Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Рассмотрим наглядную картину проводимости полупроводнико-

вых веществ на примере кремния.

Атом кремния имеет 14 электронов, которые распределены по

оболочкам следующим образом: (Is

) (2s

) (2р

) (3s

) 3/А

Незаполненная внешняя оболочка содержит четыре электрона.

Электронное облако атома, вступившего во взаимодействие при

образовании кристалла, имеет тетраэдричес-

кую структуру. Подобная структура элек-

тронного облака обусловливает так называе-

мый алмазный тип кристаллической решетки

кремния. Решетка алмазного типа (рис. 6)

является кубической. Каждый атом связан

с четырьмя ближайшими атомами кремния

парноэлектронной связью, в осуществлении

которой принимают участие четыре его ва-

лентных электрона. В идеальной решетке все

электроны связаны, свободных носителей за-

ряда нет, и поэтому при наложении электри-

ческого поля электрический ток возникнуть

не может. Для его возникновения необходимо

часть электронов сделать свободными, не

связанными. Но для отрыва электрона необходимо затратить энергию.

Ее можно подвести к решетке в виде энергии фотонов или корпуску-

лярного излучения, или в виде энергии тепловых колебаний решетки.

Для отрыва электрона в кремнии при комнатной температуре необхо-

димо затратить энергию 1,08 эВ. Обратим внимание на то, что

освобождение одного электрона порождает одну незавершенную связь.

Рис. 6. Решетка типа ал-

маза

Рис. 7. Возникновение проводимости в результате тепловых

колебаний решетки и облучения полупроводника

На рис.7 представлены--диаграммы идеального кристалла (а),

возникновения свободного электрона за счет энергии тепловых

колебаний решетки (б) и в результате поглощения фотона подходя-

щей энергии (в). Освобожденный электрон будет хаотически пере-

мещаться по кристаллу. Если электрон подойдет вновь к тому атому,

от которого он был оторван, то он может снова соединиться с ато-

мом, отдав свою энергию решетке или испустив квант света

Процесс превращения свободного электрона в связанный электро-

носит название рекомбинации. Он является обратным процессу

освобождения связанного электрона (генерации). Отметим, что

рекомбинация приводит к исчезновению не только свободного элек-

трона, но и одной незавершенной связи между атомами. Число

свободных электронов и вакантных, незавершенных связей одина-

ково. При этом в области незавершенной связи имеется избыточный

положительный заряд, не компенсируемый теперь зарядом элек-

трона. Однако для достаточно большого объема вещества полный

заряд остается по-прежнему равным нулю, так что появление

в равных количествах свободных электронов и вакантных связей

не нарушает электронейтральности кристалла в целом.

При наложении на кристалл электрического поля Ε свободные

электроны, участвуя в хаотическом тепловом движении, будут испы-

тывать действие силы е

Е и придут в дрейфовое движение против

поля. Если обозначить концентрацию электронов через я, их под-

вижность через то плотность электронного тока будет равна

где через е

обозначен заряд электрона.

полупроводниках проводимость действительно зависит от

внешних условий, поскольку, меняя интенсивность освещения, облу-

чение или температуру, можно менять концентрацию носителей

заряда в широких пределах, в то время как в металлах число

электронов остается неизменным при изменении внешних условий

и температуры. Однако это не единственное различие между метал-

лами и полупроводниками. В последних существует два механизма

проводимости.

Действительно, незавершенная связь вследствие движения элек-

тронов может перемещаться от атома к атому, т. е. может совершать

хаотическое движение по кристаллу. При наложении внешнего элек-

трического поля Ε на связанные электроны будет действовать сила £

Е,

поэтому они, перемещаясь против п0ля, будут занимать вакантную

связь. В идеальном кристалле, когда все связи заполнены, движе-

ние связанных электронов в силу принципа Паули было бы невоз-

можным . Наличие вакансий в связях позволяет валентным электро-

нам перемещаться против поля. Тем самым совокупность валентных

электронов также участвует в образовании проводимости полупро-

водников. При этом подвижность связанных электронов должна зави-

сеть от числа вакансий. Если обозначить число связанных электро-

нов через Ν, их подвижность через μ^, то

Таким образом, в полупроводницах существуют два вида носите-

лей заряда

—

свободные электроны и связанные электроны, поэтому

U = e,p

nE = a

(5 Л)

ΪΝ = ^

ΝΕ.

