляя L

в выражение для к

1у

получим

(16Л6 )

Учитывая, что состояния с к и к' =

+ 2яЬ эквивалентны, мы

можем ограничить верхнее значение щ условием

2nbi\

щ = N

(16.17)

а нижнее значение щ

—

Можно выбрать и другое условие: ^A/V,· = ± 1/2, что дает сим-

метричный относительно к = 0 интервал значений

(16.18)

или

±1; ±2;

···= -Ύ- <

)

Таким образом, для ограниченного кристалла волновой вектор

дискретен. Однако эта дискретность для достаточно большого раз-

мера кристалла в большинстве случаев несущественна и будем счи-

тать К{ величиной квазинепрерывной, но в ряде случаев дискретность

необходимо учитывать. Так как квазиимпульс дискретен, то и энер-

гия должна быть дискретна: Ε (щ). Однако подобной дискретностью

энергии в дальнейшем будем пренебрегать, поскольку расстояние

между уровнями энергии много меньше kT.

Вернемся к условиям нормировки в «ящике» для волновой функ-

ции. Подставляя в (16.9) функцию Блоха

J е-' <

>φκ' (г) е'<

"(рк (г) άχ = δ

κκ

>, (16.20)

при к = к' получим

$φϊ(Γ)Φκ(Γ)<ίτ=1. (16.21)

Из (16.21) следует, что интеграл от

ср

(г)

по области G должен

быть равен единице. Этим условием определен выбор мультиплика-

тивной константы, входящей в <р

(г).

Однако учитывая, что φ

(г)

—

функция периодическая, достаточно

проинтегрироват ь

(г)

по объему V

—

(а

[а

]) одной элемен-

тарной ячейки. Если число таких ячеек в кристалле равно N

то,

очевидно,

$1<Р«(г)|

dx = N $

фк (г) \

dx=l, (16.22)

G V

и тем самым условие нормировки для φ

(г) может быть записано

в виде

I Фк (Г)

dx = N~\ (16.23)

Однако принято ^нормировать ер

(г) по объему V

на единицу:

J |

фж

(г)[»Л=1.' (16.24)

' В этом случае нормированная на единицу ψ (г) должна иметь вид

ψκ (г) = -1·= е

кг)

(г). (16.25)

Резюме § 15 и 16

1. Каждой решетке с базисом a

, а

соответствует так назы-

ваемая обратная решетка, определяемая базисом b

, b

(15.1).

2. Состояния к и к' =

+ 2л;Ь физически эквивалентны, поэтому

энергия является периодической функцией волнового вектора (и ква-

зиимпульса):

£(к + 2лЬ) = £(к). (16.1р)

Пространство к (или Р) разбивается на эквивалентные области,

содержащие все различные состояния. Эти области называют зонами

Бриллюэна. Зону, симметричную относительно начала координат,

называют основной зоной Бриллюэна. Она определяет набор воз-

можных различных значений волнового вектора:

— п/щ < κι < я/щ. (16.2р)

3. Чтобы исключить граничные условия уравнения Шредингера

для кристалла конечных размеров и сохранить при этом трансля-

ционную симметрию, предполагается, что все пространство занято

кристаллами в виде параллелепипеда со сторонами L

, L

. При

этом состояния в точках, отстоящих на расстояния, кратные U

вдоль каждой оси, считаются эквивалентными, в силу чего волновая

функция нормируется на единицу по объему G = LIL

(по объему

«ящика»).