Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова Т.Е., Васильева О.В. Курс лекций по теоретической электротехнике

Подождите немного. Документ загружается.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Ю.Н. Исаев, В.А. Колчанова,

Т.Е. Хохлова, О.В. Васильева

КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ

ЭЛЕКТРОТЕХНИКЕ

Рекомендовано в качестве учебного пособия

Редакционно-издательским советом

Томского политехнического университета

Издательство

Томского политехнического университета

2011

УДК 621.3.011 (075.8)

ББК 31.211я73

И76

Исаев Ю.Н.

И76 Курс лекций по теоретической электротехнике: учебное

пособие / Ю.Н. Исаев, В.А. Колчанова, Т.Е. Хохлова, О.В. Ва-

сильева; Томский политехнический университет. – Томск:

Изд-во Томского политехнического университета, 2011. – 178 с.

В пособии рассмотрены основные положения теории линейных элек-

трических цепей и их свойства. Теоретический материал закрепляется мно-

гочисленными примерами и контрольными заданиями.

Предназначено для самостоятельной работы студентов Электро-

энергетического института ТПУ.

УДК 621.3.011 (075.8)

ББК 31.211я73

Рецензенты

Доктор физико-математических наук

ведущий научный сотрудник

Института оптики атмосферы им. В.Е. Зуева СО РАН

Ф.Ю. Канев

Кандидат физико-математических наук, доцент ТГУ

заведующий лабораторией ММФ

А.И. Фильков

Хохлова Т.Е., Васильева О.В., 2011

политехнического университета, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ПОСТОЯННЫЙ ТОК .................................................................................. 5

§ 1.1. Законы Кирхгофа ........................................................................... 5

§ 1.2. Примеры использования законов Кирхгофа ............................... 8

§ 1.3. Матрично-топологический метод ............................................. 10

§ 1.4. Метод контурных токов .............................................................. 14

§ 1.5. Баланс мощностей ........................................................................ 15

§ 1.6. Метод контурных токов на основе

матрично-топологического подхода .................................................... 15

§ 1.7. Метод узловых потенциалов ...................................................... 18

§ 1.8. Метод узловых потенциалов на основе

матрично-топологического метода ...................................................... 20

§ 1.9. Метод эквивалентных преобразований ..................................... 23

§ 1.10. Преобразование треугольника в звезду и звезды

в треугольник .......................................................................................... 24

§ 1.11. Метод эквивалентного генератора ........................................... 26

§ 1.12. Характеристики эквивалентного генератора .......................... 29

§ 1.13. Метод наложения (метод суперпозиции). ............................... 32

РГР № 1 – Расчет линейной цепи постоянного тока .......................... 33

Переменный ток .......................................................................................... 45

§2.1. Немного о комплексных числах .................................................. 49

§2.2. Синусоидальные токи и напряжения.

Метод комплексных амплитуд (Символический метод) .................. 50

§2.3. Векторные диаграммы – фазовые соотношения между

величинами ............................................................................................. 55

§2.4. Показания приборов ..................................................................... 57

§2.5. Мощность в цепи переменного

тока ........................................... 58

§2.6. Цепи с индуктивно связанными элементами ............................. 59

Последовательное соединение катушек с индуктивной связью. ...... 59

§2.7. Построение диаграммы при встречном и согласном

включениях индуктивностей с магнитной связью ............................. 60

§2.8. Расчет цепи с магнитно-связанными индуктивностями ........... 61

§2.9. Построение векторной диаграммы ............................................. 64

§2.10. Мощность в цепи переменного тока с взаимной

индуктивностью ................................................................................... 666

§2.11. Трансформатор ............................................................................ 67

§2.12. Резонанс напряжений ................................................................. 70

РГР № 2 Расчет линейной цепи синусоидального тока ...................... 75

Трехфазные цепи ......................................................................................... 77

§3.1. Метод симметричных составляющих ......................................... 81

§3.2. Примеры расчёта несимметричных режимов ............................ 90

Переходные процессы .............................................................................. 100

§4.1. Переходные процессы в простейших цепях. Нулевые

начальные условия ............................................................................... 100

§4.2. Классический метод расчета переходного процесса.