(5.2)

j = in + jw = {ρ

-ь

N)E.

(5.3)

Однако удобнее рассматривать не движение совокупности валент-

ных (т. е. связанных) электронов, а движение вакантных связей.

Движение электрона по связям против поля приводит к перемеще-

нию вакансии по полю (рис.8). Но перемещение вакантной связи по

полю равносильно перемещению по полю положительного заряда е+.

Однако нужно помнить, что положительный заряд перемещается по

полю не в результате действия на него силы е

Е, а в результате

перемещения электронов против поля. Непосредственное перемещение

положительного заряда е

по полю

означало бы перемещение ионизи-

рованного атома кремния. Однако V V V^

подвижность ионов на много по-

рядков меньше подвижности элек-

тронов, поэтому ИОННЫЙ ТОК В ^ ^ Хч /Ач

кремнии практически не возни-

кает. Именно поэтому перемещение

нескомпенсированного заряда ядер

ПО полю есть ТОЛЬКО результат Рис. 8. Движение электронов и ва-

движения валентных электронов.

кансий в

электрическом поле

Обозначив число вакантных связей

через р

а их подвижности через μ

, можно выразить ток совокуп-

ности связанных электронов следующим образом:

j ν = β

ΝΕ = β

ρΕ = }

. (5.4)

При этом μ

не должно зависеть от р,- что будет показано в даль-

нейшем с помощью метода зон Бриллюэна.

Вакантная связь получила название дырки в связях, или просто

дырки, и механизм проводимости посредством связанных электронов

получил название дырочной проводимости. Величину ρ называют при

этом концентрацией дырок, μ

—

подвижностью дырок, а е

= е

—

заря-

дом дырки. При этом рассматривают дырки как некие квазичастицы,

движение которых вполне адекватно движению валентных электронов.

Для того чтобы прийти к непротиворечивым результатам при опи-

сании физических явлений с помощью понятия дырок, необходимо

правильно определить все свойства дырок. Только в этом случае

можно говорить о движении дырок без рассмотрения движения сово-

купности валентных электронов (см. § 25).

' ' § 6. СОБСТВЕННАЯ И ПРИМЕСНАЯ ПРОВОДИМОСТЬ

Полупроводник, в котором число электронов равно числу дырок п = р,

называется собственным полупроводником, для него

j =

Ε = (ιβ

η + β

ρ)Ε = (σ

+ σ

) Ε. (6.1)

Если обозначить через b отношение модулей подвижностей (счи-

тая подвижность скалярной величиной):

b=\μ

\/\μ

\, (6.2)

2 Киреев 33

то для проводимости собственного полупроводника можно записать

σ = β

η + β

ρ = ε

ρμ

(1 +&). (6.3)

Однако в большинстве случаев число дырок и электронов в полу,

проводниках различно, именно на этом основана работа большинства

полупроводниковых приборов. Различие в концентрациях дырок и

электронов достигается введением примесей. Проводимость, создан-

ная введением примеси, называется примесной. Для понимания суще*

ства примесной проводимости рассмотрим кремний с примесью эле-

ментов пятой и третьей групп.

Пусть в кристалле кремния атом мышьяка замещает атом крем-

ния. Наружная оболочка атома мышьяка содержит пять электронов. Из

них четыре будут участвовать в образовании ковалентной связи

с четырьмя ближайшими атомами кремния. Пятый электрон не

может принять участие в образовании связи, поскольку все связи

заполнены. В то же время он будет испытывать воздействие со сто-

роны окружающих атомов кремния, в силу чего энергия его связи

с атомом мышьяка уменьшается, как показывает расчет, примерно

в ε

раз (ε— относительная диэлектрическая проницаемость, для

кремния ε =12). Это значит, что пятый электрон атома мышьяка

может стать свободным при затрате энергии в десятки раз мень-

шей, чем энергия, необходимая для отрыва электрона от атома

основного вещества, в данном случае кремния. Поэтому примесь

может быть легко ионизирована, и в кристалле тем самым появится

большое число свободных электронов, намного превышающее число

свободных электронов в кремнии, лишенном примеси. Видно, что

элементы пятой группы, введенные в кремний, приводят к появ-

лению в нем значительно большего числа свободных электронов,

чем в чистом кремнии. Примесь, которая отдает электроны, носит

название донорной. Атомы примеси, отдав электрон, превращаются

в положительно заряженные ионы (As+). Но положительно заряжен-

ный ион примеси в создании тока принимать участие не может,

поэтому донорная примесь является поставщиком только свободных

электронов.

