Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова Т.Е., Васильева О.В. Курс лекций по теоретической электротехнике
Подождите немного. Документ загружается.
161
Схемы цепей II-го порядка
162
Лекция № 12
ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
Электрическими линиями с распределенными параметрами
называются такие линии, в которых для одного и того же момента
времени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от
одной точки (сечения) линии к другой соседней точке
.
Эффект непрерывного изменения тока и напряжения вдоль линии
имеет место вследствие того, что линии обладают распределенными
продольными и поперечными сопротивлениями.
Рис. 5.1
На рис. 5.1 изображен участок линии с распределенными параметрами,
через dx обозначен бесконечно малый элемент длины линии.
В результате утечки через поперечные сопротивления токи на со-
седних участках линии неодинаковы. Вследствие этого и падение на-
пряжения на соседних поперечных сопротивлениях разделенных участ-
ком
dx тоже отличаются.
В электрических линиях с распределенными параметрами про-
дольные сопротивления образованны активными сопротивлениями про-
водов линии и индуктивностями двух противостоящих друг другу уча-
стков линии длиной
dx
. Поперечные сопротивления состоят из сопро-
тивлений утечки, появляющейся вследствие несовершенства изоляции
между проводами линии, и емкостей, образованных противостоящими
друг другу элементами (участками) линии.
Линию с распределенными параметрами называют
однородной,
если равны друг другу все продольные сопротивления участков линии
одинаковой длины, и если равны друг другу все поперечные сопротив-
ления участков линии одинаковой длины.
163
Линию с распределенными параметрами называют неоднородной,
если продольные сопротивления в ней различны и поперечные сопро-
тивления неодинаковы.
Когда говорят о линии с распределенными параметрами, то обыч-
но этот термин мысленно связывают с мощными линиями передач элек-
трической энергии на большие расстояния, с телефонными телеграф-
ными воздушными и кабельными линиями, с антеннами в радиотехнике
и другими родственными
линиями и установками.
Пусть
0
r – продольное активное сопротивление единицы длины
линии;
0
L
– индуктивность единицы длинны линии;
0
C
– емкость единицы дли-
ны линии;
0
g –поперечная проводимость единицы длины линии (она не
является обратной величиной продольного сопротивления
0
r );
Разобьем линию на участки длиной
dx (см. рис. 5.2),
x
– расстоя-
ние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное сопротив-
ление рано
0
rdx
, индуктивность –
0
L
dx
, проводимость утечки –
0
gdx
и
емкость –
0
Cdx.
Рис. 5.2
И ток, и напряжение являются в общем случае функциями расстояния
вдоль линии
x
и времени
t
.
Обойдем, выделенный участок линии по контуру и запишем для
него второй закон Кирхгофа – сумма падений напряжения для замкну-
того контура равняется нулю:
00
0
iu
urdxiLdx u dx
tx
.
Сократив на u и поделив на dx получаем выражение:
164
00
ui
ri L
x
t
.
Запишем первый закон Кирхгофа для выделенного узла –1:
i
idii dx
x
(1)
Ток di равен сумме токов, проходящих через проводимость
0
gdx и ем-
кость
0
Cdx:
00
uu
di u dx g dx C dx u dx
xtx
.
Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим
00
u
di u g dx C dx
t
(2)
Подставляя (2) в (1) и поделив на
dx , после упрощения получаем
00
iu
guC
x
t
.
Таким образом, получаем систему дифференциальных уравнений в ча-
стных производных, которые в математической физике называются
телеграфными уравнениями:
00
00
ui
ri L
x
t
iu
guC
x
t
(2а)
Чтобы решить эти уравнения, воспользуемся символическим ме-
тодом
Введем изображения токов и напряжений
(,) () , (,) ()
j
tjt
i xt I xe u xt U xe
. (3)
Здесь –
()
I
x и ()Uxкомплексные величины тока и напряжения соответ-
ственно.
Очевидно, что в этом случае мы можем получить следующие со-
отношения
()
jt
dU x
u
e
x
dx
;
00 0
() ()
j
tjt
id
L
LIx e j LIxe
tdx
;
()
jt
dI x
i
e
x
dx
;
165
00
()
j
t
u
CjCUxe
t
.
