Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
681
а) набір незалежних рівноймовірних подій;
б) набір несумісних подій, сума яких є достовірною подією;
в) набір незалежних подій, сума яких є достовірною подією;
г) набір подій, сума яких є достовірною подією;
д) інша відповідь.
10.2.32. Група подій називається незалежною в сукупності, як-
що:
а) кожні дві події з цієї групи
незалежні;
б) ймовірність добутку будь-якого скінченого набору подій з
групи дорівнює добутку їх ймовірностей ;
в) ймовірність добутку всіх подій групи дорівнює добутку їх
ймовірностей ;
г) ймовірність добутку подій групи дорівнює нулю;
д) інша відповідь.
10.2.33. За формулою повної ймовірності ймовірність події
A
дорівнює (
{
}
:1
k
Hkn
≤
≤
– повна група подій):
а)
()
∑
=
n
k
k
HAP
1
; б)
()
∑
=
n
k
k
AHP
1
; в)
()()
∑
=
⋅
n
k
kk
HAPHP
1
;
г)
()()
∑
=
⋅
n
k
kk
AHPHP
1
; д) інша відповідь.
10.2.34. Формула Байєса має вигляд (
{
}
:1
k
Hkn
≤
≤ –повна гру-
па подій):
а)
()
()()
()()
1
n
kk
k
i
ii
PH A PH
PAH
PH A PH
=
⋅
=
⋅
∑
; б)
()
()()
()()
1
n
kk
k
i
ii
P
AH P H
PH A
PAH PH
=
⋅
=
⋅
∑
;
в)
()
(
)
(
)
()()
1
ii
i
n
kk
k
PH A PH
PH A
P
HAPH
=
⋅
=
⋅
∑
; г)
()
(
)
(
)
()()
1
ii
i
n
kk
k
PAH PH
PAH
PAH PH
=
⋅
=
⋅
∑
;
682
д) інша відповідь.
10.2.35. Апостеріорні ймовірності гіпотез можна обчислити за
формулою:
а) Байєса; б) Бернуллі; в) Пуассона;
г) повної ймовірності; д) інша відповідь.
10.2.36. Схемою Бернуллі називається схема проведення експе-
риментів:
а) з підкиданням монети; б) з підкиданням грального кубика;
в) незалежних один від одного;
г) однакових і незалежних скінчену кількість
раз;
д) інша відповідь.
10.2.37. Ймовірність того, що деяка подія в схемі Бернуллі з
n
випробувань відбудеться
k раз дорівнює (
p
– ймовір-
ність цієї події в кожному випробуванні):
а)
(1 )
kk nk
n
Cp p
−
− ; б) (1 )
knk k
n
Cp p
−
− ; в) (1 )
nk nk
k
Cp p
−
+ ;
г)
(1 )
kk nk
n
Cp p
−
+
; д) інша відповідь.
10.2.38. Найбільш ймовірною кількістю успіхів в схемі Бернуллі
з
n випробувань та ймовірністю успіху в кожному з
них
p
є:
а)
n ; б)
2
n
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
; в)
[
]
np
; г)
[
]
np p
+
; д) інша відповідь.
10.2.39. При великій кількості випробувань за схемою Бернуллі
та малоймовірному успіху в кожному випробуванні
ймовірність того, що успіх наступить k раз, може бути
наближено обчислена за формулою (
n – кількість ви-
пробувань,
p
– ймовірність успіху в кожному з них):
а)
()
!
k
np
np
e
k
−
⋅ ; б)
()
2
!
k
np
np
e
n
−
⋅ ; в)
!
k
np
p
e
n
−
⋅
;
683
г)
()
2
!
np
k
k
e
np
−
⋅ ; д) інша відповідь.
10.2.40. Функцією розподілу випадкової величини
ξ
є функція:
а) ( ) ( )
Fx P x
ξ
=≥; б) ( ) (0 )Fx P x
ξ
=
<≤ ; в) ( ) ( )Fx P x
ξ
=
> ;
г)
() ( )Fx P x
ξ
=
< ; д) інша відповідь.
10.2.41. Які з рівностей є правильними (
F
- функція розподілу
випадкової величини
ξ
)?
1)
()
(
)
(
)
aFbFbaP
−
=
≤
≤
ξ
; 2)
(
)
(
)
(
)
aFbFbaP
−
=
<
≤
ξ
;
3)
(
)( )
(
)
aFbFbaP
−
+
=
≤
<
0
ξ
;
4)
(
)()
(
)
0
+
−
=
<
<
aFbFbaP
ξ
.
