Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
671
а)
tt
ee
2
+
; б)
tt
ee
23
3 −
; в)
tt
ee
2
3 −
;
г)
tt
ee −
2
2
; д) інша відповідь.
9.3.340. Розв’язати задачу Коші операційним методом
632
=
−
′
+
′′
xxx
,
(
)
1
−
=
ο
x
,
(
)
1
=
′
ο
x
.
а)
32 −
t
e
; б)
te
t
2
3
−−
−
; в)
2−
t
e
;
г)
2
3
−
− t
e
; д) інша відповідь.
672
10 Теорія ймовірностей та математична
статистика
10.1 Теоретичні питання
10.1.1. Простір елементарних подій. Випадкові події і операції
над ними. Алгебра подій.
10.1.2. Аксіоми теорії ймовірностей. Властивості ймовірності
(ймовірність протилежної події, ймовірність суми двох
подій, монотонність ймовірності, неперервність ймовір-
ності).
10.1.3. Класичне та геометричне означення ймовірностей (пере-
вірка виконання аксіом ймовірності).
10.1.4. Умовна ймовірність. Незалежність подій. Ймовірність
добутку подій.
10.1.5. Формули повної ймовірності та Байєса.
10.1.6. Схема Бернуллі (означення, ймовірність певної кількості
успіхів, найбільш ймовірна кількість успіхів).
10.1.6. Наближені формули Пуассона та Муавра-Лапласа (інтег-
ральна та локальна) в схемі Бернуллі.
10.1.7. Випадкова величина (неперервна та дискретна; функція
розподілу, щільність розподілу, розподіл (ймовірностей)
та їх властивості).
10.1.8. Математичне сподівання випадкової величини (означен-
ня і властивості).
10.1.9. Дисперсія та середньоквадратичне відхилення випадкової
величини (означення і властивості).
10.1.10. Біноміальний розподіл та розподіл Пуассона (означення
та числові характеристики).
673
10.1.11. Нормальний розподіл (означення, числові характе-
ристики та ймовірність попадання в інтервал).
10.1.12. Випадковий вектор (двовимірний) (означення, функція
розподілу, щільність розподілу, розподіл (ймовірнос-
тей), розподіл елементів (маргінальні розподіли).
10.1.13. Числові характеристики випадкового вектора (матема-
тичне сподівання, коваріаційна (дисперсійно-
коваріаційна) матриця). Коефіцієнт кореляції та його
властивості.
10.1.14. Функції від випадкових величин (означення, розподіл
функції від випадкової величини). Моделювання розпо-
ділів.
10.1.15. Закони великих чисел (звичайний та підсилений, їх нас-
лідки для схеми Бернуллі).
10.1.16. Центральна гранична теорема.
10.1.17. Точкові оцінки параметрів розподілу (означення та вла-
стивості). Точкові оцінки математичного сподівання та
дисперсії.
10.1.18. Інтервальні оцінки параметрів розподілу (означення,
надійність та точність оцінки). Інтервальні оцінки пара-
метрів нормального розподілу.
10.1.19. Перевірка статистичних гіпотез (основна та альтернати-
вні гіпотези, помилки та їх ймовірності, критерій, кри-
тична область та критичне значення).
10.1.20. Параметричні гіпотези та їх перевірка (критерії перевір-
ки у випадку одно - та двосторонньої альтернативи, кри-
терії побудовані на надійних інтервалах).
10.1.21. Критерій Пірсона (
2
χ
) (перевірка гіпотез про розподіл
та про незалежність).
674
10.1.22. Лінійна регресія (означення, точкові оцінки параме-
трів). Значимість та ефективність парної лінійної регре-
сії (означення та методи перевірки).
10.2 Тестові теоретичні завдання
10.2.1. Простір елементарних подій складається з випадкових
подій:
а) які є незалежними; б) які є несумісними;
в) які не розкладаються на простіші;
г) які є несумісними і не розкладаються на простіші;
д) інша відповідь.
10.2.2. Сумою двох випадкових подій є подія, яка полягає в то-
му, що:
а) відбулися обидві події;
б) відбулася тільки одна з двох подій;
в) відбулася хоча б одна з двох подій;
г) не відбулася одна з подій; д) інша відповідь.
10.2.3. Добутком двох випадкових подій є подія, яка полягає в
тому, що:
а) відбулися обидві події;
б) відбулася тільки одна з двох подій;
в) відбулася хоча б одна з двох подій;
г) не відбулася одна з подій; д) інша відповідь.
10.2.4. Протилежною до суми двох подій є подія, яка полягає в
тому, що:
а) не відбулася хоча б одна із подій;
б) не відбулися обидві події;
в) одна подія відбулася, а інша ні;
675
г) відбулася хоча б одна із подій; д) інша відповідь.
10.2.5. Протилежною до добутку двох подій є подія, яка полягає
в тому, що:
а) відбулася хоча б одна із подій;
б) не відбулися обидві події;
в) одна подія відбулася, а інша ні;
г) не відбулася хоча б одна із подій; д) інша відповідь.
