Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова Т.Е., Васильева О.В. Курс лекций по теоретической электротехнике

Подождите немного. Документ загружается.

101

уравнения записывается в виде суммы двух составляющих – общего

решения однородного уравнения

о.у

()itи частного решения неоднород-

ного уравнения

ч.н

()it

о.рч.н

() () ()it i t i t





Общее решение однородного уравнения легко найти разделив пе-

ременные и осуществляя следующую последовательность действий:

о.р

() 0 ()

()

ln( ) ln( ) ln( ) ( ) .

di di R di

Rit L Rit L dt

dt dt L i t

te A i itAe



   

    

Частное решение неоднородного уравнения – это любое уравне-

ние которое удовлетворяет уравнению, и его легко угадать, посмотрев

на уравнение:

()

it L E



,

и если предположить, что ток постоянный то мы получаем:

()

Rit L



ч.н



.

Теперь мы можем записать общее решение неоднородного урав-

нения в виде:

о.рч.н

() () ()

it i t i t Ae



 .

Константу интегрирования

A находим из начальных условий. В

схеме до коммутации ключ был разомкнут и поэтому ток в цепи отсут-

ствовал. Следовательно, мы можем записать:

(0)

iA A



.

Запишем окончательное выражение для тока:

() 1

EEE

it e e

RRR





   





В электротехнике общее решение однородного уравнения

о.у

()it

называют свободной составляющей

св

()

it Ae



 , потому что эта со-

ставляющая не зависит от источника энергии – внешнего воздействия.

То есть она свободна от внешнего влияния и зависит от параметров це-

пи.

102

Частное решение неоднородного уравнения

ч.н

()it в электротех-

нике называют принуждённой составляющей

пр

()it. Она зависит от ис-

точника энергии и полностью повторяет его функциональную зависи-

мость от времени с неким коэффициентом пропорциональности. На-

пример, если источник энергии постоянный, то принуждённая состав-

ляющая будет постоянной. Если источник энергии имеет синусоидаль-

ный вид, то и принуждённая составляющая будет иметь синусоидаль-

ный вид.

Если обратить внимание

на решение то можно заметить, что сво-

бодная составляющие быстро затухает из-за наличия отрицательного

сомножителя в показателе экспоненты

св

()

it Ae



 ,









, именно

она характеризует переходный процесс. Постоянную



 называют

корнем характеристического уравнения, а обратную её величину

 

называют постоянной времени, (это время за которое ток

уменьшается в е = 2.71 раз, е

-1

= 0,367) После быстрого затухания сво-

бодной составляющей остаётся только принуждённая составляющая это

означает, что наступил установившийся процесс – установившийся ре-

жим работы цепи. Таким образом, можно сказать, что при установив-

шемся режиме искомая величина (ток или напряжение) равна своей

принуждённой составляющей. Например, для нашего примера это мож-

но записать так:

пр

()

it i



  .

Теперь, решим задачу используя физические соображения. Итак,

величина искомого тока будет состоять из суммы двух составляющих

свободной и принуждённой, первая из которых быстро затухает и имеет

экспоненциальный вид, а вторая повторяет форму внешнего воздейст-

вия:

св пр пр

() ()

it i t i Ae i.

Находим принуждённую составляющую в схеме после коммута-

ции при

t ,считая, что индуктивность является закороткой

пр

()

it i



 

Затем, используя начальные условия, находим константу интегрирова-

ния

103

(0)

iA A





Записываем полученное решение

св пр пр

() ()

it i t i Ae i.

Теперь осталось найти корень характеристического уравнения

Корень характеристического уравнения находится через входное

сопротивление схемы. Если сделать замену



 и поставить в выра-

жение для сопротивления схемы то можно получить:

RAe

Lp Ae 00()

Lp Z p   ;

() 0 .

ZjLR p

     

Из которого легко получить корень характеристического уравне-

ния. Приведём графическую зависимость результата

() 1

it e











Напомним, что напряжение на индуктивности определяется выражени-

ем

()

di t

ut L

 .

