Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова Т.Е., Васильева О.В. Курс лекций по теоретической электротехнике
Подождите немного. Документ загружается.
141
Документ MathCAD.
Находим переходную проводимость i(t):
Находим ток на первом интервале i(t) 0 < t <
:
R1 R2
R1 R2
R1 Lx solve x 1200
p
1200
Uo 200
1
p
8.333 10
4
R1 200 R2 50
L 0.2
t 0 .001 1.5
ie 0
()
1
R1 R2
A
1
R1 R2
1
R2
R1
2
A 0.003
1
R2
R1
2
0.007
R1 200
R2 50 L 0.2
g
t( ) 0.03 e
pt
1
R2
R1
2
8.333 10
4
it() gt()U0()
0
t
gt
U
d
d
d
i1 z( ) float 4 6.00 ()e
1200. ()z
13.33 3200.
z
i1
t( ) 6.00 e
1200. ()t
13.33 3200.
t
0 4.16667
10
4
8.33333
10
4
0.00125
100
200
300
400
500
Ut()
t
142
Находим ток на втором интервале i(t) t1 < t < ∞ :
N 5
0
k0
N
t
t1
N
t
k
t
k
I
k
it
k
8.333 10
4
0 1.39 2.78 4.17 5.56 6.94 8.33 9.72 11.11 12.5
3
6
9
12
i2 z( ) float 4 6.00 ()e
1200. ()z
.1e-18 12. e
1200. ()z .5000
12.00 e
1200. ()z 1
.
i2
t() e
1200. ()t
6.00 ( ) 12. e
.5000
12.00 e
1.
i2 t( ) 18.834 e
1200. ()
t
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
Io to
k
to
k
143
§6.1.1. Переходная характеристика (или переходная функция)
Дельта функция Дирака
0
()
x
x
и
0
()
x
x
-ступенчатая
функция Хевисайда
Свойство дельта функции Дирака:
0
000
0
при
() , ()() ().
0 при
tt
tt ttftdt ft
tt
Свойство функция Хевисайда:
0
0
0
0 при ;
() ()()
1 при .
tt
tt t t
tt
,
00
()()
x
xdx x x
.
Преобразование Лапласа этих функций
1
() 1, () .Lt Lt
p
Рис. 4.67
Переходная функция h(t) – это
закон изменения во времени вы-
ходной величины при измене-
нии входной величины в виде
единичной ступенчатой функ-
ции (
отклик (реакция звена)
системы на единичное воздей-
ствие
). Единичная ступенчатая
функция описывается следую-
щим образом
0 при 0;
()
1 при 0.
t
t
t
Рис. 4.65
Рис. 4.66
144
Решение дифференциального уравнения с единичной
()t
правой
частью, есть переходная функция
()
() () решением уравнения является ()
dx t
x
tt ht
dt
,
тогда при произвольном воздействии
()
f
t
имеем:
0
()
() () решением уравнения является функция:
() () (0) ( ) ( ) .
t
dx t
xt f t
dt
xt ht f h f t d
При нулевых начальных условиях:
0
() ( ) ( )
t
x
thftd
.
Решение дифференциального уравнения с импульсной
()t
правой
частью, есть функция Грина функция или весовая функция:
()
() () решением уравнения является ()
dx t
x
tt wt
dt
,
тогда при произвольном воздействии
()
f
t имеем:
0
()
() () решением уравнения является
() () (0) ( ) ( ) .
t
dx t
xt f t
dt
xt ht f w f t d
При нулевых начальных условиях:
0
() ( ) ( )
t
x
twftd
.
§6.1.2. Импульсная переходная функции (весовая функция-функция
Грина)
Связь между передаточной функцией и переходной функцией
можно найти, используя следующие соотношения:
145
00
() () () ();
() () () () ,
tt
ttwtht
ttdthtwtdt
где
функция Грина ( )-это отклик-реакция системы на ()воздействие
переходная функция ()-это отклик-реакция системы на ()воздействие
wt t
ht t
Напомню, что преобразование Лапласа:
0
()
() ( ) () , () ( )
t
Fp
L
ft Fp L ftdt Lf t pFp
p
.
Следовательно, изображение переходной функции
1
() ()hp W p
p
. (11)
Пример 1:
Дано дифференциальное уравнение
2
2
() (0) (0)
543()2,(0)(0)0, 0.
dx dx dyt dx dy
xyt x y
dt dt dt dt
dt
Определим передаточную функцию дифференциального уравне-
ния.
1.
Запишем уравнение в операторной форме:
22
543 2 54312
p
XpXXYpY p p X pY .
2. Находим передаточную функцию:
2
12
()
543
p
Wp
pp
.
Пример 2:
Дано дифференциальное .уравнение
2
2
(0)
0,1 10 100 ( ), (0) 0, 0.
d x dx dx
xftx
dt dt
dt
Определим передаточную функцию дифференциального уравнения
и w(t)-функцию Грина (весовую функцию).