10.2.6. Нехай CBA ,, - довільні події,
Ω
- простір всіх елемен-
тарних подій,
∅
- неможлива подія. Вкажіть, які із спів-
відношень правильні:
1) Ω=+
A
A
; 2)
(
)
ACABCBA
+
=
+
; 3)
(
)
BCACCBA +=+
;
4)
∅
=
∅
+
A ; 5) A
B
B
A
+
=
+
.
а) 1, 2, 3 і 5; б) 1, 2 і 5; в) 2, 3 і 4;
г) 1 і 5; д) інша відповідь.
10.2.7. Нехай
CBA ,,
- довільні події,
Ω
- простір всіх елемен-
тарних подій,
∅
- неможлива подія. Вкажіть, які із спів-
відношень правильні:
1) ∅=+ AA ; 2)
(
)
(
)
CBACBA
+
+
=
+
+
; 3)
B
A
B
A
⋅
=
+
;
4)
(
)
BCACCAB
+
=
; 5)
Ω
=
Ω
⋅
A
.
а) 1, 2 і 5; б) 2 і 4; в) 2 і 3;
г) 2, 3, 4 і 5; д) інша відповідь.
10.2.8. Нехай
CBA ,,
- довільні події,
Ω
- простір всіх елемен-
тарних подій,
∅
- неможлива подія. Вкажіть, які із спів-
відношень правильні:
1) AB
B
A
=
+ ; 2) AAA =
⋅
; 3)
∅
=
∅
⋅
A ;
4) AA
=
Ω
+
; 5)
(
)
(
)
CBCACAB
+
+
=
+ .
а) 2, 3, 4 і 5; б) всі; в) 1, 3 і 5;
г) 2 і 3; д) інша відповідь.
676
10.2.9. Нехай
CBA ,,
- довільні події,
Ω
- простір всіх еле-
ментарних подій,
∅
- неможлива подія. Вкажіть, які із
співвідношень правильні:
1)
()
(
)
CBACBA
⋅
⋅
=⋅⋅ ; 2)
(
)
CBCACBA +=⋅+ ;
3) Ω=⋅ AA ; 4) AA
=
∅
+
; 5) BCACCAB
+
=
+
.
а)1, 2, 3 і 4; б) 3, 4 і 5; в) 1 і 2;
г) 1 і 4; д) інша відповідь.
10.2.10. Нехай
CBA ,,
- довільні події, Ω - простір всіх елеме-
нтарних подій,
∅
- неможлива подія. Вкажіть, які із
співвідношень правильні:
1)
()
BCACCBA +=+ ; 2)
B
A
A
B +
=
; 3) ∅=⋅ AA ;
4)
Ω
=
Ω+
A
; 5)
(
)
BCACCBA
+
=
+
.
а) 3, 4 і 5; б) 2, 3 і 4; в) 1, 2 , 3 і 4;
г) 3 і 5; д) інша відповідь.
10.2.11. Нехай
CBA ,,
- довільні події, Ω - простір всіх елеме-
нтарних подій,
∅
- неможлива подія. Вкажіть, які із
співвідношень правильні:
1)
A
B
B
A
=+
; 2)
(
)
(
)( )
CBCACBA
+
+
=
+
; 3) AA
=
∅
+
;
4)
Ω
=
∅
⋅
A
; 5) AAA
=
+ .
а) 1, 3, 4 і 5; б) 2 і 3; в) 3 і 5;
г) 1 і 4; д) інша відповідь.
10.2.12. Нехай
CBA ,,
- довільні події, Ω - простір всіх елеме-
нтарних подій,
∅
- неможлива подія. Вкажіть, які із
співвідношень правильні:
1) AA = ; 2)
(
)
BCACCBA +=+ ; 3)
B
AAB
+
=
;
4)
A
A
=
Ω
⋅
; 5) ∅=+ AA .
а) 1, 2, 3 і 4; б) 1, 3 і 4; в) 2, 3 і 5;
677
г) 1, 2 і 5; д) інша відповідь.
10.2.13. Нехай CBA ,, - довільні події. Вкажіть формулу, яка
відповідає події: відбулися події
A
і
B
, але не відбу-
лася подія C .
а)
(
)
CBA+ ; б)
CAB
; в)
CAB +
;
г) CBA ++ ; д) інша відповідь.
10.2.14. Нехай
CBA ,,
- довільні події. Вкажіть формулу, яка
відповідає події: відбулася подія A, а події
B
та
C
не
відбулися.
а) BCA ; б)
(
)
CBA +
; в) CBA ;
г) CBA ++ ; д) інша відповідь.
10.2.15. Нехай
CBA ,,
- довільні події. Вкажіть формулу, яка
відповідає події: відбулася тільки одна із цих подій.
а)
(
)
ABCCBA ++ ; б) CABCAB ++ ;
в)
ABCACBBCA ++
;
г) CBACBACBA ++ ; д) інша відповідь.
10.2.16. Нехай
CBA ,,
- довільні події. Вкажіть формулу, яка
відповідає події: відбулися рівно дві з цих подій.
