Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

Наличие знаменателя в (3.22) связано с тем, что функция распре-

деления Максвелла, которая использована в (3.22), не нормиро-

вана.

Интегрирование по координатам, от которых в данном случае

функция распределения не зависит, дает объем тела V. Удобно

перейти к новым' переменным, положив

p*=(2mkT)x\ (3.23)

В таком случае

00 1

(kT) ^ X

(Ε) = — ~kT. . (3.24)

jj х

ο ,

При вычислении мы учли, что

со β оо j

J х

e-*dx = ~ ix

dx. (3.25)

о 0

Это легко доказывается интегрированием по частям, последний же

интеграл (3.25) равен (интеграл Пуассона). Кроме того, мы

нашли нормировочный коэффициент для функции БольЦмана: нор-

мированная к единице при интегрировании по фазовому пространству

функция Больцмана имеет вид.

If 1 \Т-

Найдем теперь среднюю энергию электронов вырожденной системы

при тех же предположениях:

fo(E, Τ) =

р2

(3.27)

— F

2т

(β) ^ ±! . (3.28)

\ IIH-LrX

Переходя к переменным (3.23) и сокращай на одинаковые вели-

чины числитель и знаменатель, можем записать

J е^Й +

)=kT . (3.29)

При большой температуре, когда kT^>F и можно

пренебречь единицей по сравнению с е* в подынтегральном выра-

жении уже при малых х. В этом случае квантовая статистика

переходит в классическую и

(E) = \kT. (3.30)

При очень низких температурах функция Ферми —Дирака имеет

вид прямоугольной единичной ступеньки, интеграл можно вычислить

от 0 до x = F/kT, поэтому

F/kT

kT \ x^dx

= Ч\

· (

S x

l/2

Как видно из (3.31), энергия вырожденного электронного газа

не зависит от температуры, поэтому он не вносит вклада в тепло-

емкость тела, что полностью объясняет закон Дюлонга —Пти для

твердых тел.

Если провести более строгий расчет, то для <Ε) получим выра-

жение

<*>=4М'+Ш]. (3.32,

Объяснение независимости теплоемкости твердого тела при обыч-

ных температурах от движения электронов явилось крупным успехом

квантовой теории, поскольку по классической теории электроны

должны давать вклад в удельную теплоемкость металла величиной

|-kn. -

Однако при низких температурах распределение электронов по

энергетическим состояниям определяется не тепловым движением,^

а волновыми свойствами электронов и вытекающим из них тгринци-

пом Паули, благодаря чему (E) = -^F

что составляет величину

в несколько электронвольт, поэтому тепловое движение слабо влияет

на величину энергии электронного газа. Однако при больших темпе-

ратурах, когда kT>F

энергия электронного газа будет опре-

деляться его температурой.

Переход от квантовой статистики к классической можно опре-

делить условием

= F

(3.33)

или

= Fo/k

(3.34)

Температуру Τ

называют температурой вырождения, поскольку

при Τ>Т

электронный газ является классическим, а при Т<.Т

—

квантовым {вырожденным).

При описании свойств полупроводников будут использованы как

функция Ферми —Дирака (вырожденные полупроводники), так и

функция Больцмана (невырожденные полупроводники).

В дальнейшем будет необходимо вычислять интегралы вида

/ = [ φ (£)/„(£, T)dE. (3.35)

Если через ψ (Ε) обозначим первообразную для функции φ(£),

то, интегрируя по частям, получим:

оо оо

/ = ψ (Ε) fo (Л, Л I - J Ψ (£)

д/о{

0Ё

Τ) dE

- (

)

О О

Первый член в (3.36) обычно обращается в нуль, для этого

достаточно, чтобы ψ(0) = 0, а ψ(£) возрастала с ростом энергии

медленнее, чем экспонента. Считая, что эти условия выполнены,

опустим первый член в (3.36). Разложим ψ(£) в ряд Тейлора

в окрестности точки E = F:

00 00

V-rr^dE. (3.37)

о rt = 0 F

— F

Переходя к безразмерной переменной ξ=

и учитывая соот-

ношение (3.15), запишем:

ОО 00

'--И^И-я J t"i«E· ел»

= 0 — F/kT

Для сильного вырождения нижний предел можно заменить на —оо.

