Исаев Ю.Н., Колчанова В.А., Хохлова Т.Е., Васильева О.В. Курс лекций по теоретической электротехнике

Подождите немного. Документ загружается.

143 4 3

4546 6

1 00000

100

01 0000

001

101100

001 000

10 1

000111

0001 00

110

011001

010

00001 0

01 1

000001

111 1 1

1111 1

111

RRR R R

RRRR R





















   







 













  

  



AgA

263

0,217 0,05 0,067

0, 05 0, 375 0,125 .

0,067 0,125 0,275

RRR











 



 











(35)

Следующим шагом будет произведение матриц:

1 00000

01 0000

101100 6

001 000

000111 0 0.

0001 00

011001 3,5

00001 0

000001













 





 



       



 



 

  

 













bAgE

(36)

Теперь можно найти потенциалы узлов, используя следующие со-

отношения:



26,71

2,539 .

5, 098









      









AgA b (37)

При известных потенциалах узлов находим напряжения на каж-

дой ветви:



100 23,29

00 1 24,902

10 1 16,808

110 24,171

010 2,539

01 1 7,637





 



 







 







 





  



 









 







 





 





 



UAE (38)

И, наконец, находим токи во всех ветвях:

111

222

333

444

555

666

2,329

2,075

1,121

1, 209

0, 254

0,955

IUR

  



  





  



  



 

  



  



  





  



  



  

IgU (39)

В завершении задачи рекомендуется проверить баланс мощностей

и убедиться, что расчет сделан правильно. В матричной форме баланс

мощностей записывается в следующем виде:

I R I 161,899 Вт.IЧЕ Е I 161,899 Вт.

ПИ

PP=  

Проверим наши данные, проделав виртуальную лабораторную ра-

боту в Electronics–Workbench. Подключив параллельно сопротивлениям

вольтметры можно определить напряжения. Разделив показание вольт-

метров на соответствующие сопротивления можно найти токи в ветвях.

Рис. 1.13. Схема, собранная в Electronics Workbench

Лекция № 3

§ 1.9. Метод эквивалентных преобразований

Рассмотрим фрагмент электрической цепи, приведённой на

рис. 1.14:

Рис. 1.14

Токи в каждой ветви с ЭДС определяются выражениями:

 

1112 22

ab ab

EU E U

IgEUI gEU







kab

kkkab

IgEU





Результирующий ток будет определяться суммой всех токов в

ветвях:

123 1

...

mn nm

kkkabkk

kk k k

III I J EgU g J



   





. (40)

С другой стороны, мы видим, что ток в эквивалентной ветви оп-

ределяется выражением:





Э ab ЭЭЭab Э

EUg EgUg   . (41)

Сравнивая последние два выражения, получаем:

kk k

ЭЭk

Eg J











. (42)

Рассмотрим некоторые частные случаи:

а б

Рис. 1.15. Преобразование параллельных ветвей

Для рисунка 1.15 ветви будут преобразованы по формулам для

схем а и б соответственно:

12 21 1 2

12 12

ЭЭ

RER RR

RRR







111 1

ЭЭ

EJRR R



 (43)

В соответствии с методом эквивалентных преобразований легко

получить полезные преобразования, приведённые на рис. 1.16 и 1.17.

Рис. 1.17. Перенос ЭДС через узел

§ 1.10. Преобразование треугольника в звезду и звезды в треуголь-

ник

Мы рассматривали преобразование сопротивлений, соединённых

последовательно или параллельно. В ряде случаев бывают соединения

сопротивлений не подчиняющиеся ни правилу параллельного соедине-

ния, ни последовательного (например, в трехфазных цепях). В таких

случаях могут быть полезными правила преобразования треугольника в

звезду или наоборот, звезды в треугольник, которые мы приведем без

доказательств.

Рис. 1.16. Расщепление источника тока

Пример 2: Даны сопротивления

10 Ом,



20 Ом,R

15 ОмR

, соединённые треугольником. Преобразовать соединение

треугольником в соединение звездой.

Решение:

123

13 23

123 123

4,444 Ом,

3, 333 Ом,6,666Ом.

RR R

RR R R

RRR RR R





 

 

Рис. 1.19

Пример 3: Даны сопротивления

4, 444 Ом,R



3, 333 Ом,R 

6, 666 ОмR  , соединённые звездой. Преобразовать соединение звез-

дой в соединение треугольником.

Решение:

12 13

11213

12 23 23 13

2 12 23 3 13 23

13 12

10 Ом,

20 Ом,15Ом.

RR R

RR RR

RR R RR R

 

   

Рис. 1.18

§ 1.11. Метод эквивалентного генератора

В ряде случаев возникает необходимость найти ток в отдельно

взятой ветви электрической цепи. В этом случае нет необходимости ис-

пользовать громоздкие методы расчетов определения токов во всех

ветвях. В таких случаях следует использовать метод эквивалентного ге-

нератора (МЭГ). МЭГ хорош еще и тем, что позволяет определить со-

противление нагрузки двухполюсника, при

котором выделяется макси-

мальная мощность, что очень важно при последовательном включении

каскадов, согласованных по мощности. Иногда этот метод называют ме-

тодом холостого хода и короткого замыкания.

