Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова Т.Е., Васильева О.В. Курс лекций по теоретической электротехнике

Подождите немного. Документ загружается.

2. По оси

в масштабе тока [/ ]

см откладываем значение

тока в цепи

. Затем, относительно тока строим топографическую диа-

грамму напряжений. Напряжение

откладываем в масштабе напря-

жения [/ ]

см . Напряжение

совпадает по фазе с током

Напряжение

U опережает ток на

90 градусов. Затем напряжение

взаимной индукции

U отстает

от тока на 90 градусов, потому

что мы имеем встречное включе-

ние, при этом взаимные потоки

вычитаются. Далее откладываем

напряжение

на сопротивле-

нии

совпадающее по фазе с

током

. Затем откладываем на-

пряжение

U опережающее ток

на 90 градусов. И наконец, откла-

дываем напряжение взаимной ин-

дуктивности

U , отстающее от

тока на 90 градусов.

§2.8. Расчет цепи с магнитно-связанными индуктивностями

Рассмотрим цепь с магнитно-связанными катушками индуктивно-

сти. Данные цепи таковы:

( ) 40 2 sin( 45 )В,50Гц,20Ом,

0,1 , 0, 2 , 0,15Гн,

60 10 мкФ.





 





et t f R

M Гн L Гн L

Определим величины

,,,,

LL MC

XX XXE

U(t)

i(t)

Рис. 2.21

31,416 Ом,62,832Ом,

47,124 Ом,53,052Ом,40В.

   

   



XM XL

XL X Ee

Запишем законы Кирхгофа,

с помощью которых определяются

токи и напряжения в цепи. Запи-

шем эти уравнения для мгновен-

ных значений токов и напряже-

ний, а затем перепишем их для

комплексных – действующих зна-

чений.

В соответствии с представленной схемой имеем.

123

11 2

23321

2();

20.

ii i

iR L M i R et

dt dt

di di

LM idtiRiRLM

dt dt C dt dt





 



Перепишем это уравнение в символической форме:

123

1232

32332 23

20.

LMC LM

III

IR jX I jX I I R E

jX I jX I jX I I R I R jX I jX I







Приведем подобные члены и упорядочим в матричном виде:



123

20.

LM L MC

II I

IR R jX I jX I E

RjX jX I RjX jX jX I



  

     

Теперь можно записать матричное уравнение



11 1















    









LM L MC

R R jX jX

RjX X RjX X X

Поставим данные и получим

Рис. 2.22

-M

+M L

-M

11 1 0

20 40 62,832 31, 416 , 28,284 28, 284

04094,2482025,488 0







  



 



A Β

62,921

151,416

66,539

1,118

0,509 0,996

0,169 0, 211 0, 271

0,34 0,784

0,855











   









AI B I A B

По полученным результатам запишем мгновенное значения токов

в ветвях

( ) 1,11 2 sin( 62,921)A, ( ) 0,271 2 sin( 51,416)A,

( ) 0,855 2 sin( 66,539)A.

  



it t i t t

it t

Использование других методов расчета таких как метод узловых

потенциалов, метод контурных токов затрудняется из-за наличия ин-

дуктивной связи, поэтому исходную схему упрощают, производя раз-

вязку индуктивной связи. Пример развязки индуктивной связи приве-

ден на рис. 2.23. Следует обратить внимание на то, что на рис. нет на-

правлений

токов поэтому нет смысла говорить о встречном или соглас-

ном соединении.

Рис. 2.23

В нашем случае схема развяжет-

ся как указанно на рис. 2.24. Теперь

можно использовать любой известный

метод расчета. Наиболее рациональ-

ным методом расчета в данном случае

будет метод узловых потенциалов.

Определим эквивалентные сопротив-

ления ветвей схемы.

-M

Рис. 2.24



20 31,416 Ом,

24094,248Ом,

20 25,488 Ом.





  

    

LMC

ZRjX j

ZRjXX j

ZRjX X X j

Перерисуем схему замещения и запишем уравнения для потенциа-

лов методом узловых напряжений.

Находим проводимости ветвей

12 3

11 1

,, YY Y

а затем потенциал первого узла:



123 1

118,419

123

13,183 24,363 27,701 B.



   



YY Y EY

YY Y

При известном потенциале можем определить токи во всех ветвях



112213

111

,,  

EYI YIY

§2.9. Построение векторной диаграммы

Для построения векторной диаграммы в первую очередь нужно

задаться масштабом тока и напряжения. Следующим этапом строится

лучевая диаграмма токов, а затем по отношению к ней строится топо-

графическая диаграмма напряжений. Учитывая, что ток и напряжение

на активном сопротивлении находятся в фазе, векторы напряжения и

тока на диаграмме следует откладывать параллельно друг

другу, и на-

правленными в одну сторону. Напряжение на индуктивности опережает

ток индуктивности на 90 градусов, следовательно, вектор напряжения

откладывается перпендикулярно вектору тока с опережением (отклады-

вается против часовой стрелки). Напряжение на емкости отстает от тока

емкости на 90 градусов, следовательно, вектор напряжения откладыва-

ется перпендикулярно вектору тока с отставанием (откладывается по

часовой стрелке).

Приведем

пример построения диаграммы для нашей схемы. От-

кладываем в масштабе токи и напряжения

А/см, В/см



Рис. 2.25

(см. диаграмму). Вычислим необходимые значения напряжений на эле-

ментах.

121

232

40 28, 28 28,28;

22,369 ;

17 ;

210,822;

26,861 ;

17,1 ;

45,36 ;

210,822;

26,861 ;

40,292 ;

8,5 .







