Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова Т.Е., Васильева О.В. Курс лекций по теоретической электротехнике

151

В качестве примера составим уравнение состояние для схемы,

приведенной на рис. 4.72.

a

3

2

R

L

1

2C

1

2L

1

2R

C

eigenvals a()

666.667

250

b

E

L

0

p

pL R ()R

2R pL

R

1

Cp

solve p

float 6

666.667

250.

a

1

b

0.5

25

iLo

E

RR2

iLo 0.333 Uco iLo

R

Uco 16.667 T

6

Re p

1

xo

iLo

Uco

xo

0.333

16.667

Dt x () ax

b

N 10

2

i0

N

x rkfixed xo 0 T N D ()

0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.02 0.024

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

x

1

i

0.5

x

0

i

0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.02 0.024

5

10

15

20

25

30

x

2

i

25

x

0

i

L

C

E

R

152

Рис. 4.72

Пример 1. Определить ток ()

L

it индуктивности и напряжения

12

(), ()

CC

ut u tна ёмкостных элементах после включения ЭДС, если

12 1 2

100 В,20Ом,100Ом,20мкФ,60мкФ,0,01Гн.Е RR CC L    

Решение. Для составления уравнения состояний эффективно использо-

вать решающие функции программно-интегрирующей среды MathCAD,

такие как Given и Find. Запишем уравнения, связывающие токи

12

(), ()

CC

iti t и напряжение ()

L

ut с напряжениями на ёмкостях и током

индуктивности. Для этого используются первый и второй законы Кирх-

гофа. В нашем примере матрицы (), и ()tx



xABF будут равны

11

1

22

2

12 1

() ()

() (1 узел);

() ()

() (2 узел);

()

() () () (сред. контур).

CC

L

CC

L

CCL

du t u t

E

Cit

dt R R

du t u t

Cit

dt R

di t

LututitR

dt



   



  











21 1

1

21

2

22 2

1

11

0

()

11

() () , 0 , 0

0

()

11

C

L

E

RC C

ut

R

C

tut

RC C

it

R

LL L













 















xA BF.

После подстановки числовых значений получаем:

153

4

3

500 0 5 10

510

0 166,667 1,667 10 , 0

0

100 100 2 10











  







ABF

После определения матриц

иABFнеобходимо проверить пра-

вильность составления уравнения состояний. Это можно сделать, опре-

делив корни характеристического уравнения через сопротивление схе-

мы:

22

12

1

22

12

11

() 0

11

RR

Cp Cp

Zp Lp R

RR

Cp Cp





.

Корни характеристического уравнения

123

,,

p

pp должны полно-

стью совпасть с собственными числами

123

,,



 матрицы состояния

,det( )0 AA1. Затем следует проверить принуждённые состав-

ляющие решений. В схеме после коммутации их легко найти, в нашем

случае они определяются соотношениями:





21

1

2

21

2

54,545

( ) 45,455

2

0, 455

2

C пр

пр C пр

Lпр

ER R

RR

u

ER

tu

RR

i

E

RR





















 















x

С помощью матричных соотношений их легко проверить:

1

54,545

() 45,455

0,455

пр

t







  





xABF .

Таким образом, мы убедились, что система уравнений состояния

составлена правильно.

154

Документ MathCAD.

Аналитический метод решения переходных процессов методом переменных

состояния

Находим матрицу состояния A, используя операции Given и Find. Состав-

ляем уравнения относительно переменных состояния Uс1, Uc2 и iL .

Дано:

Записываем матрицу переменных состояния A и матрицу столбец правых частей

BF, где B - матрица связи (размерности n x n), F-матрица столбец (размерности n x

1).

Внимание!!! Произведение матриц BF здесь обозначено как B!

C2 60 10

6

L 0.0

1

R2 100 R1 20 C1 20 10

6

E 100

A

1

R2 C1

0

1

L

0

1

R2 C2

1

L

1

C1

1

C2

R1

L

A

500

0

100

0

166.667

100

5 10

4

1.667 10

4

2 10

3

B

E

C1 R2

0

B

510

4

0

155

Определяем собственные числа матрицы состояния A => 

Для проверки определяем корни характеристического уравнения через импеданс

схемы Z(p)

Для проверки определяем принуждённые составляющие

Теперь обращаемся к одной из стандартных процедур решения

системы дифференциальных уравнений.

Расширенная матрица

Метод Рунге Кутта

eigenvals A()

1210.96 2454.41i

244.75

p

R2

1

C1 p

R2

1

C1 p

Lp R1

R2

1

C2 p

R2

1

C2 p

solve p

float 6

1210.96 2454.41i

244.752

i

Lпр

E

R

1

R

2

R

2

u

C1

i

Lпр

R

1

R

2

u

C2

i

Lпр

R

2

u

C1

54.545

i

Lпр

0.455 u

C2

45.455

A

1

B

54.545

45.455

0.455

Dt x () Ax

B

1

max Re

0.0041 T 6

y rkfixed

0

0 T N D

ty

0

0 0.0041 0.0082 0.0123 0.0163 0.0204 0.0245

0

10

20

30

40

50

60

y

1

t

156

0 0.0041 0.0082 0.0123 0.0163 0.0204 0.0245

0

10

20

30

40

50

y

2

t

0 0.0041 0.0082 0.0123 0.0163 0.0204 0.0245

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

3

t

Uo 10

0

R 1

0

L 0.

