Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова Т.Е., Васильева О.В. Курс лекций по теоретической электротехнике
Подождите немного. Документ загружается.
131
0
00 0
()
() () () (0) ( )
pt pt pt pt
df t
e dt e df t f t e p f t e dt f pF p
dt
.
И, наконец, определим изображение интегрального выражения
0
()
t
f
tdt
00
0
00 00
(') ' ()
1()
(') ' (') '
tt
pt pt
tt
pt pt
eftdt ftedt
Fp
ftdt e dt ftdt de
p
ppp
.
Таблица преобразований Лапласа
()
f
t -оригинал ()Fp-
изображение
1
1
p
t
e
1 p
t
e
1 p
sin( )t
22
p
cos( )t
22
pp
()df t dt
(0) ( )
f
pF p
0
()
t
f
tdt
()Fp
p
Вернёмся теперь к переходным процессам.
Итак, мы будем сопоставлять каждой функции его изображение.
Например () ( ), () ( )it I p ut U p. С учётом полученной таблицы
можно сопоставить каждому элементу его изображение:
132
0
()
() ( ) (0) ( ) (0);
()
1(0)
() (0) () ;
;
.
LL
t
C
C
di t
u t L L pI p i pL I p Li
dt
Ip
u
ut u itdt
CppC
E
E
p
J
J
p
Заметим, что для того, что бы построить изображение схемы,
нужны независимые начальные условия
(0), (0)
CL
ui. После того как по-
строена схема изображений, в пространстве изображений находятся же-
лаемые токи и напряжения с использованием известных методов расче-
та (МКирхгофа, МУП, МКТ и т. д.). Для перехода от изображения к
оригиналу (к временной зависимости) необходимо использовать теоре-
му разложения:
1
()
()
() ()
() '( )
k
n
pt
k
k
k
Mp
Mp
I
pite
Np N p
,
где p
k
– корни уравнения () 0Np
.
1
()
() (0)
() ()
() (0) '( )
k
n
pt
k
k
kk
Mp
Mp M
Up ut e
pNp N p N p
,
133
где p
k
– корни уравнения () 0Np
.
Пример: Определить ток источника напряжения если
50В,10Ом,0,4Гн
E
RL .
Рис. 4.49
1. Определим независимые начальные условия
(0)
L
i
(0) / 50/10 5
L
iER A
.
2. Изображаем операторную схему замещения после коммутации
и находим изображение тока
Рис. 4.50
/(0) (0) ()
()
22()
LL
E
pi L Ei Lp Mp
Ip
R
Lp p R Lp pN p
,
где:
() (0) 50 2, () 2 20 0,4
L
M
pEi Lp pNp RLp p .
Находим корень знаменателя и его производную
1
( ) 20 0,4 0 2 / 20 / 0,4 50Np p p RL c
,
'( ) 0,4Np L
.
3. Для определения оригинала ()it используем теорему разложе-
ния
50
50
( ) (0) ( ) 50 50 100
() ()
() (0) '() 20 500,4
2,5 2,5 A.
pt t
t
Mp M Mp
Ip it e e
pNp N pN p
e
134
Переходные процессы в электрических цепях при воздействии
импульсного напряжения. (Метод пространства состояний)
Интегрирующие и дифференцирующие цепи (дифференцирова-
ние и интегрирование как операции фильтрации сигналов).
Частотные характеристики
Интеграл Дюамеля - аналитический метод расчета переходных
процессов при импульсном воздействии
R
U(t)
C
U(t)
L
R
Рис. 4.51
Документ MathCAD.
Рис. 4.52
s
s
100
0.
8
T
1 ft() 1 0 t Tsif
0 otherwise
F t() ift T ft() Ft T ()()
t 0 0.001 T 4
T
R 10
0
C 700 10
6
p
1
RC
L
0.12
5
1
p
0.07
Dt x ()
1
RC
x
Ft()
RC
N
10
2
4
i0
N
D1 t x ()
R
L
x
Ft()
L
x rkfixed 0 0 T4 N D () tx
0
135
Рис. 4.53
Рис. 4.54
T 1
t 0 0.01 T 3
T
L 1 R
3
C 2000 10
6
N 50
0
i0
N
136
Рис. 4.55
Рис. 4.56
Рис. 4.57
T 1 t 0 0.01 T 3
T
137
Рис. 4.58
Рис. 4.59
R
C
1
0
C
100 10
6
L 0.0
2
R
L
10
0
W
C
p()
1
Cp
1
R
C
1
Cp
W
L
j
1
j C
1
R
C
1
j C
o
10
10 2507.5 5005 7502.5 1
10
4
0.2
0.4
0.6
0.8
1
A
C
()
A
C
o()
o
10 2507.5 5005 7502.5 1
10
4
90
45
C
()
C
o()
o
o 400
com a()
0.928
0.862
21.801
0.345
138
Рис. 4.60
0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
0.75
0.5
0.25
Q ()
Im v()
Q o()
Q o()
zy
P ( ) Re v() P o() zx P o()
f 5
0
2
f
314.159
T
2
t 0 0.01 T 2T
0 0.01 0.02 0.03 0.04
3
1.5
1.5
3
Et()
t
012345678
0
0.5
1
1.5
2
2.5
F
i
i
012345678
90
60
30
0
30
60
90
i
i
139
Рис. 4.61
Рис. 4.62
Лекция № 11
§4.6. Интеграл Дюамеля
Прежде всего, уместно ввести понятие
переходная функция. Переходная функция
это отклик системы на единичное воздейст-
вие. При известной переходной функции
()gt для заданной схемы можно найти ток в
цепи
0
() ()it gtU
0.25 0 0.25 0.5 0.75 1
0.75
0.5
0.25
Q ()
Im v
1
Im v
2
Im v
4
Im v
7
P ( ) Re v
1
Re v
2
Re v
4
Re v
7
com a
1
0.954
0.91
17.441
0.286
com a
2
0.847
0.717
32.142
0.45
com a
4
0.623
0.388
51.488
0.487
coma
7
0.414
0.171
65.547
0.377
0 0.01 0.02 0.03 0.04
3
1.5
1.5
3
Et()
E1 t()
t
Рис. 4.63
()gt
()Ut
()it
140
Здесь
0
U постоянное внешнее воздействие. Для того чтобы определить
ток при произвольном внешнем воздействии
()Ut
, разобьем функцию
()Utна прямоугольники как показано на рис. 4.64. Полный ток в мо-
мент t получаем, используя метод наложения. Просуммируем все час-
тичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току (0) ( )ugt:
() (0)() ()( )it u gt u gt
Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевид-
но, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем
больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал вре-
мени на бесконечно малый d
и перейдем от суммы к интегралу:
0
() (0)() ()( )
t
it u gt u gt d
,
или
0
() () (0) ( ) ( )
t
it utg u g t d
Рис. 4.64