Киреев П.С. Физика полупроводников

Подождите немного. Документ загружается.

сформулировать следующее: при наложении на физическую систему

магнитного поля свойства системы изменяются таким образом, что

при переходе к вращающейся системе координат свойства остаются

неизменными. Применим это утверждение к эффекту Фарадея.

Экспериментально было найдено, что поворот плоскости поляри-

зации линейно поляризованного света зависит от толщины слоя

вещества I и индукции магнитного поля В:

φ = 05/. (83.8)

Величина θ называется коэффициентом Верде. Угол поворота

принято считать положительным, если плоскость поляризации

поворачивается по часовой стрелке (вправо) при распространении

света вдоль магнитного поля. Отсюда следует, что знак вращения меня-

ется при изменении направления поля.

Объяснение эффекта Фарадея основывается на идее Френеля

о различии коэффициентов преломления для право- и левоцирку-

лярно поляризованных волн. Линейно поляризованную волну при

этом можно рассматривать как суперпозицию двух циркуляр

но

поляризованных волн, соответственно по правому (+) и левому (—)

кругу. Пройдя слой толщиной волны получат разность хода Δ

и разность фаз Δφ:

Δφ = ^ = ^

(/п+

- /гг). (83.9)

Угол поворота плоскости поляризации равен половине набирае-

мой волнами разности фаз, т. е.

= ΐΔφ = |(η

-η' (83.10)

Вращение возможно в том случае, когда п+^гг. Выразим п+ и гг

через п. Согласно сказанному выше, можно записать

η± = η(ωιρω

). (83.11)

Поскольку ωχ ω, то можно разложить η (ω) в ряд, взяв только

два члена

η(ωζΙ=ω

) = η(ω)±:^ω

(83.12)

и ч

п+ — п~

—

2 ^

со/,,

(83.13)

откуда

Учитывая, что перепишем (83.14) в виде:

561.

Это выражение представляет собой „одну из форм соотношения

Беккереля . Для коэффициента Верде имеем

θ =4 fc. (83.16)

Для орбитального движения электрона

= ^ (в системе Гаусса),

поэтому

(83.17)

2с

щ άλ '

ч-Ьъя

*·· <

83Л8

Поворот плоскости поляризации отличен от нуля только в том

случае, когда в данной области спектра имеет место дисперсия

света. Но дисперсия тесно связана с поглощением света, а именно,-

в окрестности линии или полосы поглощения 0

—

область нор-

мальной дисперсии, в самой полосе поглощения имеет место аномаль-

ная дисперсия

—

'^">0

— >

поэтому при переходе через полосу погло-

щения следует ожидать изменения знака угла поворота. Инверсия

знака должна быть двукратной в соответствии с тем, что при переходе

через полосу поглощения ^ по крайней мере дважды обращается

в нуль.

Поскольку в полупроводниках имеется несколько видов погло-

щения света, то следует ожидать столько же видов вращения плоско-

сти поляризации, если считать, что каждый тип поглощения обу-

словливает дисперсию показателя преломления.

Вращение, обусловленное дисперсией вследствие собственного

поглощения, называется межзонным вращением. Оно наблюдается

обычно вне полосы собственного поглощения при 0,11.

Наблюдение межзонного вращения при Ηω>ΔΕ

осложняется

сильным поглощением. Аналогичным образом говорят о вращелии

на свободных носителях заряда и на экситонах. Вращение на

примесных состояниях возможно, хотя практически трудно осуще-

ствимо. Наблюдаемый эффект представляет собой суперпозицию

вращений, обусловленных различными механизмами.

Рассмотрим вращение плоскости поляризации на свободных

носителях заряда. Используем метод тензора комплексной диэлек-

трической проницаемости. Так как п

и гг отличаются незначительно,

то можно записать:

п+

+ гг = 2п (83.19)

Ф = ^г(п

-п;«). (83.20)

562.

Заменив η

на ε, получим

Как показано в § 74, амплитуда Фурье

—

компонента поля излу-

чения удовлетворяет уравнению

ΔΕ (г, ω) + ^ [ε -1 ψ\ Ε (г, ω) = 0. (83.22)

Обозначим выражение в квадратной скобке через ε:

(83.23)

т. е. введем комплексную диэлектрическую проницаемость. При

наложении магнитного поля σ становится тензорной величиной

(гиротропия), поэтому и ε —величина тензорная (величину ε будем

считать для простоты скалярной). Если В направлено вдоль оси ζ,

то для а согласно § 42 и 45 можем записать:

σ= , (83.24)

где а

хх

^ 0у

гг

σ (0) в случае слабого магнитного поля, а

ху

—

проводимость Холла, для которой из кинетического уравнения сле-

дует

(83.25)

с учетом ограниченности образца. Из явного выражения для а

ху

следует, что о

ух

—

ху

. Действительно, при замене х-* у у-*х при

сохранении правой системы координат должно быть ζ->ζ, но при

этом В g— В ζ, что и доказывает антисимметричность тензора.

Поэтому можно записать:

0 ;

(83.26)

\0 0 Egg)

У*

*У

Вводя скалярные показатели преломления η и поглощения пи

соотношением

—

ίκ)

Ε = εΕ, (83.27)

приравнивая коэффициенты при Е

и Е

слева и справа, получим:

(1 = + e

yxt

(1 - ш)

= г

уу

+ г

ху

- г

ух

. (83.28)

563

Из двух последних соотношений следует, что существуют два

решения уравнений

—

/κ)

= г

хх

ιρ

ху

(83.29)

поскольк у для циркулярно поляризованной волны можем записать

Ц1

(83.30)

для лево-( + ) и право-( —) поляризованных волн (в соответствии

с традиционными в оптике обозначениями поляризации; в квантовой

механике и ядерной физике понятия правой и левой поляризации

противоположны понятию в оптике). Два различных решения уравне-

ния (83.29) соответствуют двум различным поляризациям:,

η±

= ε^±ε^, (83.31)

поэтому

п+

— п~

= i2e

(83.32)

φ = (83.33)

или

ф-^рг,,. (83.34)

Для коэффициента Верде можем записать

2π о

ху

~~ w В

(83.35)

или

- 0 = . - (83.36)

Но согласно (74.32) имеем

α = = (83.37)

поэтому

_ 2пе*>ки

(83

38)

пст**?е*К

2 т {Т} 2

ПС

т. е.

θ = - ^ а. (83.39)

Для электронов μ

<0 и коэффициент Верде положителен, для

дырок θ <0.

Подвижность Холла μ

зависит от механизма рассеяния, от него

же зависит и а, поэтому та же зависимость и у Θ. Действительно,

непосредственно из выражения для б через Ки следует

<τ2>β

пс т*

564.

Наиболее важной особенностью этого соотношения является

линейная зависимость удельного угла поворота от концентрации

носителей заряда ρ и от обратного квадрата эффективной массы т*

Последнее соотношение получено без учета дисперсии. Основан-

ное на феноменологических уравнениях Максвелла, оно справедливо

в низкочастотной области спектра при ω

^>τ

. Чтобы получить

выражение, применимое в высокочастотной области спектра, необхо-

димо учесть множитель (1+ω

)

-1

, входящий в поляризуемость

(75.14) и диэлектрическую проницаемость (75.15). Добавляя его

в проводимость Холла, в слабом поле можем записать

θ =

_2(83.41)

nc m*

+ ω

В высокочастотной области, где ω~

^>τ

, имеем ω

^>1, поэтому

Q 2πβ

ρω~

рК

η cm*

2nc

ntn*

(83.42)

Это уравнение широко используется для определения эффективной

массы свободных носителей заряда в образцах с примесной прово-

димостью. Условие его применимости проверяется экспериментально:

график θ (λ

) или φ (λ

) должен иметь вид прямой линии, в этом

случае вращение плоскости поляризации от механизма рассеяния

не зависит. Отступление от линейности в зависимости Θ, или φ, от

может быть связано либо с невыполнением условия ω

либо с наложением других механизмов вращения, например, межзон-

ного вращения. Рассмотрим вновь отношение θ/α, учитывая частот-

ную зависимость проводимости. Согласно (75.12) можем записать

с учетом усреднения по энергии: Ν

*=S<r+W> (83.43)

пет* \ΐ + ω

О __ е \ΐ+ω

а ~~ 2т* у

+ ω

При ω

1 имеем уже известное нам выражение

_θ_ μ^

α "" 2

При ω

^>1 получим

μΗ

(83.44)

(83.45)

^-Т^-ЧО"

. (83.46)

В более общем случае α может зависеть не от λ

, а пропорци-

онально λ

при γ Φ 2, и отношение θ/α может зависеть от λ.

565.

На рис. 140 приведен пример вращения на свободных электронах

7т

в теллуриде кадмия. Из угла наклона графика получено

= 0,09 при 100 К.

Теория межзонного вращения также основывается на методе

тензора проводимости. При вычислении тензора проводимости учи-

тываются переходы электронов

из валентной зоны в зону про-

водимости. Возмущение записы-

вается в обычном виде:

W = 2

(ViA'), (83.47)

где v

—

скорость электрона в не-

котором ^'-состоянии, в простей-

шем случае она равна отноше-

нию импульса или квазиимпуль-

са к массе электрона, А —век-

тор-потенциал световой волны.