Первый и второй законы коммутации. Понятия о зависимых

и независимых начальных условиях .................................................. 105

§4.3. Метод расчета переходных процессов

в цепи переменный тока ...................................................................... 119

§4.4. Переходные процессы в цепи второго порядка ....................... 122

§4.5. Операторный метод расчёта переходных процессов .............. 130

§4.6. Интеграл Дюамеля ...................................................................... 139

§4.6.1. Переходная характеристика (или переходная функция) ..... 143

§4.6.2. Импульсная переходная функции

(весовая функция-функция Грина) ..................................................... 144

§4.7. Метод пространство состояний ................................................. 147

РГР № 3. Расчёт переходных процессов в линейных цепях ........... 158

Линии с распределенными параметрами ............................................ 162

§5.1. Формулы

для определения напряжения и тока

в любой точке линии через комплексы напряжения

и тока в начале линии .......................................................................... 167

§5.2. Формулы для определения напряжения и тока

в любой точке линии через комплексы напряжения

и тока в конце линии ............................................................................ 169

§5.3. Линии без потерь ........................................................................ 169

§5.4. Коэффициент отражения ............................................................ 170

§5.6. Стоячие волны ............................................................................. 172

§5.7. Входное сопротивление линии без потерь

при

холостом ходе ............................................................................... 173

§5.8. Аналогия между уравнениями линии с распределенными

параметрами и уравнениями четырехполюсника ............................. 175

ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ

Лекция № 1

ПОСТОЯННЫЙ ТОК

§ 1.1. Законы Кирхгофа

Рассмотрим простую электрическую цепь с одной ЭДС и несколь-

кими сопротивлениями, соединёнными параллельно. Будем считать, что

величины ЭДС и сопротивлений нам известны. Все элементы цепи со-

единены параллельно, поэтому на-

пряжение на каждом элементе оди-

наково и равно

, но токи разные

– они обратно пропорциональны

величинам сопротивлений соответ-

ствующих ветвей и определяются

по закону Ома:

12 3

123

, , ..... .

EE E

II I I

RR R

  (1)

Результирующий ток I , протекающий в ветви с ЭДС, будет равен

сумме токов всех ветвей без ЭДС, то есть

123

..... .

III I  (2)

Если подставить выражение (1) в (2), то можно получить:

123 123 э

111 1 1

..... .....

EEE E

EEEg

RRRRRRRRR



  





(3)

Коэффициент пропорциональности между током и ЭДС называет-

ся проводимостью и измеряется в сименсах [См]. Итак, мы получили

важную формулу, позволяющую определить результирующее – эквива-

лентное сопротивление схемы с параллельным соединением проводни-

ков:

э 123

123 э

111 1 1 1

..... .....

n э

gggg g R

RR RR g

          (4)

Рис. 1.1

Рис. 1.2

В частном случае, когда в цепи два сопротивления, выражение (4)

можно переписать:

э 12 э

12 ээ12

11 1 1

ggg R

RR gRR

     



(5)

Это выражение следует запомнить, потому что в электротехнике

часто приходится преобразовывать цепь с двумя параллельно включен-

ными сопротивлениями.

Отметим полезную информацию, которая содержится в выраже-

нии (4). Если вы правильно подсчитали результирующее (эквивалент-

ное) сопротивление схемы параллельно соединённых проводников, то

величина результирующего сопротивления должна быть меньше вели-

чины самого маленького

сопротивления цепи. Теперь вернёмся к выра-

жению (2). Это выражение называется

первым законом Кирхгофа, и

формулируется следующим образом:

Алгебраическая сумма токов в

узле равняется нулю.

Алгебраическая сумма означает, что следует

учитывать знаки, например если входящие в узел

токи берутся со знаком плюс, то выходящие

должны быть взяты со знаком минус. Или наобо-

рот. Запишем первый закон Кирхгофа для узла,

приведённого на рис. 1.3:

12345

0II II I





. (6)

Рассмотрим простейшую цепь с последовательным соединением

проводников, приведённую на рис. 1.4. В представленной схеме извест-

ны все сопротивления и ЭДС. Через все сопротивления проходит один и

тот же ток. Результирующее или суммарное сопротивление схемы рав-

няется сумме всех сопротивлений:

Э 123

....

RR R R (7)

По закону Ома, ЭДС в результирующей цепи равняется произве-

дению силы тока на результирующее сопротивление. Проделав неслож-

ные преобразования можно получить:





Э 123 12 3

.... .....

