Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
691
10.2.68. Нехай
()t
ξ
ϕ
– характеристична функція випадкової
величини
ξ
. В яких із тверджень допущені помилки?
1)
()
it
tMe
ξ
ξ
ϕ
= ; 2) () 1t
ξ
ϕ
≤ ; 3)
()
(0)
nn
M
ξ
ϕ
ξ
= ;
4) () () ()ttt
ξη ξ η
ϕ
ϕϕ
+
=
⋅ .
а) тільки в 1 і 2; б) тільки в 2 і 3; в) тільки в 3 і 4;
г) тільки в 1 і 4; д) інша відповідь.
10.2.69. Впорядкуйте шкали вимірювань від найпростішої до
найбільш багатої.
1) шкала найменувань; 2) шкала порядку;
3) шкала відношень; 4) шкала інтервалів.
а) 1, 2, 3, 4; б) 2, 1, 4, 3; в) 2, 1, 3, 4;
г) 1, 2, 4, 3; д) інша відповідь.
10.2.70. Точкова оцінка
n
θ
параметра
θ
розподілу генеральної
сукупності називається незміщеною, слушною (консис-
тентною) та ефективною, якщо виконуються такі з на-
ведених вимог:
1)
n
M
θ
θ
= ; 2)
n
M
θ
θ
→ , при n →+∞;
3)
()
0
n
P
θθε
−
>→, при n →+∞ для всіх 0
ε
> ;
4)
()
lim 1
n
n
P
θθ
→+∞
=
= ;
5)
n
D
θ
є мінімальною серед дисперсій інших оцінок пара-
метра
θ
;
6)
n
D
θ
є мінімальною серед дисперсій інших незміщених
оцінок параметра
θ
.
а) 1, 2 і 3 відповідно; б) 1, 3 і 6 відповідно;
в) 2, 4 і 6 відповідно; г) 2, 4 і 5 відповідно;
д) інша відповідь.
692
10.2.71. Які з оцінок є оцінками математичного сподівання?
1)
1
1
n
k
k
x
x
n
=
=
∑
; 2) медіана; 3)
()
min max
1
2
xx+ ; 4) мода.
а) тільки 1, 3 і 4; б) тільки 2, 3 і 4; в) тільки 1, 2 і 3;
г) тільки 1; д) інша відповідь.
10.2.72. Які з оцінок не є оцінками дисперсії генеральної сукуп-
ності?
1)
()
2
1
1
n
k
k
x
x
n
=
−
∑
; 2)
()
2
1
1
1
n
k
k
x
x
n
=
−
−
∑
;
3)
22
1
1
n
k
k
x
x
n
=
−
∑
; 4)
22
1
1
n
k
k
x
x
n
=
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
∑
.
а) тільки 1 і 3; б) тільки 1 і 4; в) тільки 2;
г) тільки 4; д) інша відповідь.
10.2.73. Інтервальною оцінкою параметра
θ
розподілу генера-
льної сукупності з надійністю
γ
є інтервал:
а)
()
12
;
θ
θ
, для якого
()
(
)
12
;P
θ
θθ γ
∈
= ;
б)
()
12
;
θ
θ
, для якого
(
)
(
)
12
;1P
θ
θθ γ
∈
=− ;
в)
()
12
;
θ
θ
, для якого
12
M
θ
θγ
−=;
г)
()
12
;
θ
θ
, для якого
12
1M
θ
θγ
−
=− ; д) інша відповідь.
10.2.74. Інтервальною оцінкою (надійним інтервалом) для мате-
матичного сподівання нормального розподілу з надій-
ністю
γ
є:
а)
11
22
(1) ; (1)xt n xt n
nn
γγ
σ
σ
++
⎛⎞
−−⋅ +−⋅
⎜⎟
⎝⎠
, якщо дисперсія
2
σ
ві-
дома, де (1)tn
α
− – квантиль порядку
α
розподілу Стьюдента
з
1n −
ступенем вільності (свободи);
693
б)
11
22
;
ss
xu xu
nn
γγ
++
⎛⎞
−⋅ +⋅
⎜⎟
⎝⎠
, якщо дисперсія
2
σ
невідома,
де u
α
– квантиль порядку
α
стандартного нормального
розподілу;
в)
11
22
;xu xu
nn
γγ
σ
σ
++
⎛⎞
−⋅ +⋅
⎜⎟
⎝⎠
, якщо дисперсія
2
σ
відома, де u
α
–
квантиль порядку
α
стандартного нормального розподілу;
г)
11
22
(1) ; (1)
ss
xt n xt n
nn
γγ
−−
⎛⎞
−−⋅ +−⋅
⎜⎟
⎝⎠
, якщо дисперсія
2
σ
не-
відома, де (1)tn
α
−
– квантиль порядку
α
розподілу
Стьюдента з
1n
−
ступенем вільності (свободи);
д) інша відповідь.