Суть метода заключается

в том, что в схеме выделяется ветвь, в которой нужно найти ток, а вся

оставшаяся часть схемы заменяется активным двухполюсником – экви-

валентным генератором. Существуют две схемы замещения активного

двухполюсника (см. рис. 1.20.):

1-я схема – двухполюсник состоит из источника напряжения,

ЭДС –

и сопротивления

;

2-я схема – двухполюсник состоит из источника тока –

и про-

водимости

ГГ

1gR .

Рис. 1.20. Схема замещения эквивалентного генератора

Чтобы определить ЭДС генератора

, следует найти напряжение

холостого хода –

ХХ

относительно выходных зажимов эквивалентного

генератора, это и будет искомая ЭДС. Для того чтобы найти сопротив-

ление генератора

, следует найти сопротивление относительно вы-

ходных зажимов генератора. После определения

легко найти

ток короткого замыкания –

КЗ Г Г



. Источник тока эквивалентного

генератора –

равен току короткого замыкания

ГКЗ



. При извест-

ных параметрах эквивалентного генератора можно найти ток в нагрузке:

НГ





. (44)

Если известен ток короткого замыкания

гКЗ



, применив пра-

вило разброса легко найти ток в нагрузке, используя соотношение:

ГГ Г

НГ НГ

JR J

RRR





. (45)

Для более глубокого понимания целесообразно рассмотреть при-

мер.

Пример 4: Даны сопротивления и

ЭДС:

123

20Ом,18Ом,

25Ом,21Ом,

12Ом,8Ом,

25В,35В,50В.

EEE







Определить ток

в четвёртой ветви,

используя метод эквивалентного гене-

ратора.

Решение: Прежде всего, необхо-

димо преобразовать схему в двухпо-

люсник: выделяем ветвь с сопротивлением

, а всю оставшуюся часть

заменяем двухполюсником – эквивалентным генератором. Затем нахо-

дим напряжение холостого хода и сопротивление эквивалентного гене-

ратора.

Составляем матрицу сопротивлений и столбцевую матрицу пра-

вых частей, и находим необходимые токи:

Рис. 1.21

Рис. 1.22

1356 56

56 256

65 20

20 38

RRRR RR

RR RRR

 









   



75 1,039

35 0,374







  

 



  

  



BAB

312

1,413 .

II A





Используя найденные токи можно

найти напряжение холостого хода

ХХ Г



ХХ г 11135

12,729 B.UEEIRIR



   

Для определения сопротивления

генератора – сопротивления относи-

тельно зажимов a и b, необходимо тре-

угольник сопротивлений преобразовать

в звезду и затем сделать некоторые пре-

образования:

Рис. 1.23

Рис. 1.24

256

5,684 Ом,

3, 789 Ом,

2,526 Ом.

RRR





















25 1 26 3

г 65

25 1 26 3

16,1 Ом.

RRRR

 



 

В соответствии со схемой эквивалентного генератора находим ток

короткого замыкания и ток в 4-той ветви

xx xx

кз 4

г 4 г

0, 791 А,0,343A.

RRR

  

§ 1.12. Характеристики эквивалентного генератора

Важной характеристикой эквивалентного генератора является

выходная характеристика

()UI :

НГНГ

()UI E I R





На этой зависимости ток изменяется в пределах





НКЗ

0, 10 АII, а напряжение в пределах





ХХ Г

0, 100 ВUUE



 ,

10 ОмR  . Выходная характеристика хороша тем, что позволяет опре-

делить ток нагрузки

при любой величине сопротивления заданной

нагрузки

. Для того чтобы определить ток нагрузки

, достаточно

E,В

Рис. 1.25

умножить произвольное значение тока на величину сопротивления на-

грузки

UIR (см. рис. 1.25), затем отложить найденное значение на

графике и соединить с началом координат (на графике это сделано для

нагрузки

15 ОмR  ). Опустив перпендикуляр с точки пересечения по-

лученной кривой и выходной характеристики на ось токов, мы получа-

ем значение интересующего нас тока. В нашем случае

НН

4A, 60BIU.

Еще несколько важных характеристик генератора – мощность на-

грузки

()PR , в зависимости от величины нагрузки, и мощность на-

грузки

()PI

в зависимости от величины тока нагрузки.

 Определим мощность в нагрузке как функцию сопротивления

нагрузки

()PR .



ГН

ННН

НГ

()

PR I R





Определим, в ка-

ком случае выде-

ляется максималь-

ная мощность в

нагрузке. Для это-

го нужно взять

производную вы-

ражения

()PR по

и прировнять

нулю:









222

ГГ Н

НГНГГН

223 3

НН

НГ НГ НГ НГ

() 2

ER R

dP R d E R E E R

dR dR

RR RR RR RR





 

Из последнего выражения следует, что для выделения максималь-

ной мощности необходимо выполнение условия

ГН



0102030405060708090100

100

150

200

250

()

НГ

RR

Рис. 1.26. Зависимость мощности от нагрузочного

сопротивления