Наряду с ионизацией атомов примеси будут наблюдаться про-

цессы ионизации и атомов основного вещества. Однако количество

электронов, поставляемых основным веществом, будет намного меньше

числа электронов, поставляемых примесью. Благодаря этому число

дырок будет намного меньше общего числа электронов. При проте-

кании тока заряд в таком кристалле будет переноситься в основном

электронами, которые в силу этого называются основными носителями

заряда, а дырки

—

неосновными носителями заряда. Такой полупровод-

ник носит название электронного, или п-типа. Проводимость элек-

тронного полупроводника может быть записана в виде

σ = ο

+ σ

?**σ

= β

η, (6.4)

так как р^п и ο

^σ

Характер проводимости при введении примеси можно в ряде

случаев определить на основании простого правила валентности: если

валентность примеси больше валентности основного вещества, то при-

месь является донорной. Так, например, элементы V группы в кремнии

и германии являются донорами. В соединениях Α

ΙΠ

донорами яв-

ляются элементы VI группы. Однако это правило применимо не всегда.

Рассмотрим теперь другой случай. Пусть в кремний введен атом

индия или любого другого элемента III группы. Атом индия имеет

три валентных электрона, поэтому одна связь его с атомами крем-

ни я будет незаполнена. Для заполнения этой связи необходимо

перевести к индию один из электронов какого-либо атома кремния

Энергия, необходимая для перевода электрона от атома основного

вещества к атому примеси, который превращается в отрицательно

заряженный ион, намного меньше энергии, необходимой для осво-

бождения электрона, поэтому процессы перехода электронов от ато-

мов основного вещества к атомам примеси будут наблюдаться значи-

тельно чаще процессов' ионизации атомов основного вещества

с образованием свободных электронов. Но отрицательный заряд

локализуется на атоме примеси и поэтому участия в создании тока

принимать не будет. Незавершенная же связь (дырка в связях),-

находящаяся теперь между двумя атомами основного вещества,

является носителем положительного заряда —дыркой.

Примесь, принимающая электрон, называется акцепторной. Число

дырок в этом случае может намного превосходить число свободных

электронов, поэтому проводимость полупроводника будет в основном

дырочной:

ο = σ

+ σ

^σ

= β

ρ, - (6.5)

так как п<^р и сг

<^о

Дырки называются основными носителями заряда, а электроны —

неосновными. Полупроводник с акцепторной примесью носит назва-

ние дырочного, или р-типа. Акцепторами часто являются вещества,

валентность которых меньше валентности основного вещества; напри-

мер, элементы III группы в Si, Ge; элементы II группы в соедине-

ниях Α

ΠΙ

, Так как концентрация носителей заряда в примесных полупро-

водниках превосходит концентрацию носителей заряда в собственном

полупроводнике, то сопротивление полупроводника с примесью одного

типа меньше сопротивления чистого вещества. Другими словами,

введение примеси (легирование) в полупроводниковое вещество пони-

жает его сопротивление.

Если в веществе содержится примесь двух типов —и акцепторы,

и доноры,—то происходит взаимная компенсация примеси. При

равенстве концентраций доноров и акцепторов легированный полу-

проводник подобен собственному. Такие полупроводники будут обла-

дать высоким сопротивлением. Они называются скомпенсированными.

Полупроводники, тип проводимости которых зависит от вида при-

меси, называются амфотерными.

Резюме § 4—6

1. К полупроводникам относят вещества, проводимость которых

в сильной степени зависит от состава, структуры кристалла и внеш-

них условий. Проводимость полупроводников, как правило, воз-

растает при сообщении им энергии нагревом, освещением, облуче-

нием ядерными частицами, она зависит от давления, внешних элек-

трических и магнитных полей.