10.2.75. Інтервальною оцінкою (надійним інтервалом) з надійні-
стю
γ
для дисперсії нормального розподілу є (
2
()k
α
χ
–
квантиль порядку
α
розподілу Пірсона (
2
χ
) з k сту-
пенями вільності (свободи)):
а)
22
11
22
;
() ()
ns ns
nn
γγ
χχ
+−
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
; б)
22
22
11
22
;
() ()
ns ns
nn
γγ
χχ
−+
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
;
в)
22
22
11
22
(1) (1)
;
(1) (1)
ns ns
nn
γγ
χχ
−+
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎝⎠
; г)
22
22
11
22
(1) (1)
;
(1) (1)
ns ns
nn
γγ
χχ
+−
⎛⎞
−−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎜⎟
⎝⎠
;
д) інша відповідь.
10.2.76. Яке з тверджень щодо перевірки статистичних гіпотез є
помилковим?
694
1) помилкою першого типу є відхилення правильної гіпо-
тези;
2) помилкою другого типу є підтвердження неправильної
гіпотези;
3) перевірка статистичної гіпотези є логічним доведенням
її правильності чи хибності;
4) для кожної статистичної гіпотези існує альтернативна
гіпотеза.
а) тільки 1; б) тільки 2; в) тільки 3;
г) тільки 4; д) інша відповідь.
10.2.77. Основна гіпотеза підтверджується, якщо
вибіркове зна-
чення статистики критерію:
а) менше критичного значення;
б) більше критичного значення;
в) потрапляє в критичну область;
г) не потрапляє в критичну область;
д) інша відповідь.
10.2.78. Рівнем значущості критерію перевірки статистичної
гіпотези є:
а) ймовірність того, що результат перевірки буде
правильним;
б) ймовірність помилки першого роду;
в) ймовірність помилки
другого роду;
г) максимальне відхилення вибіркового значення
статистики критерію від критичного;
д) інша відповідь.
10.2.79. Критичним значенням критерію Пірсона перевірки гіпо-
тези про розподіл генеральної сукупності при рівні зна-
чущості
α
є (
k
– кількість інтервалів,
l
– кількість па-
раметрів розподілу оцінених за вибіркою):
695
а) квантиль порядку
1
α
−
розподілу Пірсона (
2
χ
) з
1kl−− ступенем вільності (свободи);
б) квантиль порядку
α
розподілу Пірсона (
2
χ
) з 1kl
−
+
ступенем вільності (свободи);
в) квантиль порядку
1
α
−
розподілу Пірсона (
2
χ
) з
1kl−+
ступенем вільності (свободи);
г) квантиль порядку
α
розподілу Пірсона (
2
χ
) з 1kl
−
−
ступенем вільності (свободи);
д) інша відповідь.
10.2.80. Які із тверджень правильні?
1) точковою оцінкою коефіцієнта кореляції випадкових
величин
ξ
і
η
є
xy
x
yxy
ss
−
⋅
⋅
, де
x
– вибіркове середнє
значень величини
ξ
, y – вибіркове середнє значень
величини
η
,
x
y – вибіркове середнє значень величини
ξ
η
⋅ ,
x
s та
y
s – вибіркові середньоквадратичні відхи-
лення випадкових величин
ξ
і
η
відповідно;
2) рівність нулю точкової оцінки коефіцієнта кореляції
двох випадкових величин свідчить про їх некорельо-
ваність;
3) відмінність від нуля точкової оцінки коефіцієнта коре-
ляції двох випадкових величин свідчить про їх залеж-
ність;
4) вибірковий коефіцієнт кореляції лежить в межах від
1−
до
1.
а) тільки 2 і 3; б)тільки 3 і 4; в) тільки 1, 3 і 4;
г) тільки 1 і 4; д) інша відповідь.
696
10.2.81. Залежність випадкової величини
Y
від значень не-
випадкової величини
x
називається лінійною регресією
Y на
x
, якщо:
а)
Yaxb=⋅+;
б) відхилення величини
Y від ax b
⋅
+ є мінімальними;
в) середнє значення величини
Y при кожному значенні
x
дорівнює
ax b
⋅
+ ;
г) середнє значення величини
Y
дорівнює ax b
⋅
+ ;
д) інша відповідь.