а) 1 і 3; б) 2 і 4; в) 3 і 4;
г) 2 і 3; д) інша відповідь.
10.2.42. Функція розподілу випадкової величини є:
а) неперервною зростаючою функцією;
б) неспадною неперервною справа функцією;
в) неспадною неперервною зліва функцією;
г) спадною неперервною функцією; д) інша відповідь.
10.2.43. Щільність розподілу випадкової величини - це функція
()
f
x , для якої ( F – функція розподілу):
а)
() ()
x
Fx ftdt
+∞
=
∫
; б)
() ()Fx fxdx C
=
+
∫
;
в)
0
() ()
x
Fx ftdt=
∫
; г) ( ) ( )
x
Fx ftdt
−∞
=
∫
; д) інша відповідь.
10.2.44. Основними властивостями щільності розподілу
(
)
xf
є:
а) ( ) 1
f
xdx
+∞
−∞
=
∫
, () 0fx≥ ; б) ( ) 1
x
fxdx
+∞
−∞
=
∫
, () 0fx
≤
;
684
в)
0
() 1
f
xdx
+∞
=
∫
,
() 0fx>
; г)
0
() 1
x
fxdx
+∞
=
∫
,
() 0fx
<
;
д) інша відповідь.
10.2.45. Математичним сподіванням дискретної випадкової ве-
личини з розподілом
(
)
;
ii
x
p є:
а)
1
i
i
x
n
∑
; б)
ii
i
x
p
⋅
∑
; в)
2
i
i
i
x
p⋅
∑
; г)
2
ii
i
x
p
⋅
∑
;
д) інша відповідь.
10.2.46. Які з рівностей для математичного сподівання є непра-
вильними (
21
,,
ξ
ξ
ξ
- випадкові величини, C - постій-
на)?
1) ( )
M
CCM
ξ
ξ
⋅=⋅ ; 2)
12 1 2
()
M
MM
ξ
ξξξ
+= + ;
3)
12 1 2
()
M
MM
ξ
ξξξ
⋅
=⋅;
4)
M
CC
=
; 5)
(
)
2121
ξ
ξ
ξ
ξ
MMM
+
=
−
.
а) тільки 5; б) 3 і 4; в) 3 і 5;
г) 1, 2 і 4; д) інша відповідь.
10.2.47. Чи правильна рівність
12 1 2
()
M
MM
ξ
ξξξ
⋅
=⋅?
а) правильна; б) неправильна;
в) правильна, якщо
1
ξ
і
2
ξ
однаково розподілені.;
г) правильна, якщо
1
ξ
і
2
ξ
незалежні; д) інша відповідь.
10.2.48. Математичне сподівання неперервної випадкової вели-
чини з щільністю розподілу ()
f
x дорівнює:
а)()
x
fxdx
+∞
−∞
∫
; б)
0
()
x
fxdx
+∞
∫
; в)
2
()
x
fxdx
+∞
−∞
∫
; г)
2
0
()
x
fxdx
+∞
∫
;
д) інша відповідь.
10.2.49. Математичне сподівання випадкової величини задає:
а) її найбільш ймовірне значення; б) її середнє значення;
685
в) її найменш ймовірне значення;
г) значення, якого потрібно сподіватись;
д) інша відповідь.
10.2.50. Дисперсією випадкової величини
ξ
є:
а)
M
M
ξ
ξ
+ ; б)
M
M
ξ
ξ
− ; в)( )MM
ξ
ξ
−
;
г)
2
()MM
ξ
ξ
− ; д) інша відповідь.
10.2.51. Дисперсія випадкової величини характеризує:
а) її відхилення від початку координат;
б) її відхилення від середнього значення;
в) квадрат відхилення середнього значення випадкової
величини від початку координат;
г) середнє значення різниці випадкової величини та її
середнього значення;
д) інша відповідь.
10.2.52. Які з рівностей для дисперсії є неправильними
(
21
,,
ξ
ξ
ξ
- випадкові величини, C - стала)?
1)
0DC
=
; 2) 0D
ξ
≥ ; 3) ( )DC C D
ξ
ξ
⋅
=⋅ ;
4)
12 1 2
()DDD
ξ
ξξξ
+
=+; 5)
(
)
()
2
2
DM M
ξ
ξξ
=−.
а) 1, 3 і 4; б) тільки 3; в) 3 і 4;
г) 2 і 5; д) інша відповідь.