В этом случае члены нечетной степени дают нуль, и (3.38) можно

представить в виде:

'-Σ^ ^С, (3.39)

г=о i:

где через С

2г

обозначены определенные интегралы вида

оо оо

. (3.40)

—ОО —00

Вычисление коэффициентов С2г проводится с использованием

некоторых специальных функций, например дзета-функции Римана

ζ (2

С^ = 2 О

—

2Г

) ζ (2r). (3.41)

Используя значения £(2r), можно найти С2П

ζ (2) = |; C(4)-g;,..

ι ^ _π2 ^ __7π

_ 31π

6 '

360' 15120' "·

или C

= 1; C

^ 1,64; С

я^ 1,89; С

^1,96 и т. д.

Ограничиваясь несколькими членами ряда, запишем:

оо

5 φ (Ε)

/о

(Я, Г) =

Ψ (/=)

(F) + +

· · ·

· (3.42)

Во многих случаях можно ограничиться двумя членами

'\<f(E)f

(E,T)dE**ib(F) + %(kr)W(F). (3.43)

Выражение (3.43) можно использовать, например, для вычисле-

ния (3.29).

2 2

Положив

г|)

= у£

г|)

= у£

для верхнего и нижнего инте-

гралов, найдем:

3 '3 2 2 6

15 π

ОТ

3 4 ' 6 t ^

4 ' 6 I F

ρ[, + -(»)•]. . (3.44)

Видим, что при ΤО (3.44) переходит в (3.31). Аналогично

можно найти

'-М'-ет »«>

при условии постоянства концентрации электронов. Подставив (3.45)

в (3.44), получим (3.32).

Резюме § 3

1. Для описания электронного газа может быть введена функция

распределения

(г, р, t), представляющая собой вероятность нахож-

дения электрона в единичном фазовом объеме.

2. Для любой физической величины а можно найти среднее

значение (а) на основании соотношения (3.8).

3. Квантовая функция распределения электронов по состояниям

(3.10) зависит только от энергии и температуры. Она близка к единице

при E<F

—

2kT> близка к нулю при E>F + 2kT

испытывает

резкое изменение в интервале энергии порядка'±2kT относительно

энергии Ферми F. Системы, подчиняющиеся квантовой статистике,

называют вырожденными. С ростом температуры,, когда F становится

меньше kT> функция Ферми —Дирака переходит в функцию Больц-

мана,. или классическую функцию распределения (3.12).

4. Средняя энергия вырожденного электронного газа опреде-

ляется выражением (3.32), невырожденного газа

—

выражением (3.24):

(Е)

=р ®

[l + (f )

]; (Ε) = 4*7.

(3.1

ρ)

5. Температура вырождения Т

электронного газа определяется

энергией Ферми F

= F

/kT. (3.2р)

При Т>Т

газ является классическим (невырожденным), при

Τ < Т

—

квантовым (вырожденным).

6. Для вырожденных полупроводников и металлов вычисления

с функцией Ферми —Дирака дают:

оо ОО

5 <р(£)/о(£, T)dE = q(E)fo(E, Τ) I +

о о

' + + + (З.Зр)

где =

§ 4. ПОЛУПРОВОДНИКИ, КЛАССИФИКАЦИЯ ВЕЩЕСТВ

ПО ВЕЛИЧИНЕ ПРОВОДИМОСТИ

Реальные вещества характеризуются различной величиной удель-

ной электрической проводимости σ. Примеры проводимости некоторых

веществ даны в табл. 2;

Из табл. 2 видно, что для таких веществ, как золото, серебро,

медь, проводимость имеет величину в несколько единиц на 10

Сим-м

-1

а эбонит и янтарь имеют проводимость, характеризующуюся вели-

чиной порядка 10

Сим-м Ч Вещества с проводимостью σ^

^(10

-*-10

) Сим-м"

принято называть проводниками, или метал-

лами. К изоляторам, или диэлектрикам,' относят вещества с прово-

димостью σ я^ (10

-8

-τ- 10

-16

) Сим

-1

Таблица 2

Вещество

Алюминий . . . .