10.2.82. Дисперсійний аналіз є методом перевірки гіпотези про:
а) рівність дисперсії генеральної сукупності даному числу;
б) рівність дисперсій кількох генеральних сукупностей;
в) рівність математичних сподівань кількох генеральних
сукупностей;
г) задані значення математичних сподівань кількох генера-
льних сукупностей;
д) інша відповідь.
10.2.83. Нехай
i
y
– результати спостережень за значеннями ви-
падкової величини
Y при значеннях
i
x
незалежної
змінної
x
. Точкові оцінки параметрів лінійної регресії
Y
на
x
знаходимо із системи рівнянь:
а)
2
111
11
nnn
iiii
iii
nn
ii
ii
axbx xy
axnb y
===
==
⎧
⋅+⋅ =⋅
⎪
⎪
⎨
⎪
⋅+⋅=
⎪
⎩
∑∑∑
∑∑
; б)
2
111
11
nnn
iiii
iii
nn
ii
ii
axbx xy
axnb y
===
==
⎧
⋅
+⋅ = ⋅
⎪
⎪
⎨
⎪
⋅+⋅=
⎪
⎩
∑∑∑
∑∑
;
в)
2
111
2
11
nnn
iiii
iii
nn
ii
ii
axbx xy
axnb y
===
==
⎧
⋅+⋅=⋅
⎪
⎪
⎨
⎪
⋅+⋅=
⎪
⎩
∑∑∑
∑∑
; г)
2
111
11
nnn
iii
iii
nn
iii
ii
axbx y
axnb xy
===
==
⎧
⋅+⋅=
⎪
⎪
⎨
⎪
⋅+⋅=⋅
⎪
⎩
∑∑∑
∑∑
;
697
д) інша відповідь.
10.2.84. Нехай
(
)
12
;
θ
θ
надійний інтервал з надійністю
γ
для
параметра
θ
розподілу генеральної сукупності, причо-
му
12
()( )PP
θ
θθθ
≤
=≥. Основна гіпотеза
00
:H
θ
θ
=
,
альтернативна гіпотеза
10
:H
θ
θ
≠
. В якому випадку
основа гіпотеза узгоджується із вибірковими даними і
який рівень значущості
α
критерію?
а)
(
)
012
;
θ
θθ
∈ , 1
α
γ
=
− ; б)
(
)
012
;
θ
θθ
∈ ,
1
2
γ
α
+
= ;
в)
(
)
012
;
θ
θθ
∉ ,
1
α
γ
=
−
; г)
(
)
012
;
θ
θθ
∉ ,
1
2
γ
α
+
= ;
д) інша відповідь.
10.2.85. Нехай
(
)
12
;
θ
θ
надійний інтервал з надійністю
γ
для
параметра
θ
розподілу генеральної сукупності, причо-
му
12
()( )PP
θ
θθθ
≤
=≥. Основна гіпотеза
00
:H
θ
θ
=
,
альтернативна гіпотеза
10
:H
θ
θ
> . В якому випадку
основа гіпотеза узгоджується із вибірковими даними і
який рівень значущості
α
критерію?
а)
01
θ
θ
< ,
1
2
γ
α
−
= ; б)
01
θ
θ
<
,
1
2
γ
α
+
= ; в)
01
θ
θ
> ,
2
γ
α
=
;
г)
01
θ
θ
> ,
1
2
γ
α
−
= ; д) інша відповідь.
10.3 Тестові практичні завдання
10.3.1. Задано множину чисел {1,2,3,4,5}. Числа навмання роз-
міщують в рядок. Яка ймовірність того, що при цьому
утвориться парне п'ятицифрове число?
698
а)
2
5
; б)
3
5
; в)
1
5
; г)
1
3
; д) інша відповідь.
10.3.2. У групі 15 студентів, серед яких 8 відмінників. Навмання
вибрано 9 студентів. Знайти ймовірність того, що серед
вибраних студентів буде 6 відмінників.
а) 0,191; б) 0,196; в) 0,201;
г) 0,206; д) інша відповідь.
10.3.3. Переможцями конкурсу стали 3 жінок та 4 чоловіків. Ор-
ганізатори випадковим чином обрали 4 особи для вру-
чення суперпризів. Яка ймовірність того, що серед
них
буде дві жінки і два чоловіка?