10.2.53. Середньоквадратичне відхилення випадкової величини
є:
а) квадратним коренем з дисперсії цієї величини;
б) середнім значенням квадрата цієї величини;
в) відхиленням середнього значення квадрата випад-
кової величини від її середнього значення;
г) квадратом середнього значення цієї величини;
д) інша відповідь
.
686
10.2.54. Випадкова величини
ξ
має біноміальний розподіл з
параметрами
n і
p
. Які із рівностей є абсолютно пра-
вильними?
1) ( ) (1 )
kk nk
n
PkCp p
ξ
−
== − , при 0,1, 2, ,kn
=
… ;
2)
M
np
ξ
=
; 3) (1 )
n
Dpp
ξ
=−.
а) тільки 1; б) тільки 2; в) тільки 3;
г) тільки 1 і 2; д) інша відповідь.
10.2.55. Випадкова величини
ξ
має розподіл Пуассона з параме-
тром
λ
. Які із рівностей є абсолютно правильними?
1)
()
!
k
Pk e
k
λ
λ
ξ
−
=
=⋅, при 0,1, 2,k = … ;
2)
M
ξ
λ
=
; 3)
2
D
ξ
λ
= .
а) тільки 1 і 2; б) тільки 1 і 3; в) тільки 2 і 3;
г) всі; д) інша відповідь.
10.2.56. Випадкова величини
ξ
має рівномірний розподіл на
відрізку
[;]ab
. Які із тверджень є абсолютно правиль-
ними?
1) її щільність розподілу є кусково сталою;
2)
(
)
4
2
ab
D
−
=
ξ
; 3)
2
ba
M
+
=
ξ
.
а) всі; б) тільки 1 і 2; в) тільки 1 і 3;
г) тільки 3; д) інша відповідь.
10.2.57. Випадкова величини
ξ
має нормальний розподіл з па-
раметрами a і
2
σ
. Які із тверджень є абсолютно пра-
вильним?
687
1)
M
a
ξ
= ,
2
D
ξ
σ
=
; 2)
1
()()
2
PaPa
ξξ
>= <=
;
3)
(
)
31Pa
ξσ
−> ≈.
а) тільки 1 і 2; б) тільки 1 і 3; в) тільки 2 і 3;
г) 1, 2 і 3; д) інша відповідь.
10.2.58. Випадкова величина
ξ
має нормальний розподіл з па-
раметрами
a
і
2
σ
. Які із тверджень є правильними?
1) щільність розподілу
ξ
має вигляд
2
2
1()
() exp
2
2
xa
fx
σ
πσ
⎧
⎫
−
=−
⎨
⎬
⎩⎭
;
2) щільність розподілу
ξ
має вигляд
2
1()
() exp
2
2
xa
fx
σ
πσ
⎧
⎫
−
=
⎨
⎬
⎩⎭
;
3)
()Ma
ξ
σ
=
+
,
22
()Da
ξσ
=
− ; 4)
()
M
a
ξ
=
,
2
()D
ξ
σ
=
.
а) тільки 1; б) тільки 2 і 4; в) тільки 2 і 3;
г) тільки 1 і 4; д) інша відповідь.
10.2.59. Які із тверджень правильні для функції Лапласа
()
x
Φ
?
1)
(
)
(
)
xx
Φ
−
=
−
Φ
; 2)
(
)
(
)
xx
Φ
−
=
−
Φ 1 ;
3)
()
(
)
xx
Φ
=
−Φ ; 4)
(
)
1lim =
Φ
+∞→
x
x
; 5)
(
)
5,0lim
=
Φ
+∞→
x
x
.
а) 3 і 4; б) 1 і 5; в) 2 і 5;
г) 1 і 4; д) інша відповідь.
10.2.60. Функція Лапласа має вид:
а)
()
∫
∞−
−
=Φ
x
t
dtex
2
2
2
1
π
; б)
()
∫
−
−
=Φ
x
x
t
dtex
2
2
2
1
π
;
в)
()
∫
−
=Φ
x
t
dtex
0
2
2
2
1
π
; г)
()
∫
∞−
−
=Φ
x
t
dtex
2
1
π
;
688
д) інша відповідь.
10.2.61. Випадкова величина
ξ
має показниковий розподіл з
параметром
λ
. Які із тверджень є правильними?