Золото

Медь тянутая . .

Медь отожженная

Серебро

Нихром

σ, Сим·м

-1

3.12- 10

4.13-107

5,62

ΙΟ

6,30

ΙΟ

6,03. 107

9 -10

Вещество

Алмаз

Эбонит

Пирекс . . .

Слюда

Парафинированный воск

Кварц . .

σ, Сим-м

-1

10-ю

5 -10-14

10-12

10"

Ю-*?

Ю-13

1,1

3,3

Вещества, имеющие промежуточную между металлами и диэлек-

триками проводимость, были названы полупроводниками. Полупро-

водники

—

это вещества, удельная электрическая проводимость которых

лежит в интервале от 10~

до 10

Сим-м

-1

, т. е. может принимать

значения, отличающиеся на 14 порядков. Однако это определение

полупроводников совершенно не передает специфических особен-

ностей их проводимости. Действительно, рассмотрим, например,

температурную зависимость проводимости металлов и полупровод-

никовых веществ. Для металлов с ростом температуры сопротивление

увеличивается

(0 =

(4.1)

где R

—

сопротивление при

= 0°С, R(t)

—

сопротивление при t°С,

—

термический коэффициент сопротивления, равный примерно 1/273.

Для металлов

. a = dR/dt = dR/dT>0.

Для полупроводников сопротивление с ростом температуры быстро

уменьшается. Эмпирическая формула, дающая связь между сопро-

тивлением и абсолютной температурой Т> справедливая для неко-

торого интервала температур, имеет вид

R(T) = R

, (4.2)

где R

, В

·—

некоторые постоянные для данного интервала температур

величины, характерные для каждого полупроводникового вещества.·

Для удельной проводимости эту формулу можно переписать в виде

= а

е-*/

\ (4.3)

Если умножить числитель и знаменатель показателя экспоненты

на постоянную Больцмана k и обозначить kB = E

, то

о = o

. (4.4)

Характерная для данного полупроводника величина £

носит

название энергии активации. По своему физическому смыслу она

различна для разных интервалов температур. На рис. 3 приведены

графики зависимости сопротивления металла и полупроводника от

температуры Т. На рис. 4 приведены графики зависимости Ιησ

от обратной температуры.

Наличие энергии активации Е

означает, что для увеличения

проводимости к полупроводниковому веществу необходимо подвести

энергию. Опыт показывает, что проводимость полупроводников уве-

личивается не только при нагревании (т. е. при подведении к полу-

проводнику тепловой энергии), но и при освещении, при облучении

ядерными частицами; она меняется при наложении электрических и

магнитных. полей, при изменении внешнего давления и т. п. Это

означает, что полупроводники —это вещества, проводимость которых

сильно зависит от внешних условий: температуры, давления, внешних

полей, освещения, облучения ядерными частицами.

, Полупроводник

Ind

. Ind

1/τ

1/Т

Рис. 3. Зависимость сопротивления

металлов и полупроводников от тем-

пературы

Рис. 4. Зависимость Ιησ от обрат-

ной температуры для металлов и

полупроводников

Так как при О и при отсутствии подвода энергии извне

проводимость (невырожденных) полупроводников стремится к нулю,

то мы можем сказать, что полупроводники

—

это вещества, обладающие

проводимостью только в возбужденном состоянии. При таком опре-

делении в принципе нет различия между полупроводниками и

диэлектриками, в то время как отличие полупроводников от металлов

отражено достаточно четко.

Влияние 'условий на проводимость полупроводников проявляется

по-разному в зависимости от структуры и свойств вещества. При

неизменных внешних условиях проводимость одного и того же

вещества в виде чистого и- совершенного монокристалла, моно-

кристалла с дефектами и примесями и поликристалла различна.

'Учитывая все сказанное, можем определить полупроводники

следующим образом: полупроводники — это вещества, имеющие при ком-

натной температуре удельную электрическую проводимость в интер-

вале от 10~

до 10

Сим

-1

, которая зависит в сильной степени

от вида и количества примеси и структуры вещества и от внеш-

них условий: температуры, освещения, электрических и магнитных

полей и т. п.