Подставив все выше полученные выражения в телеграфные урав-
нения, и сократив на множитель
j
t
e
, получим
00
00
()
();
()
().
dU x
rjLIx
dx
dI x
gjCUx
dx
(2б)
Введя обозначения
00 00 0 0
,
Z
rjLYg jC , и опуская зависи-
мость напряжения и тока от пространственной координаты эти уравне-
ния можно переписать
0
0
;
.
dU
Z
I
dx
dI
YU
dx
(2в)
Продифференцируем первое уравнение по
x
и подставим в него
второе получим дифференциальное уравнение второго порядка с посто-
янными коэффициентами
22
2
00 00
22
0,
dU dU
Z
YU U ZY
dx dx
. (2г)
Будем искать решение в виде
p
x
UAe . Подставляя искомое решение в
(2г) получим характеристическое уравнение относительно
p
22
1,2
0pp .
Теперь решение можно записать в виде
12
12 1 2
px px
x
x
UAe Ae Ae Ae
.
Здесь
12
,
A
A комплексные константы, которые определяются с помо-
щью граничных условий, комплексное число
00
Z
Y принято назы-
вать
постоянной распространения. Запишем его в алгебраической
форме
j
,
где –
коэффициент затухания (характеризующий затухание падаю-
щей волны на единицу длины линии);
– коэффициент фазы (про-
странственная частота); он характеризует изменение фазы падающей
волны на единицу длины линии. Размерность величин
1/км .
166
Найдём ток из уравнений
12
0
00
1
x
x
dU dU A e A e
ZI I
dx Z dx Z
.
Величину, стоящую в знаменателе
0
Z называют волновым сопро-
тивлением
и обозначают
в
Z
:
00 0
0
00
в
j
вв
ZZ Z
Z
ze
Y
ZY
.
Следовательно, ток можно записать
121 2
x
xxx
ввв
A
eAeAe Ae
I
Z
ZZ
.
Теперь можно перейти от комплексных величин к мгновенным
значениям, то есть осуществить обратный переход от комплексных
функций к мгновенным значениям тока и напряжения:
() (,), () (,)
jt jt
I
xe i xt U xe u xt
.
В результате получим
1122
12
12
(,) sin( ) sin( ),
(,) sin( ) sin( ).
xx
mm
x
x
mm
вв
вв
uxt A e t x A e t x
Ae A
ixt t x e t x
zz
Рис. 5.3
Бегущая волна характеризуется
волновыми параметрами –
длинной волны
и фазовой скоростью
. Скорость распространения –
и длину – волны можно определить, используя выражения:
1
1
()
0
dt x dx dx
tx const
dt dt dt
,
167
2
.
§5.1. Формулы для определения напряжения и тока в любой точке
линии через комплексы напряжения и тока в начале линии
Выпишем комплексное представление волн напряжения и тока
вдоль линии, и определим константы интегрирования входящие в эти
выражения, используя граничные условия в начале линии:
12
12
;
.
x
x
x
x
вв
UAe Ae
A
eAe
I
ZZ
. (4)
Пусть в начале линии при 0
x
напряжении
1
U и
1
I
, тогда мож-
но получить:
12
1
112
;
.
в
UAA
I
ZAA
Просуммируем первое, и второе уравнения в системе (4), в ре-
зультате получим выражение для константы
1
A :
п
1
1
1
1
2
j
в
UIZ
A
Ae
.
Вычитая второе уравнение из первого в системе (4), получим вы-
ражение для константы
2
A :
о
1
1
2
2
j
в
UIZ
A
Ae
.
Поставим найденные константы в выражения для напряжения:
11
11
1
1
22 2 2
x
xxx
xx
вв
в
UIZ UIZ
ee ee
Ue eU IZ
.
Напомним, что в скобках находятся гиперболические функции
синус и косинус:
168
() , ()
22
x
xxx
ee ee
ch x sh x
.
Приведём графический вид функций
()ch x , ( )
s
hx.
Теперь выражения для на-
пряжения и тока можно перепи-
сать в виде:
1
1
1
1
() ( ) ( );
() () ().