а)
4
49
; б)
2
7
; в)
18
35
; г)
9
25
; д) інша відповідь.
10.3.4. В аудиторії серед 15 комп'ютерів 12 справних. Знайти
ймовірність того, що з двох вибраних комп'ютерів хоча
б один виявиться несправним.
а)
1
5
; б)
4
5
; в)
6
35
; г)
13
35
; д) інша відповідь.
10.3.5. Один раз підкидають три гральних кубики. Яка ймовір-
ність того, що на різних кубиках випаде різна кількість
очок?
а)
54
5
; б)
9
5
; в)
9
4
; г)
3
2
; д) інша відповідь.
10.3.6. Один раз підкидають три гральних кубики. Яка ймовір-
ність того, що на всіх кубиках випаде однакова кіль-
кість очок?
а)
6
1
; б)
12
1
; в)
216
1
; г)
36
1
; д) інша відповідь.
699
10.3.7. Один раз підкидають три гральних кубики. Яка ймо-
вірність того, що хоча б на двох кубиках випаде одна-
кова кількість очок?
а)
9
5
; б)
3
2
; в)
9
4
; г)
3
1
; д) інша відповідь.
10.3.8. Серед 20 ламп 5 бракованих. Знайти ймовірність того, що
із чотирьох взятих навмання ламп всі будуть доброякі-
сні.
а) 0,306; б) 0,282; в) 0,243; г) 0,328; д) інша відповідь.
10.3.9. Серед 20 ламп 5 бракованих. Навмання взято 4 лампи.
Яка ймовірність того, що серед взятих буде хоча б одна
бракована?
а) 0,682; б) 0,754; в) 0,818; г) 0,746; д)
інша відповідь.
10.3.10. 12 осіб шикуються в шеренгу довільним чином. Знайти
ймовірність того, що дві певні особи будуть стояти по-
руч.
а)
6
1
; б)
12
1
; в)
3
1
; г)
4
1
; д) інша відповідь.
10.3.11. Номер випадково взятого автомобіля чотирицифровий.
Знайти ймовірність того, що номер не містить однако-
вих цифр.
а) 0,021; б) 0,185; в) 0,504; г) 0,625; д) інша відповідь.
10.3.12. Номер випадково взятого автомобіля чотирицифровий.
Знайти ймовірність того, що номер містить дві однакові
цифри.
а) 0,216; б) 0,432; в) 0,648; г) 0,504; д) інша відповідь
10.3.13. В урні
є 12 кульок, з них 8 червоних і 4 чорних. На-
вмання вибирають 6 кульок. Яка ймовірність того, що
вибрано дві чорних кульки?
700
а)
66
5
; б)
154
1
; в)
11
6
; г)
11
5
; д) інша відповідь.
10.3.14. В урні є 12 кульок, з них 8 червоних і 4 чорних. На-
вмання вибирають 6 кульок. Яка ймовірність того, що
вибрано хоча б одну чорну кульку?
а)
33
31
; б)
11
9
; в)
33
29
; г)
33
32
; д) інша відповідь.
10.3.15. В урні є 15 червоних, 9 синіх та 6 зелених кульок. На-
вмання вибирають 6 кульок. Знайти ймовірність того,
що буде вийнято 1 зелену, 2 синіх і 3 червоних кульки?
а)
145
42
; б)
145
12
; в)
145
24
; г)
145
36
; д) інша відповідь.
10.3.16. Числа 1,2,3,…,9 записуються в ряд у випадковому по-
рядку. Знайти ймовірність того, що числа 1 і 2 стоять
поруч і в порядку зростання.
а)
9
2
; б)
9
1
; в)
8
1
; г)
6
1
; д) інша відповідь.
10.3.17. Числа 1,2,3,…,9 записуються в ряд у випадковому по-
рядку. Знайти ймовірність того, що числа 3, 6 і 9 будуть
стояти поруч в довільному порядку.
а)
12
1
; б)
6
1
; в)
15
1
; г)
3
1
; д) інша відповідь.
10.3.18. Із урни, в якій є 2 білі, 3 чорні і 5 червоних кульок, на-
вмання взято три кульки. Знайти ймовірність того, що
серед взятих кульок хоча б дві будуть одного кольору.
а) 0,5; б) 0,25; в) 0,8; г) 0,75; д) інша відповідь.
10.3.19. Числа 1,2,3,…,9 записуються в ряд у випадковому по-
рядку. Знайти ймовірність
того, що на місцях з парними
номерами стоятимуть парні числа.