Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова Т.Е., Васильева О.В. Курс лекций по теоретической электротехнике

Подождите немного. Документ загружается.





237

237 6

RRR

RR R

RRR RR









 

Находим ток короткого замыкания и в четвертой ветви:

XX XX

КЗ 4

ГГ4

1, 026А,0,713А

RRR

  



Строим выходную характеристику эквивалентного генератора.

XX Г

()UI U RI. По оси напряжений откладываем напряжение

18,666 ВU  , а по оси токов ток короткого замыкания

КЗ

1, 026АI  ,

соединяя отложенные точки, получаем выходную характеристику.

Строим вольтамперную характеристику (ВАХ) сопротивления

ветви

8 ОмR  . Для этого величину сопротивления

8 ОмR  умножа-

ем на произвольную величину тока, например на 1А



и получаем

точку на плоскости ,

U . Соединяем точку с началом координат

(см. рис. 1.36) и получаем ВАХ. Точка пересечения выходной и вольт-

амперной характеристик дает нам ток и напряжения сопротивления

8 ОмR  ,

0,713АI  ,

5,702ВU



Строим зависимость мощности от сопротивления нагрузки



ХХ Н

ГН

()





Рис. 1.36. Выходная характеристика генератора

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

КЗ

Здесь нужно обратить внимание, что максимум мощности приходится

на величину нагрузки равной сопротивлению генератора

НГ

R .

Строим зависимость мощности от

сопротивления нагрузки:





ННХХНГ

НХХ ХХ ХХ

ГН

ГГ

КЗ

ХХ

ГН

()

PI I U I R

IU U U







 







  





Максимальная мощность прихо-

дится на величину половине тока

короткого замыкания:

КЗ

ХХ

4,789Вт









В завершении проверим все вычисления, проделав виртуальную

лабораторную работу в Electronics Workbench.

Рис. 1.37. Мощность генератора в зависимости от нагрузки

Рис. 1.38. Мощность нагрузки в зависи-

мости от тока нагрузки

0 18.19 36.38 54.57 72.76 90.95 109.14 127.33 145.52 163.71 181.89

()PR

0 0.26 0.51 0.77 1.03

()

КЗ

/2I

КЗ

Рис. 1.39. Подключение мультиметра

Рис. 1.40. Мультиметр работает в режиме омметра и измеряет сопротивле-

ние генератора

Рис. 1.41. Мультиметр работает в режиме вольтметра и измеряет напряжение

холостого хода

Лекция № 5

Переменный ток

Ток, изменяющийся во времени называется переменным током.

Ток может иметь различные формы, он может быть пилообразным, им-

пульсным, синусоидальным. Все это переменный ток.

Электрический ток – это скорость изменения заряда во вре-

мени

, то есть это производная заряда по времени

()

 (1)

Измерение емкости. Заряд накапливается на пластинах конденса-

тора, и чем больше напряжение, тем больше зарядов на пластинах,

qUC



 (2)

Здесь

C – коэффициент пропорциональности, называемый электриче-

ской емкостью. Емкость отражает способность проводника накапливать

заряды

. И чем больше емкость, тем больше зарядов накапливается на

проводнике. Емкость зависит только от

геометрических размеров и диэлектриче-

ских свойств среды, в которой находится

проводник.

Поставим выражение (1) в (2) ,получим





()

dUC

it C

dt dt



(3)

Таким образом, ток через конденсатор оп-

ределяется выражением (3).

Допустим, нам нужно определить емкость конденсатора. Для это-

го подключим его к источнику напряжения и пусть напряжение, пода-

ваемое на конденсатор, имеет пилообразную форму с периодом

(см рис. 2.2

). На схеме

приведено сопротивле-

ние

, величина которо-

го очень мала. Измерив

напряжение на сопротив-

лении и разделив его на

величину сопротивления,

получаем ток в цепи. Бу-

дем считать, что сопро-

тивление

в схеме известно, оно имеет маленькую величину и несу-

щественно влияет на напряжение на конденсаторе. Используя формулу

Рис. 2.1

Рис. 2.2. Пилообразное напряжение

()Ut

/4T

/2T

3/4T

(3) можно найти ток ()it на интервале 0,









. Напряжение на том же

интервале является линейной функцией и определяется выражением:

()

Ut t t

,









. (4)

Следовательно, на этом интервале ток равен постоянный величи-

не:

()

it C I



, 0,









. (5)

Результат дифференци-

рования по формуле (3)

изображен на рис. 2.3.