ЭТО определение позволяет отличать полупроводники от метал-

лов—проводимость металлов значительно слабее зависит от внеш-

них условий, поскольку для создания проводимости в полупроводни-

ках их необходимо перевести в возбужденное (активированное) со-

стояние, в то время как состояние проводимости металлов является

состоянием невозбужденным. Указание на интервал возможных зна-

чений удельной проводимости позволяет отличать полупроводники

от диэлектриков. Отсюда следует, что различие между полупроводни-

ками и диэлектриками чисто количественное и в значительной мере

условное.

Существует два типа полупроводниковых веществ: ионные и

электронные. В ионных полупроводниках ток переносится ионами

вещества, вследствие чего состав и структура ионного полупровод-

ника меняется при прохождении через него электрического тока.

Для приборов, преобразующих энергию, такие вещества не при-

годны, так как они будут

разрушаться при прохожде-

нии через них тока. Такие

вещества в данном курсе не

ρ ассм атр и в аются.

В электронных полупро-

водниках ток переносится

электронами, вследствие чего

переноса вещества при про-

хождении тока не происхо-

дит, и приборы, изготовлен-

ные из этого материала, могут

работать длительное время.

Рис. 5. Положения простых полупроводни- К полупроводникам (элек-

ковых веществ в таблице Мейделеева тронным) ОТНОСИТСЯ огромное

количество самых различных

веществ. Но практическое значение в настоящее время имеют лишь

некоторые из них. Однако по мере развития химии и технологии

получения чистых веществ число полупроводников, находящих ши-

рокое практическое применение, быстро возрастает.

. К числу полупроводников относятся 12 простых веществ: бор В,

углерод С, кремний Si, фосфор Р, сера S, германий Ge, мышьяк As,

селен Se, серое олово Sri, сурьма Sb, теллур Те, иод J. На рис. 5

указано расположение полупроводников среди остальных элементов

периодической таблицы Менделеева. Наибольшее значение из атомар-

ных полупроводников в настоящее время имеют германий и

кремний.

Полупроводниковыми свойствами обладают многие бинарные сое-

динения типа А

8-Х

, где А—элемент группы X и В —элемент

группы (8 —X).

К числу соединений типа A

VI1

относятся: AgCl, CuBr, KBr,

LiF и др. Как полупроводниковые вещества они еще не нашли

широкого применения.

К соединениям типа Α

νι

относятся сульфиды, теллуриды,

селениды, окислы металлов второй группы. Наиболее известными

^\Группы

Периоды*—

III

VI.

VII

В С

III

А1

Са Ge

Те

Ρ Ь

реди них являются соединения CdS, CdSe, CdTe, ZnS, ZnO, ZnSe,

HgTe, HgSe и некоторые другие. В ближайшем будущем многие из

нй

х найдут широкое практическое применение.

Одними из важнейших в настоящее время полупроводни-

ковых соединений являются вещества типа Α

ΙΠ

. К ним при-

надлежат антимониды, арсениды, фосфиды, нитриды элементов

второй подгруппы третьей группы: алюминия, галлия, индия,

бора.

В число «соединений» типа A

входят SiC, SiGe.

Помимо соединений вида А

8_Х

, к полупроводниковым вещест-

вам относятся такие соединения, как A

(PbS, PbSe, PbTe),

AiB

(CuS, CuO, Cu

0) и др.

Большой интерес представляют более сложные соединения

и твердые растворы, как вещества вида A

-x

Bf~

, А

8-Х

Α?ΑίΒ

8-χ

. Примерами твердых растворов могут служить GaAsP,

InGaSb или ZnCdSeTe.

Комбинируя различные элементы, можно будет получать .соеди-

нения с наиболее подходящими для данных практических целей

свойствами. Помимо этого, полупроводниками являются различные

более сложные соединения.

Кроме неорганических веществ, к полупроводникам причисляются

и некоторые органические вещества, такие, как антрацен метилено-

вый голубой, фталоцианин, коронен и·др. .