Zp( ) 0.1 p
2
10 p 10
2
146
Определим h(t) переходную функцию дифф. ур-я
Делаем проверку w(t) = h'(t)
W p()
1
Zp()
w1 t()
1
0.1 p
2
10 p 10
2
invlaplace p
float 4
.2582 e
50. ()t
sinh 38.73 t ()
pZp( ) solve p
88.72983346207416885
2
11.27016653792583114
8
1
p
1
zp()
p
Zp()
d
d
wt()
1
zp
1
e
p
1
t
1
zp
0
e
p
0
t
wt( ) float 4 .1291e
11.27 ()t
.1291e
88.73 ()
t
t 0 0.01 4
0 0.088 0.18 0.26 0.35
0.021
0.042
0.062
0.083
w1 t()
wt()
t
h1 t()
1
0.1x
2
10x 10
2
x
invlaplacex
float4
.1000e-1.1000e-1e
50. ()t
cosh38.73t () .1291e-1e
50. ()t
sinh38.73t (
)
z
p()
p
Zp()
d
d
ht()
1
Z0()
1
p
1
zp
1
e
p
1
t
1
p
0
zp
0
e
p
0
t
ht1( ) float 2 .10e-1 .11e-1 e
11. ()t1
.15e-2 e
89. ()t1
t 0 0.01 4
0 0.088 0.18 0.26 0.35
0.0024
0.0049
0.0073
0.0098
h1 t()
ht()
t
147
Рассчитать переходный процесс при внешнем воздействии
f(t)=20sin(
t)
§4.7 Метод пространства состояний
Из всех известных методов расчета переходных процессов наибо-
лее физическим является метод пространства состояний. Этот метод по-
зволяет одновременно получать все интересующие нас величины токов
и напряжений.
Переменные состояния представляют собой систему наи-
меньшего числа независимых величин необходимых для полного оп-
ределения поведения динамической системы.
Переменные состоя-
ния это токи индуктивностей и напряжения емкостей, именно они
определяют состояние системы.
В математической форме уравнения
состояний для сложной цепи имеют вид:
0 0.088 0.18 0.26 0.35
0.021
0.042
0.062
0.083
t
h1 t()
d
d
wt()
t
2
0
ft( ) 20 sin t
Fo t()
0
t
wt
f
d
0.1
2
t
xt()
d
d
2
10
t
xt()
d
d
10
2
x ft() Dt x ()
x
1
10
0.1
x
1
10
2
0.1
x
0
ft()
0.1
N
10
0
x rkfixed
0
0
0 5 N D
i0
N
tx
0
0 0.11 0.22 0.33 0.44
0.1
0.045
0.01
0.065
0.12
Fo t
i
x
1
i
t
i
148
()
() (), ( ,) ()
dt
ttt t
dt
x
Ax BF Dx Ax BF
. (10)
()tx
– вектор состояния (размерность n);
A – матрица состояния (размерность nЧn );
()tBF – вектор столбец (размерность n);
(,)tDx – расширенная матрица.
Сначала рассмотрим составления уравнения состояния на про-
стейших цепях
первого порядка
Определим напря-
жение на конден-
саторе после ком-
мутации. Вектором
состояния является
напряжение на ем-
кости. Запишем второй закон Кирхгофа.
()
C
C
dU
URC et
dt
.
Перепишем это уравнение относительно производной
C
dU
dt
()
() ( ,)
CC C
CC
dU U dU
et
A
UBtDUt
dt RC RC dt
такой вид уравнения называется нормальным. Таким образом, диффе-
ренциальное уравнение, разрешенное относительно производной назы-
вается нормальным.
Рассмотрим еще один пример. Определим ток через индуктив-
ность. В данном случае вектором состояния является ток через индук-
тивность. Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа.
()
L
L
di
iR L et
dt
.
Рис. 4.68
Рис. 4.69
149
Разрешаем это уравнение относительно производной и получаем
уравнение в нормальной форме
()
() ( ,)
LL
LLL
di R e t di
iAiBtDit
dt L L dt
.
Рассмотрим пример для цепи второго порядка. Вектором состоя-
ния являются переменные
() (), ()
T
LC
titUtx
. Записываем уравнения
по второму закону Кирхгофа, в результате получаем систему диффе-
ренциальных уравнений:
Рис. 4.70
,
.
L
LC LC
CL L
di
uuiRE L Riu E
dt
du
ii C i
dt
Разрешим эту систему относительно производных, то есть запишем в
нормальном виде
1
,
1
.
L
LC
L
di R E
iu
dt L L L
du
i
dt C
Выпишем матрицу состояния:
1
,,(,) ,
1
0
0
L
C
R
E
i
LL
t
L
u
C
ABDxAxBx
.
Что бы проверить правильность составление матрицы состояния,
нам нужно проверит ее собственные числа
R
E
C
L
150
2
1
1
00;
1
0
1
0.
R
R
LL
LLC
C
R
L
LC
AI
Если все сделано правильно, то это уравнение совпадает с урав-
нением входного сопротивления схемы
22
11
010 0
R
Lp R p CL pCR p p
Cp C CL
.
Проверим столбцевую матрицу
1
1
1
00
1
00
0
R
EE
C
LL
LL
L
RC E
C
AB
.
Результат должен дать принужденные составляющие напряжения
на конденсаторе и ток через индуктивность
Рассмотрим числовой пример:
10 Ом,0,1Гн,60мкФ,50В
R
LC E .
Рис. 4.71
R 5
0
Give
n
UL iL R iL iC ()R
E
iL iC ()R Uc iC
R
Find UL iC ()
3
2
iL R
1
2
Uc E
1
2
iL ()R Uc
R
L 0.
1
C 60 10
6
E5
0
L
C
E
R
R
R
R
L
C
E
R
R
R
L
C
E
R
R
R
R