а) CABCBABCA ++ ; б) ABC ; в)
(
)
ABCACBCAB ++ ;
г)
(
)
ABCCBA ++ ; д) інша відповідь.
10.2.17. Нехай
CBA ,,
- довільні події. Вкажіть формулу, яка
відповідає події: відбулися всі три з цих подій.
а) CBA
+
+ ; б) ABC ; в) ACBCAB
+
+
;
г)
BCAACBABC ++
; д) інша відповідь.
10.2.18. Нехай
CBA ,,
- довільні події. Вкажіть формулу, яка
відповідає події: не відбулася жодна з цих подій.
678
а) CBA ++ ; б) CBA ++ ; в) CBA ;
г) ABC ; д) інша відповідь.
10.2.19. Нехай
CBA ,,
- довільні події. Вкажіть формулу, яка
відповідає події: відбулася принаймні одна з цих подій.
а) ABC ; б) ACBCAB
+
+
; в) BACCABCBA ++ ;
г) CBA
+
+
; д) інша відповідь.
10.2.20. Ймовірність суми двох подій A і
B
обчислюється за
формулою:
а) ( ) () ()PA B PA PB
+
=+;
б) ()()()()PA B PA PB PAB
+
=+−⋅;
в) ()()()()PA B PA PB PAB
+
=++⋅;
г) ()()()()PA B PA PB PAB+= + + ⋅; д) інша відповідь.
10.2.21. Ймовірність добутку несумісних подій дорівнює:
а) добутку ймовірностей цих подій;
б) сумі ймовірностей цих подій;
в) нулю; г) одиниці; д) інша відповідь.
10.2.22. Ймовірність добутку незалежних подій дорівнює:
а) відношенню ймовірностей цих подій;
б) сумі ймовірностей цих подій;
в) нулю; г) одиниці; д) інша відповідь.
10.2.23. Протилежна подія має ймовірність, що в сумі з ймовір-
ністю даної події дорівнює:
а) 2; б) 1.5; в) 1; г) 0.5; д) інша відповідь.
10.2.24. Ймовірність події A, що сприяє події
B
є:
а) меншою за ймовірність
B
;
б) не більшою за ймовірність
B
;
в) більшою за ймовірність
B
;
г) не меншою за ймовірність
B
; д) інша відповідь.
679
10.2.25. Класичне означення ймовірності можна застосувати,
коли:
а) простір елементарних подій скінченний; б) завжди;
в) простір елементарних подій складається з рівномож-
ливих елементів;
г) простір елементарних подій містить скінченну кіль-
кість рівноможливих елементів;
д) інша відповідь.
10.2.26. Геометричне означення ймовірності можна застосовува-
ти, коли:
а) простір елементарних подій задається множиною
евклідового простору;
б) простір елементарних подій задається множиною
евклідового простору із скінченною мірою;
в) простір елементарних подій задається множиною
евклідового простору із скінченною мірою та всі
елементарні події рівноможливі;
г) простір елементарних подій задається множиною
евклідового простору та всі елементарні події рівно-
можливі;
д) інша відповідь.
10.2.27. Згідно класичного означення ймовірності, ймовірність
події дорівнює:
а) відношенню кількості елементарних подій, що сприя-
ють події до кількості всіх рівноможливих елементар-
них подій;
б) відношенню кількості всіх рівноможливих елементар-
них подій до кількості елементарних подій, що сприя-
ють події;
680
в) добутку кількості елементарних подій, що сприяють
події та кількості всіх рівноможливих елементарних
подій;
г) кількості елементарних подій, що сприяють події;
д) інша відповідь.
10.2.28. Згідно геометричного означення ймовірності, ймовір-
ність події дорівнює:
а) геометричній мірі множини, що задає подію;
б) частці від ділення геометричної міри множини, що
задає подію на геометричну міру множини, що задає
весь простір елементарних подій;
в) відношенню міри простору елементарних подій до
міри події;
г) процентному вмісту події в просторі елементарних
подій;
д) інша відповідь.
10.2.29. Згідно теореми множення ймовірностей ймовірність
добутку двох подій дорівнює:
а)
()
() ()PAB PBA PB⋅= ⋅ ; б)
(
)
() ()PAB PAB PA⋅= ⋅ ;
в)
()
() ()PAB PAB PB⋅= ⋅ ; г)
(
)
() ()PAB PA B PB⋅= +⋅ ;
д) інша відповідь.
10.2.30. Ймовірність добутку трьох подій обчислюється за фор-
мулою:
а)
()
(
)
(
)
(
)
BCAPBAPAPCBAP ⋅
⋅
=
⋅
⋅
;
б)
()
(
)
(
)
(
)
ACPABPAPCBAP ⋅
⋅
=
⋅
⋅
;
в)
()
(
)
(
)
(
)
BCPABPAPCBAP ⋅
⋅
=
⋅
⋅
;
г)
()
(
)
(
)
(
)
ABCPABPAPCBAP
⋅
⋅
=⋅⋅ ; д) інша відповідь.
10.2.31. Повною групою подій є: