Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова Т.Е., Васильева О.В. Курс лекций по теоретической электротехнике

Подождите немного. Документ загружается.

()

() sin( )

() sin( ) ()

;

di t

it I t j I e j I

it I t itdt e j e j



 



 











Метод замены синусоидальных величин на комплексные назы-

вается символическим методом. Этот метод позволяет заменить

интегро-дифференциальные уравнения алгебраическими, что позво-

ляет существенно упростить решение.

На рис. 2.10 приведено изо-

бражение волновой диаграммы напряжений в виде векторов. Анима-

ция показывает, что при движении волн напряжения фазовые соотно-

шения между векторами не изменяются, следовательно, токи и напря-

жения можно заменять на комплексные величины – вектора между ко-

торыми сохраняются фазовые соотношения.

Векторная диаграмма напряжений

Осциллограмма напряжений

а б

Рис. 2.10. а – векторная диаграмма напряжений,

б – волновая диаграмма напряжений

В действительности все вектора вращаются с частотой . Запи-

шем выражения для напряжений на элементах схемы в символической

форме:

40 30 20 10 0 10 20 30 40

()

() ()

di t

Ut L jLIe jLI jXI

Ie Ie

Ut itdt j jXI

jC C

Ut itR Ie I



 



















Здесь , 1

LX C индуктивное и емкостное сопротивления со-

ответственно. Таким образом, вместо реактивных элементов индуктив-

ности и емкости в символическую (комплексную) схему замещения

вводятся их реактивные сопротивления:

i(t)

-jX

i(t)

Рис. 2.11

Факт присутствия комплексной единицы

перед индуктив-

ным сопротивлением

X означает, что напряжение на индуктив-

ности опережает ток через индуктивность на 90 градусов.

Рис. 2.12

Факт присутствия отрицательной комплексной единицы

перед ёмкостным сопротивлением



означает, что напряжение

на ёмкости отстаёт от тока через ёмкость на 90 градусов.

Рис. 2.13

Если в схеме имеются несколько последовательно соединенных

элементов, то их можно заменить результирующим - эквивалентным

сопротивлением:



Здесь ,, ,arctg();



     

RjX X ZZe Z R X XR

cos( ), sin( ).



 

ZXZ

В случае параллельного со-

единения элементов удобнее поль-

зоваться проводимостью. Приве-

дем связь между комплексным со-

противлением и комплексной про-

водимостью, в алгебраической и

показательной формах:

Рис. 2.14

Рис. 2.15

22 22

;

,, .

ZRjXZZe

ZRjX

XRX

Ygjbg b

XRX



 

  





  



YYYe

 





   



Пример.

Рассмотрим электрическую цепь с заданными парамет-

рами:

( ) 10 sin( 45 ) , 500рад/с,20Ом,0,1Гн,50мФ.et t

RLC   

Определяем индуктивное и емкостное сопротивления:

30 Ом

XL – индуктивное сопротивление,

66,66 Ом

C

 – емкостное сопротивление.

Запишем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура пред-

ставленной схемы. Сумма напряжений на пассивных элементах равно

величине воздействующей ЭДС.

()

,,,

()

UUU et

dq q

UiRi q U

dt C

ddi

Li U L

dt dt

LiR et

dt C

idt idt

idt



 



  

 





В соответствии с символическим методом можно сделать замену:

() (),,

() 1

() , () ()

() ()

it t E E

UL U j

Ie I e e

di t

tjLItitdt

dt C

Ut itR U RI

















Подставим все величины в уравнение для напряжений, и в резуль-

тате получим:

e(t)

i(t)

Рис. 2.16

()UUU

jLI j jL j R

jL j R

IE IE



   



 





















Коэффициенты пропорциональности при токах имеют размер-

ность сопротивления и обозначаются следующим образом:

Рис. 2.17



20 (30 66, 66)

106,38

0, 23 0,068 0, 239 A.

61,38

41,76

jX jX R I E I

jX X R j

 

 





Теперь можно записать мгновенное значение тока:

( ) 0,239 sin( 106,38)Аit t

§2.3. Векторные диаграммы – фазовые соотношения между величи-

нами

Поскольку каждой синусоидальной величине сопоставляется

комплексный вектор, то в результате проведённых расчетов можно уви-

деть фазовые соотношения между величинами в комплексной плоско-

сти. Приведем пример расчетов токов и построение векторной диаграм-

мы. Прежде всего, строится лучевая диаграмма токов, в выбранном

масштабе. Затем строится топографическая диаграмма напряжений.

Вектор напряжения активного сопротивления откладывается

парал-

лельно току активного сопротивления. Вектор напряжения индуктивно-

сти опережает ток индуктивности на 90 градусов. Вектор напряжения

емкости откладывается с отставанием на 90 градусов от емкостного то-

ка. Положительное значение угла откладывается против часовой стрел-

ки. Отрицательное значение угла откладывается по часовой стрелке.

Используем программу MathCAD для расчета цепи и построения диа-

грамм тока и напряжений.

E20e

i45 de

XL 2

Xc 15 E 14.142 14.142i

jXL R ()j Xc

jXL Xc () R

com I1()

0.566

0.147

74.982

0.547

I2 I1

jXc

jXL Xc () R

com I2()

0.412

0.36

29.055

0.2

I3 I1 I

com I3()

0.777

0.213

105.945

0.747

SEI

Re S( ) 5.66 I2

XL I3

Xc 5.66

Im S( ) 9.811 I1

R I2

R 9.811

u21 I2 i XL VI2R 10()

i1 V I1 1 ()1

i2 V I2 1 ()1

i3 V I3 1()1

I1 R 11.327 I2 R 8.242 I2 XL 8.242 I3 Xc 11.655

com z( ) c

0 0





0 1



arg z( )

deg



1 0



Re z( )



1 1



Im z( )





V a n



( ) s1 e

i 15



deg



s2 e





deg



a 0.1



otherwise































Рис. 2.18

§2.4. Показания приборов

Величины частот, с которыми приходится сталкивать в электро-

технике, достаточно большие, поэтому измеряющие приборы не успе-

вают реагировать на частоту. Вследствие этого приборы показывают не

амплитудное значение, а некоторое усреднённое значение, называемое

среднеквадратическим значением или действующим значением, ко-

торое определяется соотношением:

222

() sin( )

1cos(2 )

u t dt U t dt





















С учетом последних замечаний при переводе тригонометрических

величин в комплексные, учитывается величина действующего значения.

Например:

30 30

( ) 10sin( 30 ) 7,07 B,

60 60

() 2sin( 60) 1,41 A

et t E e e

it t I e e

 



 

Рассмотрим пример использования символического метода для

решения задач.

§2.5. Мощность в цепи переменного тока

Полная мощность определяется выражением

SEIPjQSPQ

   





P – активная мощность, Q – реактивная мощность. Знак плюс выбира-

ется, в случае если ЭДС и ток совпадают по направлению (на схему) и

минус в противном случае. * – знак комплексного сопряжения.

Потребляемая активная и реактивная мощности определяются со-

отношениями соответственно:

222

111

NNM

PRIQXI XI

kk Lkk Ckk

kkk







P – активная мощность величина положительная. Q – реактивная

мощность может быть как положительной так и отрицательной величи-

ной. Если преобладает индуктивная составляющая

XX то 0Q  .

Если

XX то 0Q  .

Лекция № 6

§2.6. Цепи с индуктивно связанными элементами

Последовательное соединение катушек с индуктивной связью

Рассмотрим цепь с взаим-

ной индуктивностью. По катуш-

кам протекают токи, направлен-

ные в одну сторону. Но провода

намотаны в разные стороны. Ус-

ловно на рис. этот факт можно

обозначить звездочками или

точками. При этом токи создают

магнитное поле вокруг проводов.

В одном случае они складывают-

ся, а в другом

они вычитаются.

Тогда можно записать уравнение Кирхгофа для последовательного

контура, учитывая не идеальность катушек.

При согласном соединении, когда токи входят в катушки с одной

стороны

11 2 2

()

di di di di

iR M L iR M e t

dt dt dt dt

    .

При встречном соединении, когда токи входят в катушки с разных

сторон.

11 2 2

()

di di di di

iR M L iR M e t

dt dt dt dt

   

В символической форме это можно записать так.











11 2 2

12 1 2

;

LM L M

LL M

jX jX I R jX jX I E

RR jX X X IE





   

При согласном соединении, когда токи входят в катушки с одной

стороны.











11 2 2

12 1 2

;

LM L M

LL M

jX jX I R jX jX I E

RR jX X X IE





   

При встречном соединении, когда токи входят в катушки с одной

стороны. Здесь ,

XMXL  .

Если ввести обозначения для сопротивлений согласного

и встречно-

го

соответственно

Рис. 2.19. Условное обозначение

катушек









12 1 2 12 1 2

2, 2

LM LLM

ZRRjX X X ZRRjX X X      ,

то можно найти взаимную индукцию

2244

MMM

ZZ X X X M M



   



Как экспериментально определить какой тип соединения в цепи,

согласное и встречное соединение индуктивностей? Ответ – через токи

при фиксированном входном напряжении в цепи. При согласном соеди-

нении сопротивление больше

– ток меньше. При встречном соеди-

нении сопротивление больше

– ток больше.

§2.7. Построение диаграммы при встречном и согласном включени-

ях индуктивностей с магнитной связью

. По оси

в масштабе то-

ка [/ ]

см откладываем зна-

чение тока в цепи

. Затем, от-

носительно тока строим топо-

графическую диаграмму напря-

жений. Напряжение откладываем

в масштабе напряжения

[/ ]

см . Напряжение

совпадает по фазе с током

Напряжение

U опережает ток

на 90 градусов. Затем напряже-

ние взаимной индукции

U опе-

режает ток на 90 градусов, пото-

му что мы имеем согласное

включение, при этом взаимные

потоки складываются. Далее от-

кладываем напряжение

U на

сопротивлении

совпадающее

по фазе с током

. Затем откла-

дываем напряжение

опере-

жающее ток на 90 градусов. Да-

лее откладываем напряжение

взаимной индуктивности

U , опережающее ток на 90 градусов.

U(t)

i(t)

Рис. 2.20