Взяв производную тока по времени, и умножив на индуктивность,

получаем

()

di t R E

ut L L e Ee

dt L R





 





Ток индуктивности Напряжение индуктивности

Рис. 4.2

Запишем последовательность действий для решения задачи на

переходный процесс:

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2





() 1

it e



пр



()

Ut Ee

104

1. Записываем решение в виде свободной и принужденной состав-

ляющих

св пр

() () ( )

it i t i Ae i или

св пр

() () ( )

ut u t u ue u



 .

Определяем принужденную составляющую в схеме после комму-

тации

пр

()uu



 или

пр

()ii





Определяем корень характеристического уравнения

через

входное сопротивление

() 0



, в схеме после коммутации.

Определяем константу интегрирования

из начальных условий.

Записываем окончательное решение и строим график.

В качестве примера рассмотри цепь с конденсатором. Найдём за-

кон изменения напряжения на конденсаторе при его зарядке.

1. Запишем искомое решение в виде двух составляющих, принуж-

дённой и свободной:

св пр пр

() ()

ut u t u Ae u.

2.После коммутации при установившемся режиме не будет тока и

конденсатор будет заряжен до величины

пр

()uuE



. Следовательно,

св пр

() ()

ut u t u Ae

.

3. Корень характеристического уравнения находим через входное

сопротивление в схеме после коммутации

11 1

() 0

Zp R R p

CpC RC





4. Находим константу интегрирования

А из начальных условий.

До коммутации ключ был разомкнут, и напряжение на конденсаторе от-

сутствовало

(0) 0

AE  .

5. Записываем окончательный результат:

Рис. 4.3

105

св пр

() () 1

RC RC

ut u t u Ee E E e





 





Находим ток, через конденсатор, используя выражение

()

du t

it С

 ,

()

RC RC

it C e e



.

Строим графические зависимости тока и напряжения для конден-

сатора.

Напряжение на емкости Ток емкости

Рис. 4.4

§4.2. Классический метод расчета переходного процесса. Первый и

второй законы коммутации. Понятия о зависимых и независимых

начальных условиях

До сих пор мы рассматривали относительно простые задачи пере-

ходного процесса с независимыми начальными условиями – это задачи

на определения тока переходного процесса через индуктивность и на-

пряжения переходного процесса на ёмкости. Задачи определения тока

переходного процесса через сопротивление или через источник напря-

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

100

120

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

0.1

0.2

0.3

0.4



UEe

()

it e



пр

UE

106

жения решаются сложнее. Для понимания сложных переходных про-

цессов очень важно понимать, что такое

зависимые и независимые на-

чальные условия.

Начнем рассмотрения этих понятий с первого и вто-

рого законов коммутации.

В электрической цепи, не может быть мгновенного изменения на-

копленной в электрических и магнитных полях энергии

(0 ) (0 ) (0)

WWW



 .

Так как энергия электрического поля конденсатора и энергия

магнитного поля индуктивной катушки равны соответственно

uC iL

,

это означает, что в момент коммутации остаются неизменными напря-

жения на обкладках конденсатора и токи в индуктивных катушках. Для

перераспределения энергии требуется время – это процесс инерцион-

ный, не мгновенный. Поэтому существуют два закона коммутации.

Первый закон (правило) коммутации – ток через индуктив-

ность непосредственно до коммутации

(0 )



равен току через ин-

дуктивность после коммутации

(0 )



(0 ) (0 ) (0)

LLL

iii



 . (*)

Второй закон (правило) коммутации – напряжение на ёмкости

непосредственно до коммутации

(0 )



равно напряжению на ёмко-

сти после коммутации

(0 )



(0 ) (0 ) (0)

CCC

uuu



 . (**)

Это есть независимые начальные условия. Независимыми они на-

зываются потому, что независимо от того до или после коммутации мы

их наблюдаем, они всё равно одинаковы и равны, и поэтому знаки – и +

в выражениях (*) и (**) опускают. Важно помнить, что

независимые

начальные условия определяются в схеме до коммутации.