RI R R R RIU U U U   (8)

Рис. 1.3

Рис. 1.4

где

112 2

,,UIRU IR  и т. д. В результате мы получили второй

закон Кирхгофа,

который формулируется следующим образом: алгеб-

раическая сумма напряжений для любого замкнутого контура рав-

няется алгебраической сумме ЭДС контура:







(9)

При смешанном соединении проводников, представленном на

рис. 1.5, преобразование схемы производят в следующем порядке. Сна-

чала преобразуют сопротивления, соединённые параллельно (

R ), а

затем производят преобразования для сопротивлений, соединённых по-

следовательно, то есть:

RRR





(10)

Рассмотрим

правило параллельных ветвей для ветвей с токами

I (рис. 1.5). Напряжения на ветвях одинаково, следовательно,

33 44

RIR





(11)

Решая систему уравнений относительно

I , получаем правило па-

раллельных ветвей:

34 34

RRR







. (12)

Это правило иногда называют «правилом разброса», так как об-

щий ток ветвей 3 и 4 разбрасывается по ветвям с коэффициентами про-

порциональности









434 334

RR RRR.

Рис. 1.5

§ 1.2. Примеры использования законов Кирхгофа (методы расче-

тов)

Для определения токов в электрической схеме использовать пра-

вило преобразования параллельно и последовательно соединённых со-

противлений можно не всегда.

Например, для цепи представ-

ленной на рис. 1.6, это мешают

сделать ЭДС

E и

. В та-

ких случаях для определения то-

ков используют первый и второй

законы Кирхгофа. Число уравне-

ний, необходимых для определе-

ния токов, равно числу ветвей.

Число независимых уравнений, которых можно записать по первому за-

кону Кирхгофа, равно Y-1, где Y – число узлов в схеме. Остальные не-

достающие уравнения, которые нужны для завершения

системы, запи-

сывают по второму закону Кирхгофа. Рассмотрим в качестве примера

схему, представленную на рис. 1.6, предполагая, что все сопротивления

и ЭДС нам известны.

Схема имеет три ветви, следовательно, необходимо записать три

уравнения. Записываем одно уравнение по первому закону Кирхгофа.

Например, для второго узла:

123

0III





. (13)

Два недостающих уравнения записываем по второму закону

Кирхгофа для первого и второго контуров соответственно:

11 2 2 1 2

22 33 2 3

RIR EE













. (14)

Запишем уравнения (13) и (14) в виде системы уравнений, предва-

рительно правильно сгруппировав коэффициенты при неизвестных, в

результате получаем формальное решение:

12 12 2

23 2 3 3

111 0

0, , ,

RR EE I

RR E E I

















ABIAIBIAB

(15)

Рассмотрим пример с числовыми данными.

Рис. 1.6

Пример 1: Дана схема с тре-

мя ЭДС и шестью сопротивления-

ми. Определить все токи в схеме

(рис. 1.7), если:

123

456

123

10 Ом,12Ом,15Ом,

20 Ом,10Ом,8Ом,

50 В,30В,15В.







RR R

RRR

EE E

Схема имеет шесть ветвей,

следовательно, необходимо соста-

вить шесть уравнений. Три уравне-

ния (Y-1=3) по первому закону

Кирхгофа (1-ЗК) и три уравнения

по второму закону Кирхгофа

(2-ЗК). Для узлов 1, 2 и 3 соответственно записываем по 1-ЗК:

134

456

236























III

(16)

Для контуров I , II и III используем 2-ЗК:

11 4 4 5 5 1

33 44 66 3

22 55 66 2

;















 



IR I R IR E

RIRIR E

RIRIRE

(17)

Перепишем в матричном виде и подставим числовые значения. В

результате получаем:

145

34 6

256

1011 00

1011 00 0

00 0 1 1 1

00 0 1 1 1 0

01 1 0 0 1

01 1 0 0 1 0

00 0

10 0 0 20 10 0 50

00 0

0 0 15 20 0 8 15

000

0120 0 10 8 30

RRR

RR R

RRR

























 



















 

















, (18)

Рис. 1.7

2,329

2,075

1,121

1, 209

0,254

0,955











 









IA B .

§ 1.3. Матрично-топологический метод

Когда ветвей и узлов в схеме много, решение методом Кирхгофа

становится утомительным, потому что приходится составлять алгебраи-

ческие уравнения высокого порядка. Поэтому в электротехнике суще-

ствуют методы, позволяющие понизить порядок системы линейных ал-

гебраических уравнений. Такие методы называются матрично–

топологическими. Топологические методы особенно удобны для ис-

пользования компьютерных вычислений.

Рассмотрим использование

матрично – топологического метода

для схемы, приведённой на рис. 1.8, а.

Прежде всего, рисуют ненаправленный (неориентированный) то-

пологический граф схемы. Рисуются ветви схемы без элементов. При-

чем, рисуются только те ветви схемы, элементы которых имеют конеч-

а б

Рис. 1.8