Величину тока можно

определить, измерив

напряжение на сопро-

тивлении

iU R I



 . (6)

При известном токе и напряжении можно определить величину

емкости

()

UIT

it C I C

,









. (7)

Измерение индуктивности. Изменение потокосцепления вызы-

вает падение напряжения

()



 (8)

Потокосцепление пропорционально току



 . Чем больше ток,

тем больше потокосцепление. Коэффициент пропорциональности

между током и потокосцеплением называется индуктивностью провод-

ника. Индуктивность

зависит от геометрических свойств проводника,

его конструктивных особенностей. Так как индуктивность является ве-

личиной постоянной, то напряжение на индуктивности определяется

выражением:

()

di t

Ut L

 . (9)

Определим экспериментально значение индуктивности

L при из-

вестном входном напряжении (см. рис. 2.4). На схеме приведено сопро-

Рис. 2.3. Кусочно-постоянный ток

()it

/4T /2T

/3T

тивление

, величина которого очень мала. Измерив, напряжение на

сопротивлении и разделив его на величину сопротивления, получаем

ток в цепи. Пусть входное напряжение остается прежним, пилообраз-

ным (рис. 2.2).

Сопротивление схемы, как и прежде,

будем считать малым, слабо влияющим на

напряжение индуктивности.

Определим ток из выражения (9)

() ()

() ( ) (0).

di t U t dt

Ut L dit

dt L

it U d i



 



(10)

Будем считать, что величина тока в начальный момент времени

равна нулю

() ( )

it U d







. (11)

После интегрирова-

ния напряжения на

участке



0, / 4tT

получаем максималь-

ный ток, который

можно определить,

измерив напряжения

на сопротивлении:

44 4

111

42328

mm mm

UU UUT

TtT

iI d

TLT LT L



   







Используя последнее выражение можно определить индуктив-

ность

 .

Рис. 2.4

()it

/4T

/2T

3/4T

Рис. 2.5

U(t)

Фазовые соотношения. Рассмотрим, в каком фазовом соотноше-

нии находятся ток и напряжение на конденсаторе и на индуктивности

при воздействии гармонического напряжения.

Пусть ток через индуктивность () sin( ), 2

it I t f



. Опреде-

лим напряжение на индуктивности:

()

() cos( ) sin( )

di t

Ut L L I t L I t



.

Таким образом, напряжение на индуктивности опережает ток на



, или на /2 .

Рассмотрим на-

пряжение на конденсато-

ре () sin( )

Ut U t



 . В

этом случае ток через

конденсатор определяет-

ся выражением

() cos( ) sin( )

it C C U t C U t





  

В данном случае ток опережает напряжение на 90



, или на /2



. Можно

сказать, что напряжение

отстает от тока на /2



Рис. 2.6

Рис. 2.7

()it



3/2



()Ut

()it



3/2



()Ut

§2.1. Немного о комплексных числах

Комплексное число zxjy



 – это вектор на плоскости. Он имеет

модуль

rxy

и угол наклона



к оси

arctg

если x0





































Комплексное число может

представляться в алгебраическом,

тригонометрическом и показатель-

ном видах соответственно:

cos( ) sin( ) exp( )

Re( ), Im( )

zxjyr jr r j

xzyz



   



где

zr x y 

. Очень важной

является формула Эйлера, связывающая тригонометрические и экспо-

ненциальные функции. Эти формулы помогают перейти от тригономет-

рической формы представления комплексного числа к показательной и

наоборот.

cos() sin(), cos() sin();

sin( ) , cos( )

eje j

jj jj

ee ee



   

 



 

Рис. 2.8

§2.2. Синусоидальные токи и напряжения. Метод комплексных ам-

плитуд (Символический метод)

На рис. 2.9 представлен график синусоидального напряжение, его

ещё называют гармоническим

напряжением. В аналитиче-

ском виде гармонические токи

и напряжения записываются

следующим образом

() sin( ) ,

() sin( ) .





ut U t

it I t

Кривая имеет некое макси-

мальное значение

U , назы-

ваемое амплитудным значени-

ем. Кривая сдвинута относи-

тельно вертикальной оси на

угол

 . Это значение угла называется фазовым сдвигом. Синусоида

имеет период

– это кратчайшее расстояние между двумя одинаковыми

значениями напряжения. В выражениях для напряжения и тока присут-

ствует круговая частота

(рад/сек), которая связана с частотой

(Гц-

герц) и периодом

T соотношением:



  f

При определении синусоидальных токов и напряжений в электри-

ческих схемах мы будем осуществлять различные алгебраические опе-

рации с тригонометрическими функциями. Поэтому следует перейти от

тригонометрических функций (

11 1

() sin( )

it I t



 ) к комплексным

числам (





), которые существенно упрощают алгебраические

операции. Например, для того, чтобы сложить два тока одной частоты

и разных фазовых сдвигов нужно проделать нижеследующие операции:



111

22 22

112 212

() sin( )

sin( ) sin( )

sin( ).

;

jt jt

mm mm

jt jt j jt

it I t I e e Ie

tI t IeIee

IIe Ie Iee I t













 



    

  





Аналогично осуществляются все другие операции – умножение,

деление, разность и даже дифференцирование и интегрирование:

Рис. 2.9