в
в
Ux Uch x IZsh x
U
Ix Ich x sh x
Z
(5)
Используя это выражение
можно получить связь между ве-
личинами в начале и в конце ли-
нии. Поставим
x
в выражения
(5), здесь
l длина линии:
1
21
1
21
() () ();
() () ().
в
в
Ul U Uch IZsh
U
Il I Ich sh
Z
(6)
Решим уравнения (6) относительно
2
U и
2
I
, получим систему уравне-
ний, позволяющую определять ток и напряжения в начале линии при
известных значения в конце линии.
2
12
2
12
() ();
() ().
в
в
UUch IZsh
U
IshIch
Z
. (7)
Если ввести обозначения
(), (), ()
вв
A
Dch BZsh Csh Z
то
мы получаем уравнение четырехполюсника
2
12
12
2
;
.
UAUBI
I
CU D I
. (8)
Для всякого пассивного четырехполюсника выполняется:
22
() ()1AD BC ch sh . (9)
Рис. 5.4
ch(x)
s
h(x)
2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2
4
3
2
1
1
2
3
4
169
§5.2. Формулы для определения напряжения и тока в любой точке
линии через комплексы напряжения и тока в конце линии
Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии
y , а длину всей линии
:
yx
. (10)
Пусть известны напряжения и ток в конце линии
2
U и
2
I
. Будем
использовать эти значения как граничные условии при 0y . На осно-
вании системы уравнений (4) получаем:
() ()
2
12 12
() ()
12 12
2
() (0)
() (0)
yy
yy
вв вв
U y Ae A e U U Ae A e
A
eAe AeAe
Iy I I
ZZ ZZ
. (11)
Решая систему относительно констант
1
A
и
2
A
:
п
о
2
2
1
1
2
12
1
1
2
12
2
;
;
2
,
.
2
j
в
j
в
в
UIZ
AeAe
UAe Ae
UIZ
IZ Ae Ae
AeAe
(12)
Подставив найденные значения постоянных
1
A
и
2
A
в систему (4)
получаем:
2
2
2
2
() () ();
() () (),
в
в
Uy Uch y IZsh y
U
Iy sh y Ich y
Z
. (13)
§5.3. Линии без потерь
Строго говоря, линии без потерь не существует. Однако можно
создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми
0
r и
0
g по
сравнению с
0
L
и
0
C
соответственно). В ряде случаев, в особенно-
сти при высоких частотах, когда
0
L
>>
0
r и
0
C
>>
0
g , можно пренеб-
речь наличием потерь в линии и принять
0
0r
и
0
0g
. В этом случае
коэффициент затухания 0 , и коэффициент распространения стано-
вится чисто мнимой величиной
j
,
00
L
C
, а волновое сопро-
тивление является чисто активным:
в
в
Z
z
. (14)
170
Для определения напряжения и тока в любой точке линии обра-
тимся к системе уравнений (13)
2
2
2
2
() () ();
() () ().
в
в
Uy Uch y IZsh y
U
Iy sh y Ich y
Z
, (15)
и учтем, что () ()cos(),() ()sin()ch y сhjy y sh y shjy j y , и
перепишем уравнения (15):
2
2
2
2
() cos( ) sin( );
() sin( ) cos( ).
в
в
Uy U y jIZ y
U
Iy j y I y
Z
(16)
Используя те же выражения для системы (5) можно записать урав-
нения линий без потерь через ток и напряжения в начале линии:
1
1
1
1
() cos( ) sin( );
() sin( ) cos( ).
в
в
Uy U y jIZ y
U
I
yj yI y
Z
(17)
§5.4. Коэффициент отражения
Отношение напряжения отраженной волны в конце линии к на-
пряжению падающей волны в конце линии называют
коэффициентом
отражения
по напряжению и обозначают
u
K
. В соответствии с фор-
мулой (12) можно получить:
2
2 в
2
в
22нв
2 в
22
нв
1
в
2
2
2
l
u
l
U
UIZ
Z
A
eIZZ
K
UIZ U
Z
Z
Ae
Z
I
.
Из этого выражения видно, что при
нв
Z
Z
согласованной нагрузке мы
получаем 0
u
K , и следовательно нет отражённой волны, а при
н
Z
холостом ходе мы получаем
1
u
K
то есть волна полностью
отражается.