1)
щільність розподілу
ξ
має вигляд
()
⎩
⎨
⎧
>
≤
=
−
;0,
,0,0
xe
x
xf
x
λ
2)
щільність розподілу
ξ
має вигляд
()
⎩
⎨
⎧
>
≤
=
−
;0,
,0,0
xe
x
xf
x
λ
λ
3)
2
1
,
1
λ
ξ
λ
ξ
== DM ; 4)
2
,
λξλξ
== DM .
а) 2 і 3; б) 1 і 3; в) 2 і 4;
г) 1 і 4; д) інша відповідь.
10.2.62. Встановити відповідність між щільностями і розподіла-
ми.
1)
()
[]
[]
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
∉
∈
−
=
;;,0
,;,
1
bax
bax
ab
xf 1) нормальний;
2)
()
⎩
⎨
⎧
>
≤
=
−
;0,
,0,0
xe
x
xf
x
λ
λ
2) показниковий;
3)
()
()
2
2
2
2
1
σ
σπ
ax
exf
−
−
= ; 3) рівномірний.
а) 1-3, 2-1, 3-2; б) 1-3, 2-2, 3-1; в) 1-1, 2-2, 3-3;
г) 1-2, 2-3, 3-1; д) інша відповідь.
10.2.63. Нехай (, )r
ξ
η
– коефіцієнт кореляції випадкових вели-
чин
ξ
і
η
. Які із тверджень є правильними?
1) ( , ) 0r
ξ
η
= , якщо випадкові величини незалежні;
2) якщо
(,) 0r
ξ
η
=
, то випадкові величини незалежні;
689
3)
(,) 1r
ξη
=
тоді і тільки тоді, коли випадкові вели-
чини лінійно залежні.
а) тільки 3; б) тільки 1 і 3; в) тільки 2 і 3;
г) тільки 1 і 2; д) інша відповідь.
10.2.64. Коефіцієнтом кореляції двох випадкових величин
ξ
і
η
є число рівне:
а)
()M
DD
ξ
η
ξ
η
⋅
; б)
()()MM M
DD
ξ
ξη η
ξη
+
+
⋅
;
в)
()()MM M
DD
ξ
ξη η
ξη
−
−
⋅
; г)
()()MM M
DD
ξ
ξη η
ξη
−
−
⋅
;
д) інша відповідь.
10.2.65. Які із наведених значень є параметрами нормального
розподілу на площині (двовимірного нормально розпо-
діленого випадкового вектора)?
1) математичні сподівання кожного з елементів вектора;
2) медіани кожного з елементів вектора;
3) математичне сподівання добутку елементів вектора;
4) коефіцієнт кореляції елементів вектора;
5) коваріація елементів вектора;
6) дисперсії елементів вектора;
7) сума
дисперсій елементів вектора.
а) тільки 1, 4 і 7; б) тільки 2, 5 і 4; в) тільки 1, 4 і 6;
г) тільки 2, 4 і 6; д) інша відповідь.
10.2.66. Згідно із законом великих чисел правильними є такі
твердження:
1) малоймовірно, що середнє арифметичне відхилень випадко-
вих величин від своїх математичних сподівань значно відрі-
зняється від 0, при великій кількості незалежних випадкових
величин.
690
2) Сума великої кількості випадкових величин має приблиз-
но нульове математичне сподівання та одиничну диспер-
сію.
3) Відносна частота успіху в схемі Бернуллі мало відрізня-
ється від ймовірності успіху в кожному з випробувань,
при великій кількості випробувань.
а) тільки 1; б) тільки 2; в) тільки 3;
г) тільки 1 і 2; д) інша відповідь.
10.2.67. Нехай
{
}
:1
n
n
ξ
≥ – послідовність незалежних однаково
розподілених випадкових величин з математичним
сподіванням
a і дисперсією
2
σ
. Які з тверджень є пра-
вильними?
1)
1
n
n
ξ
+∞
=
∑
має стандартний нормальний розподіл;
2)
2
1
2
1
1
lim
2
n
n
x
t
k
k
a
n
Pxedt
n
ξ
σ
π
→+∞
−
=
−∞
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
<= ⋅
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
∫
;
3)
1
1
n
k
k
n
ξ
=
∑
при великих n має приблизно нормальний
розподіл з середнім
a і дисперсією
2
n
σ
.
4)
2
1
2
1
lim
2
n
x
t
k
k
n
a
Pxedt
ξ
σ
π
−
=
→+∞
−∞
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟
<= ⋅
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
∫
а) тільки 1 і 2; б) тільки 2 і 3; в) тільки 3 і 4;
г) тільки 2, 3 і 4; д) інша відповідь.