Используя волнсвые функции

электрона в исходном к и ко-

нечном к' состояниях в зоне

Бриллюэна, вычисляют матрич-'

ные элементы оператора импуль-

са, для которых предполагают-

ся определенные соотношения,

например, можно предполагать:

IE-eJ. (83.48)

кк'

κκ'

Теоретические расчеты в соответствии с экспериментом приводят

к выводу, что межзонное вращение изменяется как ω

при ω-^0.

Однако вблизи края собственного поглощения различные теоретиче-

ские модели приводят к различным выражениям для зависимости

угла поворота от энергии фотонов. Согласно расчетам Л. Рот

Рис. 140. Эффект Фарадея на свобод-

ных электронах в теллуриде кадмия кон-

центрация электронов, см~

—< 10

;

2 — 2,6

1016; 1,2

;

4—

1,5

;

5-2,0- ΙΟ"; 5-3,5- 10

I Ρκΐ

к к'

<P~Fi(x), где

1 1

(1-д)1/2 (1+i)

1/2

JC0_

При

Λ: —^ 1

функция F

(x) имеет асимптотический вид

(x).

(83.49)

(83.50)

(ί-*)

У края поглощения

со

<%,

или х=1, функция Fj(χ) имеет

сингулярность, от которой можно избавиться введением времени

релаксации. Согласно другой теории (Босварва, Говард, Лидиард)

вращение определяется функцией F

(x):

с тем же асимптотическим представлением. При х-*

обе функции,

ведут себя одинаковым образом, при этом F

(х) =2F

(χ). Обе функ-

ции широко используются для анализа дисперсионных зависи-

мостей, получаемых экспериментально, обычно в области χ ~ 0,6-И),9.

Эксперимент показывает, что при х^>1 вращение конечно. Этот

результат находит объяснение в теории Б. Лэкса, в которой пока-

зано, что при вращении, обусловленном дисперсией вследствие пе-

рехода между парой уровней Ландау, φ определяется для прямых

переходов выражением:

{(Х-УУ +

Ц {К*

7)2

,/2

{Х+

- КХ+ГУ+И"* {

[(Х+У)2+

l/2+(X

(83

52)

где Л —величина, независящая от частоты, Χ = (ω

— ω)

τ; Υ = γΒτ\

—

эффективный магнитный момент, выраженный через гиромагнит-

ные отношения g

и g

и магнетон Бора μ^; γ = =

= + (

*/г)

—

частота перехода между η-ми уровнями Лан-

дау, со

—

циклотронная частота,

со

= 2(о

Как видно из этого уравнения, знак угла поворота зависит от

знака члена X—Y: при Χ—Υ<.О вращение положительно, при

—

Υ > 0

—

отрицательно.

Таким образом, поворот, вызываемый дисперсией при переходах

между парой уровней Ландау, испытывает инверсию знака. Вели-

чина вращения не симметрична по частоте относительно ω

. Чтобы

учесть вращение, создаваемое всей совокупностью уровней Ландау,

необходимо провести суммирование по п, что приводит к выраже-

нию вида

50 0 50 100

150 Х=(й)

-0))Т?.

Рис. 141. Дисперсионная кривая при пря-

мых межзонных переходах, Υ: 1—0,1; 2—1;

3—5; 4—50

{{[(Х

F)2 + 1]1/2 + (Х + Г)}1/2

~{[(Χ-Υ)

+Ψ

+ {Χ-Υ)}

]/2

(83.53)

567

где JY=(cdg

—

ω) τ, а остальные обозначения те же. Мы видим, что

тепер ь межзонное вращение положительно. Вид дисперсионных кри-

вых межзонного вращения плоскости поляризации при некоторых

значениях параметра Υ при-

веден на рис. 141.

Пр и экспер имента л ьном

исследовании межзонного вра-

щения наблюдается инверсия

знака вблизи края поглоще-

ния, а в ряде случаев инвер-

сия наблюдается многократ-

но, что связано с вращением

на экситонных полосах погло-

щения (рис. 142).

§ 84. СПИН-ОРБИТАЛЬНОЕ

РАСЩЕПЛЕНИЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ

ЗОН

Спин-орбитальное- рас-

щепление энергетических

зон непосредственно сле-

дует из его наличия для

уровней энергии свободных

атомов, образующих энер-

гетические зоны при взаимодействии атомов друг с другом.

Спин-орбитальное расщепление уровней энергии атомов в атом-

ной физике и спектроскопии обычно называют тонкой структурой

уровней и спектральных линий.