2. В полупроводниках существует два механизма проводимости:

носителями заряда являются свободные электроны и свободные

дырки. Дырочная проводимость есть проводимость, создаваемая

движением связанных электронов по связам.

3. В чистом полупроводнике число дырок равно числу электро-

нов, такой полупроводник называют собственным. Примесь, поставля- ч

ющую свободные электроны, называют донорной; примесь, постав-

ляющую свободные дырки, называют акцепторной. Носители заряда, ^

имеющиеся в большем количестве, называют основными; носители

заряда, имеющиеся в меньшем количестве, называют неосновными.

Полупроводниковое вещество, в котором концентрации акцептор- ,

ной и донорной примеси равны, называют скомпенсированным полу- '

проводником.

Глава II

ОСНОВЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

§ 7. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ КРИСТАЛЛА

Кристалл представляет собой единую систему легких (электроны)

и тяжелых (ядра) частиц. Обозначим координаты электронов через

Γχ, г

, ..., а ядер

—

через R

, Стационарное состояние ча-

стиц описывается уравнением Шредингера

ΗΨ = £Ψ, . (7.1)

где

Η —

гамильтониан кристалла, Ψ

—

его собственная волновая функ-

ция, Е

—

его собственное значение, или энергия кристалла. Волно-

вая'функция кристалла зависит от координат всех частиц:

Ψ = Ψ(

Γι

, г

, Rx, R

, = Rah (7.2)

где для краткости через η обозначены координаты электронов,

а через R

—координаты ядер.

Оператор Гамильтона включает в себя все виды энергии

а именно:

1) кинетическую энергию электронов Т

i i

где

—масса электрона, ft

—

постоянная Планка А, деленная на

= Δ; =

V| —

оператор Лапласса для t-ro электрона:

^-Щ + Щ + Щ' • <

2) кинетическую энергию ядер Τ

• (7.5)

' a a

—

масса ядра;

__ а? а* а*

П fi

Ш "Т" aZ2

; { J

3) энергию попарного взаимодействия электронов V

«.-τ Σ ^ιΐ-,,ι-τΣ

-. . -TJI

Ι.ίφΐ

i Ψί

4) энергию попарного взаимодействия ядер (]

π _

ΖαΖ

^ _

V Α

" 2 L 4πε

1 Ra — Щ

2 Zj

где Z

Ζββ

—заряды ядер α и β;

5) энергию взаимодействия электронов с ядрами LJ

~ Σ 4πε

Ι = Σ ^

4πε

1 r

· —R

ί,

6) энергию всех частиц во внешнем поле V: !

V = V(г

, Rx, R

, ...). (7.10)

В таком случае гамильтониан кристалла во внешнем поле может

быть записан в следующем виде: \

H = t+f

+ V

+V; (7.11)

ΗΨ = £Ψ. j

Уравнение Шредингера (7.11) содержит 3(Z-fl)Af переменных,

если через N обозначить число атомов в кристалле. Так как в 1 см

содержится примерно 5· 10

атомов, то при Z— 14 число переменных]

составляет 2-Ю

см

-3

. Ясно, что такое уравнение не может, быть

решено в общем виде. Это связано не только с техническими вы-

числительными трудностями, но и с трудностями принципиальными,!

поскольку современная квантовая механика по существу не имеет!

аппарата при решении задач для системы с большим числом частиц/

Для того чтобы решить уравнение Шредингера системы взаимодейс^

вующих частиц, необходимо свести такую систему к системе невзаимо

действующих частиц. В последнем случае уравнение для системы

частиц распадается на систему уравнений, каждое из которых опи-

сывает движение одной частицы. Действительно, если гамильтониан

системы может быть представлен в виде суммы гамильтонианов:

H = (7.12)

где Η* зависит только от координат к-ой частицы:

т. е. частицы не взаимодействуют, то уравнение Шредингера для

системы решается следующим образом. Волновая функция системы

представляется в виде произведения волновых функций отдельных

частиц, а энергия системы равна сумме энергий частиц:

Ψ(Γι, г

, ...) = ΨΙ(γι)Ψ

(Γ

)... (7.14)|*

где Εκ и Ψ* связаны между собой соотношением

H^(r

) = ^(r

)

(7.16)

что легко доказывается простой подстановкой (7.14) в уравнение

Шредингера для системы частиц, откуда с учетом (7.16) следует

(7.15).