1

p

R9 R

10 R

R Lp solve p 190

2p

380 Et( ) Uo e

t

Bt()

9

10

Et()

L

A

19

10

R

L

Dt x () AxBt()

N

10

3

T

4

p

y rkfixed 0 0 T N D () ty

0

B

9

10

Uo

1

R

19

10

L

B 4.737 A

B

L

R

E(t)

i(t)

9R

157

0 0.0053 0.0105 0.0158 0.0211

0.25

0.5

0.75

1

1.25

y

1

it()

t

Give

n

UL iL R 2 Uc ic

R

iL ic()RUL iL R 2()

E

ORIGIN 1

Find UL ic ()

5

2

iL R

1

2

E

1

2

Uc

1

2

iL R E Uc

R

L

2 R

C

E

R

R 2

5

C 100 10

6

L 0.

1

E10

0

A

5R

2L

1

2C

1

2L

1

2R C

A

625

5000

5

200

B

1

2

E

L

1

2

E

RC

B

500

20000

eigenvals A()

554.473

270.527

zp() R

Lp 2R ()

1

Cp

R

Lp 2R

1

Cp

R

pzp()

solve p

float 6

554.473

270.527

A

1

B

1.333

66.667

iLpr

E

3R

iLpr 1.333 Ucpr iLpr R

2

Ucpr 66.667

T

10

Re

1

Dt x () Ax

B

N 10

2

i1

N

x rkfixed

0

0 T N D

tx

1

L

2 R

C

E

R

158

РГР № 3 – Расчет переходных процессов в линейных цепях

Цепь I-го порядка

Рассчитать ток источника ЭДС ()

e

it и напряжение на источнике тока

()

J

Ut:

1)

при постоянном источнике ()et E



или

00

() ( , 6 )it I E U I I A 

классическим и операторным мето-

дом и построить временной график;

2)

при гармоническом источнике () sin( )

m

et E t



 или

() sin( )

m

it I t

00

(, 6)

m

E

UII A



 классическим методом;

3)

операторным методом и с помощью интеграла Дюамеля при экс-

поненциальном воздействии

0

()

t

et Ue







или

0

()

t

it Ie





, где

1

2/ 2 ,

p

  

1

1/

p

 - постоянная времени;

4)

с помощью интеграла Дюамеля в буквенном виде

при импульсном воздействии

011 011

11

(1 / ), (1 / ),

() или ()

0, 0,

Utttt Jtttt

et it

tt tt

 











где t

1

= 0,5τ, τ – постоянная времени цепи.

Построить качественный график i

e

(t) или U

i

(t) для времени 0 4t

1

.

Предварительно привести подобные в аналитических выражениях.

Цепь II-го порядка

При постоянном воздействии E = U

o

:

5)

Классическим методом определить ток i

L

, и напряжение на кон-

денсаторе U

C

;

0 0.01 0.02

0

1

x

2

i

t

i

0 0.01 0.02

0

50

x

3

i

t

i

0

t

1

159

Определить i

L

(t) - студентам с фамилиями на А – Л и U

C

(t) - с фа-

милиями на М – Я.

Построить графические зависимости ()

L

it, или ()

C

Ut

..

6)

Методом переменных состояния определить ток индуктивности и

напряжение на емкости

()

L

it

,

()

C

Ut

, напряжение на индуктивно-

сти ()

L

Ut и ток емкости ()

C

it. Построить графические зависимо-

сти

()

L

it, ()

C

Ut, ()

L

Ut, ()

C

it

.

7)

Подтвердить расчеты пунктов 1,2, 6, 7 проделав работу на

Electronics Workbench

ПРИМЕЧАНИЕ. На схемах показано положение ключей до комму-

тации.

Таблица 1

№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

U

o

,B 120 240 125 150 180 200 210 230 250 260

Ψ, град 90 0 180 -90 -90 -90 30 30 -30 -30

R, Ом 20 24 25 30 36 40 42 46 50 52

Таблица 2

№ п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

ω, с

-1

100 200 400 400 500 500 800 125 250 50

L, Гн 0,5 0,25 0,2 0,1 0,08 0,16 0,05 0,6 0,3 0,4

C, мкФ 500 250 200 100 80 160 50 160 80 400

160

Схемы цепей I-го порядка

L

0

2R

3R R

i(t)

R R

R

8R

L

e(t)

1

R 8R

R

e(t)

L

2

L

R

2R

R

8R

e(t)

3

L

i(t)

R

2R

7R

4

R

e(t)

С

5

R R

R

8R

6

i(t)

С

R 4R

R

i(t)

С

7

R

2R

R

8R

e(t)

8

С

R 3R

2R

R

i(t)

С

9

Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова Т.Е., Васильева О.В. Курс лекций по теоретической электротехнике

Подождите немного. Документ загружается.