Разнообразие полупроводниковых веществ с большим набором

свойств обусловило их широкое практическое применение для изго-

товления различных приборов.

Полупроводниковые диоды позволяют выпрямить ток от милли-

ампер до тысяч ампер, от низких частот до сверхвысоких частот,

от напряжения в доли вольта до сотен вольт. Триоды, или

транзисторы, используют для усиления и генерации колебаний

в широком диапазоне частот. Регистрация светового и корпус-

кулярного излучения, преобразование энергии излучения и теп-

ловой в электрическую достигается полупроводниковыми приемни-

ками и преобразователями с большим коэффициентом полезного

Действия. '

В измерительной технике широко используют всевозможные

«датчики», позволяющие преобразовывать различные воздействия в

электрический сигнал для измерения давлений, магнитных полей,

температур, энергии излучения.

Полупроводники находят широкое применение для получения

когерентного -излучения с большим . к.п.д. преобразования

электрической энергии в световую. Трудно перечислить все те

области, где полупроводниковые приборы уже нашли приме-

нение.

В основе каждого прибора лежат определенные физические про-

цессы и явления, без знания которых невозможно правильно исполь-

зовать существующие и разрабатывать новые приборы.

§ 5. МОДЕЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ О ПРОВОДИМОСТИ ПОЛУПРОВОДНИКОВ.

ПОНЯТИЕ ДЫРКИ

Кристаллическая решетка какого-либо вещества возникает в ре-

зультате взаимодействия атомов. Характер взаимодействия определя-

ется строением электронных оболочек атомов, образующих кристалл.

Основную роль при этом играет так называемый обменный эффект,

в результате которого какие-либо два атома могут передавать элект-

роны Друг другу, что приводит к возникновению сил притяжения

между атомами. Эта связь носит название гомополяр ной, по-

скольку она чаще всего наблюдается между одинаковыми атомами.

Так как в ее образовании участвуют в первую очередь валентные

электроны, то она называется и ковалентной. Наибольшей силы

связь возникает в том случае, когда атомы обмениваются парой

электронов с противоположно направленными спинами. Отсюда оче-

видно, что ковалентная связь должна обладать свойством насыще-

ния—добавление третьего электрона не может увеличить энергию

связи, так как при этом всегда два электрона будут иметь параллель-

ные спины. Это свойство ковалентной, или парноэлектронной, связи

вытекает из принципа Паули, который в данном случае гласит, что

два электрона с одинаковыми проекциями спина не могут находиться

в одной и той же области пространства между атомами. Примерами

веществ с ковалентной связью являются алмаз, кремний, германий.

Если во взаимодействие вступают два различных атома, то мак-

симальна я плотность электронного облака (плотность вероятности

нахождения электронов) может сместиться ближе к одному из взаи-

модействующих атомов, и именно к тому атому, который имеет

большее число электронов в валентной оболочке. В предельном

случае максимальная плотность электронного облака находится

у одного из взаимодействующих атомов, который тем самым прев-

ращается в отрицательно заряженный ион, в то время как другой

атом превращается в положительный ион. В этом случае связь носит

название ионной, поскольку ее можно рассматривать как резуль-

тат кулоновского притяжения разноименных ионов. Наиболее отчет-

ливо ионная связь проявляется в щелочно-галоидных кристаллах

(NaCl, LiF и др.). Ионная связь есть предельный случай ковалент-

ной связи. О таких веществах, как окислы или сульфиды элементов

второй группы, говорят, что связь на столько-то процентов ионная.

Другим предельным видом обменного взаимодействия является обмен

электронами любой пары атомов кристалла. Электроны принадлежат

решетке в целом, они коллективизируются. Эта связь носит назва-

ние металлической, так как она наиболее характерна для

металлов. Однако нужно помнить, что резкой грани между тремя

видами связи провести нельзя. В органических кристаллах наблю-

дается сравнительно слабая молекулярная связь, обусловленная

так называемым взаимодействием Ван-дер-Ваальса, в основе кото-

рого лежит взаимодействие между индуцированными дипольными

моментами молекул.