Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова Т.Е., Васильева О.В. Курс лекций по теоретической электротехнике

11

ное сопротивление. Например, для рис. 1.8, б приведен граф схемы,

представленной на рис. 1.8, а, на котором видно восемь ветвей и четыре

узла. Затем задают направления токов, и граф становится направленным

(ориентированным). Следующим этапом составляют узловую матрицу,

задавшись базовым узлом. Базовый узел – это узел, потенциал которого

равен некой постоянной величине, в частности

нулю. Пусть, например,

четвертый узел будет базовым узлом. Тогда сформируем узловую мат-

рицу

A по следующему правилу: если

ток ветви подтекает к узлу, то ставим -1,

если ток ветви оттекает от узла, то ставим

1, если ветвь не имеет связи с узлом, то

ставим 0. Для схемы, изображённой на

рис. 1.9, узловая топологическая матрица

будет следующей:

1

2

3

У

зл

ы

Ветви

1 2

3 4 5 6

10

00

01















A

Составим теперь матрицу контуров

B по следующему правилу:

если ветвь не входит в контур, то ставим 0, если ветвь входит в контур,

то ставим 1 в случае совпадения направления обхода контура с направ-

лением тока, и ставим -1 в противном случае. Для схемы, изображённой

на рис. 1.9, контурная топологическая матрица будет иметь вид:

I

II

III

Контуры

Ветви

1 2 3 4 5 6

100110

001101

010011

















B

Если узловая и контурная матрицы составлены правильно, то их

произведения должны равняться нулевой матрице:

Рис 1.9.

12

000

000 .

000

TT











BA AB

Важными являются также диагональные матрицы сопротивлений

()diag R и проводимостей ()diag

g

, а также матрицы ЭДС и источников

тока.

Диагональная матрица сопротивлений состоит только из диаго-

нальных элементов, элементами которой являются величины сопротив-

лений ветвей. То есть первый диагональный элемент – это результи-

рующее сопротивление первой ветви, второй диагональный элемент –

это результирующее сопротивление второй ветви и так далее.

Диагональная матрица проводимостей – матрица обратная

диаго-

нальной матрице сопротивлений

1

() ( )diag diag





g

R .

Топологическая матрица ЭДС – это столбцевая матрица, количе-

ство элементов которой равно количеству ветвей схемы без источников

тока. Элементы матрицы ЭДС формируется по следующему правилу:

если ЭДС в ветви отсутствует, то ставим 0, если направление ЭДС сов-

падает с направлением тока в ветви, то ставим ЭДС с положительным

знаком, в противном случае

ставим ЭДС с отрицательным знаком.

Топологическая матрица источников тока является столбцевой

матрицей, количество элементов которой равно количеству ветвей схе-

мы без источников тока. Элементы матрицы источников тока формиру-

ются также как матрица ЭДС: если источник тока соединён параллельно

i той ветви с током

i

I

и направление источника тока совпадает с на-

правлением тока

i

I

, то в этом случае ставим величину источника тока с

положительным знаком. Если направление источника тока не совпадает

с направлением тока в ветви

i

I

, то ставим величину источника тока с

отрицательным знаком. И, наконец, если источник тока отсутствует, то

ставим нуль. Ниже приводится пример формирования топологических

матриц для схемы, приведенной на рис. 1.8.

13

1

2

3

2

1

4

3

5

6

4

5

1

00000

1

0 0000

00000

0 0000

1

00 000

() , () () ,

1

000 00

0000 0

1

00000

0000 0

1

00000

R

diag diag diag

R











  









rR Gg R

1

2

3

4

0

,

0

E

J

E

J

















EJ

14

Лекция № 2

§ 1.4. Метод контурных токов

Прежде чем продолжить рассмотрение матрично–

топологического метода, рассмотрим метод контурных токов. Суть ме-

тода заключается в уменьшении размерности матрицы СЛАУ для опре-

деления токов. Рассмотрим, например, схему, приведённую на рис. 1.10

примера 1. Выберем произвольное

направление токов в ветвях. Будем

считать, что в первом контуре течёт

только ток

1

J и будем называть его

контурным током. Аналогично во

втором контуре, полагаем, что течёт

ток

2

.J И, наконец, в третьем конту-

ре будем считать, что течёт ток

3

.J

Составляем уравнения для контур-

ных токов по второму закон Кирх-

гофа:







11 4 5 24 35 1

14 2 4 3 6 36 3

15 26 3 5 6 2 2

JR R R JR JR E

JR J R R R JR E

JR J R J R R R E



   



  





  



(19)

При составлении уравнений учтено, что в смежных ветвях проте-

кают два контурных тока, направленных навстречу друг другу. Под-

ставляем числовые значения сопротивлений и ЭДС в СЛАУ и получаем

решения:

145 4 5

1

4436 6 3

56562 2

40 20 10 50

20 43 8 , 15 ,

10 8 30 30

RRR R R

E

RRRR R E

RRRRR E

  





 



 

        



 







 



AB

1

2

3

2,329

1,121 .

2,075

J







 





IA B (20)

Теперь можно найти токи в ветвях, используя их связь с контур-

ными токами:

4

1

E

1

R

1

I

1

R

4

I

4

I

3

R

3

E

3

E

2

J

1

R

2

I

2

I

5

R

5

R

6

I

6

3

J

2

J

3

Рис. 1.10

15

,,, , , ,

5

112 33 2412 316 32

(2, 329 2, 075 1,121 1, 209 0, 254 0,955 ).

I

JI JI J I J J I J JI J J

T

I

     

 

(21)

§ 1.5 Баланс мощностей

При составлении СЛАУ по первому и второму законам Кирхгофа

можно допустить ошибку, например, пропустить в нужном месте знак

минус, и, как следствие, получить неправильное значение токов. Для

проверки числовых значений токов составляют баланс мощностей для

источников энергии – ЭДС и источников тока, и для потребителей

энергии – сопротивлений. Это закон сохранения энергии – сколько

энергии было выделено источниками энергии – столько же должно быть

потреблено потребителями. Определим мощность источников и мощ-

ность приёмников для нашей схемы.

Мощность источников энергии:

И

161,899 Вт.

11 33 2 2

PEIEIEI   (22)

Мощность потребителей энергии:

П

222222

161,899 Вт.

55

11 2 2 33 4 4 6 6

P IRIRIRIRIRIR

 (23)

Баланс сошелся, следовательно, все токи найдены правильно.

§ 1.6. Метод контурных токов на основе матрично-топологического

подхода

Теперь решим задачу примера 1 матрично-топологическим мето-

дом. Топологический метод заключается в формализации всех опера-

ций. Для этого нам понадобятся топологическая контурная матрица и

диагональная матрица сопротивлений:

1

2

3

4

5

6

00000

1000 000

00000

0120 000

100110

00 000

0 015000

001101, (24).

000 00

0002000

010011

0000100

0000 0

00 0 008

00000

R











 











BR

Матрицу сопротивлений для контуров можно переписать в виде

матричного произведения трех топологических матриц:

16

1

2

145 4 5

3

4436 6

4

56562

5

6

00000

100

0 0000

00 1

100110

00 000

01 0

001101 .

000 00 1 1 0

010011

101

0000 0

011

00000

R

RRR R R

R

RRRR R

R

RRRRR

R









  







 























Матрицу вектора правых частей тоже можно записать в виде про-

изведения топологических матриц

1

2

1

3

2

100110

001101

0

010011

0

E



















  











.

И, наконец, контурные токи можно выразить через токи в ветвях,

используя топологические матрицы

11

23

1

3

2

412

3

513

623

100

00 1

01 0

110

101

011

IJ

J

I

J

I

JJ

J

I

JJ

I

JJ

  



  





  





  





  





  





  







  



  







  

.