Ee j

UIR B

UIX B

UIR B

UIX B

UIR B

UIX B

UIR B

UIX B

Определим показания вольтметра:

12 3

 

VIRIjX IjX или





2 28.28 28.28 0,169 0,211 40 29.27B     VEIR j j

Рис. 2.27

Рис. 2.26

§2.10. Мощность в цепи переменного тока с взаимной индуктивно-

стью

Полная мощность, как и прежде, определяется выражением



   



SEIPjQSPQ,

P – активная мощность, Q – реактивная мощность.

Потребляемая активная и реактивная мощности определяются соотно-

шениями соответственно:

11 1 2

222

111

2cos()









NNM

PRIQXI XI

kk kk kk

kkk

IIX .

Здесь токи



eIe ветвей, в которых находится индуктивности.

Знак плюс выбирается, когда в цепи согласное включение катушек. В

противном случае выбирается знак минус.

Ниже приводится электрическая схема, собранная в программно-

интегрированной среде Electronics Workbench с развязкой индуктивной

связи. При развязке индуктивной связи получается отрицательная ин-

дуктивность. В место отрицательной индуктивности можно поставить

эквивалентную емкость, которая

определяется выражением



CM.

Приведем схему рассмотренной задачи собранную в среде Elec-

tronics Workbench.

Рис. 2.28

Ниже приводится программа вычисления в программно-

интегрированной среде MathCAD.

Магнитносвязанные катушки

Лекция № 7

§2.11. Трансформатор

Электрическая цепь состоит из контуров различного назначения.

Может оказаться, что для различных контуров цепи требуется отли-

чающиеся по величине напряжения. Для преобразования переменного

напряжения и для перераспределения энергии между контурами цепи,

широко применяется такое устройство как трансформатор.

Функциональные и конструктивные особенности трансформато-

ров весьма разнообразны. Мы

рассмотрим линейный трансформатор, в

котором отсутствуют нелинейные эффекты. Воздушные трансформато-

ры являются линейными.

Трансформатор состоит из двух или нескольких индуктивно свя-

занных катушек. Рассмотрим простой двухобмоточный трансформатор.

Двухобмоточный трансформатор состоит из двух обмоток – пер-

вичной и вторичной. К первичной обмотке подводится питание а ко

вторичной подсоединяется нагрузка–потребитель энергии. Токи и

на-

пряжения, относящиеся к первичной и вторичной обмоткам называют-

ся первичными и вторичными соответственно.

Рис. 2.29. Трансформатор

com I1()

1.118

0.509

62.921

0.996

com I2()

0.271

0.169

51.416

0.211

com I3()

0.855

0.34

66.539

0.784

SEI

S 42.567 13.766i PI1

R I2

R 2 I3

P 42.567

QI2

XL1 I3

XL2 Xc () Xm 2 I2 I3 cos arg I2( ) arg I3() () Q 13.766

i1 V I1 0.5 () i2 V I2 0.5 () i3 V I3 0.5()

i1 V I1 0.5()3

i2 V I2 0.5()3

i3 V I3 0.5()3

Для усиления магнитной связи используют ферромагнитные сер-

дечники вокруг, которых наматываются обмотки трансформатора (но

при этом трансформатор становится нелинейным).

Запишем второй закон Кирхгофа для трансформатора, введя обо-

значения элементов первичной и вторичной обмоток:



12222Н 22 2 Н

22 22

,, ;

;

XX R RRX X X

IR jX IjX E

IjX I R jX



 







 





(50)

Умножим первое уравнение на





22 22

jX , а второе уравнение на

X и затем сложим. В результате получим выражение тока первичной

обмотки через входное напряжение и сопротивления, вносимые вторич-

ной обмоткой

вн вн



22 22

22 22 22 22

1 вн 1 вн















 

RXjX X

RX RX

RR jX X

(51)

где

22 22

вн вн

22 22

22 22 22 22

,



XX X

RX RX

Это выражение называется приведение сопротивлений вторичной

обмотки к сопротивлениям первичной обмотки. Из этого выражения

вытекает следующее. Для того, что бы трансформатор передавал мак-

симальную мощность во вторичную обмотку необходимо, чтобы вы-

полнялось соотношение:

22 22

22 22 22 22

,



XX X

RX RX

. (52)

Построим качественно векторные диаграммы для трансформатора

при различных нагрузках:

а б

Рис. 2.30. Векторная диаграмма напряжений трансформатора при нагрузках:

а)

НН



RjX

и б)

НН





RjX

Что бы добиться выполнения соотношение (52) в первичную и во

вторичную цепи трансформатора включаются переменные емкости, что

позволяет варьировать реактивные составляющие сопротивлений пер-

вичной и вторичной цепях, рис. 2.31.

Рис. 2.31

Для приведенной схемы реактивные составляющие будут опреде-

лятся выражениями:

1122MН 2

1, 1 

XX CX X X C.

Если разрешить первое выражение (52) относительно

X , то можно

получить:

22 1 22





XR RR

-I

Последнее выражение показывает, что при выполнении неравенства:

1222

122





XRR M .

Невозможно получить максимальную мощность во внесенном со-

противлении

вн

§2.12. Резонанс напряжений

e(t)

i(t)

Рис. 2.32

Рассмотрим схему, в которой последовательно соединены индук-

тивность емкость сопротивление и источник напряжения. Индуктивное

и емкостное сопротивления зависят от частоты

() , () 1  

XLX C. С увеличением частоты индуктивное со-

противление ()

XL увеличивается, и ток в цепи с индуктивностью

уменьшается. При уменьшении частоты емкостное сопротивление

уменьшается, и ток в цепи с емкостью увеличивается. Графическая за-

висимость индуктивного сопротивления

()



X от частоты приведена

на рис. 2.33, она линейна.

()





()







() () ()

XX X  





() () ()

ZRjX X



  



() () ()

XX X





Рис. 2.33