Тонкая структура уровней энергии свободных атомов и ионов

хорошо изучена. . Теоретически существование тонкой структуры

следует из релятивистского квантовомеханического уравнения Дирака,

поэтому можно сказать, что тонкая структура, или спин-орбиталь-

ное расщепление, уровней является квантово-релятивистским эффек-

том. Наиболее удобным способом введения в рассмотрение спин-орби-

тального взаимодействия является переход от уравнения Дирака

к уравнению Паули, т. е. переход от четырехкомпонентной волно-

вой функции Дирака к двухкомпонентной функции Паули. Исклю-

чение «малых» компонентов из уравнения Дирака приводит к урав-

нению вида:

Правая часть уравнения (84.1) представляет собой кванто-реля-

тивистскую поправку к нерелятивистскому уравнению, стоящему

ние плоскости поляризации: а—300 °К;

6—77 °К;

1 — ZnTe;

2—CdSe; 3—CdTe;

4—CdTe

568.

в левой части. Первый член

—

p*/8mlc

—

учитывает релятивистскую

зависимость массы от скорости. Его необходимость можно показать,

исходя из релятивистской связи между энергией и импульсом:

E=Vmlc* + p

. (84.2)

Разложим Ε {ρ) в ряд по р

£ = ^ + + (84.3)

Второй член дает энергию электрона во внешнем магнитном

поле В, с которым электрон взаимодействует вследствие существо-

вания у него собственного магнитного момента

μ, = ο

^-σ= —S, (84.4)

ге

2т

с т

9 4

где S = γ а

—

собственный механический момент, или спин; σ —двух-

рядные матрицы Паули.

Третий член представляет собой энергию спин-орбитального

взаимодействия. Четвертый член носит название контактного взаи-

модействия, или поправки Дарвина. Обладая преимуществом стро-

гого вывода, такой способ введения спин-орбитального взаимодейст-

вия мало нагляден, поэтому рассмотрим полуклассический способ

его описания.

С релятивистской точки зрения описание электрического и маг-

нитного полей как существующих независимо лишено смысла.

В действительности существует единое электромагнитное поле, опи-

сываемое четырехмерным антисимметричным тензором поля Ε

μν

О В

—В

—ΪΕΛ

0 /

Компоненты тензора поля зависят от состояния движения физи-

ческор системы, или, выражаясь более формально, от системы

координат. Если в некоторой системе координат существуют и элек-

трическое Ε, и магнитное В поля, то можно найти системы коор-

динат, в которых существует либо только электрическое, либо только

магнитное поле.

Предположим, что тензор известен нам в некоторой системе

координат, которую примем в качестве «неподвижной» системы

(х, у, г, t) или (*, у, г, id). Систему (*', у', г', t') или (*', у\ ζ',

id') будем считать «движущейся» со скоростью г; = β с вдоль направ-

ления оси х

—

х'. Переход от неподвижной системы координат к «дви-

569.

жущейся» системе координат определяется преобразованиями Лоренца:

' \

/10 0 ίβ\

JC \

/ W

(84.6)

у'

1 0

^Ί-β

2 0

] [г Κΐ-βΜ о О Ι/Ί^β* 1

/ W \ —ϊβ О О

Тензор поля в «движущейся» системе координат находится

по обычным правилам преобразования компонентов тензора

*μν= Σ

vyFay. (84.7)

α,ν=1

Предположим, что в «неподвижной» системе координат электри-

ческое поле отсутствует (Е = 0), а магнитное поле отлично от нуля

(В=^=0). На покоящуюся частицу магнитное поле не оказывает воз-

действия. Предположим теперь, что заряженная частица движется

со скоростью v. Введем систему координат, в. которой частица

покоится, и найдём тензор поля в «движущейся» системе координат.

Проводя несложные преобразования (84.7) с матрицей (84.6), найдем

для пространственно-подобных компонентов (μ, ν =^4):

12 = (

р2)1/2»

ИЛИ В

'г

= ИЛИ =

(84.8)

/^3 = 7—^ТТТГ, ИЛИ В'

_р2)1/2

(ΐ_β2)1/2 ' (l

—

)

В трехмерных обозначениях соотношения (84.8) можно записать

в виде:

' = (7^· ' <84.9)

Для временно-подобных компонентов аналогично найдем:

F'u = 0, или Е'

= 0,

(ΐΓρ?)ν·2^'

ИЛИ Ε

'ν =

(ΐ

Ιρψ*

*> ί

)

^β β

(l_p2)Va

Fl3i ИЛИ Ε

ζ=

(ι__β2)ΐ/2

В трехмерных обозначениях (84.10) можно записать

'=0r^rlW (

84Л1

Следовательно, на покоящуюся в «движущейся» системе коорди-

нат частицу действует сила еЕ':

(iфяттт <

84Л2)

570.