Следовательно, можно формализовать метод контурных токов,

используя топологические матрицы. Последовательность действий та-

кова:

Записываем произведение матриц:

145 4 5

1

4436 6 3

56562 2

40 20 10 50

20 43 8 , 15

10 8 30 30

T

RRR R R

E

RRRR R E

RRRRR E

  





 



 

        



 



 

 

 



BRB BE

, (25)

T



B



B



R



B



Ε

T



B

17

находим контурные токи, а затем и токи в ветвях:



1

2

3

2,329

1,121

2,075

T

J













JBRB BE . (26)

1

2

3

4

5

6

2,329

2,075

1,121

1,209

0, 254

0,955

T

I









 









IBJ . (27)

Проверим результат решения, проделав виртуальную лаборатор-

ную работу с помощью программы Electronics Workbench. Измерим то-

ки в ветвях, подключив амперметры последовательно с сопротивления-

ми. Листинг программы Electronics Workbench, представленный на

рис. 1.11, свидетельствует о правильном расчете.

Рис. 1.11. Схема, собранная в Electronics Workbench

18

§ 1.7. Метод узловых потенциалов

Рассмотрим еще один метод пони-

жения порядка СЛАУ. Прежде всего, обо-

значим все узлы на схеме. Затем выбира-

ем базовый узел, потенциал которого ра-

вен нулю. Пусть это будет узел 4. То есть

потенциал узла 4 равен нулю

4

0. Для

определения потенциалов остальных уз-

лов нужно составить уравнения относи-

тельно неизвестных потенциалов узлов.

Прежде всего, запишем систему

уравнений относительно токов по перво-

му закону Кирхгофа.

134

456

236

0(1уз);

0(2уз);

0(3уз).

III

















Теперь запишем токи через неизвестные значения потенциалов и

известные значения ЕДС и сопротивлений.

133

11 12

14 3

23

12 2

456

32 133 23

234

0(1 );

0(2 );

0(3 ).

E

уз

RR R

уз

RRR

EE

уз

RRR





    

 





 

 





      







Сгруппируем эти уравнения относительно неизвестных

123

,,

и в результате получаем

3

1

123

143 4 3 13

123

45466

3

2

12 3

36 263 23

111 1 1

;

11111

0;

11 111

.

E

RRR R R RR

RRRRR

E

R

RRRR RR





     













  













    









Рис. 1.12

19

Сумма проводимостей ветвей, подходящих к узлу, называется

собственной проводимостью узла

. Например, для узлов 1, 2 и 3 это

будет соответственно:

11 1 4 3 22 5 4 6

143 546

111 111

,,g ggg g ggg

R

RR RRR

 

33 2 6 3

263

111

gggg

R

RR

  

или в матричном виде:

143 4 3

4 546 6

36263

,

111 1 1

0,217 0,05 0,067

1111 1

где 0,05 0,375 0,125

0,067 0,125 0,275

11111

RR R R R

RRRR R

RRRRR





  









    



 











gb

g

(29)

и

b – столбцевая матрица правых частей

3

1

13

3

2

23

6

00

3, 5

E

RR

E

RR



























b . (30)

Решая систему уравнений (29), получаем потенциалы узлов:

1

2

3

26,71

2,539 .

5,098









    









gb (31)

И, наконец, находим токи во всех ветвях:



111

1

232

2

3

1333

4

12 4

5

25

6

236

/

2,329

/

2,075

/

1,121

1, 209

/

0, 254

/

0,955

/

ER

I

ER

I

ER

I

R

I

R

I

R





































. (32)

20

§ 1.8. Метод узловых потенциалов на основе матрично-

топологического метода

Решим задачу примера 1 матрично-топологическим методом.

Прежде всего, запишем узловую топологическую матрицу, учитывая,

что базовым узлом является узел 4:

101100

000111

011001

















A (33)

Теперь нам понадобятся диагональная матрица проводимостей,

которая равна обратной диагональной матрице сопротивлений и матри-

ца ЭДС.

1

2

3

2

1

4

5

6

1

00000

1

00000

0,1 0 0 0 0 0

0 0, 083 0 0 0 0

1

00 000

0 0 0,067 0 0 0

,

10000,0500

0

000 00

00000,10

0

1

0 0 0000,125

0

0000 0

1

00000

R

E

R

E

R

E

R



















  

















gR E

50

15

30

0























(34)

Приведём произведение матриц, результатом которого будет мат-

рица проводимостей узлов:

Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова Т.Е., Васильева О.В. Курс лекций по теоретической электротехнике

Подождите немного. Документ загружается.