Переход от системы (7.11) взаимодействующих частиц к системе

невзаимодействующих частиц возможен только в результате прибли-

женного решения уравнения при более или менее очевидных упро-

щениях.

Ниже будем предполагать, что внешние поля отсутствуют:

V(r

...; R

...) = 0. (7.17)

Прежде чем переходить к упрощениям уравнения Шредингера,

запишем выражение для энергии кристалла

£ = $Ψ*(γχ, Ri, ...)H4r(r

\..; R

.;.)dx, (7.18)

где интегрирование ведется по координатам всех частиц:

dx = dx

dijx dz

... dX

...

. (7.19)

Волновая функция Ψ (г

...; Ri, ...) позволяет найти движение

любой частицы кристалла. С ее помощью, рассматривая состояния

с минимальной энергией, теоретически можно было бы найти кри-

ί сталлическую структуру вещества и ее возможные модификации.

§ 8. АДИАБАТИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

Адиабатическое приближение, или приближение Борна—-Оппен-

геймера, учитывает различный характер движения легких (электро-

нов) и тяжелых (ядер) частиц. Для быстро движущихся электронов

важно мгновенное положение ядер, в то время как на движение

ядер должно оказывать влияние не мгновенное положение электро-

нов, а только их усредненное движение. Это утверждение легко

понять применительно к многоэлектронным атомам. Ясно, движение

ядра в силу его инерционности не следует за движением каждого

электрона, а движется в усредненном поле всех электронов. В то

же время сравнительно медленное движение ядра увлекает за собой

электроны, вследствие чего целостность атома сохраняется. Подоб-

ное же положение должно иметь место и в кристалле.

Наиболее грубое предположение должно состоять в том, что ядра

покоятвя: R

= Ra. В этом случае уравнение Шредингера сущест-

венно упрощается. Действительно, кинетическая энергия ядер об-

ращается в нуль, энергия взаимодействия ядер Ό ζ представляет

собой константу, которую выбором начала отсчета энергии можно

обратить в нуль. Учитывая, что t

= 0 и U

= 0, запишем выраже-

ние для гамильтониана, который обозначим теперь через Н

и назовем

его гамильтонианом электронов:

= T + lJ

+ LU (8.1)

Волновую функцию электронов обозначим через Ψ^. Она должна

зависеть от координат электронов г* и координат покоящихся ядер

R£, причем Ч^Оь Ra) должна быть нормирована к'единице пр^

любы х значениях координат ядер при интегрировании по коордц.

натам электронов:

$Ψ**(γι, RJ, ...)Ψ,(τ

ΐ9

R?, ...)dx

. (8.2)

Уравнение Шредингера может быть записано в следующем виде:

; , (8.3}

L i ίφΐ i, α' J

В это уравнение Ra уже входит не в качестве переменной диф*

ференциального уравнения, а в качестве параметра, выбор кото-

рого влияет в конечном счете на волновую функцию и значение

энергии кристалла Е

: w

Ψ*Η,Ψ, dx

= Е

(RJ, RS, ...). (8.4

представляет собой энергию электронов, движущихся в поле по

коящихся ядер.

Однако предположение о покоящихся ядрах является излишн^

грубым. Можно считать, что ядра движутся, и учесть это движение;

введением волновой функции ядер Oz(Ri> ..·)· С этой целью пред

ставим гамильтониан кристалла в следующем виде:

обозначим через U

оператор >

2 щ;

Δα

)+(·

· ·

>·

·>· (Μ

' 'ι

который будем называть ядерной частью гамильтониана кристаллаJ

Очевидно, что гамильтониан кристалла можно выразить через ВД

и H

. Учитывая (7.11), (7.17), (8.1) и (8.5), запишем· ϊ!

a=H

-£

: (8.6)

Волновую функцию кристалла Ψ представим в виде произве-J

дения ίJ

(8.7)

40 !