Таким об-

разом, существует только два

независимых начальных условия – это

напряжение на конденсаторе и ток через индуктивность

Иначе дело обстоит с зависимыми начальными условиями, на-

пример с током через ёмкость или с током через источник напряжения:

(0 )

i  (0 ), (0 )

ii(0 )



или с напряжением на индуктивности или на источнике тока:

(0 )

u  (0 ), (0 )

uu(0 )



Зависимые начальные условия могут изменятся скачком непо-

средственно до и после коммутации. То есть их значения «зависят» от

того наблюдаем мы их до или после коммутации.

Зависимые началь-

107

ные условия определяются в схеме после коммутации. (При этом в

послекоммутационной схеме ёмкость заменяется на источник напряже-

ния равный величине (0)

u и направленный против ёмкостного тока, а

индуктивность заменяется на источник тока равный (0)

i и направлен

он по индуктивному току).

Запишем последовательность действий для определения зависи-

мых начальных условий:

Определяем независимые начальные условия в схеме до комму-

тации

– ток через индуктивность (0)

i и напряжения на конден-

саторе

(0)

u .

Заменяем в схеме после коммутации индуктивность –

, источ-

ником тока равным значению (0)

i , а емкость –C источником на-

пряжения равным значению

(0)

Далее находим интересующие нас зависимые начальные условия.

Теперь можно приступить к решению примеров с зависимыми и незави-

симыми начальными условиями.

Рис. 4.5

Пример:

Определить независимые (0)

u и зависи-

мые начальные условия (0 ), (0 )

ii для

заданной схемы, если заданы величины:

50 В,10Ом,60мкФ



.

Определяем независимые начальные условия в схеме до коммутации:

(0) 25В

 .

Рис. 4.6

Определяем зависимые начальные условия

в схеме после коммутации заменяем при

этом ёмкость на источник напряжения:

(0)

(0 )

2,5A.

220







108

(0)

(0 ) (0 ) (0 ) 2,5 5 2,5A

CE E

ii i

       .

Рис. 4.7

Пример: Определить зависимые

(0 ), (0 )



 и независимые

(0)

i начальные условия для за-

данной схемы:

2A, 10Ом,0,1ГнJR L



.

Определяем независимые началь-

ные условия в схеме до коммута-

ции:

(0) 1



Определяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации

заменяем при этом заменяем индуктивность на источник тока равный

(0) / 2 1А

iJ.

(0 ) 2 10 1 5 25В

uJR     

(0 ) 1 10 1 5 5В

222

JJR



 

Примеры расчета в MathCAD

Независимые начальные условия

Рис. 4.9

Пример-1.

Дано :

R1 10 R2 2

L 0.

E20 C 60 10

Рис. 4.8

109

Ищем решения в виде:

1) iпр определяет принуждённую составляющую в схеме после коммутации :

2) из ННУ определяет константу интегрирования A в схеме до коммутации :

3) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление

в схеме после коммутации :

4) Записываем окончательное решение и строим график i(t) :

Рис. 4.10

Определяем напряжение на индуктивности U(t) :

it() iсв t() iпр Ae

iп

iпр

iпр 2

i0 () i0() 0 Aiп

A iп

ZR1pL

p50

it() Ae

iп

0.02 t0 0.5 4

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

it()

0.787

1.264

1.554

1.729

1.836

1.9

1.94

1.963

i t()

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

0.5

1.5

it()

ut() L

it()

ut() pA e

E e

110

Рис. 4.11

Пример-2.

i(t) R

Рис. 4.12:

Ищем решения в виде:

1) iпр определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации :

uпр

2) из ННУ определяет константу интегрирования A в схеме до коммутации :

3) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление

в схеме после коммутации :

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

ut()

12.13

7.36

4.46

2.71

1.64

0.6

0.37

u t() E e

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

ut()

ut() uсв t() uпр Ae

uпр

uпр 20

() u0() 0 Auпр A uпр A20

ZR1

R1 C

p 1.667 10